第42讲 交变电流的产生和描述

第十一章交变电流传感器

第42讲交变电流的产生和描述

知识点一交变电流、交变电流的图象

1．交变电流

(1)定义：大小和方向都随时间做周期性变化的电流．

(2)按正弦规律变化的交变电流叫正弦式交变电流．

2．正弦式交变电流的产生和图象

(1)产生：在匀强磁场里，线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．

(2)图象：用以描述交变电流随时间变化的规律，如果线圈从中性面位置开始计时，其图象为正弦曲线．如图甲、乙、丙所示．

知识点二正弦式交变电流的函数表达式、峰值和有效值

1．周期和频率

(1)周期(T)：交变电流完成一次周期性变化(线圈转一周)所需的

时间，单位是秒(s)，公式T＝2πω.

(2)频率(f )：交变电流在1 s 内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．

(3)周期和频率的关系：T ＝1f 或f ＝1T .

2．正弦式交变电流的函数表达式(线圈在中性面位置开始计时)

(1)电动势e 随时间变化的规律：e ＝E m sin ωt .

(2)负载两端的电压u 随时间变化的规律：u ＝U m sin ωt .

(3)电流i 随时间变化的规律：i ＝I m sin ωt .其中ω等于线圈转动的角速度，E m ＝nBSω.

3．交变电流的瞬时值、峰值、有效值

(1)瞬时值：交变电流某一时刻的值，是时间的函数．

(2)峰值：交变电流(电流、电压或电动势)所能达到的最大的值，也叫最大值．

(3)有效值：跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效值．对正弦式交变电流，其有效值和峰值的关系为：E ＝E m 2，U ＝U m 2，I ＝I m 2

.

(1)矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流．( × )

(2)交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值．( × )

(3)交变电流的峰值总是有效值的2倍．( × )

(4)线圈在磁场中每转动一周，感应电动势和感应电流的方向都改变一次．( × )

1．匀强磁场中有一长方形闭合导线框，分别以相同的角速度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转，用I a 、I b 、I c 、I d 表示四种情况下线框中电流的有效值，则( D )

A．I a>I d B．I a>I b

C．I b>I c D．I c＝I d

解析：由题意可知，无论转轴在中心，还是在一边，还是在其他位置，转动切割磁感线的线框面积不变，根据E m＝nBSω，知线框感应电动势的最大值是相同的，因此四种情况下，线框产生感应电动势的瞬时表达式相同，即为e＝E m sinωt，由闭合电路欧姆定律可知，感应电流瞬时表达式也相同，即为i＝I m sinωt，则感应电流

均相同，故D项正确，A、B、的最大值I m、感应电流的有效值I m

2

C项错误．

2.如图所示，直线OO′的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场B1，右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B2，且B1>B2，一总阻值为R的导线框ABCD以OO′为轴做角速度为ω的匀速转动，导线框的AB 边长为l1，BC边长为l2.以图示位置作为计时起点，规定导线框内电流沿A→B→C→D→A流动时为电流的正方向．则下列图象中能表示线框中感应电流随时间变化的是(A)

解析：回路中的感应电动势为e ＝e 1＋e 2＝B 1l 2ω·l 12

sin ωt ＋B 2l 2ω·l 12sin ωt ＝(B 1＋B 2)l 1l 2ω2

sin ωt ，则电流为i ＝ (B 1＋B 2)l 1l 2ω2R

·sin ωt ，故A 项正确，B 、C 、D 项错误． 3．长为a 、宽为b 的矩形线框有n 匝，每匝线圈电阻为R ，如图所示，对称轴MN 的左侧处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，第

一次将线框从磁场中以速度v 匀速拉出；第二次让线框以ω＝2v b 的

角速度转过90°角．那么( D )

A ．通过导线横截面的电量q 1q 2＝1n

B ．通过导线横截面的电量q 1q 2＝1 2

C ．线框发热功率P 1

P 2＝2n 1 D ．线框发热功率P 1P 2＝2 1

解析：根据法拉第电磁感应定律，得出感应电动势E ＝n ΔΦΔt

，结合闭合电路欧姆定律I ＝E nR 与电量表达式q ＝It ，即可解得电量q

＝ΔΦR ，虽然两次的运动方式不同，但它们的磁通量的变化量相同，因此它们的电量之比为11，故A 、B 项错误；瞬时感应电动势E ＝BL v ，则感应电流的大小之比即为感应电动势大小之比，E 1＝

nBa v ，第二次产生的感应电动势如图所示：最大值E 2m ＝nBa b 2

ω，有效值E 2＝E 2m 2，再根据线框的发热功率P ＝E 2nR ，可知线框发热功率P 1P 2＝21，故C 项错误，D 项正确．

4．三个相同的电阻，分别通过如图甲、乙、丙所示的交变电流，三个图中的I 0和周期T 相同．下列说法中正确的是( C )

