正四面体二面角8种求法(教师版)
二面角求法
例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。
解：取BC 中点E ，连接OE 、O 1E ，
易证⊿BOC 、⊿BO 1C 是等腰三角形。 ∴OE ⊥BC ，O 1E ⊥BC ，
∴∠OEO 1是二面角O 1-BC-O 的平面角， 连OO 1，OO 1⊥平面ABCD ， ∴OO 1⊥OE 在RT ⊿OEO 1中，OO 1=1，DE=2
1
∴tan ∠OEO 1=22
1
1
1==OE OO
∴所求二面角θ=arctan2。 例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 1D 1的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。 解：连B 1D 1交EF 于G ，连BD 交AC 于O ，作GH ⊥BD ，H 是垂足，连GO ，易证GO ⊥AC ，又BD ⊥AC
∴∠GOH 是所求二面角的平面角， GH=1，OH=42
∴tan ∠GOH=224
2
1
==OH GH ∴所求二面角θ=arctan 22。
利用平面角定义法求二面角大小，在棱上取一点常常是取特殊点。例1中E 点，例2中O 点都是特殊位置的点，所作两垂线也是题中特殊位置的线段。
例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。
解：连接BD 交于AC 为O 点，连OB 1， ∵BB 1⊥平面ABCD ，BO ⊥AC ∴B 1O ⊥AC ， ∠BOB 1是二面角B-AC-B 1的平面角，
tan ∠BOB 1=
22
2
1
1==BO BB ∴所求二面角θ=arctan 2. 例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。
解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G
∵EF ∥AD 1，OC ⊥AD 1 ∴OC ⊥EF 即CG ⊥EF 。
根据三垂线定理逆定理得GH ⊥EF
∴∠CGH 是所求二面角的平面角。 先求得: CG=2
1OC=46)22()2(2122=-
CH=31A 1C=
3
3
)2(13122=
+ ∴sin ∠CGH=32
24
6
33
==CG CH ∴所求二面角θ=arctan
3
2
2。 利用三垂线定理寻求作二面角的平面角要注意取点。例3中的B 点、例4中的C 点都是题中特殊位置的点。
例题5：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C-D 的大小。
解：连接BD 、BC 1、DC 1即作了平面BDC 1交AC 1于H 点，
再连接BH 、DH ，易证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BC 1
∴A 1C ⊥平面BDC 1。
连接三线所得平面BDC 1是棱A 1C 的垂面，
∴A 1C ⊥BH ，A 1C ⊥DH ， ∴∠BHD 是所求二面角B-A 1C-D 的平面角， 又∵BD=BC 1=DC 1=2，
在正三角形中易得∠BHD=1200。∴所求二面角θ=1200。
例题6：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求平面BC 1D 与平面EC 1F 所成的二面角。
解：平面BC 1D 与平面EC 1F 交点是C 1，且根据已知条件得BD ∥EF
∴可知所求二面角的棱是经过C 1且平行于BD 和EF 的直线l ，连A 1C 1、AC ，平面ACC 1A 1与BD 交于H 、与EF 交于G ，连C 1G 、CH
∵l ∥BD ，易证BD ⊥平面ACC 1A 1， ∴l ⊥平面ACC 1A 1， 则由线面垂直法得∠HC 1G 是所求二面角的平面角。
GH=21，C 1H=2
623)22(
12
2==+，C 1G=2
3)22(
)21
(22=+
在⊿GHC 1中，由余弦定理得：cos ∠HC 1G=
32
22
6
232)21()26()23(
222=??-+
∴3
2
2arccos
=θ 利用线面垂直法要根据条件寻作棱的特殊位置上的垂面，并找准面面交线所成的平面角。
例题7：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面BDC 1与平面ACC 1A 1所成的二面角。
解：连接A 1C 1，
易证A 1C ⊥平面BDC 1（或证明BD ⊥ACC 1A 1也可以）， 即判定了平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1 ∴所求两平面所成的二面角是900。
例题8：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，V 是OO 1的中点，求平面AVB 与平面CVD 所成的二面角。
解：取正方形BB 1C 1C 和AA 1D 1D 的中心H 、G ，
易证G 、V 、H 是共线。 即GH 是所求二面角的交线。
∵BH ⊥CH ，BH ⊥CD ∴BH ⊥平面CHGD
∴平面ABHG ⊥平面CDGH 即得：平面AVB ⊥平面CVD
所求两平面所成的二面角是900。
例题9：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，H 是BC 棱上一点
且BH ：BC=1：3，求二面角H-AA 1-C 1的大小。 解：此题难度不大，但可用公式法解， A 1C 1即a 线，AH 即b 线，连C 1H 即EF ， A 1C 1即m=2，A 1A 即d=1，
AH 即n=
3
10
)31(122
=
+， C 1H 即EF=3
13)32(122=+
代入公式得：
5523
10
22)313()310()2(12cos 2
22
2
2
222=
?
