第一章 专题强化二 追及相遇问题 学生版
专题强化二追及相遇问题
目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题．
1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲 (2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变． (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离不断减小． 3．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”． (1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 4．常用分析方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图． 能否追上的判断方法(临界条件法) 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当v B＝v A时，若x B>x A＋x0，则能追上；若x B ＝x A＋x0，则恰好追上；若x B (2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇． ①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； ②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇； ③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇． 当t＝－b 2a时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值． (3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系． 5．常见追及情景 (1)速度小者追速度大者 情景图像说明匀加速追匀速 ① t＝ t0 以前，后面物体与前面物体间距离增大 ②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为 两物体初始距离) ③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. (2)速度大者追速度小者 情景图像说明 匀减速追匀速 开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距 离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻： ①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这 也是避免相撞的临界条件 ②若Δx －Δx ③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体 第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0 －t1) 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 题型一追及相遇问题 考向1速度小者追速度大者 例1一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？ 答案 2 s 6 m 例2汽车A以v A＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以v B＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离； (2)经过多长时间A恰好追上B. 答案(1)16 m(2)8 s [拓展延伸](1)若某同学应用关系式v B t－1 2at2＋x0＝v A t，解得经过t＝7 s(另解舍去)时A恰好 追上B.这个结果合理吗？为什么？ (2)若汽车A以v A＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x0＝7 m处，以v B＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？ 考向2速度大者追速度小者 例3(2022·山东德州市夏津一中开学考试)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s 的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？ 考向3体育赛事中的追及问题 例4如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端 听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s0＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m. (1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离； (2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？ (3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？ 答案(1)6 m(2)16.7 m(3)2 s 题型二图像法在追及相遇问题中的应用 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算． (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解． 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷． 3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析． 考向1x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题 例5甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是() A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动 B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动 C．甲车在0～10 s内的平均速度为－1.5 m/s D．在0～10 s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等 例6(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s 时并排行驶，则() A．在t＝1 s时，甲车在乙车后 B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 考向2利用v－t图像分析追及相遇问题 例7假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是() A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等 C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞 课时精练 1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可知() A．