山西省太原市第五十三中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学(文)试题

山西省太原市第五十三中学2020-2021学年高二下学期5月

月考数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i

D ．–1–2i

2．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2＞0，那么这个演绎推理出错在（ ） A ．大前提 B ．小前提 C ．推理形式

D ．没有出错

3．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}1,3,5B =，则A B =( )

A ．{}1

B ．{}1,3

C ．{}1,3,5

D ．{}1,2,3,4,5

4．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是( ) A ．y x =

B ．3y x =-

C ．1y x

=

D ．2y x =-

5．不等式(3)(5)0x x +-<的解集是( ) A ．{}

3x x >- B ．{}

5x x < C ．{|3x x <-或}5x >

D ．{}

35x x -<<

6．在等比数列{}n a 中，若首项13a =，公比2q ，则5a =( )

A ．24

B ．32

C ．48

D ．96

7．数列{}n a 的前n 项和()2

2n n S n a n =⋅≥，而11a =，通过计算234,,,a a a 猜想n a =

( ) A ．

()

2

2

1n +

B ．()

2

1n n +

C ．

2

21

n - D ．

2

21

n - 8．下列不等式组中，可用来表示图中阴影部分平面区域的是( )

A ．01220y x y ≤≤⎧⎨-+≤⎩

B ．1

220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩

C ．01

220y x y ≤≤⎧⎨

-+≥⎩

D ．1

220y x y ≤⎧⎨

-+≤⎩

9．已知函数f (x )＝23,0

{

log ,0

x x x x ≤>那么f 1(())8

f 的值为( )

A ．27

B ．

1

27

C ．－27

D ．－

1

27

10．阅读如图的程序框，若输入的n 是10，则输出的S 是( )

A ．53

B ．54

C ．55

D ．56

二、填空题 11

．函数y =

_______.

12．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．

13．类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．

14．已知复数1z 满足()()1211z i i -+=-(i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2.则 12z z

为

实数的条件是2z =________.

三、解答题

15．等差数列{}n a 中，已知23a =，713a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列前8项和8S 的值.

16．某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组 [70，75)，第三组[75，80)，第四组 [80，85)，第五组 [85，90)．得到频率分布直方图如图.

(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；

(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．

17．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 是方程2560x x -+=的两根，且()2cos 1A B +=. （1）求角C 的度数和c 边的长； （2）求ABC 的面积.

18．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值

3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）

（附1

2

2

1

ˆ:n

i i

i n

i

i x y

nxy b

x

nx ==-=-∑∑，ˆˆa

y bx =-，其中x ，y 为样本均值）

参考答案

1．D 【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ． 【详解】

2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，

所以12z i =--，选D ． 【点睛】

本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 2．A 【分析】

要分析一个演绎推理是否正确，主要看大前提，小前提，和结论以及推理形式是否正确. 【详解】

因为任何实数的平方都大于或等于0， 所以这个演绎推理出错在大前提. 故选：A 【点睛】

本题主要考查演绎推理的基本方法，实数的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．B 【分析】

根据集合交集的概念和运算，求得A B .

【详解】 依题意A B ={}1,3.

故选：B 【点睛】

本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题. 4．A 【分析】

直接根据函数的解析式，即可判断函数在()0,+∞上的单调性。 【详解】

对A ，当0x >时，y x =，显然函数在区间()0,+∞上是增函数，故A 正确； 对B ，3y x =-在区间()0,+∞上是减函数，故B 错误； 对C ，反比例函数在1

y x

=

在区间()0,+∞上是减函数，故C 错误； 对D ，2

y x =-在区间()0,+∞上是减函数，故D 错误； 故选：A. 【点睛】

本题考查根据函数的解析式判断函数的单调性，属于基础题. 5．D 【分析】

根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】

一元二次不等式对应的一元二次方程(3)(5)0x x +-=的两个根为3,5-，对应的二次函数

(3)(5)y x x =+-开口向上，所以不等式的解集为{}35x x -<<.

故选：D 【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 6．C 【分析】

利用等比数列的通项公式，即可得到答案. 【详解】

44513248a a q =⋅=⨯=.

故选：C. 【点睛】

本题考查等比数列通项公式，考查运算求解能力，属于基础题. 7．B

【详解】

当1n =时，11a =，排除A,,C D 选项.故选B . 8．C 【分析】

根据阴影部分在直线上方、下方，判断出正确选项. 【详解】

由图可知，区域在直线220x y -+=的右下方，故220x y -+≥.区域在直线0y =和1

y =之间，所以01y ≤≤.所以01

220y x y ≤≤⎧⎨

-+≥⎩

. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查根据可行域判断约束条件，属于基础题. 9．B 【分析】

利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8

f 的值． 【详解】

f ＝lo

g 2＝log 22－3＝－3，f ＝f (－3)＝3－3＝. 【点睛】

本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题． 10．B 【解析】 【分析】

根据程序框图，由10n =一步一步往下执行，直到1n =时，输出 S

的值，即

可得答案； 【详解】

10,10n S ==，

9,19n S ==， 8,27n S ==， 7,34n S ==， 6,40n S ==， 5,45n S ==， 4,49n S ==， 3,52n S ==， 2,54n S ==，

1n =，终止循环，输出54S =，

故选：B. 【点睛】

本题考查阅读程序框图输出S 的值，考查阅读程序框图能力，属于基础题. 11．[1,)+∞ 【分析】

根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】

要使得函数有意义，则

10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.

