椭圆的第二定义(含解析)教学内容
课题：椭圆的第二定义
【学习目标】
1、掌握椭圆的第二定义；
2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；
一、椭圆中的基本元素
（1）.基本量: a 、b 、c 、e
几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系： a
c e b a c =
-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心
（3）.基本线: 对称轴
二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a
>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????==??????|
c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．
设222
a c
b -=，就可化成22
221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．
由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a
=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2
a x c
=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2
a x c
=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．
【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2c
a 2
三．第二定义的应用
1、求下列椭圆的焦点坐标和准线
（1）136
1002
2=+y x （2）822
2=+y x 2、椭圆 136
1002
2=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( )
A.14
B.12
C.10
D.8
3、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；
4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；
5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；
6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为
3
5 的椭圆标准方程.
7、椭圆方程为164
1002
2=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.
8、已知椭圆22
143
x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）
分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．
解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．
由椭圆方程可知12312a b c e ====
，，，． 根据椭圆的第二定义，有112MF
MM =，即112
ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．
由方程组2234121x y y ?+=?=-?，，解得1M ?-????．即M 的坐标为1?-????．
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题
椭圆第二定义教学活动设计
椭圆第二定义教学设计 一、背景分析： 本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳总结的能力以及等价转化思想为重点的教学思想. 二、教材的地位和作用： 圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是高考的热点问题之一；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用. 三、学法指导： 以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 四、教学目标
知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标： 1、使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2、了解离心率的几何意义； 3、使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4、使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5、使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 五、教学重点：椭圆第二定义、准线方程； 六、教学难点：椭圆的第二定义的简单运用； 七、教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结. 八、教学过程 （一）、引入课题(上一节的例题得出的结果) 例、椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1为椭圆上的点,若点M 1为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：2 2 )34(||y MF +-=且 116 2542 02=+y 代入消去2 0y 得51325169||==MF 【推广】根据上面这个问题的解题思路你能否将椭圆122 22=+b y a x 上任一点),(y x M 到焦点 )0)(0,(>c c F 的距离表示成点M 横坐标x 的函数吗？
椭圆的第二定义应用
椭圆的第二定义应用 班级 姓名 基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。 注意： ①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距
离为（）
A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2 100 x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______ 5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
高二数学椭圆的概念教案及反思
高二数学椭圆的概念教案及反思 教学目标： 1、通过历史的回溯和实例的展示，了解圆锥曲线的背景和应用，感受其中蕴含的数学文化； 2、经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及用数量关系形式重塑椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念； 根据椭圆的定义建立焦点在轴上的椭圆标准方程，进一步巩固求曲线方程的一般方法和步骤，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。 教学重点：掌握椭圆的概念。 教学难点：从具体情境中抽象椭圆的本质特征。 教学过程： 教学过程 设计意图 一、视频引入 1、播放视频：播放经剪辑的嫦娥一号探月的概述，展现嫦娥一号优美的椭圆轨道，引入课题。 2、提出问题 卫星运行的轨迹是椭圆。在生活中还有哪些事物是椭圆？操场的一条跑道线是平面图形，它是不是椭圆呢？什么是数学意义上的椭圆？椭圆有什么性质？椭圆又有哪些应用呢？让我们带着这些问题开始今天的新课——圆锥曲线起始课。 通过振奋人心的音乐和视频剪辑了解圆锥曲线的航天应用并同时引入新课。 通过否定学生心中常见的对椭圆的错误理解，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课的学习内容。 二、椭圆的起源和发展 1、介绍椭圆的起源； 2、介绍椭圆的研究成果 介绍解析几何的起 提出问题：能否通过解析几何的方法研究椭圆这些圆锥曲线呢？能否用数量关系表示椭
