2013年佛山一模_理科数学试题及答案

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．

2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回．

参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． ②锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-25

③标准差s =

x 为样本12,,,n x x x 的平均数． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i 为虚数单位，则复数

i

2i

+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--

2．命题:p 2,11x x ?∈+≥R ，则p ?是

A ．2,11x x ?∈+

B ．2,11x x ?∈+≤R

C ．2,11x x ?∈+

D ．2,11x x ?∈+≥R

3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-

4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．232

5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

第5题图

1

1 正视图 侧视图

俯视图

第4题图

6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤??

+≤??≥-?

，则目标函数2z x y =-的最大值为

A ．3-

B ．

1

2

C ．5

D ．6 7．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}

6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b +=

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

8．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数

11

()(0)a f x a a x

+=

->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15

(,)22 D ．(1,3)

二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)

9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4

f f 的值等于 ． 10．已知抛物线2

4x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____． 11．函数sin sin 3y x x π??

=+-

??

?

的最小正周期为 ，最大值是 ． 12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得

A 等级的概率分别为54、53、5

2

，

且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式：

1<

<

<；… 则第5个不等式为 ．

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3

π

θ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标

方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ． 若3AD AE =，则:AF FC = ．

第15题图

F A

B

C

D E M

l

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）

如图，在△ABC 中，45C ∠=

，D 为BC 中点，2BC =.

记锐角ADB α∠=．且满足7

cos 225

α=-． （1）求cos α；

（2）求BC 边上高的值． 17．（本题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设n

n n

b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 第16题图

C

A

如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点， 且1

3

AD DB =

，点C 为圆O

上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；

（2）求二面角C PB A --的余弦值．

19．（本题满分14分）

某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式

35, (06)8

14, (6)

k x x S x x ?

+

+<

（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

第18题图

设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率2

e =．

过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =．

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C 的轨迹E 的方程；

（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）

设()x

g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．

（1）求函数()f x 的极值；

（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式1

1x e a x

--<成立；

（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，

证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λ

λ

≤λ+λ．

2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准

9．1-10．4±11．2π（2分）

（3分）12．

5

9

13+<

14．2sin()1

6

π

ρθ+

=（或2cos()1

3

π

ρθ-=、cos sin1

ρθθ=）15．1:4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

解析：（1）∵2

7

cos22cos1

25

αα

=-=-，∴2

9

cos

25

α=，

∵(0,)

2

π

α∈，∴

3

cos

5

α=．-----------------5分

（2）方法一、由（1

）得

4

sin

5

α==，

∵45

CAD ADB Cα

∠=∠-∠=- ，

∴sin sin()sin cos cos sin

44410

CAD

πππ

ααα

∠=-=-=，-----------------9分

在ACD

?中，由正弦定理得：

sin sin

CD AD

CAD C

=

∠∠

，

∴

1

sin

5

sin

CD C

AD

CAD

?∠

===

∠

，-----------------11分

则高

4

sin54

5

h AD ADB

=?∠=?=．

方法二、如图，作BC边上的高为AH

在直角△ADH中，由（1）可得

3

cos

5

DB

AD

α==，

则不妨设5,

AD m

=则3,4

DH m AH m

==

注意到=45

C

∠ ，则AHC

?为等腰直角三角形，所以CD DH AH

+=，

则134

m m

+=-----------------10分

所以1

m=，即4

AH=-----------------12分

17．（本题满分12分）

解析：（1）当2

n≥，时1

1

222

n n n

n n n

a S S+

-

=-=-=，-----------------2分

又111

11

2222

a S+

==-==，也满足上式，

所以数列{

n

a}的通项公式为2n

n

a=．-----------------3分

A

得2(22)2(210)d d +=?+， -----------------4分 解得0d =（舍去）或3d =， ----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分 （2）由（1）可得3

12123n n n b b b b T a a a a =

++++ 12325831222

2n n -=++++ ， -----------------7分

1215831

22222

n n n T --=++++ ， -----------------8分

两式式相减得

12133331

22222n n n n T --=+

+++- ， -----------------11分 131(1)

