正态总体的抽样分布 (精简版)
正态总体的抽样分布
（一）2
χ分布
设12,,,n X X X L 是来自标准正态总体的样本，则
222212()n X X X n χ+++L : 其中2()n χ分布的概率密度为
12221, 0()2()20, Γn y n y e y n f y --?>??=????其他 图形：见课本第139页图6-7。
2χ分布的性质：
（1）可加性： 2221212+ ()n n χχχ+:
（2）2
()n χ分布的期望=n 和方差=2n
记忆练习：
记忆2()n χ分布的概率密度。建议抄写若干遍，直到熟悉为止。
设2
(0,1), ()X N Y n χ::相互独立， 则
()t n : 其中t (n )分布的概率密度为
1221()2()1, ()2
Γn n t h t t n n +-+??=+-∞<<∞ ???
图形：对称的。当n 足够大时，近似于标准正态分布。
性质： t (n )分布的极限是标准正态分布。
记忆练习：
记忆()t n 分布的概率密度。
设2212(), ()U n V n χχ::，则
1122
/(,)/U n F n n V n : 其中12(,)F n n 分布的概率密度为
11
121
121222
1212
2
()()2,
>0()()()[1]
220,
ΓΓΓn n n n n n n y
n y y n n n y n ψ-+?+???=?+????其他
图形：与2χ分布的密度曲线类似。
记忆练习：
记忆12(,)F n n 分布的概率密度。
（四）正态总体样本均值与样本方差的分布
设12,,,n X X X L 是来自正态总体2
(,)N μσ 的样本。
该样本的均值和方差为 1
1n
i i X X n ==∑ 22
221111()()11n n i i i i S X X X X n n ===-=---∑∑ 关于X 和2S 需牢记如下5个重要结论：
1. 2(,/)X N n μσ:
2. 2
22(1)(1)n S n χσ--:
3. X 与2S 相互独立。
4.
(1)X t n -: 5. 设112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的
样本，且这两个样本相互独立，则
2212122212
/(1,1)/S S F n n σσ--: 其中22
12,S S 分别为上述两个样本的方差。
记忆练习：
记忆1,2，4,5等结论中的统计量及其分布，例如结论1中的关系式2(,/)X N n μσ:。
统计量及其抽样分布练习题
第六章 统计量及其抽样分布 练习题 一、填空题（共10题，每题2分，共计20分） 1．简单随机抽样样本均值X 的方差取决于_________和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的_________倍。 2. 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。 3．若(5)X t ，则2X 服从_______分布。 4．已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。 5．中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着_________的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于_____________。 6. 总体分布已知时，样本均值的分布为_________抽样分布；总体分布未知，大样本情况下，样本均值的分布为_________抽样分布。 7. 简单随机样本的性质满足_________和_________。 8.若(2,4)X N ，查分布表，计算概率(X 3)P ≥=_________。若(X )0.9115P a ≤=，计算a =_________。 9. 若12~(0,2),~(0,2),X N X N 1X 与2X 独立，则2212X X +（）/2服从______分布。 10. 若~(16,4)X N ，则5X 服从___________分布。 二、选择题（共10题，每题1分，共计10分）
1．中心极限定理可保证在大量观察下 ( ) A ． 样本平均数趋近于总体平均数的趋势 B ． 样本方差趋近于总体方差的趋势 C ． 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势 D. 样本比例趋近于总体比例的趋势 2．设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从 ( ) 。 A. 正态分布 B.卡方分布 C. t 分布 D. F 分布 3．某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。下列说法中错误的是（ ） A. 样本容量为10 B .抽样误差为2 C. 样本平均每袋重量是统计量 D. 498是估计值 4．设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从( ) A. (100/,25)N n B. N C. (100,25/)N n D. (100,N 5、设2(0,1),(5),X N Y χ且X 与Y 独立，则随机变量_________服从自由度为5的t 分布。 （ ） A. /X Y B. 5/Y X C. /X /
统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布知识分享
统计学第5-6章正态分布、统计量及其 抽样分布
第5-6章统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量 如果随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 (), 2 x f x e x μ σ πσ -- =-∞<<∞ 则称X服从正态分布。 记做 2 (,) X Nμσ : ，读作：随机变量X服从均值为 μ ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ -∞<<∞ ，是随机变量X的均值，0 σ>是是随机变量X 的标准差
