浙江省绍兴市柯桥区高三下学期期中数学试卷

2016-2017学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1．设f（x）=log2x的定义域为是A={1，2，4}，值域为B，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4}

2．复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）

A．B．C．D．

3．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）

A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．

5．已知随机变量ξ的分布列为下表所示，若，则Dξ=（）

A．B．C．1 D．

6．设集合，则A表示的平面区域的面积是（）

A．B．C．D．1

7．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a≠0）在处取得最小值，则函数

是（）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

D．奇函数且它的图象关于点对称

8．已知x，y∈R，（）

A．若|x﹣y2|+|x2+y|≤1，则

B．若|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，则

C．若|x+y2|+|x2﹣y|≤1，则

D．若|x+y2|+|x2+y|≤1，则

9．已知平面向量满足，，，，则

最大值为（）

A．B．C．D．

10．已知异面直线l1，l2，点A是直线l1上的一个定点，过l1，l2分别引互相垂直的两个平面α，β，设l=α∩β，P为点A在l的射影，当α，β变化时，点P的轨迹是（）

A．圆B．两条相交直线C．球面D．抛物线

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．双曲线的渐近线方程是，离心率是．

12．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，

侧面积是cm2．

13．已知正数数列{a n}的前n项和S n满足：S n和2的等比中项等于a n和2的等差中项，则a1=，S n=．

14．若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=．15．现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个

花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是（用数字作答）

16．已知圆O1和圆O2都经过点A（0，1），若两圆与直线4x﹣3y+5=0及y+1=0均相切，则|O1O2|=．

17．已知函数f（x）=x2+mx++n（m，n∈R）有零点，则m2+n2的取值范围是．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosC+（2a+c）cosB=0．

（I）求角B的值；

（II）若b=1，，求△ABC的面积．

19．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（I）求证：GF∥平面ADE；

（II）求GF与平面ABE所成角的正切值．

20．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）当λ＞0时，求证：f（x）≥（1﹣λ）x+λ，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）求证：对任意实数λ，总存在实数x∈[﹣3，3]，有f（x）＞λ．

21．已知椭圆，点A（3，0），P是椭圆C上的动点．

（I）若直线AP与椭圆C相切，求点P的坐标；

（II）若P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边

形OPAB面积的最小值．

22．已知正项数列{a n}满足：a1=，a n2=a n

﹣1a n+a n

﹣1

（n≥2），S n为数列{a n}的前

n项和．

（I）求证：对任意正整数n，有；

（II）设数列的前n项和为T n，求证：对任意M∈（0，6），总存在正整数N，使得n＞N时，T n＞M．

2016-2017学年浙江省绍兴市柯桥区高三（下）期中数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．

1．设f（x）=log2x的定义域为是A={1，2，4}，值域为B，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4}

【考点】4N：对数函数的图象与性质．

【分析】计算f（1），f（2），f（4），得出B，从而得出A与B的交集．

【解答】解：f（1）=0，f（2）=1，f（4）=2，

∴B={0，1，2}，

∴A∩B={1，2}．

故选C．

2．复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）

A．B．C．D．

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：∵（1+i）z=i+2，∴（1﹣i）（1+i）z=（i+2）（1﹣i），∴2z=3﹣i，∴

﹣i．

则z的虚部为，

故选：C．

3．已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”，又AD与BC相交．∴l⊥平面ABCD?l垂直于两底AB，CD，反之不成立．即可判断出结论．

【解答】解：四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”，又AD与BC相交．

∴l⊥平面ABCD?l垂直于两底AB，CD，反之不成立．

∴“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，CD”的充分不必要条件．

故选：A．

4．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）

A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．【解答】解：设切点为（m，n），（m＞0），

的导数为y′=x﹣，

可得切线的斜率为m﹣=﹣，

解方程可得，m=2．

故选B．

5．已知随机变量ξ的分布列为下表所示，若，则Dξ=（）

A．B．C．1 D．

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】由ξ的分布列的性质得到+a+b=1，E（ξ）=求得a、b的值，

