对线性方程组条件数的讨论
对线性方程组条件数的讨论
[摘要] 本文主要研究了线性方程组的病态问题，讨论衡量线性方程组病态问题的一个量—条件数，条件数对解的影响及条件数对数值算法中停机条件的影响；以Hilbert矩阵为例进行验证和讨论。
[关键字] 病态问题条件数范数奇异值分解
1.前言
在许多工程物理与力学问题中经常碰到的病态线性方程组[2]的求解问题，病态线性方程组在不同情形下需要不同的解法，才能得到更好的效果，当病态线性方程组较小型时，使用传统的数值算法求解会减轻求解过程中的计算量及避免浪费资源．但当遇到大型病态线性方程组时，因为其条件数太大，此算法的收敛性很差，若继续使用传统的数值算法求解，而很难得到满意的结果．诸如此类的问题,均可从数学上归结为病态问题。
2.病态问题
对某数学问题本身，如果输入数据有微小扰动（即误差），引起输出数据（即问题的解）的很大扰动，称此数学问题为病态问题[1]。这是数学问题本身的性质决定的，与算法无关。例如：
即有0.01的扰动，对结果产生232.67倍的误差。这里并没涉及具体的算法，是问题本身的性质造成的。实际上1.5接近，而在附近，是一个病态问题。
算法的稳定性
如果误差增长并不是数学问题本身引起，而是算法选择不当所致。则称此算法稳定性不好。例如：
选择用差商近似代替微商，取步长，用四位有效数字作近似计算
，
结果明显很差。这里并不是因为取得不够小的原因，如，将只能得到，结果更差。这是因为用相近数相减，损失了大量有效数位的原故。
3. 条件数
线性代数计算中,如求线性方程组的解，计算得到的解（计算解）通常是近似的。其原因一是系数矩阵和右端项往往由观测或计算得到，因而产生（数据）误差；另一个是求解计算过程出现舍入误差。下面来研究方程组的数据（或）的
线性方程组有解的判别定理
非齐次线性方程组同解的讨论 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解. 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。 下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出 11121121222212n n m m mn m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 令 A= 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? ，b= 12m b b b ???????????? 。 即非齐次线性方程组可写成Ax b =。 一 、线性方程组同解的性质 引理 1 如果非齐次线性方程组Ax b =与Bx d =同解，则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 证明 设非齐次线性方程组Ax b =的导出组的基础解系为111,,,r ξξξ ，其中1 r 为矩阵[]A b 的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d 的导出组的基础解系为 2 12,,,r ηηη ，其中2r 为矩阵[]B d 的秩，如果*η是非齐次线性方程组Ax=b 与Bx=d 特解，由于这两个方程组同解，所以向量组1*11,,,,r ξξξη 与向量组2*12,,,,r ηηηη 等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有12,r r =则矩阵[]A b 与[]B d 的秩相等. 引理[1]2 设A 、B 为m n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解的充
病态线性方程的求解
科学与工程计算 实验报告 学号：姓名： 1004111202 王巧 1004111204 梅亚 1004111208 李兵
一、实验内容： 考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵， n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,, 1 1 , )(,, =-+= =? 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。 实验要求： （1）选择问题的维数为6，分别用Jacobi 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？ （2）逐步增大问题的维数，仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？ （3）讨论病态问题求解的算法。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： 1、 算法 Jacobi 迭代法 若A 为稀疏矩阵，只需遍历非零元素 GS 迭代法 若A 为稀疏矩阵，只需遍历非零元素 每步迭代计算量相当于一次矩阵与向量的乘法；不需要保留上一步的迭代解，与Jacobi 迭代法计算量一样。 SOR 迭代法（稠密矩阵）
