(完整版)高中数学必修五第一章

解三角形复习知识点

【正弦定理】

1 •正弦定理：一？ — sin A sin B 2.

正弦定理的一些变式：

3 •两类正弦定理解三角形的问题：

(1) 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角

(2) 已知两边和其中一边的对角，求其他边角【余弦定理】

2 a b 2 2 c 2bccosA

1 •余弦定

理： b 2 2 a 2 c 2accosB

2 c b 2 2 a 2bacos C

cos A b 2

2 a 2bc 2.推论：

cosB a 2 2 c b 2

2ac cosC b 2 2 a 2 c 2ab 设a 、b 、c 是 C 的角、、C 的对边，则: ①若a 2 b 2 2

c , 则C 90

o ;

②若 2 a b 2 2 c , 则 C 90o ;

③若 2 a b 2 2 c , 则 C 90o •

3. 两类余弦定理解三角形的问题：( 1 )已知三边求三角•

(2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角

【面积公式】

已知三角形的三边为 a,b,c,

1. S ah a ^absinC 才心b c)(其中r 为三角形内切圆半径)

1 , -------------------------------------------------------------

2. 设 p 才* b c ), S . p(p a)(p b)(p c)

、知识点总结

i a b c sin A sin B si nC ii sin A —,sin B 2R iii a 2RsinA,b 2Rsin B,b 2Rs inC (4) b . ,sin 2R a b c 2R ；

sin A sin B sin C 2R

c sin C

2R ( R 为三角形外接圆的半径). (可能有一解，两解，无解)

【三角形中的常见结

论】

(1) ABC ⑵ sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,

sin — C A B cos ,

cos

2 sin ; sin2A 2sinA cosA, 2

(3 )若A B C a b c si nA si nB si nC

若sin A sinB sinC a b c A B C

(大边对大角，小边对小角)

(4 )三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(5) 三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60

(6) 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平

•n-t—tw-r--mmrs-r-r —ra-ii—t-t—nr

方和大于第三边的平方•

钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值

(7) ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是 B 60

(8) ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.

、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状

一成边的形式或角的形式•

:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统

2 2 2

a b c

(2)在ABC中，由余弦定理可知：a2 b2 c2

-2 u 2 .2 A是直角ABC是直角三角形A是钝角ABC是钝角三角形A是锐角ABC!锐角三角形

(注意：A是锐角/ AB(是锐角三角形)

⑶右sin 2 A sin 2B，则A=B或A B 一.

例 1.在ABC 中，c 2bcosA，且(a b c)(a b c) 3ab，试判断ABC 形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角元

素的过程叫做解三角形•

A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素•已知三角形的几个元素求其他例2.在ABC中，a 1 , b . 3 , A 300，求「的值

3例3.在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c 2, C

（I ）若ABC的面积等于..3，求a,b ；

(n)若sin C sin(B A) 2sin2A,求ABC 的面积.

证明等式成立的方法：

题型3【证明等式成立】

（1 ）左右，（2 ）右左，（3）左右互相推.

例4.已知ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c，求证：a bcosC ccosB .

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角俯角方向角方位角视角

例5•如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水

平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A的方位角是65°则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

高中数学必修5教材电子课本(人教版)

高中数学必修5_教材电子课本（人教版）・pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合与函数概念 1.1集合 1.1.1集合的含义与表示 I.1.2集合间的基本关系 II.3集合的基本运算 1.2函数及其表示 12.1函数的概念 1.2.2函数的表示法 13函数的基本性质 13.1单调性与最大（小）值 13.2奇偶性

第二章基本初等函数 2.1指数函数 2.1.1指数与指数幕的运算2.1.2指数函数及其性质

2.2对数函数 2.2.1对数与对数运算（一） 2 2.1对数与对数运算（二） 2.2.2对数函数及其性质 2.3基函数第三章函数的应用 31函数与方程 3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2函数模型及其应用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录必修一、二、必修一必修四第一章集合与函数的概念第一章三角函数1・1集合