再利用离散型随机变量方差公式求得D（ξ）的值．

【解答】解：由E（ξ）=﹣1×+0×a+1×b=，整理得b=，

由+a+b=1，a=1﹣﹣=，

∴D（ξ）=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×=．

故选：B．

6．设集合，则A表示的平面区域的面积是（）

A

．B．C．D．1

【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．

【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，结合图形计算三角形的面积．

【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，

联立，

得A（0，1），

联立，

得B（﹣，﹣），

联立，

得C（，﹣）；

∴又直线x﹣y﹣1=0交y轴于点D（0，﹣1）

∴不等式组表示的平面区域面积为

S=S△ABD+S△ACD=×2×+×2×=1．

故选：D．

7．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a≠0）在处取得最小值，则函数

是（）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

D．奇函数且它的图象关于点对称

【考点】GI：三角函数的化简求值．

【分析】由题意可得﹣（a+b）=﹣，即有b=a，故f（x）=asin（x+）．求

得f（﹣x）=asinx，再利用正弦函数的性质得出结论．

【解答】解：函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ）（a≠0）的周期为2π，

在处取得最小值，

故有﹣（a+b）=﹣，即有b=a，∴f（x）=asin（x+）．

则f（﹣x）=asin（π﹣x）=asinx．

则函数y=f（﹣x）为奇函数，对称中心为（kπ，0），k∈Z，

故选：C．

8．已知x，y∈R，（）

A．若|x﹣y2|+|x2+y|≤1，则

B．若|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，则

C．若|x+y2|+|x2﹣y|≤1，则

D．若|x+y2|+|x2+y|≤1，则

【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．

【分析】利用绝对值不等式的性质，得出（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x

﹣y2|+|x2﹣y|≤1，即得，判断B正确．

【解答】解：对于A，|x﹣y2|+|x2+y|≤1，

由化简得x2+x+y2﹣y≤1，二者没有对应关系；

对于B，由（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，

∴x2﹣x+y2﹣y≤1，即，命题成立；

对于C，|x+y2|+|x2﹣y|≤1，

由化简得x2+x+y2+y≤1，二者没有对应关系；

对于D，|x+y2|+|x2+y|≤1，

化简得x2﹣x+y2+y≤1，二者没有对应关系．

故选：B．

9．已知平面向量满足，，，，则

最大值为（）

A．B．C．D．

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】设，=，=，则由向量的数量积运算公式可知

最大值为4S，根据A点轨迹找出A 到BC的最大距离即可求出最大值．

【解答】解：设，=，=，与所成夹角为θ，

则=|AB|2|AC|2﹣

|AB|2|AC|2cos2θ=|AB|2|AC|2sin2θ=|AB|2|AC|2sin2∠CAB，

=4S2△ABC，

∵，，，∴的夹角为60°，

设B（3，0，），C（1，），则|BC|=，

==，设O到BC的距离为h，

∴S

△OBC

=，

则=S

△OBC

∴h=，

∵||=4，∴A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，

∴A到BC的距离最大值为4+h=4+．

的最大值为××（4+）=2+，

∴S

△ABC

∴最大值为4（2+）2=（4+3）2．

故选：D．

10．已知异面直线l1，l2，点A是直线l1上的一个定点，过l1，l2分别引互相垂直的两个平面α，β，设l=α∩β，P为点A在l的射影，当α，β变化时，点P的轨迹是（）

A．圆B．两条相交直线C．球面D．抛物线

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，P为点A在l的射影，则PA

为定值，点A是直线l1上的一个定点，即可得出结论．

【解答】解：由题意，异面直线l1，l2间的距离为定值，P为点A在l的射影，则PA为定值，即异面直线l1，l2间的距离，

∵点A是直线l1上的一个定点，

∴当α，β变化时，点P的轨迹是球面，

故选C．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率是．

【考点】KB：双曲线的标准方程．

【分析】直接利用方程，可得双曲线的性质．

【解答】解：双曲线的渐近线方程是y=±x，

a=，b=1，c=，离心率是=，

故答案为y=±x，．

12．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是12cm3，

侧面积是27cm2．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积、侧面积．

【解答】解：由三视图得到几何体如图：

体积为=12；

侧面积为=27；

故答案为：12；27．

13．已知正数数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 和2的等比中项等于a n 和2的等差中项，则a 1= 2 ，S n = 2n 2 ． 【考点】89：等比数列的前n 项和．