2、 函数组成 double max(double array[100]) 求数组中的最大值函数 3、 输入/输出设计 对于方程组Hx=b 的求解，系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，矩阵中的数由下列函数生成。 n j i j i h h H j i n n j i ,,2,1,, 1 1 , )(,, =-+= =? X*取一个特解[1,1,1, (1) b 数组由矩阵的每行元素相加得来。 4、符号名说明 double c[100] 用来存储第k+1次和第k 次迭代结果的差值的绝对值 double x[100] 第k+1次迭代结果，储存解数组 double x0[100] 初始向量 double r 第k+1次和第k 次迭代结果的差值的绝对值的最大值 double sum 矩阵方程变换后右侧值的和 int k 迭代次数 double a[100][100] 存储Hilbert 矩阵 double b[100] 存储b 向量 三、源程序及注释： Jacobi 迭代法 #include （Hilbert 矩阵）病态线性方程组的求解 理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ，期中H 是Hilbert 矩阵，()ij n n H h ?=，11 ij h i j = +-，i ，j = 1,2，…，n 1. 估计矩阵的2条件数和阶数的关系 2. 对不同的n ，取(1,1,,1)n x =∈K ?，分别用Gauss 消去，Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭 代，SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。 3. 结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。 第1小题： condition.m %第1小题程序 t1=20;%阶数n=20 x1=1:t1; y1=1:t1; for i=1:t1 H=hilb(i); y1(i)=log(cond(H)); end plot(x1,y1); xlabel('阶数n'); ylabel('2-条件数的对数（log(cond(H)）'); title('2-条件数的对数（log(cond(H)）与阶数n 的关系图'); t2=200;%阶数n=200 x2=1:t2; y2=1:t2; for i=1:t2 H=hilb(i); y2(i)=log(cond(H)); end plot(x2,y2); xlabel('阶数n'); ylabel('2-条件数的对数（log(cond(H)）'); title('2-条件数的对数（log(cond(H)）与阶数n 的关系图'); 画出Hilbert 矩阵2-条件数的对数和阶数的关系 n=200时 n=20时 从图中可以看出， 1）在n小于等于13之前，图像近似直线 log（cond（H））~1.519n-1.833 2）在n大于13之后，图像趋于平缓，并在一定范围内上下波动，同时随着n的增加稍有上升的趋势 第2小题： solve.m%m第2小题主程序 N=4000; 第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。 二、内容要求 1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。 2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ?∈，????? ??=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。 类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。注：)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。 引理6.7.1设)(F M A n m ?∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。 1 / 3 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解. 11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++= ? (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。 方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??????=?????? 称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ??????=?????? 方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列 的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=??????,12m b b b b ??????=?????? 由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ????????????12n x x x ????????????=12m b b b ???????????? 即 AX=b 线性方程组解的结构 我们在第一节讨论了线性方程组的解的情况，现在进一步研究它的解的结构。 一、 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组的矩阵形式为 AX=0 (1) 其中n m ij a A ?=)(,???? ??? ??=n x x x X 21。 齐次线性方程组(1)的解有下列性质： (1) 如果21,X X 是齐次线性方程组(1)的两个解，则21X X +也是它的解。 