3135222512212

n n n n n n T ---+=+-=--， -----------------12分

18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，

BC =知，60CAB ∠=

，

∴ACO ?为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分

由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，

又PA ?平面PAB ，∴PA CD ⊥．

（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ?中设1AD =，由3AD DB =BC =得，3DB =，4AB =，BC =

∴

BD BC BC AB ==

，则BDC BCA ??∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，

∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，

又PA ?平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，

在Rt ABC ?BC =得，30ABC ∠=

，

设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，BC =

由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-?=

，

∴222

CD DB BC +=，即CD AO ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，

∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，

（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分 由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ?平面PAB ，

∴CD PB ⊥，又DE CD D = ，

∴PB ⊥平面CDE ，又CE ?平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分

∴DEC ∠为二面角C PB A

--的平面角． -----------------10分

由（Ⅰ）可知CD =，3PD

DB ==，

（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1

∴PB =，则2PD DB DE PB ?=

==

， ∴在Rt CDE ?中，tan 3

CD DEC DE ∠=

==

， ∴cos DEC ∠=

C PB A -- -----------------14分 法2：（坐标法）以

D 为原点，DC 、DB 和DP

的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空

间直角坐标系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD =， ∴(0,0,0)D ，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，

∴3)PC =- ，(0,3,3)PB =- ，(CD =

，

由CD ⊥平面PAB ，知平面PAB 的一个法向量为(CD =

． -----------------10分

设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则

PC PB ??=???=??

n n ，即30330y y z -=-=??，令1y =，则x =1z =， ∴,1)=n ，-----------------12分

设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，

则cos ||CD CD θ?===? n |n |-----------------13分 ∴二面角C PB A --．-----------------14分

19．（本题满分14分）

解析：（Ⅰ）由题意可得：22,068

11,6

k x x L x x x ?

++<

k

=?+

+-. -----------------4分 解得18k =. -----------------5分

（Ⅱ）当06x <<时，18

228

L x x =+

+-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．-----------------8分

当且仅当18

2(8)8x x

-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分

20．（本题满分14分）

解析：（1）由题意可得2a =

，c e a ==

c = -----------------2分 ∴2

2

2

1b a c =-=，

所以椭圆的方程为2

214

x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =??=?，即0012

x x

y x =??

?=??， -----------------6分

又22

0014x y +=，代入得221()142

x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为2

24x y +=． -----------------8分 （3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，

∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR

， 而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =

，则4(2)n t m =+，

∴42

n t m =+，

∴点R 的坐标为4(2,

)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2

n

m +， -----------------10分 ∴直线CD 的斜率为222(2)22244

n n m n n mn m k m m m -

+-+=

==---， 而224m n +=，∴224m n -=-，

∴2

mn m

k n n

=

=--， -----------------12分 ∴直线CD 的方程为()m

y n x m n

-=--，化简得40mx ny +-=，

∴圆心O 到直线CD

的距离2d r ====，

所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分

21．（本题满分14分） 解析：（1）∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--， -----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，

∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分 故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；

（2）∵11

1x x e e x x x

----=

， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->，

故()(0)0h x h >=，

因此原不等式化为

1

x e x a x

--<，即(1)10x e a x -+-<， -----------------6分 令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+，

由()0g x '=得：1x

e a =+，解得ln(1)x a =+，

当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>．

故当ln(1)x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++， -----------------8分

令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则22

11()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<．

因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分

（3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11x

a e =，22x

a e =， 则121122

112212x

x x x a a e e

e λλλλλλ+=?=，12112212x x a a e e λλλλ+=+，

原不等式12121122a a a a λ

λ

λλ≤+1122

1212x x x x e e e λλλλ+?≤+，

11221122()()()g x x g x g x λλλλ?+≤+ -----------------14分 由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，

故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-， 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=，

即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+，

即1122

1212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分