在时刻t1，a车追上b车 B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反 C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大 D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大 2.(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是() A．两车在t1时刻也并排行驶 B．在t1时刻甲车在后，乙车在前 C．甲车的加速度大小先增大后减小 D ．乙车的加速度大小先减小后增大 3．一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h 的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m 处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a ＝1 m/s 2，两车相距最近时，距离为22 m ，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为 ( ) A ．21.6 km/h B ．18 km/h C ．16 km/h D ．12 km/h 4．(多选)两辆汽车在同一直道上以相等的速度v 0做同向直线运动，某时刻前车突然熄火做加速度大小为a 1的匀减速运动，后车司机经Δt 时间后刹车，以大小为a 2的加速度做匀减速运动，结果两车同时停下且没有发生碰撞，则在前车熄火前，两车正常行驶时之间距离至少是 ( ) A.v 0Δt 2 B ．v 0Δt C.v 022(1a 1＋1a 2) D.v 022(1a 1－1a 2 ) 5.(多选)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的v －t 图像如图所示．根据图像提供的信息可知( ) A ．6 s 末乙追上甲 B ．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 m C ．8 s 末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 m D ．在0～4 s 内与4～6 s 内甲的平均速度相等 6．在恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，两车刹车后的v －t 图像如图所示，下列说法正确的是( ) A ．甲车的加速度大于乙车的加速度 B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远 C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的 7．台风“烟花”的出现引起多地暴雨，致使高速公路上的司机难以看清前方道路，严重影响道路交通安全．某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v1＝40 m/s、v2＝25 m/s，轿车在与货车距离x0＝22 m时才发现前方有货车，此时轿车立即刹车，若无其他影响，轿车要经过x＝160 m才能停下来．两车均可视为质点．若轿车刹车时货车仍以速度v2匀速行驶，忽略反应时间，通过计算分析两车是否会相撞． 8．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．求： (1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离； (2)警车发动后要多长时间才能追上货车． 9．(2022·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶． (1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离； (3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰) 答案(1)6 m/s(2)20 s225 m(3)20 s 1. 能够将学过的简单相遇和追及问题进行综合运用 2. 根据题意能够画出多人相遇和追及的示意图 3. 能将复杂的多人相遇问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题。 二是多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =?路程和速度和相遇时间； =?路程差速度差追及时间； 多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 板块一、多人从两端出发——相遇、追及 【例 1】 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村， 乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、 西两村之间的距离是多少米? 【巩固】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地 同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【例 2】 在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km /h ，70km /h ，50km /h 的速度匀速行驶，若汽车A 从 甲站开往乙站的同时，汽车B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的 两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少千米？ 例题精讲 知识精讲 教学目标 多人相遇和追及问题 【巩固】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 【巩固】小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米／时、48千米／时和42千米／时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分又遇到大客车。问：甲、 乙两地相距多远？ 【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 【巩固】小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去. 小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇 后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇 间的路程有多少米？ 【巩固】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两 镇间的路程有多少米？ 