5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0 f x≥, 即整个概率密度曲线都在x轴的上方。 曲线 () f x相对于xμ =对称，并在xμ = 处达到最大值， 1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定： σ 越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以 x轴为其渐近线。 标准正态分布
当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值 ()1() x x Φ-=-Φ
抽样分布习题()
抽样分布习题 1.抽样分布是指（ C ） A 一个样本各观测值的分布 B 总体中各观测值的分布 C 样本统计量的分布 D 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ A ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ D ）。 A μ B x C 2σ D n 2 σ 4.从一个均值μ=10，标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体并不是很偏的，则样本均值x 小于 9.9的近似概率为（ A ）。 A 0.1587 B 0.1268 C 0.2735 D 0.6324 5.假设总体服从均匀分布，从此总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ B ） A 服从非正态分布 B 近似正态分布 C 服从均匀分布 D 服从2χ分布 6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样
本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（ C ）A 保持不变 B 增加 C 减小D 无法确定 7. 总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准误差分布为（ B ）。 A 50，8 B 50，1 C 50，4 D 8，8 8.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ B ）。 A 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C 右偏分布，均值为2500元，标准差为400元 D 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 9. 某班学生的年龄分布是右偏的，均值为22，标准差为4.45，如果采取重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，则样本均值的抽样分布是（ A ） A 正态分布，均值为22，标准差为0.445 B 分布形状未知，均值为22，标准差为4.45
抽样分布习题与答案
第 4 章抽样分布自测题选择题 1.抽样分布是指（） A. 一个样本各观测值的分布C. 样本统计量的分布 B. 总体中各观测值的分布D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（） 2 A. B. x C.2 D. n 3.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（） 2 A. B.x C.2 D. n 4.从均值为，方差为2 n 的样本，则（）的任意一个总体中抽取大小为 A.当 n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B.只有当 n<30 时，样本均值x的分布近似服从正态分布 C.样本均值 x 的分布与n无关 D. 无论 n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5.假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为 36 的样本，则样本均值的抽样分布（） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从 2 分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样 本均值的标准差（） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去 5 年每天的营业额，每天营业额的均值为2500 元，标准差为 400 元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100 天，并计算这100 天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为250 元，标准差为40 元 B. 正态分布，均值为2500 元，标准差为40 元 C.右偏，均值为2500 元，标准差为400 元 D. 正态分布，均值为2500 元，标准差为400 元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟。如果从饭店门口随机抽取 81 名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（） A. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为0.33 分钟 B. 正态分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟 C. 左偏分布，均值为12 分钟，标准差为 3 分钟