A ．在相同时间内三个电阻发热量相等

B ．在相同时间内，甲、乙发热量相等，是丙发热量的2倍

C．在相同时间内，甲、丙发热量相等，是乙发热量的1

2 D．在相同时间内，乙发热量最大，甲次之，丙的发热量最小

解析：甲的有效值为：I＝I0

2

，由Q＝I2Rt可知一个周期内甲的

发热量为：Q1＝I20RT

2

；乙前、后半个周期电流大小相等，故其发热量为：Q2＝I20RT；丙只有前半个周期有电流，故其发热量为：Q3＝

I20R×1

2T＝

I20RT

2

；故可知在相同时间内，甲、丙发热量相等，是乙发

热量的1

2

，故C项正确．

知识点一交变电流的产生和描述

1．正弦式交变电流的产生

(1)线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．

(2)两个特殊位置的特点：

①线圈平面与中性面重合时，S⊥B，Φ最大，ΔΦ

Δt＝0，e＝0，i

＝0，电流方向将发生改变．

②线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，ΔΦ

Δt最大，e最大，

i最大，电流方向不改变．

(3)电流方向的改变：线圈通过中性面时，电流方向发生改变，一个周期内线圈两次通过中性面，因此电流的方向改变两次．

(4)交变电动势的最大值E m＝nBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关．

2．正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)

1．[交变电流的产生]

如图所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中可以分别绕垂直于磁场方向的轴P1和P2以相同的角速度匀速转动，当线圈平面转到与磁场方向平行时(A)

A．线圈绕P1转动时的电流等于绕P2转动时的电流

B．线圈绕P1转动时的电动势小于绕P2转动时的电动势

C．线圈绕P1和P2转动时电流的方向相同，都是a→b→c→d→a

D．线圈绕P1转动时dc边受到的安培力大于绕P2转动时dc边受到的安培力

解析：绕圈绕垂直于磁场方向的轴转动产生交变电流，产生的电流、电动势及线圈各边所受安培力大小与转轴所在位置无关，故A对，B、D错；图示时刻产生电流的方向为a→d→c→b→a，故C 错．

2．[交变电流的图象]

(多选)如图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S间的磁场可视为水平方向的匀强磁场，为交流电流表．线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，从图示位置开始计时，产生的交变电流随时间变化的图象如图乙所示．以下判断正确的是(AC)

A．电流表的示数为10 A

B．线圈转动的角速度为50π rad/s

C．0.01 s时线圈平面与磁场方向平行

D．0.02 s时电阻R中电流的方向自右向左

解析：电流表的示数为交变电流的有效值10 A，A项正确；由

ω＝2π

T

可得，线圈转动的角速度为ω＝100π rad/s，B项错；0.01 s

时，电路中电流最大，故该时刻通过线圈的磁通量最小，即该时刻

线圈平面与磁场平行，C项正确；根据楞次定律可得，0.02 s时电阻R中电流的方向自左向右，D项错．

3．[交变电流的瞬时表达式]

(2019·吉林质检)边长为a的N匝正方形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线且与线圈在同一平面内的对称轴匀速转动，转速为n，线圈所围面积内的磁通量Φ随时间t变化的规律如图所示，图象中Φ0为已知．则下列说法正确的是(D)

A．t1时刻线圈中感应电动势最大

B．t2时刻线圈中感应电流为零

C．匀强磁场的磁感应强度大小为Φ0 Na2

D．线圈中瞬时感应电动势的表达式为e＝2NπΦ0n cos2πnt

解析：t1时刻线圈的磁通量最大，但磁通量的变化率为0，根据法拉第电磁感应定律可知此时线圈中感应电动势为0，A项错误；t2时刻线圈的磁通量为零，但磁通量的变化率最大，根据法拉第电磁感应定律可知此时线圈中感应电流为最大值，B项错误；磁通量与线圈匝数无关，根据磁通量的定义可得Φ0＝Ba2，B＝Φ0

a2，C项错误；线圈中瞬时感应电动势的表达式为e＝NBSωcosωt＝2NπΦ0n cos2πnt，D项正确．

知识点二有效值的理解与计算

1．有效值的理解

跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值叫做交变电流的有效

值．对于正弦交流电，其有效值和峰值的关系为E ＝E m 2，U ＝U m 2

，I ＝I m 2

. 2．有效值的计算

(1)计算有效值时要注意根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解．

(2)利用两类公式Q ＝I 2

Rt 和Q ＝U 2

R t 可分别求得电流有效值和电压有效值．

(3)若图象部分是正弦(或余弦)交流电，其中的从零(或最大值)开始的14周期整数倍的部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I m ＝2I 、U m ＝2U 求解．