证：因为21,X X 是齐次线性方程组(1)的两个解，因此有： 01=AX , 02=AX 得：000)(2121=+=+=+AX AX X X A 所以21X X +也是齐次线性方程组(1)的解。 (2) 如果0X 是齐次线性方程组(1)的解，则0X C ?也是它的解。（C 是常数） 证：已知0X 是齐次线性方程组(1)的解，所以有00=AX 从而 00)()(00=?==C AX C CX A 即0X C ?也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得： (3)如果s X X X ,,,21 都是齐次线性方程组(1)的解，则其线性组合 s s X C X C X C +++ 2211也是它的解。其中s C C C ,,,21 都是任意常数。 当一个齐次线性方程组有非零解，即它有无穷多解，这无穷多解构成了一个向量组（称为解向量组）。若我们能求出这解向量组的一个极大线性无关组，那么就能用它的线性组合表示这个齐次线性方程组的全部解。 定义1：如果s ααα,,,21 是齐次线性方程组(1)的解向量组的一个极大线性 无关组，则称s ααα,,,21 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系。 定理1：如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则齐次线性方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中恰恰含有r n -个解。 证：因为n r A r <=)(，所以齐次线性方程组有无穷多解，且齐次线性方程组的一般解为： ?? ?????----=----=----=++++++++++++n rn r rr r rr r n n r r r r n n r r r r x K x K x K x x K x K x K x x K x K x K x 22112222112212211111 （1） 其中n r r x x x ,,,21 ++为自由未知量。对n-r 个自由未知量分别取???? ?? ? ????????? ????????? ??100,,010,001 代入(1)可得齐次线性方程组的n-r 个解： ??? ?? ?? ????? ? ??---=????????????? ??---=????????????? ??---=-++++++100,,010,00121222212112111 rn n n r n rr r r rr r r K K K K K K K K K ααα 下面证明r n -ααα,,,21 是齐次线性方程组的一个基础解系，首先证明 r n -ααα,,,21 线性无关。因为向量组???? ?? ? ????????? ????????? ??100,,010,001 是线性无关，则由上节所证 明的性质得r n -ααα,,,21 线性无关。 再证齐次线性方程组的任意一个解???? ?? ? ??=n d d d X 21都可由r n -ααα,,,21 线性表 课题名称求解病态线性方程组的算法研究 课题类型理论研究导师姓名 学生姓名学号专业班级信计08(1) 一、选题依据 1、课题的目的和意义 病态方程组的条件数较大, 当输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起输出数据的很大扰动, 使得解严重失真, 因此求解此类方程组是相当困难的. 在许多工程实际应用中，超大规模的线性方程组的数值解法是时常要遇到的问题。由于线性方程组的维数巨大，给具体的计算带来很大的问题——算法对计算机的内存需求大，算法的收敛速度慢以及计算舍人误差的累积扩张。这些往往使理论上较好的算法无法真正的应用到工程实际中，因此寻求一种真正能实际应用的数值算法一直是人们关注的问题。通常求解线性方程组一般可以分为直接解法和迭代解法。现在流行的算法一般采用迭代的算法来求解线性方程组，这主要是为了加快求解的速度。另外由于计算机的发展，在许多领域里涌现了一些新型的算法如神经网络，遗传算法，粒子群算法，模拟退火算法以及蚁群算法等。 本课题拟研究病态线性方程组的解法，首先对已有的算法进行总结、比较，由于算法一般都具有某些优点以及缺点，在结合自己的学习成果，总结创新得出自己的求解方法。 2、国内外研究状况 用直接法求解线性方程组,对于系数矩阵对角占优是很有效的。方程阶数不高时，人们经常使用；而当方程组阶数大时,由于积累误差,导致结果失真。为了克服误差积累问题,通常用迭代法。它具有可达到所要求的精度和对计算内存要求不大优点,对求解大型线性方程组,迭代法计算时间远比直接法少，所以在实际计算中，迭代法也被人们广泛使用。本次论文主要整理和研究利用迭代法求解病态线性方程组。 3、主要参考资料 [1] 黄松奇，黄守佳。用遗传算法求解病态线性方程组.pdf。数学的实践与认识，第33卷，第8期； [2] 毛先进，杨玲英。病态线性方程组的简单迭代解法.pdf。物探化探计算技术，第21卷，第1期； [3] 胡圣荣, 戴纳新。病态线性方程组新解法_增广方程法.pdf。华南农业大学学报，第30卷第1期； [4] 郑洲顺, 黄光辉。求解病态线性方程组的共轭向量基算法好.pdf。山东 第四节 线性方程组解的判定 从本节开始，讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解。 11112211211222 22 11 22n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+ ++= ????