二项分布与正态分布
第七章假设检验 第一节二项分布 二项分布的数学形式·二项分布的性质 第二节统计检验的基本步骤 建立假设·求抽样分布·选择显著性水平和否定域·计算检验统计量·判定第三节正态分布 正态分布的数学形式·标准正态分布·正态分布下的面积·二项分布的正态近似法 第四节中心极限定理 抽样分布·总体参数与统计量·样本均值的抽样分布·中心极限定理 第五节总体均值和成数的单样本检验 σ已知，对总体均值的检验·学生t分布(小样本总体均值的检验)·关于总体成数的检验 一、填空 1．不论总体是否服从正态分布，只要样本容量n足够大，样本平均数的抽样分布就趋于（）分布。 2．统计检验时，被我们事先选定的可以犯第一类错误的概率，叫做检验的( )，它决定了否定域的大小。 3．假设检验中若其他条件不变，显著性水平的取值越小，接受原假设的可能性越（），原假设为真而被拒绝的概率越（）。 4．二项分布的正态近似法，即以将B(x；n，p)视为（)查表进行计算。 5．已知连续型随机变量X～N(0,1)，若概率P{X ≥λ}=0.10，则常数λ=（）。 6．已知连续型随机变量X～N(2,9)，函数值 9772 .0 )2( = Φ ，则概率 }8 {< X P= （）。 二、单项选择 1．关于学生t分布，下面哪种说法不正确（）。 A 要求随机样本 B 适用于任何形式的总体分布 C 可用于小样本 D 可用样本标准差S代替总体标准差σ 2．二项分布的数学期望为（）。 A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 3．处于正态分布概率密度函数与横轴之间、并且大于均值部分的面积为（）。 A 大于0.5 B －0.5 C 1 D 0.5。
03 第三节 正态总体的抽样分布
第三节 正态总体的抽样分布 分布图示 ★ 抽样分布 ★ 单正态总体的抽样分布 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 双正态总体的抽样分布 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题12-3 内容要点 一、抽样分布 有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布. 二、单正态总体的抽样分布 设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2 σ= 定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) 2χ=);1(~)(1 1 212222--=-∑=n X X S n n i i χσσ (2) X 与2S 相互独立. 定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个 样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-= (2) ).1(~/--=n t n S X T μ 三、双正态总体的抽样分布 定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设 1 ,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2 ,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22 S 的加权平均, 即
正态总体下的四大分布
《概率论与数理统计》第六章样本及抽样分布 （2）正态总体下的四大分布：正态分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ). 1,0(~/N n x u def σμ -例：设总体ξ～2 12(1,2 ),,,n N ξξξ 且是取自ξ的样本，则（ D ） A) 1(0,1) 2 N ξ-B) 1(0,1) 4N ξ-C) ( ) 1(0,1) 2 N ξ-D ) (0,1) N ξt 分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数), 1(~/--n t n s x t def μ其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。 分布 2χ设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2 σ μN 的一个样本，则样本函数 ), 1(~)1(22 2 --n S n w def χσ其中)1(2 -n χ 表示自由度为n-1的2χ 分布
例:已知F 0.1(7,20)=2.04,则F 0.9(20,7)=_______0.4902_____. 例.对于给定的正数α，10<<α ，设αu ，)(2 n α χ，)(n t α，),(21n n F α分别是)1,0(N ，)(2n χ，)(n t ，),(21n n F 分布的下α 分位数，则下面结论中不正确．．． 的是（B ） （A）α α --=1u u （B）) () (2 2 1n n ααχχ-=-（C）) ()(1n t n t αα--=（D）) ,(1 ) ,(12211n n F αα= -2、设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则Z = 2 Y X 服从______t(1)_____分布(同时要写出 分 布的参数). 3.设ξ和η相互独立且都服从N(0,4)，而41,ξξ 和41,ηη 分别是来自总体ξ和η的样本，则统计量2 4 2 141......ηηξξ++++= U 服从的分布为 ) 4(t 。
习题六 样本及抽样分布.
