习题课：椭圆第二定义的应用(精)

人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课

班级姓名自我学习评价 :优良还需努力

【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；

2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。

【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。

【学习过程】

一、学习准备（知识准备）

请独立完成下列填空：

1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的

；常数等于椭圆的；

2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线

的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条.

常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。

3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程

的焦半径；；对于标准方程的焦半径；

椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！

●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。

1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D.

2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B

C. D.

3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（）

A . 6 ；

B .8 ； C.10 ； D.15

4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=；

5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你

能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为

你是用什么方法求解的？。

二、典型例析

【探究一】利用椭圆第二定义解题

例1：已知椭圆内有一点，为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点,使

得取得最小值，求最小值和点的坐标。（提示：。。。。。。）可给于一定的提示！

●想一想：解决此类问题的关键是。在解决问题中，你认为椭圆的第一定义和第二定义各自的功能是什么？

●扩展引申：你能不能求出的最大和最小值？（课后探究，分小组研究解决方案）

●变式训练：椭圆上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，则点P到右焦点的距离为

例2;在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的2倍。

●变式训练：如图所示，已知椭圆，试问能否在x轴下方的椭圆弧上找到一点M，使M到下准线的距离是M到两焦点的距离的比例中项，若能找到，求出此点坐标；若不能找到，需说明理由。

【探究二】利用椭圆第二定义及性质求椭圆的标准方程

例3:已知A,B是椭圆上的两点，是右焦点，若，AB的中点P到左准线间的距离为，求椭圆的标准方程。

●闯关训练：如图所示，已知P是椭圆

上一点，为两焦点，且,若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程。

三【学后反思】1、这节课你主要解决了哪些问题？ 2、运用了哪些数学思想和方法？

四、后课作业（略）、

几点意见：

本节课建议应紧密围绕椭圆的第二定义及性质的运用进行编选例题和练习题。例题三个足够了，加上前的基础练习和各个例题的变式练习，课堂容量还是比较大的。为了节省时间，在上课前几分钟小组互评检查时就可以把学生讲解的内容分配给各组，并叫各组把解答的习题写在黑板上，上课时学生在讲解后要注意加强对学生讲解的内容引导学生互评，教师要进行好点评讲解，帮助学生揭示出知识内在的联系和解题的规律，提高学生的解题能力，帮助学生及解和掌握数形结合与分类讨论的数学思想方法，提高学生的思维品质。

例题和练习题的设计要紧紧围绕目标，循序渐进的展开，例子要具有典型性和代表性，并且几个例子之间要相互协调构成一个利用椭圆第二定义及性质解题的整体结构。通过本节课的学习，使学生形成利用椭圆第二定义解题的整体解题认知结构，掌握利用椭圆第二定义解题的方法和规律，提高综合运用第二定义解题的能力。

习题课：椭圆第二定义的应用(精)

人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课班级姓名自我学习评价 :优良还需努力【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。【学习过程】一、学习准备（知识准备）请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .

椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为你是用什么方法求解的？。二、典型例析【探究一】利用椭圆第二定义解题

椭圆第二定义教学活动设计

椭圆第二定义教学设计一、背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想. 二、教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用. 三、学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 四、教学目标

知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标： 1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2、了解离心率的几何意义； 3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程；六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用；七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程（一）、引入课题(上一节的例题得出的结果) 例、椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：2 2 )34(||y MF +-=且 116 2542 02=+y 代入消去2 0y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆122 22=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点 )0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？

椭圆的第二定义应用

椭圆的第二定义应用班级姓名基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。注意： ①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距

离为（）

A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2 100 x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______ 5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。

椭圆定义及应用

一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。

例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

椭圆定义及应用备课讲稿

椭圆定义及应用

一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F 1、F 2 ，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F 1F 2 |<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F 1、F 2 称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例例1.已知点 1(3,0) F-, 2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例 2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P 的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.

解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF 2为一个圆直径，PF 1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例4.P 是椭圆22 14520 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若则12PF PF -的值为( ) A. 65 B. 25 C. 1 53 D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.

巧用椭圆的第二定义解题

巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小，而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223

椭圆的极坐标方程及其应用

椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值改为：抛物线 2 2(0)y px p => 呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率；例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.

椭圆的第二定义含解析

课题：椭圆的第二定义【学习目标】 1、掌握椭圆的第二定义； 2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e 几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： a c e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a >>，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????==?????? | ，由此得c a =．将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222 a c b -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>．这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a =<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c =-，所以椭圆有两条准线．

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2c a 2 三．第二定义的应用 1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）136 1002 2=+y x （2）8222=+y x 2、椭圆 136 1002 2=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) .12 C 3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______； 4、离心率e= 2 2,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________； 5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________； 6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为 3 5 的椭圆标准方程.