1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题 3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力 一、相遇 甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A ,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=t S V 和和 二、追及 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差 例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t 后甲乙同 时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲和v 乙，那么我们可以看到经过时间t 后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t 追了乙 5米 三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件： (1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。 知识精讲 教学目标 相遇与追及问题 2024届物理一轮复习讲义专题强化一运动图像追及相 遇问题 学习目标 1.知道常见运动学图像的物理意义、掌握图像的斜率、面积、截距等所代表的物理量。 2.会根据图像分析物体的运动情况。 3.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧，会运用运动学公式结合运动图像处理追及相遇的综合问题。 考点一x－t图像和v－t图像的理解与应用 1.x－t图像与v－t图像的比较 x－t图像v－t图像 图像 举例 意义倾斜直线表示匀速直线运动； 曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线 表示变加速直线运动 运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度 逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐 渐减小的变加速直线运动 交点和“面积”两条图线的交点表示相遇；图 线与横轴所围面积无意义 两条图线的交点表示t2时刻速度相 等，图线与横轴所围面积表示位移 位移0～t1时间内甲、乙位移相等0～t2时间内丁的位移大于丙的位移 平均速度0～t1时间内甲、乙平均速度相 等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的 平均速度 2.三点说明 (1)x－t图像与v－t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 角度x－t图像 例1甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移—时间图像如图1所示，则在0～t1时间内() 图1 A.甲的速度总比乙大 B.甲、乙位移相同 C.甲经过路程比乙小 D.甲、乙均做加速运动 答案 B 解析位移—时间图像中，图线斜率大小等于物体速度大小。由题图可知，甲做匀速直线运动，乙做变速直线运动，D错误；靠近t1时刻时乙的斜率大于甲的斜率，即乙的速度大于甲的速度，故A错误；在0～t1时间段内，甲、乙物体的初位置和末位置相同，故位移相同，B正确；甲、乙物体做的是单向直线运动，两者的位移大小相等，路程也相同，故C错误。 跟踪训练 1.(多选)a、b两质点在同一直线上运动，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图2所示，其中a质点的x－t图像为抛物线的一部分，第7 s末图像处于最高点，b质点的图像为直线。下列说法正确的是() 图2 A.a质点的初速度大小为7 m/s B.a质点的加速度大小为2 m/s2 C.a质点减速过程通过的位移大小为50 m [学习目标] 1.知道什么是竖直上抛运动，知道竖直上抛运动是匀变速直线运动.2.会分析竖直上抛运动的规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题.3.会分析追及相遇问题中物体速度、位移的变化，会根据两者速度关系和位移关系列方程． 一、竖直上抛运动 1．竖直上抛运动 将一个物体以某一初速度v0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动． 2．竖直上抛运动的性质 (1)上升阶段：初速度v0向上，加速度为g，方向竖直向下，是匀减速运动． (2)下降阶段：初速度为零、加速度为g，是自由落体运动． (3)全过程可以看做是初速度为v0(竖直向上)、加速度为g(竖直向下)的匀变速直线运动．3．竖直上抛运动的规律 通常取初速度v 0的方向为正方向，则a ＝－g . (1)速度公式：v t ＝v 0－gt . (2)位移公式：h ＝v 0t －1 2 gt 2. (3)位移和速度的关系式：v t 2－v 02＝－2gh . (4)上升的最大高度：H ＝v 02 2g . (5)上升到最高点(即v t ＝0时)所需的时间：t ＝v 0 g . 4．竖直上抛运动的对称性 (1)时间对称 物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t 上＝t 下． (2)速率对称 物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反． 例 1气球下挂一重物，以v0＝10 m/s匀速上升，当重物到达离地面高175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地速度多大？(空气阻力不计，g取 10 m/s2) 答案7 s60 m/s 解析解法一分段法 绳子断裂后，重物先匀减速上升，速度减为零后，再匀加速下降． ＝1 s， 重物上升阶段，时间t1＝v0 g ＝5 m 由v02＝2gh1知，h1＝v02 2g 重物下降阶段，下降距离H＝h1＋175 m＝180 m 设下落时间为t2，则H＝1 2，故t2＝2H g＝6 s 2gt2 重物落地总时间t＝t1＋t2＝7 s，速度v＝gt2＝60 m/s. 解法二全程法 取初速度方向为正方向 重物全程位移h＝v0t－1 2＝－175 m 2gt 可解得t＝7 s，或t＝－5 s(舍去) 由v＝v0－gt，得v＝－60 m/s，负号表示方向竖直向下． 习题课2 追及与相遇问题 [学习目标] 1.理解追及与相遇问题的实质.2.会分析追及问题的临界条件． 一、对“相遇”与“追及”的认识 1．相遇问题 相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇． 2．追及问题 同向运动的两物体，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度，即v 1≥v 2. 例1 如图1所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以20 m /s 的速度匀速运动，乙车原来速度为8 m/s ，从距甲车80 m 处以大小为4 m/s 2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？ 图1 答案 10 s 解析 设经时间t 乙车追上甲车．在这段时间内甲、乙两车位移分别为 x 甲＝v 甲t ，x 乙＝v 乙t ＋12at 2 追上时的位移条件为x 乙＝x 甲＋x 0， 即20t ＋80＝8t ＋2t 2 整理得：t 2－6t －40＝0 解得：t 1＝10 s ，t 2＝－4 s(舍) 乙车经10 s 能追上甲车． 二、追及问题的分析思路及临界条件 1．追及问题中的两个关系和一个条件 (1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到． (2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点． 2．能否追上的判断方法 物体B 追赶物体A ：开始时，两个物体相距x 0.