习题六样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =； 2．在总体中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 3．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时，抽取一容量为9的样本，得到 ，则； 4．设为总体的一个样本，则 0.025 ； 5．设为总体的一个样本，且服从分布，这里， ，则1/3 ； 6．设随机变量相互独立，均服从分布且与分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为 9 的 t 分布。 7．设是取自正态总体的简单随机样本且 ，则 0.05 ， 0.01 时，统计量服从分布，其自由度为 2 ；
8．设总体 X 服从正态分布,而是来自总体的简单随机样 本，则随机变量 服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量则 F(n,1 ； 10．设随机变量且，A为常数，则 0.7 二、选择题 1．设是来自总体的简单随机样本，是样本均值， 记 则服从自由度的分布的随机变量是（ A ）； A． B． C． D． 2．设是经验分布函数，基于来自总体的样本，而是总体的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的（ B ） A．是分布函数 B．依概率收敛于 C．是一个统计量 D．其数学期望是
3．设总体服从0－1分布，是来自总体的样本，是样本均值，则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ） A． B． C． D． 4．设是正态总体的一个样本，其中已知而未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。 A． B． C． D． 5．设和分别来自两个正态总体和的样本，且相互独立，分别为两个样本的样本方差，则服从的统计量是（ B ） A． B． C． D． 6．设是正态总体的一个样本，和分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有（ D ） A．相互独立； B．与相互独立； C．与相互独立D．与相互独立。
与正态总体有关的抽样分布定理证明
定理：设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一个随机样本，记 1 n i i X X n == ∑，2 2 1 ()n i i X X S n =-= ∑ 则有如下性质存在： （1）2 ~, X N n σμ?? ?? ? （2） 2 22 ~(1)nS n χσ - （3 ~(1)X t n - 证明： （1） 已知 ..212,, ,~(,)i i d n X X X N μσ 根据正态分布的性质有 212~(,)n X X X N n n μσ++ + 样本均值为 12n X X X X n ++ += 它的抽样分布为 2~(,)X N μσ （2） 对样本12,, ,n X X X 进行正交变换 Z AX = 其中()12,, ,n X X X X '=，()12,,,n Z Z Z Z '=，A 为正交矩阵
00 A n ?? ? ? ? ? ? = ? ? - ? ? ? ? ? 正交变换之后， i Z，1,2,, i n =相互独立，且 2 112 ~ (0,) Z X X Nσ = 2 2123 ~(0,) Z X X X Nσ =+ 2 112 ~(0,) ( n n Z X X X N n n σ- =++- ? 2 12 ~,) n n Z X X X N n σ =++ 即正交变换之后 2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =- 2 ~,) n Z Nσ 由 i Z相互独立，且2 ~(0,) i Z Nσ，1,2,,1 i n =-，推导出 ~(0,1) i Z N σ ，1,2,,1 i n =- 标准正态分布的平方和服从2 χ分布，即有 1 2 2 1 2 ~(1) n i i Z n χ σ - =- ∑ 又因为
统计学第5-6章 正态分布、 统计量及其抽样分布讲解学习
第5-6章 统计量及其抽样分布 5.1正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量 如果随机变量X 的概率密度为 22 ()21 (),2x f x e x μσπσ --=-∞<<∞ 则称X 服从正态分布。 记做 2 (,)X N μσ:，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X 的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0f x ≥,即整个概率密度曲线都在x 轴的上方。 曲线 ()f x 相对于x μ=对称，并在 x μ=处达到最大值，
1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。
标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X Nμσ : ,则 (0,1) X Z N μ σ - =: 变量 2 11 (,) X Nμσ :与变量2 22 (,) Y Nμσ :相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ : 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N :，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤
习题六__样本及抽样分布解答
样本及抽样分布 一、填空题 1．设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1，5.4，3.2，9.8，3.5，则样本均值 = 4.8 ，样本方差 =22.716； 2．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为 36 的样本，则均值X 落在4与6之间的概率 = 0.9332 ； 4．设127,,...,X X X 为总体2 ~(0,0.5)X N 的一个样本，则7 21(4)i i P X =>=∑ 0.025 ； 5．设126,,...,X X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里， 22123456()()Y X X X X X X =+++++，则c =1/3 ； 6．设随机变量,X Y 相互独立，均服从2(0,3)N 分布且129,,...,X X X 与129,,...,Y Y Y 分别是来自总体,X Y 的简单随机样本，则统计量U =服从参数为 9 的 t 分布。 7．设1234,,,X X X X 是取自2~(0,2)X N 正态总体的简单随机样本且 22!234(2)(34),Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从 2χ分布，其自由度为 2 ； 8．设总体 X 服从正态分布2~(0,2)X N ,而1215,,...,X X X 是来自总体的简单随机 样本，则随机变量 22 110 22 1115...2(...) X X Y X X ++=++服从 F 分布，参数为 10,5 ； 9．设随机变量21 ~()(1),,X t n n Y X >= 则~Y F(n,1) ； 10．设随机变量~(,)X F n n 且()0.3P X A >=，A 为常数，则1 ()P X A > = 0.7 14 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2 N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量29 2 1 91Y Y X X U ++++= 服从 分布。t (9)