圆上的点的运动规律呢？ 通过介绍圆锥曲线的历史，使学生了解圆锥曲线的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧。 通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，了解重塑椭圆定义的时代背景和学科发展背景，并创设悬念引出椭圆的性质。 三、椭圆性质的探索 1、考考空间想象力 第一组试题 我们知道，平行直线之间距离处处相等。那么，平行平面之间的距离有什么性质？ 我们知道，过圆外一点，引圆的两条切线，切线长相等。那么，过球外一点，引球的两条切线，切线长有什么数量关系？ 第二组试题 在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径的小球，小球与圆柱侧面的公共点将形成什么曲线？ 同样地，在下方也放置一个相同的小球，它与圆柱侧面的公共点将也形成圆，我们把这两个圆记作圆和圆。请问，圆与圆所在平面有怎样的位置关系？ 如图，在圆柱的最右侧侧面上取圆与圆之间的线段，它与圆、所在平面有怎样的位置关系？与两小球又有怎样的位置关系？ 如果将线段保持铅垂方向，沿着圆柱的侧面转动，与圆、所在平面是否依然垂直？与两小球是否依然相切？ 旋转过程中，线段的长度变不变？为什么？ 第三组试题 这是平面斜截圆柱得到的交线，它是否椭圆。现在，在圆柱内放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，请问共有几个切点？ 我们记切点为，在椭圆上任取一点，连结，请问与上方小球有什么位置关系？ 同理，在椭圆所在平面另一侧，再放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，将切点记作，则与下方小球相切。请问，当点在椭圆上运动时，，分别与上下两个小球相切不相切？ 2、发现椭圆的性质 椭圆的性质：椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数。其中两个定点叫做焦点，
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质 一、知识要点 椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 )10(<<= e a c e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义． e d MF =| |∴ 准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2 =．根据对 称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆122 22=+b x a y 的准线方程是c a y 2 ±=． 焦半径公式： 由椭圆的第二定义可得： 右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2 ===右； 左焦半径公式为ex a c a x e ed MF +===|)-(-|||2 左 二、典型例题 例1、求椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线； 练习：椭圆8192 2 =+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，
离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________. 例2、已知椭圆方程136 1002 2=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ， 求P 到右准线的距离. 例3、已知点M 为椭圆116 252 2=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求 ||3 5 ||1MF MA +的最小值. 变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13 42 2=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMAT MF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
(完整版)《椭圆及其标准方程》(第一课时)教学设计
《椭圆及其标准方程》（第一课时）教学设计 一、教学内容分析 教材选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-1.《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例。椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。一方面，它是对前面所学的运用“代数方法研究几何问题”的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；另一方面，教科书以椭圆作为学习圆锥曲线的开始和重点，并依此来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法。因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容。 椭圆是通过描述椭圆形成过程进行定义的，作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方 程建立的基石，这是本节课的一个教学重点；而坐标法是解析几何中的重要数学方法，椭圆方程的推导是利用坐标法求曲线方程的很好应用实例，让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程，并通过探究得到椭圆的标准方程，有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。 学生对“曲线与方程”的内在联系仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础。 根据以上分析，确定本课时的教学难点和教学重点分别是： 教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，体会坐标法的应用。 教学难点：椭圆概念的深入理解及选择不同的坐标系推导椭圆的标准方程。 二、学生学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识。因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力。而本节课要求学生通过自己动手亲自作出椭圆并且还要
椭圆第二定义
椭圆第二定义 学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化. 教学目标 知识目标：椭圆第二定义、准线方程； 能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景； 2了解离心率的几何意义； 3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义； 4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用； 5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用； 情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值. 教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程； 教学难点：椭圆的第二定义的运用； 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取 的精神． 教学过程： 学生探究过程：复习回顾 1．椭圆81922=+y x 的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为26，离心率为 3 2 2，焦点坐标为)26,0(±，顶点坐标为)9,0(±)0,3(±，（准线方程为4 2 27± =y ）. 2．短轴长为8，离心率为 5 3 的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为 20 . 引入课题 【习题4（教材P50例6）】椭圆的方程为 116 252 2=+y x ，M 1，M 2为椭圆上的点 ① 求点M 1（4，2.4）到焦点F （3，0）的距离 2.6 . ② 若点M 2为（4，y 0）不求出点M 2的纵坐标，你能求出这点到焦点F （3，0）的距离吗？ 解：2 2 )34(||y MF +-=且1162542 02=+y 代入消去2 0y 得5 1325169||==MF