若v A ＝v B 时，x A ＋x 0≤x B ，则能追上；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0＞x B ，则没有追上． 3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动． 4．解题思路和方法 分析物体运动过程→画运动示意图→找两物体位移关系→列位移方程 例2 当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a ＝2 m /s 2 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s 的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则： (1)客车什么时候追上货车？客车追上货车时离路口多远？ (2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？ 答案 (1)10 s 100 m (2)25 m 解析 (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v 2t 1＝12at 2 1， 代入数据解得t 1＝10 s ，x ＝12at 21＝1 2 ×2×102 m ＝100 m. (2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v 2＝at 2，代入数据解得t 2＝5 s. Δx ＝v 2t 2－12at 22＝10×5 m －1 2×2×52 m ＝25 m. 后面速度小的做匀加速直线运动的物体追前面速度大的匀速运动的物体，一定能追上．v 1 直线运动中的追及和相遇问题 一、相遇和追及问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、 解相遇和追及问题的关键 1.画出物体运动的情景图 2.理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0 A B x x x =± （3）速度关系：v A =v B 两者速度相等往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追及、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明:追及问题中常用的临界条件: ⑴速度小者加速追速度大者,速度在接近，但距离在变大。追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者, 速度在接近，但距离在变小。追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上. 四、典型例题分析： (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）： 1.当v 1< v 2时，两者距离变大； 2．当v 1= v 2时，两者距离最大； 3．v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2 的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）： 1．当v 1> v 2时，两者距离变小； 2．当v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近； ②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次； ③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇 两次。 【例2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2 的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解． 【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙 每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他 们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？ 【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米? 【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。如果二人的速度各增加1千米 ／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 板块二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的 地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？ 知识精讲 教学目标 3-1-4多次相遇和追及问题 |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 2 【例 4】 甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。已知甲车的速度比乙车快， 并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？ 【例 5】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线 运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【巩固】 A 、B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇， 在D 点第二次相遇．已知C 离A 有75米，D 离B 有55米，求这个圆的周长是多少米？ 【巩固】 如右图，A ，B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一 次相遇，在D 点第二次相遇。已知C 离A 有80米，D 离B 有60米，求这个圆的周长。 乙 甲 【巩固】 在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达 B 点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 一、选择题 1.【辽宁省庄河市高级中学2016-2017学年高一10月月考物理试题】甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v t -图像如图所示，图中OPQ ?和OQT ?的面积分别为1s 和2s ()21s s >， 初始时，甲车在乙车前方0s 处，正确的是（ ） A ．若012s s s =+，两车不会相遇 B ．若01s s < ，两车相遇2次 C ．若01s s =，两车相遇1次 D ．若02s s =，两车相遇1次 【答案】ABC 考点：匀变速直线运动的图像、匀变速直线运动的速度与时间的关系 【名师点睛】此题是追击与相遇问题，解决此类问题的关键是分析清楚两物体的位移关系．两物体的位移之差等于初始时的距离是两物体相遇的条件。 2.【河北省定州中学2016-2017学年高一(承智班)上学期周练（10.16）物理试题】甲、乙两车同时从同一地点沿同一方向做直线运动，其v-t图象如图所示，则（） A．甲、乙两车的初速度均为零 B．甲车的加速度大于乙车的加速度 C．甲车的速度始终小于乙车的速度 D．