抽样方法、正态分布
抽样方法、正态分布 重点、难点讲解： 1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。 2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 3．正态曲线及其性质：N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 正态图象的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 ②曲线关于直线x=μ对称。 ③曲线在x=μ时位于最高点。 ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 ⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化 对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x 任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。 5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。 知识应用举例： 例1．从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503 第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。 第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，......，10；第二部分的个体编号11，12，......，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492， (500) 第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； （4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。 思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。 Stata软件基本操作和数据分析入门 第三讲概率分布和抽样分布 赵耐青 概率分布累积函数 1.标准正态分布累积函数norm(X) 2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度 3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度 4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度 5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母 自由度 6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为 分母自由度 累积函数的计算使用 正态分布计算 X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96) display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则 X服从N(μ,σ2)，则~(0,1) =，因此对其他正态分布只要在函 Y N σ 数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。 例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下 又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下 χ2分布累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 χ2分布右侧累积概率计算 设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下 设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下 t分布右侧累积概率计算 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下 设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下 F分布累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： F分布右侧累积概率计算 设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下： 设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下： 第4章 抽样分布自测题 选择题 1.抽样分布是指（ ） A. 一个样本各观测值的分布 B. 总体中各观测值的分布 C. 样本统计量的分布 D. 样本数量的分布 2.根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（ ） A. μ B. x C. 2σ D. n 2 σ 3. 根据中心极限定理可知，当样本容量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（ ） A. μ B. x C. 2 σ D. n 2σ 4. 从均值为μ，方差为2σ的任意一个总体中抽取大小为n 的样本，则（ ） A. 当n 充分大时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 B. 只有当n<30时，样本均值x 的分布近似服从正态分布 C. 样本均值x 的分布与n 无关 D. 无论n 多大，样本均值x 的分布都是非正态分布 5. 假设总体服从均匀分布，从该总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（ ） A. 