黄振东椭圆的定义与标准方程(公开课)教案
2.1.1椭圆与标准方程（第一课时） 城关中学黄振东 一、教材分析 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。 第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。 第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。 二、学生情况分析 1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。 三、教学目标 1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。
2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。 3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。 四、教学重点和难点 1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 2.难点：椭圆标准方程的推导。 五、教法与学法 1．教法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。 2．学法 在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。 3．教学准备 (1)学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。 (2)教师准备：用PPT制作的课件。 六、教学过程设计 （一）创设情境，复习引入 由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特馆、油罐车等） （二）动手实验，归纳概念 问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢? 引导：先回忆如何画圆 （学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆） 画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆） 让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？ （学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。我将在黑板上用借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。
高考数学一轮复习 椭圆的第二定义教案
江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 椭圆的第二 定义教案 编号：025 椭圆的第二定义 一、教学目标： 使学生掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法；使学生理解椭圆的第二定义，椭圆的准线的定义，使学生掌握椭圆的准线方程并能应用准线方程判断椭圆的焦点位置；培养学生对立统一的观点. 二、教学重点：椭圆的第二定义，准线方程及其方程的应用 三、教学难点：椭圆准线方程的应用 四、引入新课： 1、写出椭圆2 2 169144x y +=中,x y 的范围，长轴和短轴长，离心率，半焦距的大小，焦点坐标及顶点坐标 2、椭圆的第一定义：_________________________________ 椭圆的标准方程:_______________ _______________ 求轨迹方程的方法：方法1___________ 方法2__________ 五、建构教学 已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数 (0)c a c a >>，求点P 的轨迹
1、椭圆的第二定义： _______________________________________________ （注意点：焦点与准线要相对应） 2、定点称为____________，定直线为______________ 3、中心O到准线的距离为，焦点F到相应准线的距离为，两准线间相距，焦点到顶点的最短距离为，最长距离为，过焦点垂直于长轴的通径长为。 4、已知点P（x0，y0）为椭圆上一点
练习：求下列曲线的准线方程，离心率 （1） 19 252 2=+y x （2）16422=+y x (3)椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e = . (4)已知椭圆22 143 x y +=上的点M （1，n ）到左焦点F 1的距离MF 1=_______到右焦点F 2的距离MF 2=___________ （5）椭圆 192522=+y x 的点M 到左准线的距离为25，则M 到右焦点的距离为 例 2.M 是椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中 1F 是椭圆的一个焦点. 例3：（1）设F 是椭圆124 322 2=+y x 的右焦点,定点A (2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点 P 使PF PA 2+最小,求P 点坐标及最小值. （2） 已知点A 的坐标为（1，1），F 1是椭圆45952 2 =+y x 的左焦点，点P 是椭圆 上的动点， ①求1PF PA +最大值和最小值。 ②求12 3 PF PA + 的最小值，并求点P 的坐标 例4、若点P 为椭圆 19 252 2=+y x 上任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点， 求12(1)PF PF ? 的取值范围
2.1.1椭圆及其标准方程(第2课时)教案
2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案 一、教学目标： 知识与技能： ①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程; ②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。 过程与方法： ①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。 ②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观： ①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神. ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。 难点：掌握求椭圆方程的基本方法。 三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境： 如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系 式:10)3()3(222 2=-++ ++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程. （复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案） 回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。 由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10 的椭圆。其标准方程是 116 252 2=+x y 回顾旧知： 1．椭圆的定义：