+++=? （13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。 线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。 方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵11121212221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ? ?? ? ? ?=?? ?? ? ? 称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即 11121121 222212 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ????=??? ??? 方程组（13-2）中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m 行、1 列的矩阵(或列向量），记作b ，即12n x x X x ??????=?????? ,12 m b b b b ?? ????=?????? 由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212 n n m m mn a a a a a a a a a ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 12n x x x ???????????? =12m b b b ???????????? 即 AX=b 摘要：近年来，线性代数在自然科学和工程技术中的应用日益广泛，而线性方程组求解问题是线性代数的基本研究内容之一，同时它也是贯穿线性代数知识的主线。本文探究了线性方程组一般理论的发展，用向量空间和矩阵原理分析了线性方程组解的情况及其判别准则。介绍了线性方程组理论在解决解析几何问题中的作用，举例说明了线性方程组解的结构理论在判断空间几何图形间位置关系时的便利之处。 关键字:线性方程组；解空间；基础解系；矩阵的秩 Abstract:In recent years, linear algebra in science and engineering application, and wide linear equations solving problems is the basic content of linear algebra, at the same time, it is one of the main knowledge of linear algebra.This article has researched the development of system of linear equations theory,discussed the general theory of linear equations, vector space with the development and matrix theory to analyze the linear equations and the criterion of the situation. Introduces the theory of linear equations in solving the problem of analytic geometry, illustrates the role of linear equations of structure theory in judgment space relation between the geometry of the convenience of position. space geometric figure between time the position relations with theory of the system of linear equation with examples. Key words: linear equations, The solution space, Basic solution, Matrix rank 安徽工业大学数理科学与工程学院 病态线性方程组的求解 专业数学与应用数学 班级数***班 学号******* 姓名 *** 指导教师*** 二○一五年五月 一、设计目的： 为了更加透彻的熟悉数值分析课程，学习各种数学软件的使用，锻炼自己对知识的实际运用能力。 二、引言： 用直接法求解AX=F 线性方程组,对于系数矩阵A 对角占优是很有效的。方程阶数不高时,人们经常使用;而当方程组阶数大时,由于积累误差,导致结果失真。为了克服误差积累问题,通常用迭代法。它具有可达到所要求的精度和对计算内存要求不大的优点,对求解大型线性方程组,迭代法计算时间远比直接法少,所以在实际计算中,迭代法也被人们广泛使用。然而迭代法要研究迭代格式的收敛性,如Jacobi 迭代对系数矩阵为病态矩阵不收敛,为此我们提供一种修改的Jacobi 迭代,并给出一些数值例子来说明有较好的效果。 三、解线性方程组迭代法的描述 设线性方程组AX=P ，这里A:{a ij },X:{x i },F:{f i },1≤i,j ≤n,为了更广泛地应用，对A 只限制实的非奇异矩阵，那么，若给定初值x )0(,我们熟知的有: Jacobi 迭代: x ) 1(+k i =(f i -∑n j k j ij x a )()/a ii j i ≠, 1≤i ≤n 四、求解病态线性方程组的另一种迭代解法 设线性方程BX=F, 这里系数矩阵B 是病态的，指的是矩阵条件数是较大的。