椭圆定义及其应用课件

椭圆定义其应用课件说明周南中学任元奇一、教学目的： 1、进一步掌握椭圆的定义，并能根据椭圆的定义解决简单问题。 2、掌握几个有关椭圆的常用结论。 3、能用椭圆定义解决稍复杂的问题。二、重点、难点：重点：椭圆的定义及其应用；难点：椭圆定义的应用。三、思想品德教育：数形结合的思想，探索与创新思想。四、教学方法：用探索法与分层教学法进行教学，教会学生学习的方法五、课件所用的软件：主要的是动态几何软件《几何画板》，它主要体现探索的思想方法；网页制作软件《FrontPage》和《Dreamweaver》,主要实现浏览

课件的窗口；还有动画制作软件《Flash5》，它主要是制作所用的动画效果；当然还离不文字处理软件《Microsoft Word》。六、课件使用说明： 1、打开文件夹《ty》，双击“index.htm”文件； 2、点击网页左边的菜单，即可跳到相应的网页，但主画面依然保存着； 3、点击“知识回顾”菜单，主窗口出现一些新的菜单，点击上面的菜单，弹出相应的几何画板文件，在此可对相应问题进行探索，探索完后退出几何画板文件，返回主窗口，再点击下面相应的菜单按钮左边的图案，弹出一个文字框，对所给问题给予解答； 4、“例题讲解”菜单的操作与“知识回顾”菜单一样操作； 5、“几何画板”文件的操作，就是拖动相应的点，画面上相应的几何量就会变化，动点就形成了轨迹。由这些变化可先知道问题的结果，这就是探索过程； 6、对探索的结果给予证明与解答。七、课件的特点： 1、整个课件体现了一个探索的精神，很好地体现了本节课的教学方法；

2、课件虽然要用两个软件来显示，但却链接非常好，使用权其成为一个了整体； 3、使用网页浏览器使课件的主要菜单贯穿整个课件的始终，各部分跳转自如； 4、用动态几何软件《几何画板》，很好地体现了数形结合的思想，反映了数学的精髓； 5、整个课件动静结合，使用起来使人赏心悦目。

例谈椭圆定义在解题中的应用

例谈椭圆定义在解题中的应用定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一、解方程例1 x x x x 2 2 22224-++++= 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++ ++=114222 2 ，则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。解：由原方程可得 y x y x y 222 2 2 1114 =-++ ++=?? ???()() ?+==??? ? ?x y y 22 243 11 解得x =± 263 二、判断方程表示的曲线例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412 2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样的曲线。分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有 () || x y x y -++-= 222 22 2 2 ，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的轨迹是椭圆。三、求参数的取值范围例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆 x m y 2 2 1 1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ， 0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。解：由题意知m>0，a m b = +=11，，c m = ，且 ||||||||||PF PF F F c PF PF a 12221222 1242+==+=?? ???① ② ②2－①得： ||||PF PF a c b 12222222?=-=

椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）：若），e e d MF 为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：c a x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。二、第二定义的应用 [例1]已知112 16,)3,2(2 2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：2 1==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。解：作图，过M 作l MN ⊥于N ， L 为右准线：8=x ，由第二定义，知： 2 1==e d MF ， MN d MF ==∴2 ,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值，即：MF MA +为“最小”，由图知：当A 、M 、N 共线，

即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10 [评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。 [例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明：作图，由第二定义：e c a x PF =+ 201 即：a ex c a x e c a x e PF r +=+=+?==02 02011)( 又a PF PF 221=+ 0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴ 注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由得出 c a a e a r c a ea a r -=-?+≥+=+≤)(11且即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时

椭圆第二定义

椭圆第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义； 3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；教学难点：椭圆的第二定义的运用；教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程：学生探究过程：复习回顾 1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为 3 2 2，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4 2 27± =y ）. 2．短轴长为8，离心率为 5 3 的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为 20 . 引入课题【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 . ② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？解：2 2 )34(||y MF +-=且1162542 02=+y 代入消去2 0y 得5 1325169||==MF

椭圆的极坐标方程及其应用

椭圆的极坐标方程及其应用如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF + 为定值改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，求k 。练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：2 2 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率；例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F