?-++=-++=mn EF n m d θ
∴所求二面角5
5
2arccos
=θ
例题10：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 是上下底面正方形的中心，E 是AB 棱上一点，且AE ：EB=1：2，求二面角A 1-O 1O-E 的大小。
解：用公式：EF=θcos 2222mn n m d +++ A 1O 1与EO 是两条异面直线， m=A 1O 1=2
2
，d=OO 1=1， n=OE=
6
101)31(2122=+，
公式中EF 即A 1E=
3
10
1)31(22=+
5526
10
222)
310()610()22(
12cos 22222
2
2
2
=?
?-++=
-++=mn
EF
n m d θ
∴所求二面角5
5
2arccos
=θ
此公式法求二面角大小要注意公式中EF 、d 、m 、n 、θ的特定位置，并要已知或易求其中EF 、d 、m 、n 四个量才可以求得θ。
例题11：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，G 、E 、F 是所在棱的
中点，求平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角。 解：此题所求二面角棱线隐含，用平行移动法将平面EFG 移到平面B 1CD 1或移到平面BA 1D ，在正方体中易证平面EFG ∥
平面B 1CD 1∥平面BA 1D ，只要求出平面B 1CD 1或平面BA 1D 与底面ABCD 所成二面角，连接A 1O 、AC ，∠A 1OA 是二面角A-BD-A 1的
平面角。 在Rt ⊿AOA 1中，tan ∠A 1OA=
22
2
1
1==AD AA ∴平面EFG 与平面ABCD 所成的二面角是arctan 2。
例题12：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 1是上底面正方形的中心，E 、F 是AB 、CD 的中点，求平面AO 1D 与平面EO 1F 所成的二面角。 解：设O 是下底面正方形的中心，O 必在EF 上，取B 1C 1中点G ，连接O 1O 、EG 、FG 、OG ，易证AO 1∥EG ，DO 1∥FG ，AD ∥EF ，
∴平面AO 1D ∥平面EGF ， 题中所求二面角平行移动后
即求二面角O 1-EF-G 的大小，而∠GOO 1是平面角，
tan ∠GOO 1=21121
11==O O G O ∴所求二面角2
1
arctan =θ
平行移动法求二面角要注意所移动的平面是以图中特殊线来平行移动为宜。
例题13：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，F 在AA 1上，且A 1F ：FA=1：2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角。
解：取E 1为B 1C 1的中点， 连接EE 1、A 1E 1、EF 、AE ，
易证⊿A 1B 1E 1是截面B 1EF 中⊿B 1EF 在底平面上的射影。 可算得：4
5
411)21(122
2
=+=+=AE ，
94)32(22==AF ，36
61
94452=+=EF ，
910)31(122
2
=+=BF ， 4
5
)21(12221=+=E B ，
在⊿EFB 1中，
52
3
2
53624
2531023661459102cos 112
2
12
11=
=?
?-
+=??-+=∠F B E B EF F B E B F EB ，
5
23
)52(
1sin 221=-=∠F EB ，
∴S ⊿EFB1=12
46
5232102521sin 21111=
???=∠??F EB F B E B S ⊿A1B1E1=4
12
112
12
1111=??=?E B B A ，
则利用投影面积法公式cos θ=
4646
312
46
41
S S E F
B E B A 1
1
11=
=?? ∴所求二面角46
46
3arccos
=θ。
例题14：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，
求平面AED 1与平面ABCD 所成二面角。
解：连接AC ，⊿ACD 是平面AED 1中⊿AED 1在
底平面ABCD 上的射影，
S ⊿ACD =21，AD 1=2，AE=2
3)21()2(22=
+，ED 1=
)2
1(122=
+cos ∠EAD 1
=222
322)25
()23()2(22
2212
12
2
1=
?
?-+=??-+AE AD ED AE AD ， sin ∠EAD 1=22，S ⊿AED1=2223221sin 2111???=
∠???EAD AE AD ∴32
4
321
cos 1
===
??A E D A CD
S S θ，∴所求二面角32arccos =θ。 利用投影面积法求二面角的大小无须寻作二面角的平面角，解题方便。
例题15：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-A 1C-D 的大小。
解：把二面角A-A 1C-D 当作是棱锥D-A 1AC 的一个侧面CDA 1与底面ACA 1的所成二面角来求， 易计算有关的量： 棱锥D-A 1AC 的体积 V=6
11)112
1(3
13
1
1=????=??A A S A CD ，a 即A 1C=3，
S 1=S ⊿A1CD =221221=??，
S=S ⊿A1AC =2
2
2121=
??， ∴232
2
222613323sin 1=???
?=???=S S V a θ ∴所求二面角θ=600。
高中数学二面角求法及经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
排列组合问题之 插板法应用小结!