条件数越大，就越难求得准确解，为此，我们将方程的两端同加DX 项，那 么相应的Jacobi 迭代有： X ])([)()(1)1(k k X H D F A D -++=-+ (1) 这里，A 为B 的对角阵，即A: {b ii },H:{b ij } j i ≠ 1≤i,j ≤n, 线性方程组解法综述 Prepared on 22 November 2020 线性方程组解法的研究综述 摘要：这篇论文在说明了线性方程组的应用目的的基础上，提出了线性方程组求解的研究现状，并列举了常用的求解方法，同时说明了它们的应用条件，剖析了各种方法的不足之处。 关键词高斯消元迭代病态方程组 一、问题提出 在自然科学和工程实际应用中，有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题，曲线拟合中常用的最小二乘法、样条函数插值、解非线性方程组、求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法以及目前工程实践中普遍存在的反演问题等。特别是在图像恢复、模型参数估计、解卷积、带限信号外推、地震勘探等众多领域，都需要求解线性方程组。 由于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程实际应用中的大量存在，多年来人们在这方面做了广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的成果.由于模型误差、测量误差、计算误差等各种误差的存在，常常使得线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性(即扰动性)，这种近似性显然会使得线性方程组的求解不容易得到真实的理论解。此时，不同的求解方法由于运算机理不一样，求解过程中误差积累程度就不一样，因此必然会使得不同的求解方法得到的解具有不同的逼近真解的误差程度，尤其对具有病态性的方程组而言，由于病态线性方程组的条件数很大，数据误差以及计算过程中引入的舍入误差往往会使线性方程组的解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能造成解的很大变化，使线性方程组的解严重失真。因此，许多现有的方 法都是无效的，病态线性方程组的求解变得相当困难。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。但是，该方法求解病态线性方程组时不能得到合理的解，误差很大。 二、研究现状 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类。一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有需要计算机的存储单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速一直是应用和体系设计者关心的问题。 三、常用方法比较 1.直接方法 直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。事实上，由于舍入误差的存在，用直接法一般也只能求得方程组的近似解。直接方法中主要有三种方法：克拉默法则、高斯消元法、LU 分解法。 （1）克拉默法则 设有线性方程组（ n 个未知数 n 个方程） 常系数线性方程组基解矩阵的计算 常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质： 线性方程组的公共解 问题：如何求解线性方程组的公共解？ 线性方程组是高代学习的一个重点内容，它的一般形式为 ???????=+++=+++=+++bs asnxn x as x as b nxn a x a x a b nxn a x a x a ...2211... ,22...222121,11...212111 而线性方程组的求解也是这部分学习的重点和难点。其中求解线性方程组的公共解也是高等代数学习所必须掌握的一个知识点。 例1、证明：对于n 元齐次线性方程组（Ⅰ）AX=0与（Ⅱ）BX=0，有非零公共解的充要条件是r(B A ) ???=-=+0 42031x x x x 又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为 k1(0,1,1,0)’+k2(-1,2,2,1)’ 问（Ⅰ）与（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有公共解，若没有，则说明理由。（出自2005年中科院） 解：方法一：将（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得 ???=+=+0 21021k k k k 解得k1=-k2,故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法二：令方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解相同，即 k1（0,1,1，0）’+k2(-1,2,2,1)’=k3(-1,0,1,0)’+k4(0,1,0,1)’ 得到关于k1,k2,k3,k4的一个方程组 ???????=-=-+=-+=-0 420 422103221032k k k k k k k k k k 可求其通解为（k1,k2,k3,k4)’=k(-1,1,1,1)’ 将k1=-1,k2=k 代入（Ⅰ）的通解可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 方法三：方程组（Ⅱ）可以是 ? ??