11任意角和弧度制1・2函数及其表示1.2任意角的三角函数1・3函数的基本性质第二章基本初等函数2.1指数函数 2.2对数函数2.3幕函数第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1・2应用举例第二章数列 2.1数列的概念与简单表示方法2・2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3二元一次不等式(组)及其解法3.4基本不等式 1.3三角函数的诱导公式 14三角函数的图像与性质1・5函数y=Asin(?x+?) 1.6三角函数模型的简单应用第二章平面向量 2・1平面向量的实际背景及基本概念2・2平面向量的线性疋算 2.3平面向量的基本定理及坐标表 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦3・2简单的三角恒等变换必修二第一章空间几何体1.1空间几何体的结构

人教版高中数学必修五课后习题答案

高中数学必修5课后习题答案第一章解三角形 1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4） 1、（1）14a ≈，19b ≈，105B =︒；（2）18a ≈cm ，15b ≈cm ，75C =︒. 2、（1）65A ≈︒，85C ≈︒，22c ≈；或115A ≈︒，35C ≈︒，13c ≈；（2）41B ≈︒，24A ≈︒，24a ≈. 练习（P8） 1、（1）39.6,58.2, 4.2 cm A B c ≈︒≈︒≈；（2）55.8,81.9,10.5 cm B C a ≈︒≈︒≈. 2、（1）43.5,100.3,36.2A B C ≈︒≈︒≈︒；（2）24.7,44.9,110.4A B C ≈︒≈︒≈︒. 习题1.1 A 组（P10） 1、（1）38,39,80a cm b cm B ≈≈≈︒；（2）38,56,90a cm b cm C ≈≈=︒ 2、（1）114,43,35;20,137,13A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈ （2）35,85,17B C c cm ≈︒≈︒≈；（3）97,58,47;33,122,26A B a cm A B a cm ≈︒≈︒≈≈︒≈︒≈； 3、（1）49,24,62A B c cm ≈︒≈︒≈；（2）59,55,62A C b cm ≈︒≈︒≈；（3）36,38,62B C a cm ≈︒≈︒≈； 4、（1）36,40,104A B C ≈︒≈︒≈︒；（2）48,93,39A B C ≈︒≈︒≈︒；习题1.1 A 组（P10） 1、证明：如图1，设ABC ∆的外接圆的半径是R ， ①当ABC ∆时直角三角形时，90C ∠=︒时， ABC ∆的外接圆的圆心O 在Rt ABC ∆的斜边AB 上. 在Rt ABC ∆中，sin BC A AB =，sin AC B AB = 即sin 2a A R =，sin 2b B R = 所以2sin a R A =，2sin b R B = 又22sin902sin c R R R C ==⋅︒= 所以2sin , 2sin , 2sin a R A b R B c R C === ②当ABC ∆时锐角三角形时，它的外接圆的圆心O 在三角形内（图2），作过O B 、的直径1A B ，连接1A C ，则1A BC ∆直角三角形，190ACB ∠=︒，1BAC BAC ∠=∠. 在1Rt A BC ∆中，11sin BC BAC A B =∠， a b A O C B （第1题图1） A 1 O A

人教A版高中数学必修5《第一章解三角形1.2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》13

人教版一般高中课程标准实验教科书必修5第一章解三角形一、教材剖析本节内容选人教A版一般高中数学必修五的阅读与思虑“海伦与秦九韶”。主假如学习怎样利用三角形三边求其面积，属于拓展学生知识宽度和思想活跃的课程。在初中数学八年级下《二次根式》这一章，海伦—秦九韶公式以阅读与思虑的形式出现，但《初中数学新课程标准》中并无作要求。在必修四中，学生学习了同角三角函数的基本关系，学生有了利用公式进行正、余弦之间互相转变的工具。在必修五第一章《解三角形》中，学生已经学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，为本节课供给了理论依照，为学生的思想发展供给了很好的空间和平台。本节课内容在教材中固然不过一个阅读资料，但是是三角形面积公式的持续与拓展，意在增补课外知识，为解决问题供给更多方法和思路，陶冶学生的数学情操，感觉数学的魅力，培育学生对数学的兴趣，弘扬数学文化，让学生享受此中的中西方文化盛宴，教师要注意指引学生察看、思虑、对照、转变与化归，找寻解决问题的思路。二、学情剖析学生已经学习了同角三角函数的基本关系，也学习了余弦定理及余弦定理的推论和利用三角形两边及其夹角表示三角形的面积，拥有必定的运算能力和推理能力，初中对