服从非正态分布 B. 近似正态分布 C. 服从均匀分布 D. 服从2 χ分布 6. 从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4,16,36的样本，则当样本容量增大时，样本均值的标准差（ ） A. 保持不变 B. 增加 C.减小 D.无法确定 7. 某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为250元，标准差为40元 B. 正态分布，均值为2500元，标准差为40元 C.右偏，均值为2500元，标准差为400元 D. 正态分布，均值为2500元，标准差为400元 8. 在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取81名顾客并记录他们等待出租车的时间，则样本均值的抽样分布是（ ） A. 正态分布，均值为12分钟，标准差为0.33分钟 B. 正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟 C. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟 第46讲抽样方法、用样本估计总体及正态分布 【课程要求】 1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法；搞清三种抽样的联系与区别． 3．了解分布的意义与作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点． 4．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)． 5．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 6．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单实际问题． 7．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 对应学生用书p127 【基础检测】 概念辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样．() (2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．() (3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．() (4)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．() (5)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．() (6)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．() (7)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．() (8)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．() (9)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．() (10)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．() [答案] (1)√(2)×(3)√(4)×(5)√(6)× (7)√(8)×(9)√(10)√ 教材改编 2．[必修3p100A组T1]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是() A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 正态总体的抽样分布 （一）2 χ分布 设12,,,n X X X L 是来自标准正态总体的样本，则 222212()n X X X n χ+++L : 其中2()n χ分布的概率密度为 12221, 0()2()20, Γn y n y e y n f y --?>??=????其他 图形：见课本第139页图6-7。 2χ分布的性质： （1）可加性： 2221212+ ()n n χχχ+: （2）2 ()n χ分布的期望=n 和方差=2n 记忆练习： 记忆2()n χ分布的概率密度。建议抄写若干遍，直到熟悉为止。 设2 (0,1), ()X N Y n χ::相互独立， 则 ()t n : 其中t (n )分布的概率密度为 1221()2()1, ()2 Γn n t h t t n n +-+??=+-∞<<∞ ??? 图形：对称的。当n 足够大时，近似于标准正态分布。 性质： t (n )分布的极限是标准正态分布。 记忆练习： 记忆()t n 分布的概率密度。 设2212(), ()U n V n χχ::，则 1122 /(,)/U n F n n V n : 其中12(,)F n n 分布的概率密度为 11 121 121222 1212 2 ()()2, >0()()()[1] 220, ΓΓΓn n n n n n n y n y y n n n y n ψ-+?+???=?+????其他 图形：与2χ分布的密度曲线类似。 记忆练习： 记忆12(,)F n n 分布的概率密度。 （四）正态总体样本均值与样本方差的分布 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2 (,)N μσ 的样本。 该样本的均值和方差为 1 1n i i X X n ==∑ 22 221111()()11n n i i i i S X X X X n n ===-=---∑∑ 关于X 和2S 需牢记如下5个重要结论： 1. 2(,/)X N n μσ: 2. 2 22(1)(1)n S n χσ--: 3. X 与2S 相互独立。 4. (1)X t n -: 5. 设112,,,n X X X L 和212,,,n Y Y Y L 分别是正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的 样本，且这两个样本相互独立，则 2212122212 /(1,1)/S S F n n σσ--: 其中22 12,S S 分别为上述两个样本的方差。 记忆练习： 记忆1,2，4,5等结论中的统计量及其分布，例如结论1中的关系式2(,/)X N n μσ:。 第六章 统计量及其抽样分布 6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为μ盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差 1.0σ=盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从( )2 ,N n σμ的正态分布，由正态分布，标准化得到 标准正态分布：x ()0,1N ，因此，样本均值不超过总体均值的概率P 为： ()0.3P x μ-≤=P ??