黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

浅谈R积分和L积分的联系与区别

数学学院数学与应用数学（师范）专业2009级某某

指导老师某某

摘要：积分在整个分析数学中有着重要的地位，现有的积分有两种形式：一种是作为研究数学分析中心内容的黎曼积分（简称R积分），一种是作为研究实变函数核心内容的勒贝格积分（简称L积分），这两类积分既有密切的联系，又有本质的区别。本文主要是从黎曼积分和勒贝格积分的定义出发，进行分析和比较，利用实例来归纳总结出它们的联系与区别。

关键词：黎曼积分；勒贝格积分；联系；区别

Abstract: Integral plays a critical role in the whole of Analytic Mathematics. And the current integration has two forms: one is the Riemann integral (R integral) which is regarded as the central content of the study of the mathematical analysis. The other one is the Lebesgue integral (L integral) which is regarded as the core content of the study of the real variable function. The two kinds of integral not only have the close relations but also have the essential differences. According to the definition of the Riemann integral and the Lebesgue integral ,this paper analyses and makes a comparison with the definitions, which uses some examples to summarize their relations and differences.

Key words:Riemann integral; Lebesgue integral; relation; difference

1 引言

积分学的历史很早，它起源于求积问题。[1]在公元前三世纪的时候，古希腊阿基米德在解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的研究中就隐含着近代积分学的思想。这也是真正积分学萌芽的开始。公元五世纪，中国数学家祖冲之及父亲祖日恒的“缘幂势既同，则积不容异”的提出也就奠基了积分概念的雏形。十七世纪以后，牛顿的《流数简论》标志着微积分的诞生，牛顿和莱布尼茨创立了微分学，积分这才得到真正的发展。十八世纪，数学的发展进入了数学分析时代，但是积分的概念一直没有被真正的提出，直到柯西从分析的角度给出积分的构造性定义。十九世纪，数学家们试图给积分计算提供一个稳固的定义。而波恩哈德·黎曼将柯西只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的黎曼积分，从而扩大了积分的应用范围。但是黎曼积分还主要存在着两方面的缺陷，一是黎曼积分与极限可交换的条件太严；二是积分运算不完全是微分的逆运算[2]。鉴于黎曼积分的缺陷，人们长期以来致力于对此进行改进。直到十九世纪末集合论的建立为微积分的变革奠定了理论基础，科学家们开始着手改进并推广黎曼积分。1902年法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功地引入了一种新积分，这就是勒贝格积分。当然单纯的从积分学的发展史看来勒贝格积分是黎曼积分的推广衍生，但是勒贝格积分在很大程度上摆脱了黎曼积分的不足，且大大地扩充了可积函数的范围，成为我们现今分析数学中不可缺少的工具。本文就黎曼积分与勒贝格积分的定义出发，进行分析比较得到它们的联系与区别。

2 黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别

2.1 黎曼积分的定义[3]

设()x f 是定义在[],a b 上的有界函数，任取一分点组T

012n a x x x x b =<<<<=

将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -????上任取一点ζi ,i =1,2,3,….做和

11

(ζ)()n

i i i i S f x x -==-∑

令11max()i i i n

r x x -≤≤=-，如果对任意的划分与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于

有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为

()b

a I R f x dx =?。

黎曼积分还有另一种定义[4]：

设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令

(){}i i x x x f M ?∈=,sup ,(){}i i x x x f m ?∈=,inf ,i i i x x x -=?+1,()11

-=-=∑i i n

i i x x m s ()11-=-=∑i i n

i i x x M S ,若有

s

dx S b

a

b

a

??