海伦秦九韶公式也有所认识，但是公式的出处还不甚清楚，本着“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”

的原则，追根寻由，同时着重对学生数学文化修养的培育。三、教课目的 1.知识与技术 1）掌握海伦公式和三斜求积，学会利用三角形三边求其面积。 2）理解海伦公式与三斜求积之间的关系，理解它们之间的数学实质是相同的。 3）应用海伦公式与三斜求积解决实质问题。 2.过程与方法：经过海伦—秦九韶公式的证明，感觉察看、思虑、对照、转变与化归等数学思想，逐渐培育学生剖析问题和解决问题的能力。 3.感情态度 1）从不同的文化中感觉数学文化的丰富内涵，领会中西方文化的多样性，领会到数学的不变性。 2）从海伦公式中领会到数学公式的简短美。四、教课重、难点 1.要点：掌握海伦公式与秦九韶公式的证明及应用 2.难点：理解海伦公式与秦九韶公式之间的联系五、教法、学法教课

(完整版)高中数学必修五第一章

解三角形复习知识点【正弦定理】 1 •正弦定理：一？ — sin A sin B 2. 正弦定理的一些变式： 3 •两类正弦定理解三角形的问题： (1) 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 (2) 已知两边和其中一边的对角，求其他边角【余弦定理】 2 a b 2 2 c 2bccosA 1 •余弦定理： b 2 2 a 2 c 2accosB 2 c b 2 2 a 2bacos C cos A b 2 2 c 2 a 2bc 2.推论： cosB a 2 2 c b 2 2ac cosC b 2 2 a 2 c 2ab 设a 、b 、c 是 C 的角、、C 的对边，则: ①若a 2 b 2 2 c , 则C 90 o ; ②若 2 a b 2 2 c , 则 C 90o ; ③若 2 a b 2 2 c , 则 C 90o • 3. 两类余弦定理解三角形的问题：( 1 )已知三边求三角• (2)已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角【面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c, 1. S ah a ^absinC 才心b c)(其中r 为三角形内切圆半径) 1 , ------------------------------------------------------------- 2. 设 p 才* b c ), S . p(p a)(p b)(p c) 、知识点总结 i a b c sin A sin B si nC ii sin A —,sin B 2R iii a 2RsinA,b 2Rsin B,b 2Rs inC (4) b . ,sin 2R a b c 2R ； sin A sin B sin C 2R c sin C 2R ( R 为三角形外接圆的半径). (可能有一解，两解，无解)

高中数学人教A版必修五第一章解三角形学业分层测评1 Word版含答案

高中数学必修五解三角形单元测试（含答案）一、选择题 1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 【解析】由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°， ∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×322 2 ＝2 6. 【答案】 C 2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243 ＝22， ∴∠B ＝45°或135°. 但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B ＝45°，故选C. 【答案】 C 3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．2∶3∶1 D ．3∶1∶2 【解析】设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， ∴a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°

＝1 2∶ 3 2∶1＝1∶3∶2. 【答案】 B 4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为() A．直角三角形B．等腰三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝23a·sin B可化为： 3sin B＝23sin A·sin B. ∵0°<∠B<180°， ∴sin B≠0， ∴sin A＝ 3 2， ∴∠A＝60°或120°，又cos A＝cos C， ∴∠A＝∠C， ∴∠A＝60°， ∴△ABC为等边三角形．【答案】 C 二、填空题 5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理 b sin B＝ c sin C得b＝ c sin B sin C＝ 1× 2 2 3 2 ＝ 6 3. 【答案】 6 3 6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝1 2，C＝ π 6，则b＝ ________. 【解析】在△ABC中，∵sin B＝1 2，0