≤ ?=x P ?? ≤≤ =()0.90.9P z -≤≤=2()0.9φ-1，查标准正态分布表得()0.9φ=0.8159 因此，()0.3P x μ-≤=0.6318 6.2 () 0.3P Y μ-≤=P ??≤ ? =x P ?? ≤≤ =(||P z ≤=(21φ-=0.95 查表得： 1.96= 因此n=43 6.3 1Z ，2Z ，……，6Z 表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b ，使 得6210.95i i P Z b =?? ≤= ??? ∑ 解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的： 设Z 1，Z 2，……，Z n 是来自总体N (0,1)的样本，则统计量 2 2 2 2 12χ=+++ n Z Z Z 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～ χ2（n ） 因此，令6 2 21 i i Z χ== ∑，则()6 2 22 1 6i i Z χ χ== ∑ ，那么由概率6210.95i i P Z b =?? ≤= ??? ∑，可知： b=()210.956χ-，查概率表得：b=12.59 6.4 在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差21σ=的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差2 2 2 1 1 (())1 n i i S S Y Y n == --∑，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证 S 2落入其中是有用的， 试求b 1，b 2，使得 2 12()0.90p b S b ≤≤= 解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量： 2 2 2 (1) ~(1) n s n χσ -- 此处，n=10，21σ=，所以统计量 2 2 22 2 (1)(101)9~(1)1 n s s s n χσ--= =- 根据卡方分布的可知： ()()2 2 12129990.90P b S b P b S b ≤≤=≤≤= 又因为： 参考資料：QC 数学の話(大村 平著) 日科技連出版 翻訳完成日期：2009年6月6日 品质管理的基石统计初步(翻訳:李琰) 目录 ·从互换性到品质管理 ·QC 是迈向文明社会的技术突破 ·从互换性到品质管理 ·SQC 的成熟与TQC ·数据整理的基本 ·代表值的选出 ·平均值的计算 ·标准偏差的计算 ·正态分布概念引入 ·正态分布的加法与减法 ·正态分布应用举例 第1章 从统计学的互换性到品质管理 20世纪人类历史上发生了3大震撼世界技术的突破。1，原子能的利用；2，高分子化合物的合成；3， 信息技术的飞跃发展。关于原子能的利用，主要在民生和军事方面得到了广泛的发展。在人类历史上原子能的出现翻开了历史新的一页，震撼了世界这是众所周知的。二次世界大战期间在広島，長崎投下的原子弹的爆炸，造成了人类的大量伤亡。在民生应用方面，随着碳素系列能源的枯竭和CO 2排出的控制， 原子能发电已经得到广泛应用。 另外在高分子化合物合成技术方面，给人类生活带来了极大的影响。用塑料做成的各种各样建材类，器 具类遍布了我们的生活周围。如果把我们生活中存在的塑料制品全部拿走的话，我们生活就象没有了文字一样，土蹦瓦解。化肥使粮食增产。人工纤维的合成，给我们提供了丰富多样的衣着。合成橡胶，洗剂，粘结剂，调味品等不胜枚举。 还有，信息技术的飞跃发展。首先让我们只看一下和我们切身利益相关的民生用品，各种各样的业务预 约，存款储蓄，通信网和铁道网的管理，天气预报，犯罪搜查等虽然眼睛直接看不到，却支撑着我们的近代生活。而且各种技术计算，生命科学，人工智能等先端事物已变成了我们生活中的神圣组织。如果说没有高分子化合物我们的生活会瓦解的话，那么没有信息我们的生活会瘫痪。 基于以上，我们可以说，原子能是能源方面的突破，高分子合成是硬件方面的突破，信息技术是软件方 面的突破，3个方面对我们的生活带来了震撼性的影响。 那么为什么以上3个方面可以在20世纪能够获得极大的技术突破呢？ 我认为是以下两个方面的原因： 1， 抗身抗生物质的发现。 2， 品质管理的普及。 为什么这么说呢？下面阐述理由。 最初的科学文明，把人类从严酷的劳动和疾病中解放出来。人类为了确保衣食住的安定，做出了很大的 QC 数学的 話题 第5-6章统计量及其抽样分布 正态分布 5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。 概率密度曲线图 例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等某一条件下产品的质量 如果随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 (), 2 x f x e x μ σ πσ -- =-∞<<∞ 则称X服从正态分布。 记做 2 (,) X Nμσ ，读作：随机变量X服从均值为 μ ，方差为2 σ的正态分布 其中， μ -∞<<∞ ，是随机变量X的均值， σ>是是随机变量X的标准差 5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点： ()0 f x≥,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。 曲线 () f x相对于xμ =对称，并在xμ = 处达到最大值， 1 () 2 fμ πσ = 。 1 μ＜ 2 μ＜ 3 μ 曲线的陡缓程度由 σ 决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当 x 趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。 标准正态分布 当 0,1 μσ == 时， 2 2 1 () 2 x f x e π - = ， x -∞<<∞ 称 (0,1) N 为标准正态分布。 标准正态分布的概率密度函数： ()x ? 标准正态分布的分布函数： ()x Φ 任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 设 2 (,) X N μσ ,则 (0,1) X Z N μ σ - = 变量 2 11 (,) X Nμσ与变量2 22 (,) Y Nμσ相互独立,则有 22 1212 +(+,+) X Y Nμμσσ 5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值 ()1() x x Φ-=-Φ 例：设 (0,1) X N，求以下概率 （1） ( 1.5) P X< (2) (2) P X> (3) (13) P X -<≤讲概率分布和抽样分布
抽样分布习题及答案
第46讲 抽样方法、用样本估计总体及正态分布
正态总体的抽样分布 (精简版)
统计量及其抽样分布习题答案
正态分布图的制作方法
统计学第5-6章正态分布、统计量及其抽样分布