=

则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积。 2.2 勒贝格积分的定义

关于黎曼积分所用的思想是“分割，近似和求，取极限”。我们已经知道长度进行推广就是测度，那么我们若将黎曼积分进行推广就可以想到将区间的分割推广到测度空间中有限可测集的划分。对于被积函数若按照黎曼积分的思想，必须使得()f x 在分割区间后，函数在尽可能多的区间上振幅足够小，这把具有较多激烈震荡的函数被排除在可测函数类外。勒贝格大胆的采用逆向思维的方法，从值域入手，提出勒贝格积分。即

0>?δ，做M y y y m n i =<<<<= 0(n i ,2,1,0=)，有δ<--1i i y y ，M ，

m 分别为()x f 在E 上的上界和下界，(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,，若i n

i i mE y ∑=-→1

10

lim δ存

在,则()x f 勒贝格可积。

2.2.1 一般的可测函数的积分定义[2]

设q R E ?为可测集，()x f 为E 上的可测函数。令()(){}0,ma x x f x f

=+

，

()(){}0,min x f x f

-=-

。

则+f 和-f 都是E 上的非负可测函数，当E x ∈时，有

()()()x f x f

x f -+

-=， ()()()x f x f x f =+-+

若()dx x f E

?+和()dx x f E

?-中至少一个有限，则称()x f 在E 上的积分确定，称

()()dx x f dx x f E

E

??

-+-为f 在E 上的勒贝格积分，记作()dx x f E

?。

若()dx x f E

?+和()dx x f E

?-都有极限，则称f 在E 上勒贝格可积。

2.2.2 非负简单函数的勒贝格积分定义[2]

设q R E ?为可测集，()x ?为E 上的一个非负简单函数，即E 表示有限个互不相交的可测集k E E E ,,,21 之并，而在每个i E 上()x ?取非负常数值i c ，也就是说

()()∑==k

i E i x c x x i

1

?。

这里的()x x i

E 是i E 的特征函数。

()x ?在E 上的勒贝格积分，定义为

()∑?==k

i i

i

E

mE c dx x 1

?。

设E A ?为可测子集，()x ?在A 上的勒贝格积分定义为?在A 上的限制A ?在

A 上的勒贝格积分，于是

()()∑?==k

i i

i

A

E A m c dx x 1

?。

2.2.3 非负可测函数的勒贝格积分定义[2]

设q R E ?为可测集，()x f 是E 上的非负可测函数，()x f 在E 上勒贝格可积其积分为

()(){()x dx x dx x f E

E

??:sup ??=是E 上的简单函数且E x ∈时，()()}x f x ≤≤?0

显然()+∞≤≤?dx x f E

0，若()+∞

，则称()x f 在E 上勒贝格可积。

设E A ?为可测子集，则()x f 在A 上的勒贝格积分定义为f 在A 上的限制A f 在A 上的勒贝格积分，我们有

()()dx x f dx x f E

A

A

x ??=。

2.3 积分定义的比较

由定义可见L 积分的可积范围比R 积分的可积范围更广泛，例如[5]：定义在

[],a b 上的连续函数()f x 一定R 可积，也L 可积，此外，还有函数不一定R 可积，

但L 可积的例子在[],a b 上的狄利克雷函数()x D 是R 不可积，但是L 可积。也就是说勒贝格积分包含了黎曼积分。

有这样的结论：凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积，且积分值相同，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积。

事实上，仅从函数定义域的分割角度来说，黎曼积分和勒贝格积分大体上是相似的，其区别在于黎曼积分所考虑的划分，只是把函数的定义区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的划分则允许把[],a b 分解为有限多个互不相交的可测子集，显然，前者的划分必是后者的划分，所以黎曼意义下的大小和必是勒贝格意义下的大小和，易得其积分值相同。

我们可以从这两种积分的定义看出，它们的主要区别是[6]：黎曼积分是将被积函数的定义域分割成有限多个小区间而产生的，而勒贝格积分则是将函数的值域划分而产生的。前者的优点是1,i i i x x -???=??的度量容易给出,但当分割的细度充分细时，函数()f x 在i ?上的振幅sup ()inf ()i

i

i x x f x x →?∈?δ=-仍可能较大；后者的优点是函数

()f x 在k E 上的振幅sup ()inf ()()k

k

k x E x E f x x D →∈δ=-≤δ较小，但k E 一般不再是区间，而

是可测集。其度量()k m E 的值一般不易给出。对定义域和对值域的分割是R 积分与

L 积分的本质区别。

下面我们用直观的例子来说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异。

用硬币兑换纸币。假设有5000枚硬币需要兑换成纸币，每一枚硬币的面值分别为0.01元、0.02元、0.05元、0.1元、0.2元、0.5元、1元中的一个，要兑换需计算总币值。计算总币值有两种方法，第一种是一个个硬币的币值逐个相加；第二种是把所有的硬币按币值分为7类，计算每一类币值再相加。明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想，方法二则体现的是勒贝格积分的思想。