【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)

高中数学（必修5）第一章：解三角形测试（一）班级：姓名成绩：__________ 正弦定理及余弦定理： 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- [基础训练A 组]一、选择题 1．在ABC ∆中，角::1:2:3A B C =，则边::a b c 等于（）． A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．以4、5、6为边长的三角形一定是（）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角或钝角三角形 3．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则角A 等于（）． A ．3060,或 B ．4560,或 C ．12060,或 D ．30150,或

2019-2020年高中数学第一章解三角形章末归纳总结新人教A版必修5

2019-2020年高中数学第一章解三角形章末归纳总结新人教A 版必修5 一、选择题 1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 [答案] D [解析] 由正弦定理，得a b ＝sin A sin B . 又a cos A ＝b cos B ，即a b ＝ cos B cos A ，∴sin A sin B ＝cos B cos A ，即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ． ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ．∴A ＝B 或A ＋B ＝π 2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D ． 2．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75° [答案] C [解析] 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin60°，所以sin A ＝2 2 ，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°. 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2 －b 2 ＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° [答案] A [解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2 ＝23bc ，则 cos A ＝ 32 ，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ． 4．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为3 5 ，面积为14，那么这个三角形的此两边长分

高中数学必修五全套教案

第一章解三角形章节总体设计（一）要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

人教A版高中数学必修5《一章解三角形 1.2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶》示范课教案_29

《海伦——秦九韶公式》教案【教学内容】人教A版普通高中课程标准试验教科书必修5 第一章“阅读与思考”海伦与秦九韶. 【教学对象】高一学生. 【教材分析】本节内容选自高中数学必修五的第一章，是阅读与思考部分的内容，在《高中数学新课程标准》中并没有做要求，教材中只占用一篇幅叙述了海伦公式与秦九韶公式（“三斜求积”公式）的记载历史，并未给出证明和应用.本节内容之前学生已经学习了解三角形，从而这节课是三角形面积公式的延续与拓展.本节课的主要设计对象为数学学习程度较好的学生——在完成《高中数学新课程标准》中要求的学习之后仍有余力的学生，意在引领学生了解数学文化史，同时启发学生运用所学知识由“三斜求积”公推导海伦公式，并让学生从中体会数学之美. 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的三角形面积公式，余弦定理的推论，同角三角函数的平方关系以及平方差公式和完全平方公式. 【教学目标】 ∙知识与技能：（1）会推导秦九韶公式与海伦公式，并理解海伦公式的本质；（2）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同.（3）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题. ∙过程与方法：（1）经历推导秦九韶公式与海伦公式的全过程，培养学生严谨的的数学逻辑思维；（2）提高学生会应用海伦公式解决涉及到三角形三边与面积之间关系问题的能力. ∙情感态度与价值观：（1）体会公式书写的简洁美；（2）体会数学以不变应万变的魅力. 【教学重点】秦九韶公式与海伦公式的推导及其应用. 【教学难点】

秦九韶公式与海伦公式的本质. 【教学方法】引导探究、实力应用. 【教学过程】（一）旧知回顾 1.三角形的面积公式：（1）ah S ABC 2 1=∆（h 为边a 上的高）；（2）==∆C ab S ABC sin 2 1 = . 2.余弦定理的推论：bc a c b A 2cos 2 22-+=；=B cos ；=C cos . 3.同角三角函数的平方关系：+α2sin 1=. [师生活动]通过提问，让学生回答出本节课涉及到的已经学习过的公式. (二)新课引入【引例】问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何？转化成数学语言为：在ABC ∆中，151413===c b a ，，，求三角形的面积ABC S ∆. [教师活动]经历古文到现代文再到数学语言的过程，让学生感受数学来源于生活,服务于生活. (三)中西结合 1.古希腊数学家海伦（Heron,约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《测地术》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为 c b a ，，,记)(2 1c b a p ++=，那么这个三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=为”，这一公式称为海伦公式.并在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中给出了证明. 2.中国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，在他的著作《数书九章》的求法就是以下公式： ⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241b c a c a S ，由于秦九韶把这种计算方法称为“三斜求积术”，从