=+=+-041032x x x x 解（Ⅰ）与（Ⅱ）的联立方程组可得所有非零公共解为k （1,1,1,1）’，k ≠0为任意常数 韩梦雪 20132113429 本章介绍了线性方程组有解的充要条件和求解的方法；为了在理论上深入的研究与此有关的问题，本章还引入了向量和向量空间的基本概念，介绍了向量的线性运算，讨论向量间的线性关系，向量的内积等有关概念和性质，并在此基础上，研究线性方程组解的性质和解的结构等问题。 一、一、线性方程组 1、Cramer法则 教材p64，定理2.1 2、线性方程组有解的判别定理 教材p72，定理2.3 3、线性方程组的消元解法 步骤：（1）对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换，将其化为阶梯型矩阵 （2）如果系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，表明方程组无解； 如果相等，则表明有解，继续对阶梯型矩阵进行初等行变换，求出 方程的解。【详见p68】 初等行变换： （1）（1）交换两方程的位置； （2）（2）用一个非零数乘某一方程； （3）（3）把一方程的若干倍加到另一方程去 4、消元法与Cramer法则的异同：在条件的限制上，Cramer法则仅适用于 方程数与未知数相等并且系数行列式不为零的情况，而消元法对此没有限制。即便是满足Cramer法则的要求，用消元法可以区分方程组无解还是有无穷多解，而Cremer法则却不能区分 二、二、向量及向量间的线性关系 （一）向量的定义 1、向量、行向量、列向量【教材p77，定义2.1】 2、零向量【教材p78,定义2.2】 3、向量的相等【教材p78,定义2.3】 4、向量的加法、减法【教材p78,定义2.3】 5、数乘向量【教材p78,定义2.5】 6、n维向量空间【教材p78,定义2.6】 7、n维向量空间的子空间【教材p78,定义2.7】 （二）向量间的线性关系 1、线性组合 （1）一个向量可表为一个向量组的线性组合，或称此向量可由此向量组线性表出【教材p80,定义2.8 （2）一个向量可表为一向量组的线性组合的充要条件：由它们做系数及常数项组成的线性方程组有解【教材p81】 （3）几个结论 a、n维零向量是任一n维向量组的线性组合 b、任一n维向量可由n 维基本单位向量组线性表示 c、向量组中的任一向量可由此向量组线性表示 2、向量组的线性相关与线性无关 （1）向量组的线性相关与线性无关的定义【教材p82:定义2.9,2.10】 (2)几个充要条件 Ⅰ向量组线性相关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组有非零解【教材p83】 Ⅱ向量组线性无关的充要条件由它们做系数组成的齐次线性方程组仅有零解【教材p83】 Ⅲ一个向量组线性相关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式等于零【教材p83】 Ⅳ一个向量组线性无关的充要条件是由它们做系数组成的齐次线性方程组的系数行列式不等于零【教材p83】： Ⅴ一个向量组线性相关的充要条件是此向量组中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合【教材p85：定理2.6】 Ⅵ一个向量组线性无关的充要条件是此向量组中每一个向量都不能表为其余向量的线性组合【教材p86：定理2.6 的推论】 Ⅶ若一向量可由一向量组线性表出，则表示法唯一的充要条件是此向量组线性无关 三、向量组 ***学院数学分析课程论文 线性方程组解的判定与解的结构 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名******* 年级 2009级 学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月 线性方程组解的判定与解的结构 姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班） 摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解 引言 通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质 下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵 非齐次线性方程组同解的判定和同解类 摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。 关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题. 预备知识 定理1设,A B 是向量组C 两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵P ,使得 B PA =。 定理2设A 、B 为m n ?矩阵，且秩A =秩B ，如果存在矩阵C ,使得 CA B = 则存在m m ?可逆矩阵P ，使得 PA B = 证明 设秩A =秩B =r ，则存在可逆矩阵1P 与Q 使 011A P A A ??=????, 01B QB B ??=???? 其中0A ，0B 分别为秩数等于r 的r n ?矩阵，由于B CA =，则B 的行可由A 的行线性表出，从而B 的行可由0A 的行线性表出，进而0B 的行可由0A 的行线性表出， 于是矩阵00A B ?? ???? 