七年级数学有理数运算知识点整理(复习,填空题,好用)

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第一章：有理数总复习

一、有理数的基本概念

1.大于0的数叫做________；小于0的数叫做_________

备注：在正数前面加“-”的数是_______数；“0”既不是_______，也不是______。

2.有理数：整数和分数统称有理数。

有理数的分类：

3.数轴：规定了______、________和_________的直线。

性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数______；

（2）正数都______0,负数都_____0；正数______一切负数；（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。

4.相反数 ：只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。

性质：（1）数a 的相反数是______（a 是任意一个有理数）；（2）0的相反数是_____；（3）若a 、b 互为相反数，则________；若a 、b 互为相反数且a 、b 都不等于零，则_____a b

； 5.倒数 ：乘积是___的两个数互为倒数 。

性质：（1）a 的倒数是____（a ≠0）； （2）0没有倒数 (为什么)；

（3）若a 与b 互为倒数，则______；若a 与b 互为负倒数，则______。

倒数与相反数的区别和联系：

（1）a 与-a 互为______； a 与a

1（a ≠ 0）互为______；（2）符号上：互为相反数（除0外）的两数的符号_____；互为倒数的两数符号______（3）a 、b

互为相反数则_______；a、b互为倒数 ,则_______；（4）相反数是本身的数是______，倒数是本身的数是______ 。

6.绝对值：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点_________。

性质：（1）数a的绝对值记作________；（2）若a＞0，则︱a︱=

_____；若a＜0，则︱a︱=______；若a =0，则︱a︱=_____；（3）对任何有理数a,总有︱a︱≥0.

7.有理数大小的比较:（1）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数____；正数都____0，负数都_____0；正数____一切负数；（2）两个负数，绝对值大的______。即:若a＜0,b＜0,且︱a︱＞︱b︱,则_______.

8.科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中_______，n 为_______这种记数法叫做科学记数法。。

二、有理数的运算

1、运算法则：

（1）有理数加法法则：①同号两数相加,取________符号,并把_______相加；

②异号两数相加,取_____________符号,并用_________________；互为相反数的两数相加得_______；③一个数同0相加,仍得________。

★用数学语言描述有理数加法法则：

①同号相加：若a>0,b>0,则a+b=___________；若a<0,b<0,则

a+b=___________。

②异号相加：若a>0,b<0,︱a︱>︱b︱,则a+b=__________；若a>0,b<0,︱a︱<︱b︱, 则a+b=___________；若a、b互为相反数，则a+b=0；

③与0相加a是任一个有理数，则a+0=____。

（2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上_________。即a-b=a+(____)。（3）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得_____，异号得_____，并把绝对值______；任何数同0相乘，都得____。

规律：①几个不等于0的数相乘，积的符号由__________决定，当负因数有_________时，积为负；当负因数有_______时，积为正。②几个数相乘，有一个因数为0，积就为_____。

★用数学语言描述有理数乘法法则：

①同号相乘：若a>0,b>0,则 ab=____________；若a<0,b<0,则

ab=_____________；

②异号相乘：若a>0,b<0,则 ab=____________；若a<0,b>0,则

ab=_____________；

数字与字母相乘的书写规范：

⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用“”

⑵数字与字母相乘，当系数是1或－1时，1要省略不写。

⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。

ax＋bx＝（a＋b）x

上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。

去括号法则：

括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。

括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号__________；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号_________。

（4）有理数除法法则：①除以一个数等于乘上___________；即

÷=⨯ (b≠0)；

_____

a b a

②两数相除,同号得_____,异号得____,并把绝对值______； 0除以任何一个不等于0的数,都得______。

（5）有理数的乘方

①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。

a n

即a·a·a·····a=

2、运算顺序：

（1）有括号，先算括号里面的；（2）先算________，再算_______，最后算______（3）对只含乘除，或只含加减的运算，应_______运算；（4）可以使用运算律的尽可能使用运算律。

3、有理数的运算律：

（1)加法交换律：_______ ；（2)加法结合律：________；（3)乘法交换律：_______ ；

（4)乘法结合律：_______；（5)乘法分配律：____________ 。

第二章：代数式总复习

一、用字母表示数的书写要求:

1、在含有字母的式子里出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如：a×b写成a·b或ab；

2、字母和数字相乘，数字应写在字母左边，如“4x”. 当字母前的数字为1或-1时，将“1”省略不写；

3、带分数与字母相乘, 把带分数写成假分数；

4、在式子中出现除法运算时，一般按分数写法来写；

5、若式子中有“+、-”运算，式子后面有单位，则式子要用括号括起来。

二、代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式(algebraic expression)。单独一个字母或者一个数也是代数式。

