因式分解掌握方法与技巧
因式分解
一、因式分解的技巧：
1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提
取公因式，再考虑其他方法。
2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。
（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。
（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。
（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。
a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。
b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。
3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。
二. 因式分解的方法：
（一）提公因式法
方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.
分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。
（二）应用公式法
方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。
例2.
分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。
解：
例3.
分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。
解：
（三）分组分解法
方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路：
1. 按公因式分组：
例4.
分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。
解：
2. 按系数特点分组：
例5.
分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。
解：
3. 按字母次数特点分组：
例6.
分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。
解：
4. 按公式特点分组：
例7.
分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。
解：
5. 拆项分组：
例8.
分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-4＋1，再适当分组，达到因式分解的目的。
解：
7. 换元分组：
例9.
分析：观察代数式中的x＋y，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。
解：，则
（四）待定系数法
方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例10.
分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：
利用恒等式的性质可得：
（五）十字相乘法：
方法介绍：对于mx2＋px＋q形式的多项式，如果ab＝m，cd＝q且ac ＋bd＝p，则多项式可因式分解为：（ax＋d）（bx＋c）。
例11.
分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分
解因式：
解：
（六）巧用换元法：
方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。 1. 取相同部分换元
例12.
分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m 2－5m 看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。
解：
三、分解因式：
1 、2
3
4
352x x x -- 2 、 2
6
33x x -
3 、 22)2(4)2(25x y y x ---4、2
2414y xy x +-- 5、x x -5
6、13-x
7、2ax a b ax bx bx -++--2
8、81182
4+-x x 9 、2
4369y x - 10、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x (1)(x ＋p)2－(x ＋q)2； ( 2)16(a －b)2－9(a ＋b)2； 1. =--211122
x x 2. =--6752
x x 3. =-+2152
x x 4. =+-42562
x x 5. ()()=---4254x x 6. ()()=----42552
x x 7. =--3072
x x
8. =+-253092x x 9. =--61972x x 10. =++-209202x x 11. =++939362
x x 12. =--43592
4
x x 13. =+-43792
4
x x 14. ()()()()=+-+-+-2
222021417y y x x
15. =-----12322
2y y x xy xy 16. =--c ab c b a bc a 3
22320920
17.
()()()()=-----121233x x x x 18. =---b a ab a 2423
19. =+--2
2
2
2
1b a b a 20
()()=-+-y z y z y x 22
21. ()()()=+---234b a y x y x 22. =+--123a ab b a 23.
()()()()=+-++-x x x x 212133
24.
=+--36492222y x y x
25. =+--2
2
822b a b a 26. =-+-2222z yz y x
27. =+-4
2
2
4
2b b a a 28. ()()=---221y x xy
29. =+--++ac bc ab c b a 2222
2
2
30. ()=+--+14442
b a b a
31.
=---2222z yz y x 32. =++--122b a ab a
33. =---+2
2
2c b ac bc ab 34. ()=++-b a a x b 222
35.
=+--+12222y x xy x 36. =-++--12222y x y xy xy
37.
=++--+ab xy b a y x 2442222 38. =++49142x x
39. =++1692
x x 40. =+-1216692
x x
41. =---x x 121362
42. =+-2
2
16249b ab a 43.
=++2
4421y xy x 44. =+-42216249y xy x
45.=++4
2
2
4
2b b a a 46. ()()=++++2521022b a b a
47.
()()=+---22
94249x x b a b a 48. =-+-a a a 510523 49. =-812
x 50. =-49162
x 51. =-2
2
254b a 52. =-22
41y x
53. =-2
182x 54. =-x x 4163
55. =-2
2
2
4b a a 56. ()=--2
3216y x
57. ()()=+--223412x x 58. ()=-+25242y x
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
初二数学因式分解技巧
因式分解技巧方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解的方法与技巧
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：2 5()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）？ 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到 分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2. 分析（1）对比平方差公式可先提取xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取ab ，.
初一数学因式分解的常用方法(最新整理)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解的14 种方法
因式分解的14 种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则： 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ） 分解因式技巧： 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法： ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个 因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数 取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。 提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公 因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇 偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
初中常用因式分解公式
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！
高中数学因式分解方法大全(十二种)
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x x -2x –x =x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：25()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14） 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2.