另外，L 积分理论是在勒贝格测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论把有界和无界的情形都考虑了，而且被积函数可以定义在更一般

的点集上，而不仅仅限于[],a b 区间上。然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别，使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质。 2.4 两种积分的可积条件的比较 2.4.1 黎曼可积的条件

（一）黎曼可积的必要条件

定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上是有界函数。

注 函数黎曼可积则函数必有界，但是有界函数不一定黎曼可积。 （二）黎曼可积的充要条件[6]

1.设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充要条件为()x f 在

[]b a ,上的黎曼上积分与黎曼下积分相等。即

设()x f 在[]b a ,上有界，对任取一分点组{}b x x x a T n =<<<== 10，其中令

(){}i i x x x f M ?∈=,sup ，(){}i i x x x f m ?∈=,inf ，i i i x x x -=?+1，()11

-=-=∑i i n

i i x x m s ，()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ，n i ,2,1=

有

dx s dx S b

a

b

a

??

=。

2.设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充要条件为

0>?ξ，总存在某一分割T ，使得

()i i i i

n

i i m M w x

w -=

。

3.设()x f 是定义在上[]b a ,的有界函数，则()x f 黎曼可积的充要条件为对于任给正数ξ，η，总存在某一分割T ，使得属于T 的所有振幅η≥i w '的小区间的长度总长小于等于ξ。

4.设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充要条件为

0>?ξ，总存在某一分割T ，使得

()()ξ<-T s T S 。

5.定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集。

2.4.2 勒贝格可积的条件[6]

1.设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数，则()x f 在E 上L 可积的充要条件为0>?ξ，总存在E 的某一分割D ，使得

ξ<∑i

i

i mE

w 。

2.设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数，则()x f 在E 上L 可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测。

3.设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在，则()x f 在[]b a ,上L 可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在，且有

()[]

()dx x f dx x f b

a

b a ??

=,。

4.设()x f n 为E 上的可测函数列，()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存 在，且()M dx x f E

n

5.设()x f 是定义在可测集E 上的连续函数，则()x f 在E 上L 可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测。

我们从函数的黎曼可积和勒贝格可积的充要条件可以很明显的看出，它们之间的不同，而且黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性，从而勒贝格积分比黎曼积分的应用范围更为广泛，使用起来也更为方便。从它们的充要条件可以得到结论如下：勒贝格积分是黎曼正常积分的推广但不是黎曼反常积分的推广（这里就不做讨论了）由此可见，勒贝格积分比黎曼积分向前迈了一大步。

3 实例[7]

通常我们在求解勒贝格积分时，有很多问题可以通过求黎曼积分而得到勒贝格积分（如例1、2）。因为勒贝格积分相对黎曼积分有明显的优越性，所以在黎曼积分中有较难的问题时我们会运用勒贝格积分来解决（如例3、4）。 例1 计算()3

1

1

-=

x x f 上[]2,1的积分。 解 用截断函数求解

()x f 是[]2,1上的非负函数，作截函数

[]??????

?-=31

1)(x n

x f n 2

111

1133<≤++<≤x n n

x , 显然，对每个()[]n x f 均R 可积，故也L 可积 ()[][]

()()dx x R dx n R dx x f n n n ?

??

+

+

-+=2

13

11

2,13

13

11

1

??

?

??-+??????-??? ??+=232323111n n n

221

23n

-=， 于是

()[]

()[][]

dx x f dx x f n n ?

?

∞

→=2,12,1lim

??? ?

?-=∞→22323

lim n n

2

3=。 例2 设()∞=,0E 上函数

()???

?

???=--2

1

x x

x f (]()∞∈∈,11,0x x 求()dx x f E

?。

解 作截断函数

()[]????

?????

=--21x x n x f n

∞

<<≤<≤

1022

, 取??

?