注意：等式、不等式都不是代数式，但它们的两边都由代数式组成；注意代数式的书写格式以及是否加括号。

三、单项式的概念：像2a2、πr2、a2h这样的代数式，数字与字母只进行了乘法（包含乘方）运算，这样的代数式叫做单项式（monomial）。特别地，单独一个字母或一个数也是单项式。

★单项式的系数:单项式中的数字因数，也就是与字母相乘的数叫作单项式的系数。

特别注意：“系数”必须包括数字前面的符号,另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了。

★单项式的次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。

四、多项式的概念：像xy2+8x2和2x5-5x2y+3xy-1这样，几个单项式的代数和叫做多项式。其中的每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

一个多项式含有几个项就叫几项式。

★多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。如：多项式2x5-5x2y+3xy-1共4项，次数分别为5、3、2、0，故该多项式的次数是五次，称为“五次四项式”。

★多项式的排列：加法有交换律，故多项式 x2+x+1有 6 种不同的排列方式。其中，像 x2+x+1和1+x+x2这样的排列比较整齐，这两种排列的共同点是x的指数是逐渐变小或变大的。

（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列；（最高次项在最左边）；

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的升幂排列。（最高次项在最右边）。

五、同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也相同的项叫同类项。

★合并同类项步骤：

1、确定同类项；

2、运用加法交换律与结合律将同类项结合在一起；

3、利用乘法对加减法分配率合并同类项；

4、整理合并后的多项式（按降幂排列）。

合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。

合并同类项口诀：合并同类项，法则不能忘；只求系数代数和，字母指数不变样。

六、代数式的值：像上面两个问题那样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果叫做代数式的值。

★注意：字母的值是负数，代入时应将负数加上括号；如果字母的值是分数，并要计算其平方、立方，代入时也应将分数加上括号；注意将乘号还原。（（（灵活使用整体代入法)))

七、“去括号”法则：

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；

括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。

“添括号”法则：

所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；

所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

★注意：添括号刚好和去括号的过程相反，添括号是否正确，可以用去括号去检验。

第三章：图形欣赏与操作总复习

一、常见正多边形：

图A是一个三角形，它的三条边相等，三个内角也相等，称这样的三角形为正三角形或等边三角形。

图B是一个六边形，它的六条边相等，并且六个内角也相等，称这样的六边形为正六边形.

图C是一个八边形，它的八条边相等，并且八个内角也相等，称这样的八边形为正八边形.

二、圆弧常见定义:

A、B两点之间的部分称为“弧”，读作“弧AB”。

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做“扇形”。

顶点在圆心的角叫做“圆心角”.如图，该圆心角可记作∠1或∠AOB.

三、欧拉公式及常见空间图形的识别：

若正多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则有：V+F-E=2

四、观察物体：

1、视点与视角：人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线；眼睛所在的位置叫做视点；有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。

★规律：离被观测物越近，视角就越大，看到的物体就越大，能看到的范围就越小；反之，离被观测物越远，视角就越小，看到的物体就越小，能看到的范围就越大。

2、太阳光和灯光：由于太阳很大，离我们很远，所以太阳光可以被认为是平行光；灯比较小，其光线向周围散射，是点光源。

★规律：物体在太阳光下的影子长度只与物体的高度及当时的时刻有关；而物体在灯光下的影子不但与物体高度有关，还与物体距灯光的远近有关。

第四章：一元一次方程总复习

一、基本概念：

1、方程：含有未知数的等式叫作方程。

2、建立方程模型：把所有要求的量用字母x（或y）等表示，根据问题中的数量关系列出方程，叫做建立方程模型。

3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数（即指数）是1，这样的整式方程叫一元一次方程。

4、方程的解：能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解。

5、解方程：求方程解的过程叫作解方程。

二、等式性质：

等式性质1：等式两边都加上（减去）同一个数（或同一个式），所得结果仍是等式。

数学语言描述：若a=b，则 a±c=b±c ；

等式性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（或同一个式）（除数或除式不能为0），所得结果仍是等式。

数学语言描述：若a=b，则 ac=bc，a/d=b/d (d≠0)；

*传递性：若a=b, b=c, 则 a=c（也称等量代换）；*对称性：若a=b, 则

b=a 。

三、解一元一次方程的基本步骤：

1、去分母（方程两边每一项都同时乘以最小公分母，不要漏乘！）；

2、去括号（注意：1.符号问题；2.一个数乘以括号时，不要漏乘。先去小括号，再去中括号，最后去大括号。）；

3、移项（移项要变号，不移的项不变号。一般将含有未知数的项移到等式左边，把常数项移到等式右边。）；

4、化简（合并同

类项）成标准形式：ax=b；5、化系数为1：（两边都除以化成标准形式时x的系数）。

四、列一元一次方程解应用题的步骤有：

1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。

2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。

3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。

4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。

5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。

6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

7、作答：正确回答题中的问题。

五、常见的一元一次方程应用题：

1、和差倍分问题:

（1）增长量＝原有量×增长率；（2）现在量＝原有量＋增长量

2、等积变形问题：

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。

（1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h

（2）长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc

3、数字问题：

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c 。

十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a 。

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

4、市场经济问题：（以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价”）

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝

商品利润

商品成本价

×100% （3）售价=成本价×(1+利润率)

（4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出

售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x折：折后价（售价）=标价×

10

x 计算。

5、行程问题：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间。

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

6、工程问题：

（1）工作总量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作总量÷工作时间（2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1

（3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和

（4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和

7、储蓄利息问题：

利息＝本金×利率×期数

利息税=利息×税率（目前，规定为20%。注：教育储蓄不收利息税）

实得本利和=本金+利息-利息税

实得利息（税后利息）=利息-利息税= 利息×(1-税率)

第五章：一元一次不等式复习

一、不等式的性质

1、不等式的概念：用不等号连接的式子。

2、不等式的基本性质：（对比等式基本性质）

不等式的基本性质1：若a ＞b ，则a+c ＞b+c ，且a-c ＞b-c ；

不等式的基本性质2：若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，且c

b c a ＞ ；

不等式的基本性质3：若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，且c b c a ＜ 。 二、基本概念：

1、不等式的解：满足一个不等式的未知数的每一个值称为这个不等式的一个解。

2、不等式的解集：一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集。

（注意以上两个概念的区别）

3、解不等式：求一个不等式的解集的过程称为解不等式。

三、解一元一次不等式的方法：

去分母、去括号、移项、化简、化系数为一（对比一元一次方程的解法）。

四、在数轴上表示不等式的解集。例： x > 2

（1）先画出一条数轴；

（2）在数轴上标上表示2的点A；（把点A画成空心圆圈，表示解集不包括2）

（3）点A右边的所有的点表示的数都大于2，而点A左边的所有的点表示的数都小于2；

（4）用一条方向向右的折线，来表示x > 2.

★注意两点：

（1）折线的方向；

（2）何时用空心圆点？（不包括该点时）；何时用实心圆点？（包括该点时）。

五、求不等式的特殊解：

先求出不等式的解集，然后在解集中筛选出符合题意的特殊解.

六、一元一次不等式的应用：

利用不等式解决实际问题类似于利用方程解决实际问题，步骤大致相同，需要区别的是：利用方程解实际问题时，问题中存在的是等量关系；而利用不等式解决实际问题，问题中是不等关系．可以通过诸如“不小于”“超过”等字眼来判断是不等式问题还是方程问题．找出题中的不等关系，是利用不等式解决实际问题的关键．

★主要步骤有：审、设、找、列、解、验、答

第六章：数据的收集与描述

一、如何收集数据：（1）明确调查目的；（2）确定调查对象；（3）选择调查方法；（4）具体进行调查；（5）记录调查结果。

二、复式折线统计图的优点：

复式折线统计图不仅可以直观地比较两个或两个以上对象的发展变化趋势及各阶段数量的多少，而且可以直观地比较它们的数量增减变化的情况。

三、统计图能形象地刻画数据:常用的统计图有扇形统计图、条形统计图和折线统计图。

条形统计图：能清楚地表示出事物的绝对数量；

折线统计图：能清楚地反映事物的变化趋势；

扇形统计图：能清楚地表示各部分的比例关系。

四、制作扇形统计图的几个步骤：

（1）先计算各部分占总数的百分比；

（2）算出与各部分百分比相对应的圆心角度数；

（3）取适当半径作一个圆，用量角器画出各扇形的圆心角；

（4）注明各扇形所表示的内容和所占百分比，并用不同标记加以区别；

（5）写出统计图名称。

五、描述一组数据的平均水平或集中趋势的常用方法有平均数、众数和中位数。

1、平均数是一组数据的数值代表值，它刻画了这组数据整体的平均状态。

2、中位数代表一组数据的数值大小的中点，如果数据的个数是奇数个，中位数是将数据按大小排列后，位于中间的一个；如果数据的个数是偶数，中位数是位于中间的两个数的平均值。

3、众数是一组数据中出现次数最多的数据。

本章知识框架：