的行向量组的极大线性无关组为0A 的各行，因为0B 的各行线性无 关且秩0B r =，所以0B 的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵r P 使得 00r B P A = 又设 110A C A =，12020r B C B C P A == 令 221 0r r n r P P C P C I -?? =? ?-?? 则1P 为可逆矩阵，且 第33卷第8期2003年8月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V ol.33 N o.8 A ugust,2003 用遗传算法求解病态线性方程组 黄松奇1,2, 黄守佳1 (1.郑州轻工业学院信息与计算科学系,郑州 450002) (2.清华大学数学科学系,北京 100084) 摘要: 众所周知,病态方程组的条件数较大,当输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起输出数据的很大扰动,使得解严重失真,因此求解此类方程组是相当困难的.本文尝试使用遗传算法来求解病态线性方程组,得到了较好的结果,并与传统的求解方法作了简单的比较. 关键词: 病态方程组;遗传算法 1 引 言收稿日期:2003-03-08 在图象处理、解卷积、模型参数估计等许多领域都需要求解病态线性方程组,但是由于病态方程组的条件数较大,输入数据有微小扰动或计算过程中的舍入误差都可能引起输出数据的很大扰动,即问题的解很不稳定,因此求解此类方程组是相当困难的. 遗传算法(Genetic A lgorithm)是美国密执根大学Holland 教授倡导发展起来的,是一种基于生物进化的机制和原理并引用随机理论的全局优化搜索方法.近年来遗传算法(GA)以其高效、实用等特点在各领域中得到了广泛的应用,并越来越受到重视. 2 基本遗传算法描述 遗传算法是一种基于生物进化过程的组合优化方法,其基本思想是:随着时间的更替,只有最适合的物种才得以进化.遗传算法利用全局搜索技术,通过对决策空间的一个集合施行选择、交叉、变异等一系列遗传操作产生一个新的集合,通过循环操作,不断产生新集合,并使得新的集合包含接近最优解的编码. 遗传算法在求解优化问题时,需要定义一个适应度函数,并把待求解问题的可行解编码为由一个编码串表示的个体,使得适应度最大的个体对应于待求解问题的最优解,这样只要找到了适应度最大的个体,也就得到了问题的最优解. 2.1 适应度函数的设计 在遗传算法中,以个体的适应度的大小来确定个体被遗传到下一代群体中的概率.个体的适应度是由适应度函数来计算的,因此为了正确地计算不同情况下各个个体的遗传概率,要求所有个体的适应度必须非负,同时还要保证适应度最大的个体对应于优化问题的最优解. 2.2 编码 遗传算法并不直接对可行解进行运算,而是以可行解的某种编码为运算对象,通过对这些编码个体进行选择、交叉、变异等遗传操作,不断产生更优的编码个体,达到优化的目的. 病态线性方程组的求解 理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ，期中H 是Hilbert 矩阵，()ij n n H h ?=，1 1 ij h i j =+-，i ，j = 1,2，…，n 1. 估计矩阵的2条件数和阶数的关系 2. 对不同的n ，取(1,1, ,1)n x =∈ ，分别用Gauss 消去，Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭 代，SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。 3. 结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。 1）估计矩阵的2-条件数和阶数的关系 矩阵的2-条件数定义为：1 222 ()Cond A A A -=?，将Hilbert 矩阵带入有： 1222 ()Cond H H H -=?。使用MA TLAB 自带的cond2函数进行计算并画出log10（cond2） 和阶数n 的关系曲线如下： 可见当n 小于13的时候，条件数的对数与阶数有较好的线性关系，但是随着阶数的提高， 条件数趋于“稳定”地振荡。但是事实上，n较大时，H矩阵已经奇异，直接使用cond函数计算结果可能存在不准确性。原因是对于条件数过大的矩阵使用inv函数求逆矩阵是不可靠的，应该使用invhilb函数进行求逆，并代入定义式中求解，生成的结果如下所示。 线性度较好，可知，Hilbert矩阵的2-条件数会随其阶数n的增加呈指数增大趋势，因此当n 较大时Hilbert矩阵将是严重病态的。 对不同的n，采用各种方法求解方程 编写程序，选取n=2,3，5,10,15,20，迭代条件为迭代100000次或者是计算精度达到1e-6，若迭代次数少于设定最大值，表示相邻两次迭代达到精度要求，或者是计算结果超出范围。X0取零向量，w取1.2，计算结果如下所示：数值分析(Hilbert矩阵)病态线性方程组的求解Matlab程序
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线性方程组解的判定
线性方程组解的结构
关于病态线性方程组解法的开题报告
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线性方程组解的情况及其判别准则
病态线性方程组的求解
线性方程组解法综述
常系数线性方程组基解矩阵的计算
线性方程组的公共解
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线性方程组解的判定与解的结构
非齐次线性方程组同解的判定和同解类
用遗传算法求解病态线性方程组_黄松奇
病态线性方程组的求解