3．几种典型的交变电流的有效值

4．[正弦式交变电流的有效值]

电阻R1、R2与交流电源按照图甲所示方式连接，R1＝10 Ω，R2＝20 Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图乙所示．则(B)

A ．通过R 1的电流有效值是65

A B ．R 1两端的电压有效值是6 V

C ．通过R 2的电流最大值是65

2 A D ．R 2两端的电压最大值是6 2 V

解析：首先从交变电流图象中找出交变电流的最大值即为通过

R 2的电流的最大值，为35

2 A ，由正弦交变电流最大值与有效值的关系I m ＝2I ，可知其有效值为0.6 A ，由于R 1与R 2串联，所以通过R 1的电流的有效值也是0.6 A ，A 、C 错误；R 1两端电压的有效值为U 1＝IR 1＝6 V ，B 正确；R 2两端电压的最大值为U m2＝I m R 2＝35

2×20 V ＝12 2 V ，D 错误．

5．[部分缺失的正弦式交变电流的有效值]

如图所示为一个经双可控硅调节后加在电灯上的电压，正弦交流电的每一个二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，则现在电灯上电压的有效值为( D )

A ．U m B.U m 2

C.U m 3

D.U m 2

解析：由题给图象可知，交流电压的变化规律具有周期性，用电流热效应的等效法求解．设电灯的阻值为R ，正弦交流电压的有

效值与峰值的关系是U ＝U m 2

，由于一个周期内半个周期有交流电压，一周期内交流电产生的热量为Q ＝? ??

??U m 22R t ＝U 2m 2R ·T 2，设交流电压的有效值为U ，由电流热效应得Q ＝U 2m 2R ·T 2

＝U 2R ·T ，所以该交流电压的有效值U ＝U m 2

.选项D 正确． 6．[方形波的有效值]

通过一阻值R ＝100 Ω的电阻的交变电流如图所示，其周期为1 s ．电阻两端电压的有效值为( B )

A ．12 V

B ．410 V

C ．15 V

D ．8 5 V

解析：根据图象，一个周期T ＝1 s ，设该交变电流的有效值为U,0～0.4 s 的时间间隔为t 1＝0.4 s,0.4～0.5 s 的时间间隔t 2＝0.1 s ，根

据电流的热效应，由2(I 21Rt 1＋I 22Rt 2)＝U 2R ·

T ，解得U ＝410 V ，B 正确．

知识点三 交变电流“四值”的理解和应用

对交变电流“四值”的比较和理解

典例小型手摇发电机线圈共N匝，每匝可简化为矩形线圈abcd，磁极间的磁场视为匀强磁场，方向垂直于线圈中心轴OO′，

线圈绕OO′匀速转动，如图所示．矩形线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，不计线圈电阻，则发电机输出电压()

A．峰值是e0B．峰值是2e0

C．有效值是

2

2Ne0D．有效值是2Ne0

【审题关键点】矩形线圈ab边和cd边切割磁感线的方向相反，故产生的感应电动势的方向相反，但对于感应电流的方向在闭合电路中，所以产生感应电流的方向相同．

【解析】由题意可知，线圈ab边和cd边产生的感应电动势的最大值都为e0，因此对于单匝矩形线圈总电动势最大值为2e0，又因为发电机线圈共N匝，所以发电机线圈中总电动势最大值为2Ne0，根据闭合电路欧姆定律可知，在不计线圈内阻时，输出电压等于感应电动势的大小，即其峰值为2Ne0，故A、B错误；又由题意可知，若从图示位置开始计时，发电机线圈中产生的感应电流为正弦式交变电流，由其有效值与峰值的关系可知，U＝U m

2

，即U＝2Ne0，故C错误，D正确．

【答案】 D

7．(多选)如图所示，在匀强磁场中匀速转动的矩形线圈的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω.从线圈平面与磁

场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为 1 A ．那么( AC )