高中数学必修五公式

高中数学必修五公式第一章三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧ ==⎪⎪ ⎪ ==⎨⎪ ⎪==⎪⎩ 推论：::sin :sin :sin a b c A B C = 二．余弦定理：三．三角形面积公式：111 sin sin sin ,222 ABC S bc A ac B ab C ∆=== 第二章数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数) 2.通项公式：()d n a a n •-+=11或()d m n a a m n •-+= 3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 2 1211-+=+= 4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+ (2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义： )0(1 ≠=+q q a a n n 2.通项公式：q a a n n 1 1-•=或q a a m n m n -•= 3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=q q a a q q a S n n n 4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+ (2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结： 1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法). 2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和. 注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。 (2)若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法). 过程:乘公比再两式错位相减 (3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法). 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-=

高中数学必修五考点及典型例题

必修五第一章解三角形一、考点列举 1、正弦定理的理解与应用 2、余弦定理的理解与应用二、常考题型 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形 ★例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒; （2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。解：（1）应用S=2 1 acsinB ，得 S= 2 1 ⨯14.8⨯23.5⨯sin148.5︒≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理， B b sin = C c sin c = B C b sin sin S = 21bcsin A = 21 b 2B A C sin sin sin A = 180︒-( B + C)= 180︒-(62.7︒+ 65.8︒)=51.5︒ S = 21⨯3.162⨯︒ ︒︒7 .62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2 ) (3)根据余弦定理的推论，得 cosB =ca b a c 22 22-+ =4 .417.3823.274.417.382 22⨯⨯-+ ≈0.7697 sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384

应用S=2 1 acsinB ，得 S ≈ 2 1 ⨯41.4⨯38.7⨯0.6384≈511.4(cm 2) ★★例2、在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222C B A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcosC ）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设 A a sin = B b sin = C c sin = k 显然 k ≠0，所以左边=C k B k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =C B A 2 22sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca b a c 22 22-++ab ab c b a 2222-+) =(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边 2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题. ★★例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)

高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案

（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5 从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习. 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形. 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用. 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用. 二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课

师本章我们共学习了哪些内容？生本章我们学习了正弦定理与余弦定理. 师你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===；余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ; ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+=-+=-+=. 师很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？生正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形. 生老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解. 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？生除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积. 师你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习. 推进新课多媒体投影解斜三角形时可用的定理公式适用类型备注余弦定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A b 2=a 2+c 2-2ac cos B c 2=b 2+a 2-2ba cos C (1) 已知三边（2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理（3）已知两角和类型（3）在有解时只有一解，

高中数学必修五第一章测试卷

高中数学必修五第一章复习测试卷一、选择题： 1.在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) A.a sinA=b sinB B.a cosA=b cosB C.a sinB=b sinA D.a cosB=b cosA 2. .在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．b = 10，A = 45°， B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100° （） C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 3. 在ABC ∆中，已知角,3 34,22,45===b c B 则角A 的值是（） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 4．在ABC ∆中，若2=a ，22=b ，26+=c ，则A ∠的度数是（） A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒75 5. 若 c C b B a A cos cos sin ==则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个角为30°的直角三角形 D ．有一个角为30°的等腰三角形 6. 在ABC ∆中，已知,,8,45,60D BC AD BC c B 于⊥=== 则AD 长为（） A ．1)34-（ B ．1)34+（ C ．3)34+（ D ．)334-（ 7. 钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为（） A ．1、2、3、 B ．2、3、4 C ．3、4、5 D ．4、5、6 8．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ．1∶3∶2 D ．3∶1∶2 9. 在△ABC 中，090C ∠=，00450< B sin cos B A > C sin cos A B > D sin cos B B > 二、填空题： 1、已知在ABC △中，6,30a c A ===，ABC △的面积S .