巧用椭圆的第二定义解题

巧用椭圆的第二定义解题《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x =－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程 11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP /⊥l 与P ，QQ /⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/，e QQ QF =/ ；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 为正三角形，且椭圆固定，则PQ 确定，于是PQ 的垂直平分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小，而COS / / MM Q ∠=M Q MM // ，由第2问的结论可得： COS //MM Q ∠= M Q MM / / =PQ PQ e 321= 2 2 31= e ，//MM Q ∠为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x =－ 223变题：已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x ，PQ 是过 F 且与x 轴不垂直的弦，若在其左准线l 上存在点 R 使?PQR 为正三角形，求椭圆的离心率的范围。解析：同上，由椭圆的第二定义和正三角形的性质， RM 3

高二数学(文)椭圆两种定义及其应用

椭圆两种定义及其应用【温故知新】 1．椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和为常数（大于|1F 2F |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 2.由椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 可知椭圆的几何性质：（1）范围：b y b a x a ≤≤-≤≤-, （2）对称性：关于x 轴、y 轴对称，关于原点对称（3）顶点：),0(),0,(),0,(),0,(b b a a -- （4）离心率：c a e = 【新知探究】 1．椭圆定义的应用：例1．如图，1F ，2F 是椭圆1342 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，求21F PF ?的面积．【小结】焦点三角形面积公式点),(00y x P 在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x θ= ∠21PF F ，则=21PF F S ?2tan 2θb 。例2．已知P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，1F ，2F 是其左右焦点，且 12021=∠F PF ， 3021=∠F PF ，求椭圆的离心率． 2．椭圆第二定义：例3．点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线l ： 425=x 的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．

【小结】椭圆第二定义：平面内与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数c a （a >c>0）的点的轨迹是一个椭圆，其中定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆相应于焦点F 的准线，常数a c 叫椭圆的离心率．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，相应于焦点)0,(/c F -的准线/l ：c a x 2-=。同时，我们还可以得到椭圆的焦半径公式：若),(00y x P 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，则=||1PF 0ex a + ； =||2PF 0ex a - ． 3．两种定义的综合应用：例4．已知点P 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；)2,1(A 是椭圆内一定点．求：（1）||||1PF PA +的最大值；（2）||3 5||1PF PA +的最小值及点P 的坐标．例5．（1）已知 P 是椭圆13610022=+y x 上一点，若 P 到椭圆右准线的距离是2 17，则P 到左焦点的距离为_____________．（2）设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（） A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．相交或相切【巩固练习】 1．椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（） A ．425±=x B ．516±=y C ．516±=x D ．4 25±=y 2．到定点)0,2(的距离与到定直线8=x 的距离之比为 22的动点的轨迹方程是（） A ．1121622=+y x B ．116 122 2=+y x C ．0568222=-++x y x D ．0688232 2=+-+x y x

椭圆的第二定义(比值定义)的应用(精)

椭圆的第二定义（比值定义）的应用陈文教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义 2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法 3、对学生进行对应统一的教育教学重点：椭圆的比值定义的应用教学难点：随圆的准线方程的应用教学方法：学导式教学过程：一、复习前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）：若则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。

注：①其中F为定点，F（C，0），d为M到定直线L：的距离 ②F与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。二、第二定义的应用 [例1]已知的右焦点，点M为椭圆的动点，求的最小值，并求出此时点M的坐标。分析：此题主要在于的转化，由第二定义：，可得出，即为M到L（右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。

解：如图所示，过M作于N，L为右准线：，由第二定义，知：，要使为最小值，即：为“最小”，由图知：当A、M、N共线，即：时，为最小；且最小值为A到L的距离=10，此时，可设，代入椭圆方程中，解得：故：当时，为的最小值为10

[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。 [例2]：设为椭圆的一点，离心率为e，P到左焦点F1和右焦点F2的距离分别为r1，r2 求证：证明如图，由第二定义：即：

又注：①上述结论，称为椭圆中的焦半径公式 ②得出即当当

[练习]（1）过的左焦点F作倾斜角为300 的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 2 分析：只需求（用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成）（2）的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若则P到左准线的距离为 24 分析：由焦半径公式，设得

椭圆定义及应用

、椭圆第一个定义的应用 1.1椭圆的第一个定义平面内有两个定点F i 、F 』，和一个定长2a 。若动点P 到两个定点距离之和等于定长2a ，且两个定点距离|F i F 2|v2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F i 、F 2称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式I F 耳IFF 耳F 加，其中P 为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长 2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2应用举例例1.已知点F i ( 3,0) , F 2(3,O),有|P F i] ] PF 』6,则P 点的轨迹是 2 J 例2.求证以椭圆/ b' 2 _ 3 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆F ￥ 7相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF 』为一个圆直径，PF i 为另一个圆半径的2倍，用公式丹I r 阴1= M ，很容易得出正确解答。 / P (a>b>0)上任意一点P 的 X

3 2 K J =] 例3. F i 、F 2是椭圆病+习■的两个焦点，P 是椭圆上一点，砂12碌求Ml 戸耳的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 |F 耳丨*|尸耳卜2口解决 2 20 1 上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，练:一动圆与圆 O 01 : X 2 +y 2 +6x+5=0 外切，同时与O 02 : x 2 +y 2 _ 6x — 91=0 内切, 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 y --ye 2 例4. P 是椭圆— 45 PF 2 的值为() A. 6^5 B. 2S /5 C. D. 2^5 3 例5.在圆C:(x 八 2 2 1) y 25内有一点A(1,0) ,Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为 M,求M 点的轨迹方程.