A ．线圈消耗的电功率为4 W

B ．线圈中感应电流的有效值为2 A

C ．任意时刻线圈中的感应电动势为e ＝4cos 2πT t

D ．任意时刻穿过线圈的磁通量为Φ＝T π

sin 2πT t 解析：由图中位置开始计时，电流瞬时值i ＝I m cos ωt ，转过60°时，I m cos60°＝1 A ，解得I m ＝2 A ，有效值I ＝22

A ＝ 2 A ，故选项

B 错误；消耗功率P ＝I 2R ＝4 W ，故选项A 正确；感应电动势的最

大值E m ＝I m ·R ＝4 V ，所以e ＝E m cos ωt ＝4cos 2πT ·t ，故选项C 正确；

磁通量Φ＝Φm sin 2πT ·t ，而E m ＝BSω＝Φm ω＝Φm 2πT ，解得Φm ＝E m T 2π

＝2T π，所以Φ＝2T π

·sin 2πT t ，故选项D 错误． 8.如图所示，N ＝50匝的矩形线圈abcd ，ab 边长l 1＝20 cm ，ad 边长l 2＝25 cm ，放在磁感应强度B ＝0.4 T 的匀强磁场中，外力使线圈绕垂直于磁感线且通过线圈中线的OO ′轴以n ＝3 000 r/min 的转速匀速转动，线圈电阻r ＝1 Ω，外电路电阻R ＝9 Ω，t ＝0时线圈平面与磁感线平行，ab 边正转出纸外、cd 边转入纸里．求：

(1)t ＝0时感应电流的方向；

(2)感应电动势的瞬时值表达式；

(3)线圈转一圈外力做的功；

(4)从图示位置转过90°的过程中流过电阻R 的电荷量．

解析：(1)根据右手定则，线圈感应电流方向为adcba .

(2)线圈的角速度ω＝2πn ＝100π rad/s

图示位置的感应电动势最大，其大小为E m ＝NBl 1l 2ω

代入数据得E m ＝314 V

感应电动势的瞬时值表达式

e ＝E m cos ωt ＝314cos100πt (V)．

(3)电动势的有效值E ＝E m 2 线圈匀速转动的周期T ＝2πω＝0.02 s

线圈匀速转动一圈，外力做功大小等于电功的大小，即

W ＝I 2

(R ＋r )T ＝E 2

R ＋r ·T ， 代入数据得W ≈98.6 J.

(4)从t ＝0起转过90°过程中，Δt 内流过R 的电荷量

q ＝N ΔΦ(R ＋r )Δt Δt ＝NB ΔS R ＋r ＝NBl 1l 2R ＋r

代入数据得q＝0.1 C.

答案：(1)感应电流方向沿adcba(2)e＝314cos100πt V

(3)98.6 J(4)0.1 C

交变电流瞬时表达式的书写问题

1．确定正弦式交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式E m＝nBSω求出相应峰值．

2．明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式．

(1)若线圈从中性面位置开始转动，则i-t图象为正弦函数图象，函数式为i＝I m sinωt.

(2)若线圈从垂直中性面位置开始转动，则i-t图象为余弦函数图象，函数式为i＝I m cosωt.

9．图甲是交流发电机模型示意图．在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴OO′转动，由线圈引出的导线ae和df分别与两个跟线圈一起绕OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路．图乙是线圈的主视图，导线ab和cd分别用它们的横截面来表示．已知ab长度为L1，bc长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动．(只考虑单匝线圈)

(1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t时刻整个线

圈中的感应电动势e 1的表达式；

(2)线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式；

(3)若线圈电阻为r ，求线圈每转动一周电阻R 上产生的焦耳热．(其他电阻均不计)

解析：(1)矩形线圈abcd 在磁场中转动时，只有ab 和cd 切割磁

感线，且转动的半径为r ＝L 22

，设ab 和cd 的转动速度为v ，则v ＝ω·L 22

在t 时刻，导线ab 和cd 因切割磁感线而产生的感应电动势均为 E 1＝BL 1v ⊥

由图可知v ⊥＝v sin ωt

则整个线圈的感应电动势为

e 1＝2E 1＝BL 1L 2ωsin ωt .

(2)当线圈由图丙位置开始运动时，在t 时刻整个线圈的感应电动势为

e 2＝BL 1L 2ωsin(ωt ＋φ0)．

(3)由闭合电路欧姆定律可知I ＝E R ＋r

这里E 为线圈产生的电动势的有效值E ＝E m 2＝BL 1L 2ω2

则线圈转动一周在R 上产生的焦耳热为Q R ＝I 2RT