【分析】由等差中项和等比中项可得

=

，平方可得S n =

，把

n=1代入可得a 1=2，还可得S n ﹣1=，又a n =S n S ﹣n ﹣1，数列各项都是正

数，可得a n ﹣a n ﹣1=4，可得数列为等差数列，可得前n 项和公式．

【解答】解：由题意知=

，平方可得S n =

，①

①由a 1=S 1得=

，从而可解得a 1=2．

又由①式得S n ﹣1=

（n ≥2）…②

①﹣②可得a n =S n S ﹣n ﹣1=﹣（n ≥2）

整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣4）=0 ∵数列{a n }的各项都是正数， ∴a n ﹣a n ﹣1﹣4=0，即a n ﹣a n ﹣1=4．

故数列{a n }是以2为首项4为公差的等差数列，

∴S n =2n +

=2n 2．

当n=1时，S 1=a 1=2． 故S n =2n 2．

故答案是：2；2n 2．

14．若正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），则a=，b=．【考点】4H：对数的运算性质．

【分析】正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），利用对数的运算法则与单调性可得：8a==，解出即可得出．

【解答】解：∵正数a，b满足3+log2a=1+log4b=log8（a+b），

∴log2（8a）==，

∴8a==，

解得a==b．

故答案为：，．

15．现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花种在其中的2个花盆里（每个花盆种一种花），若要求每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是14（用数字作答）

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【分析】先求出没有限制的种数，再排除三个空盆相邻的种数，问题得以解决．【解答】解：没有限制的种花种数为A52=20种，其中三个空盆相邻的情况有A33=6种，

则每相邻的3个花盆里至少有一种花，则这样的不同的种法数是20﹣6=14种，故答案为：14．

16．已知圆O1和圆O2都经过点A（0，1），若两圆与直线4x﹣3y+5=0及y+1=0

均相切，则|O1O2|=．

【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．

【分析】由题意画出图形，可得两圆中一个圆的圆心在坐标原点，由已知列式求出另一圆心坐标，则答案可求．

【解答】解：如图，∵原点O到直线4x﹣3y+5=0的距离d=，到

直线y=﹣1的距离为1，且到（0，1）的距离为1，

∴圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，

设O2（a，b），则由题意：

，解得．

∴．

故答案为：．

17．已知函数f（x）=x2+mx++n（m，n∈R）有零点，则m2+n2的取值范围

是[，+∞）．

【考点】52：函数零点的判定定理．

【分析】令t=x+，得出关于t的方程t2+mt+n﹣2=0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，根据零点的存在性定理列不等式，作出平面区域，根据m2+n2的几何意义解出．

【解答】解：f（x）=x2+mx++n==．令x+=t，当x＞0时，t≥2；当x＜0时，t≤﹣2．

∵函数f（x）在定义域上有零点，∴方程t2+mt+n﹣2=0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有解，

∴2﹣2m+n≤0或2+2m+n≤0，

作出平面区域如图所示：

由图形可知平面区域内的点到原点的最短距离d=，

∴m2+n2≥．

故答案为：[，+∞）．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosC+（2a+c）cosB=0．

（I）求角B的值；

（II）若b=1，，求△ABC的面积．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（I）利用正弦定理化简bcosC+（2a+c）cosB=0可得角B的值；

（II）根据三角内角和定理，消去C角，利用和与差公式以及同角三角函数关系式求出A，C．即可求出△ABC的面积．

【解答】解：（I）∵bcosC+（2a+c）cosB=0．

由正弦定理sinBcosC+2sinAcosB+sinCcosB=0，即sinA+2sinAcosB=0，

∵sinA≠0

∴cosB=，

∵0＜B＜π，

∴B=．

（II）由（I）可得B=．

那么C=60°﹣A．

∵，

即cosA+cos60°cosA+sin60°sinA=；

?．

?sin（A+）=

∴sin（A+）=1．

∴A=，

∴C=．

∴△ABC是等腰三角形．

故得△ABC的面积S=×1××tan=．

19．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（I）求证：GF∥平面ADE；

（II）求GF与平面ABE所成角的正切值．

【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）取AE的中点H，连接HG，HD，由G是BE的中点，F是CD中点，推导出四边形HGFD是平行四边形，从而GF∥DH，由此能证明GF∥平面ADE．

（II）过B作BQ∥EC，以D为原点，BE、BQ、BA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出GF与平面ABE所成角的正切值．