椭圆第二定义的运用离心率

椭圆第二定义的运用椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比等于离心率e . 1.椭圆焦点)( 4,0F 1-，)(4,0F 2，过点F 2垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且10B F B F 21=+，椭圆上不同两点)y ,x C(),y ,x A(2211，并满足条件C F ，B F ，A F 222成等差数列。（1）求椭圆方程. （2）求弦AC 的中点横坐标. （3）设弦AC 的垂直平分线的方程为 m kx y +=，求m 的范围 2.已知定点),3, 2(-A 点F 为椭圆11216=+y x 22的右焦点，点M 在椭圆上运动，求 MF AM 2+的最小值，并求此点M 的坐标。离心率的求法 1.椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的左焦点为F 1)0,(C -，),0(),0,(b B a A -是椭圆的两个顶点。若F 1到直线AB 的距离为7 b ，求椭圆的离心率。 2.椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）的右顶点是)0,(a A ，其上存在一点P ，使90?=∠APO ，求椭圆离心率的取值范围。

3.已知F 1，F 2为椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点，P 为直线23a x =上一点，F P F 12?是底角为30?的等腰三角形，求椭圆的离心率 4.椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右顶点分别是A ,B ，左右焦点分别是F 1，F 2。若F A 1，F F 12，B F 1成等比数列，求椭圆离心率。 5.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD 2BF =，求椭圆C 的离心率 6.已知椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点分别为F 1)0,(c -，F 2)0,(c 若椭圆上存在点P 使 F F P c F F P a 1 221sin sin ∠=∠，求椭圆离心率范围。 7.已知椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左焦点为F ,左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ，O 为原点，P 为椭圆上任意一点，过F 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（n m ,）. （1）当0≤+n m 时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）在（1）条件下，椭圆的离心率最小时，若点D )0,1(+b ，PO OD PF ?+)(的最小值为27，求椭圆方程

椭圆的第二定义应用

班级姓名基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M = <<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（） A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2 100x + 236 y =1上的点，P 到右准线的距离是，则p 到左焦点的距离是______ 5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253 ，的距离之比是35，则动

点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +2 16 y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、?一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。 10、已知A,B 是椭圆19252222=+a y a x 上的两点，2F 是右焦点，若a BF AF 5 822=+，AB 的中点P 到左准线的距离为23，求椭圆的方程。

椭圆的第二定义

椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M 的轨迹叫做椭圆。定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。先看例题：例：点()y x M ,与定点()0,c F 的距离和它到定直线c a x l 2 :=的距离的比是常数 a c ()0>>c a ，求点M 的轨迹。解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意得 =M F c d a 整理得： ()a c x c a y c x = -+-2 2 2 两边同时平方，并化简，得()()2 2 2 2 22 2 2 c a a y a x c a -=+-，令2 2 2 b c a =-，得轨迹的方程为12 22 2=+ b y a x ()0>>b a 如图所示：归纳整理：椭圆的第二定义：平面内与一个定点()0,c F 的距离和它到一条定直线c a x l 2 := 的距离之比是常数(01)c e e a = <<的动点M 的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。注意： ①对于椭圆方程 222 2 1(0)x y a b a b + =>> 对应于右焦点2(0)F c ，的准线称为右准线，方程为2 a x c =

对应于左焦点1(0)F c -，的准线为左准线，方程为2 a x c =- ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x =8的距离之比为2 2的动点的轨迹方程是解：设动点(,)M x y = 2 两边平方整理得0 56822 2 =-++x y x . 注意：本题中椭圆中心不在原点。如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a ，b ，c 直接计算，就会产生错误。所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。总结： 1.了解椭圆的第二定义中的各常量a ，b ，c ，c a ， 2 a c 几何意义。认识到离心率 c a 在第二定义中的关键作用。 2.理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。 3. 会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。 4.焦半径公式：例题：例1、设椭圆的方程为 )0 (12 22 2>>=+ b a b y a x ，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三角形，求离心率e 的取值范围.