数算]排列组合问题之插板法应用小结！ 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 分享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，每次都是岗位第一。其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条件的朋友可以到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。 =================================================== 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入 1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 显然就是c12 2=66 ------------------------------------------------- 例2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
二面角求法及经典题型归纳
- 1 - αβa O A B 二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A 的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
二面角的求法(教师版)
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G
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二面角求法之面面观 求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。 将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 . 在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1= 3 1 例2(20XX 年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=5 5 2，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=8 7- 。 练习：20XX 广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60?，2PA PD == ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. D B 1 图1 A O A 1 C B D 1 C 1 O 1 M A F A 1 Q P B C E C B P E F 图2(2) 图2(1) Q
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件： （1）这n个元素必须互不相异 （2）所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异 举个很普通的例子来说明 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36 下面通过几道题目介绍下插板法的应用 e 二次插板法 例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况? -o - o - o - o - o - o - 三个节目abc 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
最新版,二面角求法与经典题型归纳
αβa O A B 立体几何二面角求法 一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？ 二：二面角的基本求法及练习 1、定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直， 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）； 在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求 （1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1
插板法插空法解排列组合问题
插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C
二面角的几种求法
二 面 角 的 几 种 求 法 河北省武安市第一中学 李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。 关键词：二面角 平面角 三垂线定理 空间向量 在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。 一：二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥, 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。 解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO
2220 0,,,,2 ,,, 9090AB AD BC CD AO BD CO BD AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴====∴===+=∴∠=-- 为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角 2.三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90?=∠ABC 平面⊥PA ABC ， 32,2,4===AB AD PA ,BC =6。 (Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小； 解：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ．BD PA ∴⊥． 又tan AD ABD AB = = tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥． 又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ． （Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ． DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角． 又9030DAC BAC =-= ∠∠， sin 1DE AD DAC ∴==， sin AE AB ABE == 又AC = EC ∴=8PC =． A E D P C B F
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
用向量法求二面角的平面角教案
第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点
求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，
(推荐)排列组合问题之插板法
排列组合问题之插板法： 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢？ 例1．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法? 【解析】：题目中球的分法共三类： 第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为C37=35。 第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数2*C27=42。第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数C17=7。 所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为84：。 由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。 将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。 由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为C39=84。 由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以 下3个条件： ①所要分的元素必须完全相同； ②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余； ③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。 下面再给各位看一道例题： 例2．有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 【解析】：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”，而例2则无此要求，即可以出现空盒子。
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ 图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法. 应用插板法必须满足三个条件: (1) 这n个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素?(3)分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明 把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？ 问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用 e二次插板法?例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？?－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ 可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位 所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种 【基本解题思路】 将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到m组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
巧用隔板法解排列组合题
巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:
二面角求法及经典题型归纳
二面角求法归纳 18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 222-=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
求二面角的基本方法
求二面角的基本方法 ——定义法与法向量法 一、 在所给立体图形中直接寻找：看是否有二面角的平面角；寻找平面角的主要依据是根据二面角的平面角的主要特征——顶点在棱上，角的两边分别在两个半平面内且都与棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。 例1 如图1,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC,且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱,以BDE 与BDC 为面的二面角的度数. 解析 由于SB ＝BC,且E 是SC 的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC 底边SC 的中线,所以SC ⊥BE. 又已知SC ⊥DE,BE ∩DE ＝E, ∴SC ⊥面BDE,∴SC ⊥BD. 又∵SA ⊥底面ABC,BD 在底面ABC 上,∴SA ⊥BD. 而SC ∩SA ＝S,∴BD ⊥面SAC. ∵DE ＝面SAC ∩面BDE,DC ＝面SAC ∩面BDC, ∴BD ⊥DE,BD ⊥DC. ∴∠EDC 是所求的二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC,∴SA ⊥AB,SA ⊥AC.设SA ＝a, 又因为AB ⊥ BC, ∴∠ACS ＝30.又DE ⊥SC, 所以∠EDC ＝60°即所求的二面角等于60°. 二．根据定义作出平面角：主要有两种作法，一是对于具有某种对称性立体图形，可以考虑利用定义，在棱上选择一点作棱的垂面，与两个半平面的交线所构成的角即为平面角；二是在其中一个半平面内选择一点M 向另一个半平面引 1 图
垂线（垂足为H ），过H 向棱l 引垂线（垂足为N ），由三垂线定理可知l PN ⊥，则PNH ∠即为平面角（或其补角）。 例2 如图2，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ．将11C AB ?沿11C B 折起到111C B A ?的位置，使点1A 在平面C C BB 11上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：二面角M C B A --111 的大小。 解析 连接AM ，A 1G ，∵G 是正三角形ABC 的中心， 且M 为BC 的中点， ∴A ，G ，M 三点共线，AM ⊥BC(图3) ． ∵B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1⊥AM 于G ，即GM ⊥B 1C 1， GA 1⊥B 1C 1，∴∠A 1GM 是二面角A 1—B 1C 1—M 的平面角． ∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影为M ， ∴A 1M ⊥MG ，∠A 1MG=90°。在Rt △A 1GM 中，由 A 1G=AG=2GM 得∠A 1GM=60°，即二面角A 1— B 1 C 1—M 的大小是60°。 对于“无棱”二面角（即棱未明显给出）的常规求法是： 先找（或作）出棱，再找（或作）出平面角后求解，还可考 虑使用射影面积公式S S 射影 =θcos ，这里给出下述两例： 例3 如图4，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１， ＡＤ＝21．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 解析 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所 2图3图4 图