甲车的位移始终小于乙车的位移 【答案】B 考点：匀变速直线运动的图像、匀变速直线运动的速度与时间的关系 【名师点睛】本题关键是根据速度时间图象得到两个物体的运动规律，然后根据速度时间图象与时间轴包围的面积表示位移大小，结合初始条件进行分析处理。 3.【黑龙江省大庆第一中学2016-2017学年高一上学期第二次（10月）月考物理试题】甲乙两车在同一条笔直的公路上做同方向的直线运动，从t=0时刻开始，甲车的运动规律为x=10t，乙车刹车，其运动规律为x=50+10t-2t2(以上两式各物理量的单位均为国际基本单位)，则从t=0开始，甲追上乙的时间是( ) A．5s B．10s C．3.15s D．6.25s 专题强化二追及相遇问题 目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会在图像中分析追及相遇问题.3.熟练运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题． 1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置． 2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例． (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲 追及相遇问题(2） 一、知识清单 1． 追及相遇的图像问题 x -t 图 v —t 图 同时、同地出发 同时、不同地出发 ①t 1时刻速度相等,相距最远； ②t 2时刻有交点,表示相遇。 同时同地出发，位移相等时相遇。即图中两条线与横纵坐标分别围成的面积相等。 同时不同地出发，当后 车位移比前车位移多两车 的初始距离时，两车相遇. 从第一次相遇到第二次相遇，位移相等,即该段围成的两面积相等。 2． 两次相遇问题的四种解法 (1)物理方法：速度关系，第一次相遇：v 1后〉v 1前;第二次相遇：v 2后 (2）数学方法：相遇位移关系式：x 后=x 前+s 0，即v 0 后 t+½a 1t 2=v 0 前 t+½a 2t 2+s 0,两次相遇条件：Δ>0; （3)相对运动法:以前车为参考系,后车相对前车的初速度为（v 0后-v 0 前 ），相对加速度为（a 1—a 2），初始距离s 0两次相遇条件:相对初速度 要大于零即（v 0后-v 0前)>0、相对加速度要小于零即（a 1-a 2)〈0、最大 相对位移0212前0后0) -(2)-(s a a v v >。 （4)图像法:v —t 图中的面积表示位移，当后车图像围成的面积比前车大s 0，即表示相遇.如果从第一次相遇以后，两车位移相等，则发生第二次相遇。 3． 舰载机起飞问题 (1)弹射起飞：（航母静止）aL v v 2-2弹2 飞 = （2）带动起飞：（航母运动） 方法一、地面为参考系，2 舰机 2 1at t v x + =，at v v +=舰飞， t v x 舰舰=， L x x =-舰机 方法二、航母为参考系， aL v v 2）-（2舰飞 = 二、例题精讲 4． 在同一条直线上运动的P 、Q 两个物体在t ＝0 相遇与追及 行程问题基本关系式 速度×时间=路程 相遇问题 基本关系式：相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 追及问题 基本关系式：追及路程=速度差×追及时间 追及时间=追及路程÷速度差 速度差=追及路程÷追及时间 平均速度=总路程÷总时间 【课前热身：10分钟】 1、小巧骑自行车行2000米，她先用4分钟行了800米，余下的路程她用了8分钟。问余下的路程每分钟行多少米？ 2、动物游泳健将海豚，3小时游了225千米，照这个速度，再游2小时，它一共游了多少千米？ 3、小华从家到少年宫开会，去时骑自行车用了0.5小时，回来乘车，所用时间是去时的一半，少年宫离家6千米，求小华来回平均速度。 4、一辆汽车从甲地到乙地，速度是40千米/小时，6小时行了全程的一半还多30千米。求甲乙两地相距多少千米？ 【相遇问题】 小巧和小亚两人同时从相距40千米的甲、乙两地相向而行，两人经过3小时后仍相距10千米，已知小巧每小时走6千米，小亚每小时走几千米？ A、B两地相距2400米，甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，15分钟后两人还相距75米。已知甲每分钟行80米，求乙的速度。 A、B两地相距496千米，甲车从A地开往B地，每小时行32千米，甲车开出半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行64千米，乙车开出几小时后与甲车相遇？ 一架飞机以每小时400千米的速度从A城出发，飞向B城。一小时后，另一架飞机以每小时450千米的速度从B城开往A城，经过3小时遇到从A城飞来的飞机。A、B两城相距多少千米？ 一列快车以每小时75千米的速度从甲地开往乙地，一列慢车同时以每小时60千米的速度从乙地开往甲地，两列火车在距离中点30千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ （1）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车行了180千米时与乙车相遇，这时乙车超过中点30千米。已知乙车每小时行40千米，相遇时，乙车行了多少小时？ 甲车的速度是多少？ （2）A、B两地相距400千米，甲、乙两车从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去，这样一直下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？ 【追及问题】 小宁从家去上学，每分钟走45米。5分钟后妈妈发现小宁的课本忘带了，于是妈妈以每分钟60米的速度去追小宁，恰好在小宁到校门口时追上他。问：家到学校有多远？ 专题强化一 运动学图像 追及相遇问题 【专题解读】 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图像的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题。 2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v －t 图像分析和解决运动学问题的能力。 3.用到的知识有：x －t 图像和v －t 图像的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法。 题型一 运动学图像的理解和应用 1.x －t 图像与v －t 图像的比较 x －t 图像 v －t 图像 图像 举例 意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表 示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表 示变加速直线运动 特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移 运动 情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动 位移 0～t 1时间内甲、乙位移相等 0～t 2时间内丁的位移大于丙的位移 平均 速度 0～t 1时间内甲、乙平均速度相等 0～t 2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度 2.三点说明 (1)x －t 图像与v －t 图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 【例1】 (2021·1月辽宁普高校招生适应性测试，1)甲、乙两物体沿直线同向运动，其位置x 随时间t 的变化如图1所示，甲、乙图线分别为圆弧、直线。下列说法正确的是( ) A.甲做匀减速直线运动 B.