【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，

∴GH∥AB，且GH=AB，

又F是CD中点，∴DF=CD，

由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB=CD，

∴GH∥DF，且GH=DF．∴四边形HGFD是平行四边形，

∴GF∥DH，又DH?平面ADE，GF?平面ADE，

∴GF∥平面ADE．

解：（II）如图，在平面BEC内，过B作BQ∥EC，

∵BE⊥CE，∴BQ⊥BE，

又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，

以D为原点，BE、BQ、BA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1），G（1，0，0），=（1，2，1），平面ABE的法向量=（0，1，0），

设GF与平面ABE所成角的平面角为θ，

则sinθ==，∴cosθ==，

∴tanθ===．

∴GF与平面ABE所成角的正切值为．

20．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）当λ＞0时，求证：f（x）≥（1﹣λ）x+λ，并指出等号成立的条件；（Ⅱ）求证：对任意实数λ，总存在实数x∈[﹣3，3]，有f（x）＞λ．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=f（x）﹣（1﹣λ）x﹣λ，根据导数和函数的最值即可证明，

（Ⅱ）对任意实数λ，总存在实数x∈[﹣3，3]，有f（x）＞λ等价于f（x）的最大值大于λ，求导后，分类讨，根据导数和函数的最值得关系即可证明

【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=f（x）﹣（1﹣λ）x﹣λ=x+﹣（1﹣λ）x﹣λ=λ（

﹣x﹣1），

∴g′（x）=λ（1﹣），

令g′（x）=0，解得x=0，

当x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，

当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，

∴g（x）min=g（0）=0，

∴f（x）≥（1﹣λ）x+λ，当x=0时取等号，

（Ⅱ）证明：“对任意实数λ，总存在实数x∈[﹣3，3]，有f（x）＞λ等价于f （x）的最大值大于λ．

∵f′（x）=1﹣λe﹣x，

∴当λ≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在[﹣3，3]上单调递增，

∴f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=λ．

∴当λ≤0时命题成立；

当λ＞0时，由f′（x）=0得x=lnλ，

则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：

（1）当λ≥e3时，lnλ≥3，f（x）在[﹣3，3]上单调递减，

∴f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=λ．

∴当λ≥e3时命题成立；

（2）当e﹣3＜λ＜e3时，﹣3＜lnλ＜3，

∴f（x）在（﹣3，lnλ）上单调递减，在（lnλ，3）上单调递增．

∴f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；

且f（﹣3）＞f（0）=λ与f（3）＞f（0）=λ必有一成立，

∴当e﹣3＜λ＜e3时命题成立；

（3）当0＜λ≤e﹣3时，lnλ≤﹣3，

∴f（x）在[﹣3，3]上单调递增，

∴f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=λ．

所以当0＜λ≤e﹣3时命题成立；

综上所述，对任意实数λ，总存在实数x∈[﹣3，3]，有f（x）＞λ

21．已知椭圆，点A（3，0），P是椭圆C上的动点．

（I）若直线AP与椭圆C相切，求点P的坐标；

（II）若P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形OPAB面积的最小值．

【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（I）设直线AP的方程，代入椭圆方程，由△=0，即可求得k的值，代

入即可求得P点坐标；

（II）设AP中点为D，由|BA|=||BP|，所以BD⊥AP，求得AP的斜率，进而得到BD的斜率和中点，可得直线BD的方程，即有B的坐标，求得四边形OPAB

的面积为S=S

△OAP +S

△OMB

，化简整理，运用基本不等式即可得到最小值．

【解答】解：（I）设直线AP的斜率k，（k≠0），则直线AP：y=k（x﹣3），，整理得：（1+3k2）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，

由直线AP与椭圆C相切，则△=（18k2）2﹣4×（1+3k2）（27k2﹣6）=0，解得：k2=，

则x2﹣4x+4=0，解得：x=2，

将x=2代入椭圆方程，解得：y=±，

∴P点坐标为（2，）或（2，﹣）；

（II）设线段AP的中点为D．

因为BA=BP，所以BD⊥AP．

由题意知直线BD的斜率存在，

设点P的坐标为（x0，y0）（y0≠0），

则点D的坐标为（，），直线AP的斜率k AP=，

∴直线BD的斜率k BD=﹣=，

故直线BD的方程为y﹣=（x﹣）．

令x=0，得y=，故B（0，）．

由+=1，得x02=6﹣3y02，化简得B（0，）．

因此，S

四边形OPAB

=S△OAP+S△OAB=×3×|y0|+×3×||