???=n n E n ,12， ,2,1=n 由于()[]n x f 在n E 上黎曼可积，故

)[]()()dx x R dx x R dx x f n

E n n n

???--+=12

12

12

1

1

11

212

1n

x n x +=

n

33-=， 所以

()()()[]dx x f dx x f L n

E

n n E ??∞→=lim ??? ?

?

-=∞→n n 33lim

3=。 例3 计算在()10，上的黎曼函数

()???

?

???=01

g

x R

()()Q x Q x 1,001∈∈ 的积分()dx x R ?1

。

分析 这个黎曼函数在所有无理点处是处处连续的，有理点处是不连续的，虽然在()1,0中有无穷多个有理点，即黎曼函数在()1,0上的不连续点有无穷多个，但这个函数在()1,0上仍然是黎曼可积的，且有()01

0=?dx x f ，但是用黎曼积分的方法

来求其积分值是比较复杂，然而用勒贝格积分的方法来求积分值就显然十分简单了。

解 由()x R 是黎曼可积?()x R 几乎处处连续，所以令x x A |{=为()1,0中的有理数}，()A B -=1,0 ，则 ()()()()()

dx x R L dx x R R ?

?=1,01

()()()()dx x R L dx x R L B

A

??+=

()()dx x R L B

?+=0

()dx L B

?=0

0=。

例4 已知

求()[]

dx x f ?

1,0。

解 令

()???????=3

2

x x x g ?

?

????∈??

????∈31,01,31x x ，

所以 ()()x g x f =在[]1,0上处处成立，

()[

]

()[]

dx x g dx x f ?

?=1,01,0

()dx x g ?=1

dx x dx x ??+=1

20

3

3

13

1

3

13

3141304x x +

= 324

103

=

。 利用勒贝格积分可得出黎曼积分比较重要的结论，其中之一就是黎曼可积条件的推广。利用勒贝格积分理论中的积分极限定理，可以证明：[]b a ,上的有界函数()x f ，黎曼可积的充分必要条件是()x f 在[]b a ,上几乎处处连续即不连续点的测度长度为0，这就是黎曼积分的本质特性，从黎曼积分的自身理论是推不出来的，必须借助勒贝格积分理论才能得到。当然黎曼积分也有它自身其他的优势，比如[8]在非均匀分布时“直线段”质量、平面薄板质量等等问题上，用黎曼积分比较简捷方便。

[][][]的有理点

的无理点

小于的无理点

大于1,03

1

1,031

1,0∈∈∈x x x ()?????

??????=03

2x x x f

4 总结

从数学的发展史表明[9]，黎曼积分和勒贝格积分都在各自相应的产生时期起着重大的作。从狭义上看来，勒贝格积分是黎曼积分的推广，同时，勒贝格积分的提出是积分发展史上的一次革命，它使积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化，从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透，促进其它学科的发展。勒贝格积分不仅仅是扩大了可积函数类，而且还由于它特有的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学的发展进入了现代数学分析时代。勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分，而是把黎曼积分作为一种特例加以概括，它们是一种相互依赖、相互补充、相互帮助以及在特定的条件下可以相互转化的关系，由此可见，黎曼积分和勒贝格积分各自有各自的优势和价值。

从黎曼积分发展到勒贝格积分，我们可以学到数学的发展是永无止境的，随着社会的发展、科学的进步和人们的需求，勒贝格积分也逐渐地暴露出它的局限，积分理论还有待继续发展。当然，我很期待积分理论能越来越完善。

参考文献：

[1] 范君好.Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别[J].桂林师范高等专科学校学

报,2010.

[2] 程其襄等.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2010.

[3] 华东师范大学数学系编著.数学分析(第三版)[M] .北京:高等教育出版社,1999.

[4] 刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.

[5] 薛玉梅.关于黎曼可积分理论教学探讨[J].北京:北京航空航天大学学报,2011.

[6] 周成林.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J].河南:新乡教育学报,2005.

[7] 朱连兴.关于（L）积分与(R)积分的区别与联系[J].黑龙江教育学院学报，1994.

[8] 李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社,2005.

[9] 周民强等.实变函数论[M].北京：北京大学出版社,2001.