乙做匀加速直线运动 C.第4 s 末，二者速度相等 D.前4 s 内，二者位移相等 学科培优数学 “相遇与追及问题初步” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 在今天这节课中,我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解,使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题,其中最常见的是相遇问题和追及问题. 知识梳理 一、相遇 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发,那么 相遇路程=甲走的路程+乙走的路程 =甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 =（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 =速度和×相遇时间. 一般地,相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和,即 二、追及 有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内： 追及路程=甲走的路程-乙走的路程 =甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =（甲的速度-乙的速度）×追及时间 =速度差×追及时间. 一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即 【重点难点解析】 1．直线上的相遇与追及 2．环线上的相遇与追及 t v S 差差 【竞赛考点挖掘】 1. 多人多次相遇与追及 例题精讲 【试题来源】 【题目】一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【试题来源】 【题目】两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时,各行了多少千米？ 【试题来源】 【题目】两地相距3300米,甲、乙二人同时从两地相对而行,甲每分钟行82米,乙每分钟行83米,已经行了15分钟,还要行多少分钟两人可以相遇？ 【试题来源】 【题目】甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问：乙经过多长时间能追上甲？ 【试题来源】 【题目】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词,于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去,二人的速度分别为50千米/时,60千米/时,那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?． 【试题来源】 【题目】军事演习中,“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌” 专题02 追及与相遇问题 一、有关匀变速直线运动的基本公式： ①速度公式：at v v t +=0；（此公式也可以用来求加速度或者时间） ②位移公式：2021at t v s + =；（注意：当00=v 时，221at s =） ③速度-位移公式：as v v t 22 02=-；（公式可以变形为：s v v a t 2202-=，从而用于求解加速度） 二、匀变速直线运动的常用推论： ①中间时刻瞬时速度公式：t s v v v v t t =+= =202； ②位移中点瞬时速度公式：22202 t t v v v +=； ③两个相邻相等时间间隔内的位移差：2 aT s =∆。（该推论可以用来判断物体是否做匀变速直线运动） 在解决追及问题和相遇问题时，首先要对运动过程进行分析，分别抽象出追及问题或相遇问题中的研究对象是匀速直线运动、匀加速直线运动还是匀减速直线运动，例如追及问题中的追及者是匀加速直线运动，被追及者是匀速直线运动。 其次根据题意，画出运动示意图，找出它们的临界条件和位移关系，列出方程求解即可。 一、追及问题 追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）： （1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。 （2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。 （3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。 第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）： （1）当两者速度相等时有最大距离。 （2）若两者位移相等时，则追上。 二、相遇问题 （1）同向运动的两物体追上即相遇。 （2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。 三、解决追及和相遇问题的一个条件、两个关系 1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。 2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。 3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。 四、解决追及和相遇问题的常用方法： 1.临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大间距；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小间距（速度相等前，两物体未相遇）。 2.图像法：①用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图线，如果两个物体的x-t图线相交，则说明两物体相遇。 ①用v-t图像求解时，注意比较v-t图线与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距的大小关系。 3.函数法：由匀变速直线运动的位移公式可列出方程，利用函数法求解。 4.转换参考系法：一般情况下，选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系。在追及问题中，常把被追物体作为参考系。 第二章匀变速直线运动的研究 专题强化练3追及相遇问题 一、选择题 1.(2020河南中原名校联考,改编,)甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们的位置x 随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于t=10s处,则下列说法正确的是() A.甲车的初速度为零 B.乙车的初位置在x0=60m处 C.乙车的加速度大小为1.6m/s2 D.t=5s时两车相遇,此时甲车速度较大 2.(2020陕西西安电子科技大学附中高一上期中,)甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动,它们的位移-时间(x-t)图像如图所示,由图像可以看出在0~4s 内() A.甲、乙两物体始终同向运动 B.4s时甲、乙两物体间的距离最大 C.甲的平均速度等于乙的平均速度 D.甲、乙两物体之间的最大距离为4m 3.(2020山东烟台高一期中,)(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动,其v-t 图像如图所示,图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)。