故答案为：[

)1,+∞. 【点睛】

本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题. 12．

310

【分析】

先求出5个球中任取2个的种数，再得出所取球的最大号码不超过3的种数，最后由古典概型的概率公式求解即可.

【详解】

从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，共有2

510C =种

当最大编号为2时，取到的号码为{1,2} 当最大编号为3时，取到的号码为{1,3},{2,3} 则所取球的最大号码不超过3的共有3种 所以所取球的最大号码不超过3的概率310

P =

故答案为：310

【点睛】

本题主要考查了古典概型概率的计算，属于中档题. 13．:1:8A EFG A BCD V V --= 【分析】

根据由面积的性质类比推理到体积的性质，由已知“若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4”，我们可以类比这一性质，推理得出若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式. 【详解】

由△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，利用面积比等于边长比的平方，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4

我们可以根据由面积的性质类比推理到体积的性质，类比这一性质，利用体积比等于边长比的立方，

可推出：若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为:1:8A EFG A BCD V V --= 故答案为：:1:8A EFG A BCD V V --= 【点睛】

本题主要考查了平面与空间中的类比，属于中档题. 14．42i + 【解析】 【详解】

因为()()1211z i i -+=- ，所以，

12z i =-.

设()22z a i a R =+∈. 则()()1222z z i a i =-+

()()224a a i =++-.

因12z z 为实数，所以，4a =. 故 242z i =+.

15．（1）21n a n =-；（2）64 【分析】

（1）由等差数列的通项公式先求出首项与公差，由此能求出数列{}n a 的通项公式． （2）由首项和公差，利用等差数列前n 项和公式能求出数列前8项和8S 的值． 【详解】

（1）设等差数列的公差为d

713a =，23a =， 72510a a d ∴-==

2d ∴=，又11a =

1(1)1(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=-

（2）由（1）知：11a =，2d =，

88(81)

812642

S -∴=⨯+

⨯=． 【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求法，考查等差数列的前8项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 16．（1）0.2；（2）3

5

【分析】

（1）由所有频率的和为1，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数．用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．

【详解】

（1）测试成绩在[80，85）内的频率为：()10.010.070.060.025-+++⨯0.2= （2）第三组的人数等于0.065100=30⨯⨯,第四组的人数等于0.2100=20⨯，

第五组的人数等于0.025100=10⨯⨯，

分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人.

设第三组抽到的３人为123,,A A A ，第四组抽到的２人为12B B ，,第五组抽到的１人为C . 这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：

()()()()()()()()121311121232122,A A A A A B A B A C A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，()()()()()()()2313231212,,,A C A B A B A C B B B C B C ，，，，，，，，，，.

设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件M ,事件M 包含的事件个数有9种，即：()11A B ，，()12A B ，，()21A B ，,()22A B ，,()31A B ，,()()3212A B B B ，，，，()1B C ，,()2B C ，.

所以, 事件M 的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为()93=155P M =

． 考点：1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型．

17．（1）2,3C c π=

=（2【分析】

（1）根据()2cos 1A B +=求得cos C ，由此求得C .根据根与系数关系求得,a b ab +，结合余弦定理求得c .

（2）由cos C 求得sin C ，结合三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积.

【详解】

（1）依题意()12cos 2cos 1cos 2

A B C C +=-=⇒=-，由于0C π<<，所以23C π=.

由于,a b 是方程2560x x -+=的两根，所以5,6a b ab +==.

由余弦定理得

c ====（2

）由1cos sin 20C C C π

⎧=-⎪⇒==⎨⎪<<⎩，

所以11sin 62222

ABC S ab C ∆=

=⨯⨯=. 【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18．（1）见解析；（2）ˆ0.70.35y x =+；（3）19.65吨

【分析】

（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图． （2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b 的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a 的值，得到线性回归方程；根据上一问所求的线性回归方程；

（3）把100x =代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗．

【详解】

（1）由题设所给数据，可得散点图如图所示：

（2）由对照数据，计算得：42186i i x ==∑，

3456 4.54

x ++

+==（吨)，

2.534 4.5

3.54y +++=

=（吨)． 已知4166.5i

i i x y ==∑，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

412421466.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5 4.5

4i

i i i i x y x y b x

x ==--⨯⨯==

=-⨯⨯-∑∑， ˆˆ 3.50.7 4.50.35a

y bx =-=-⨯=． 因此，所求的线性回归方程为ˆ0.70.35y

x =+． （3）由（2）的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为： 90(0.71000.35)19.65-⨯+=（吨标准煤）．

【点睛】

本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．