高考-不等式专题的三大考点

高考-不等式专题的三大考点

不等式专题的几个常考点

考点一 用均值不等式求最值的类型及方法

一、几个重要的均值不等式 ①

，

、)(2

22

22

2

R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号

成立； ②

，

、)(222

+

∈??

? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号

成立； ③

，

、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c

时,“=”号成立； ④

)

(333

3+

∈??

? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c

时,“=”号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

② 熟悉一个重要的不等式链：

b

a 112

+2a b

ab +≤≤≤2

2

2b a +。

二、函数()(0)b f x ax a b x

=+>、图象及性质

(1)函数

()0)(>+

=b a x

b

ax x f 、图象如图：

x

a

b

ab

2-ab 2a

b -

o

y

(2)函数()0)(>+=b a x

b

ax x f 、性质：

①值域：)

,2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,b a

-∞-

，[

,)b

a

+∞；单调递减区间：

(0,

]b a

，[,0)b a

-

.

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2

1

(1)

2(1)

y x x x =+>-的最小值。

注意：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2

3(32)(0)2

y x x x =-<< 注意：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y +

∈R ，求4()f x x x

=+)10(≤

注意：求解此类问题，要注意灵活选取方法，一般利用函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象即可。 类型Ⅳ：条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足811x y

+=，求2x y +的最小值。 注意：此类问题是学生求解易错得一类题目，想方设法凑成两个倒数的和的形式。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。 注意：一定要注意xy ，x+y ，x —y ，x 方+y 方 之间的关系。

综上所述，应用均值不等式求最值要注意： 一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

考点二 一元二次不等是恒成立问题

基本的题型有：

1.一元二次不等式在R 上恒成立

2. 一元二次不等式在（a ，b ）恒成立

3. 一元二次不等式在（a ，＆）恒成立

一、 主元变更转化法：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

ⅰ）?

??>>0)(0m f a 或ⅱ）?

??><0)(0n f a 亦可合并定成?

?

?>>0

)(0

)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有??

?<<0

)(0

)(n f m f

例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

二、利用判别式求解

把不等式转化为一元二次不等式，利用0

2

>++c bx ax 在R

上恒成立

n m o x

y

n m o x

y