初始时,甲车在乙车前方S0处,则() A.若S0=S1+S2,两车不会相遇 B.若S0 专题强化一运动学图象追及相遇问题 【专题解读】1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题。 2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力。 3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，求解极值等数学方法。 题型一运动学图象的理解和应用 1.x－t图象与v－t图象的比较 2.三点说明 (1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。 (2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系。 (3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。 【例1】(多选) (2018·全国卷Ⅲ，18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示。下列说法正确的是() 图1 A.在t1时刻两车速度相等 B.从0到t1时间内，两车走过的路程相等 C.从t1到t2时间内，两车走过的路程相等 D.在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等 解析x－t图象某点的切线斜率表示瞬时速度，A错误；从0～t1时间内，由于甲、乙的出发点不同，故路程不同，B错误；t1～t2时间内，甲、乙的位移和路程都相等，大小都为x2－x1，C正确；t1～t2时间内，甲的x－t图象在某一点的切线与乙的x－t图象平行，此时刻两车速度相等，D正确。 答案CD 【变式1】(2020·广东潮州市第二次模拟)如图2所示为甲、乙两个质点运动的位移—时间图象，由此可知(图中虚线与曲线相切) () 图2 A. 甲做匀减速直线运动，乙做变减速直线运动 B.在0～t0时间内的某时刻，甲、乙两质点的速度大小相等 C.甲、乙两质点从x＝2x0位置同时出发，同时到达x＝0位置 D.在0～t0时间内，乙的速度大于甲的速度，t0时刻后，乙的速度小于甲的速度答案B 解析根据x－t图象的斜率表示速度，知甲做匀速直线运动，乙做减速直线运动， 微专题二追与与相遇问题 必备知识根底练进阶训练第一层 知识点一应用x－t图像分析追与相遇问题 1.甲、乙两车某时刻由同一地点，沿同一方向开始做直线运动．假设以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时间图像(即x－t图像)，如下列图．甲图线过O点的切线与AB平行，过C点的切线与OA平行，如此如下说法中正确的答案是( ) A．在两车相遇前，t1时刻两车相距最远 B．0～t2时间内，甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度 C．0～t3时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度 D．t3时刻甲车在乙车的前方 2. (多项选择)甲和乙两个物体从同一点做同向直线运动，它们的位移x随时间t变化的关系图像如下列图，如此在0～t1时间内( ) A．甲的速度始终比乙的速度大 B．甲的平均速度等于乙的平均速度 C．甲始终在乙的前面，直到t1时刻相遇 D．0～t0时间内，甲在乙的前面，t0～t1时间内，乙在甲的前面 3．甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图像如下列图，由图像可以看出在0～4 s内( ) A．甲、乙两物体始终同向运动 B．4 s时甲、乙两物体间的距离最大 C．甲的平均速度等于乙的平均速度 D，甲、乙两物体之间的最大距离为4 m 知识点二应用速度—时间图像分析追与相遇问题 4.在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度—时间图像如下列图，如此( ) A．甲、乙两车同时从静止开始出发 B．在t＝2 s时乙车追上甲车 C．在t＝4 s时乙车追上甲车 D．甲、乙两车在公路上可能相遇两次 5. 甲、乙两车在平直的公路上同时同地沿同一方向做直线运动，它们的v－t图像如下列图，如下说法正确的答案是( ) A．在t＝10 s时两车相遇 B．在t＝10 s时两车相距最近 C．在t＝20 s时两车相遇 D．在t＝20 s时，乙车在甲车前面 6．(多项选择)a、b两个物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如下列图，如 学科培优数学 “相遇与追及和平均速度问题” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,研究两个运动物体作方向运动时,路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系。当我们在某一固定的路线上研究2个物体的运动情况时,最常见也是最重要的2种情况便是追及问题与相遇问题。 在研究追及和相遇问题时,一般都隐含以下两种条件： (1)在整个被研究的运动过程中,2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中,2个物体所走的是同一路径。 【授课批注】 两个物体的相遇与追及问题是行程问题中的一个专题,其内容较为简单,但还是要求教师利用行程图仔细的描述两个物体的运动过程来分析问题,进而帮助学生养成用行程图来帮助分析解决行程问题的好习惯,所以请各位教师在本讲中做出表率帮助学生学好行程专题。 知识梳理 两个物体的追及与相遇问题： 1.相遇问题 和,A,B两地相距假设甲乙分别从A,B两地出发相向而行,速度分别为v v 乙 甲 S,甲乙经过时间t后相遇,那么我们可以明显的看出,在时间t内,甲乙共同走了 一个A,B 全长,即甲乙的路程之和为S. 那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t 内所走的路程： s v t =⨯甲甲,s v t =⨯乙乙 , 那么路程的和()s s s v t v t v v t =+=⨯+⨯=+⨯乙乙乙甲甲甲 所以我们得到了相遇问题中最重要的结论 速度和×相遇时间=路程和 2.追及问题 与相遇问题类似的一个问题便是追及问题 假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t 后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为v v 乙甲和,那么我们可以看到经过时间t 后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t 追了乙5米 由s v t =⨯甲甲,s v t =⨯乙乙,(5s s v t v t v v t -=⨯-⨯=-⨯=乙乙乙甲甲甲） 米 由此我们可以得到追及问题的一个重要结论： 速度差×追及时间=路程差 三、平均速度 平均速度就是把总路程按时间均匀分配的行走或移动的距离； 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度⨯总时间。 【重点难点解析】 1. 通过本课的学习,使学生了解学习行程问题的重要性,及相遇追及问题及平均速度问题的常见类型。 2. 使学生知道相遇与追及是行程问题中的基本问题,掌握相遇与追及问题的基小学奥数之多人相遇和追及问题(学生版)
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