(完整word版)人教版八年级数学因式分解方法技巧.docx
因式分解方法技巧 专题一 分解因式的常用方法：一提二套三分，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y)2 2. a5-a 3.3(x 2-4x) 2-48 [点拨 ]看出其中所含的公式是关键 练习 1、3x 12 x3 2 、2a( x21) 22ax2 3、3a26a 4、56x3yz+14x 2y2z－21xy 2z2 5、－ 4a3＋ 16a2b－ 26ab2 6、m416n 4
二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法： 1 提公因式法 2 平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化 成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、两项的符号相反； C、每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E、对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的先提取公因式 [例题 ]分解因式： 3(x+y) 2-27 [点拨 ]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 练习 1)x 5－ x32) m416n43)25－ 16x2 2122212 4)9a －4b .5）25－ 16x ;6） 9a －4b . 专题三 三项式的分解因式 : 如果一个能分解因式，一般用到下面 2 种方法： 1 提公因式法 2 完全平方公式法。先观察三项式中是否含有公因式，然后再看三项式是否是完全平方式，即 a2+2ab+b2或者 a2-2ab+b2的形式 完全平方公式运用时注意点： A.多项式为三项多项式式； B.其中有两项符号相同，且这两项的绝对值均可以化为某两数（或代数式）的平方； C. 第三项为 B 中这两个数（或代数式）的积的 2 倍，或积的 2 倍的相反数。 【例题】将下列各式因式分解： 2242
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
因式分解方法与技巧
因式分解方法与技巧 因式分解是初二学生学习的一个难点，有些学生在学习时感到不知所措，究其原因是没有掌握因式分解的基本方法。故本人对因式分解的常用方法作了一个小结，希望能对同学们有所帮助。 专题一 分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” ［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 2 2.a a -5 3.3(x 2-4x)2-48 [解析]1中()()22x y y x -=-,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解 [答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2 =(y-x)[x+y-(y-x)] =2y(y-x) 2 a 5-a=a(a 4-1)=a(a 2+1)(a 2-1)=a(a 2+1)(a+1)(a-1) 3原式=3[(x 2-4x)-16]=3(x 2-4x+4)(x 2-4x-4) [点拨]看出其中所含的公式是关键 专题二 二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式 [例题]分解因式：3(x+y)2-27 [答案]3（x+y ）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32 ]=3()()33-+++y x y x [点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 专题三
因式分解常用方法总结
因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意（增根问题） 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ） 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除? 2、公式法： (1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ） 例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4 1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3 －8x . （2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2 （3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?，常数项2分解12?，把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282++x x （4）12112--x x 四、用分组分解法分解因式 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利 用分式法分解， 但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b
(完整版)因式分解(竞赛题)含答案
d f o r s 因式分解 1、导入： 有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2)a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4)a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； (7)a n -b n =(a -b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数； (8)a n -b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…+ab n-2-b n-1)，其中n 为偶数； (9)a n +b n =(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b 2-…-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公 式． 三、专题讲解 例 1 分解因式： (1)-2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x 3-8y 3-z 3-6xyz ； 解 (1)原式=-2x n-1y n (x 4n -2x 2ny 2+y 4) =-2x n-1y n [(x 2n)2-2x 2ny 2+(y 2)2] =-2x n-1y n (x 2n -y 2)2 =-2x n-1y n (x n -y)2(x n +y)2． (2)原式=x 3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x -2y -z)(x 2+4y 2+z 2+2xy+xz -2yz)．
初中数学因式分解的几种经典技巧
初中数学因式分解的几种经典方法 息县六中陈岳 因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。 【1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 2x-3x=0 例一：2 解：x(2x-3)=0 x=0,2x=3/2 1 这是一类利用因式分解的方程。 总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式 这对我们后面的学习有帮助。 【2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。 常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例二：2x -4分解因式 分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2 解：原式=(x+2)(x-2) 【3】十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c 分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1 221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把22x -7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
因式分解(一)
第一讲因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；
(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2