我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、 F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0） 表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。 2．椭圆的标准方程 焦点在X 轴的椭圆的标准方程为: 焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充： （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义， a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距. 有关系式 2 2 2 c b a += 成立。 （二）新知探究: 1.口答练习：（提问学生完成以下问题） ①方程 19 452 2=+y x 表示到焦点F1 和F2 ________的距离和为常数_____的椭圆; ②求满足下列条件的椭圆的标准方程 ③如果方程1m y 4x 2 2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ． ④ 已知?ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。 （1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。 证:(1)根据条件有AB+AC=2BC , 即AB+AC =12， 即动点A 到定点B,C 的距离之和为定值12， 且12>6＝BC ， 所以点A 在以B,C 为焦点的一个椭圆上运动. （2）这个椭圆的焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0） 2.探究1： 12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3 ==a c
高中高二数学椭圆的第二定义
高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精 讲 一. 本周教学内容： 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 ［知识点］ 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 e c a e M =<< () 01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 2 2 2 22 100 +=>> ()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线 x a c F c x a c =-=- 2 1 2 () ②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 22 2 10 2 +=>> ()() 左焦半径∴· 左 左 r x a c c a r ex c a a c a ex 20 2 + ==+=+ 右焦半径右 右 r a c x c a r a ex 2 - =?=- 3. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕
O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。 解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()??Ox OA 参数。 那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======?? ?||cos ||sin cos sin ()?? ?? 1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”?? 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 x a y b x a y b ==?? ??????+=cos sin ??22221普通方程 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 名称 方程 参数几何意义 直线 x x t y y t t =+=+?? ?00cos sin ()αα为参数 P x y 000()，定点，α倾斜角,t P P =0， P （x ，y ）动点 圆 x a r y b r =+=+?? ?cos sin ()θ θθ为参数 A （a ，b ）圆心，r 半径， P （x ，y ）动点，θ旋转角 椭圆 x a y b ==?? ? cos sin ()? ??为参数 a 长半轴长，b 短半轴长 ?离心角不是与的夹角()OM Ox 一般地，θ?π、取，[]02 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离
巧用椭圆的第二定义解题
巧用椭圆的第二定义解题 《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。 例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小， 而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223
椭圆的定义及其标准方程教学设计
课题：§椭圆的定义及其标准方程 鹿城中学田光海 一、教案背景： 1.面向对象：高中二年级学生 2.学科：数学 3.课时：2课时 4.教学内容：高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程§椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析
从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。 从学生现有的学习能力看，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能：掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。 过程与方法：经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
教案教学设计中职数学拓展模块2.1.2椭圆的几何性质.docx
课时教学设计首页（试用） 授课时间：年月日 课题 2.1.2 椭圆的几何性质课型新授第几 1～2课时 了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及课 时对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；在合作、互动的教学氛围中，教 学通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，大胆探索目 标椭圆几何性质，激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养 （三维） 学生勇于探索，敢于创新的精神和扎实严谨的科学态度。 教学重点： 教学椭圆的几何性质 重点 与教学难点： 难点 教学方法与手段 如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质 探究式教学法，即教师通过问题诱导→探究→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 使 用 教 采用了循序渐进、逐层推进的方法；为突破难点，在设计中通过课堂精心设计探讨问题，材 及时从练习反馈对所学知识的掌握程度。 的 构 想
一、复习引入： 1 ．椭圆定义： 2．标准方程： 3. 观察椭圆 课 时 教 学 设 计 尾 页（试用） ☆补充设计 ☆ 教师行为 学生行为 设计意图 复习巩固 : 在平面内，到两定点距 离之和等于定长 （定长大于 两定点间的距离） 的动点的 轨迹 x 2 y 2 1 x 2 y 2 y 2 x 2 a 2 b 2 ( a b 0 ) 的形状 , 你能从图上 a 2 b 2 1 a 2 b 2 1 看出它的范围吗 ? 它具有怎样的对称性 ?椭圆上哪些 （ a b 0 ） 点比较特殊 ? 二、讲解新课： (1) 范围 : y x 从标准方程得出 x 2 1, y 2 1 a 2 b 2 即 有 a x a , b y b 可 知 椭 圆 落 在 x a, y b 组成的矩形中． (2) 对称性 : 把方程中的 ( x ) 换成 ( x )方程不变，图象关 练习： 于 ( y )轴对称． ( y )换成 ( y )方程不变，图象关 于 ( x ) 轴对称．把 ( x, y )同时换成 ( x, y )方程 在下列方程所表示的曲线中， 关 也不变，图象关于原点对称． 于 x 轴、y 轴都对称的是 （ D ） A 、 x 2＝ y 所以，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中 心。 B 、 x 2＋ 2xy ＋ y ＝ 0 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 C 、 x 2－ 4y 2 ＝5x （ 3）顶点： D 、 9x 2＋ y 2＝ 4 在椭圆 x 2 y 2 1 a b 0 ）中 a 2 b 2 令 x=0 ，得 y= ？，说明椭圆与 y 轴的交点（ 0，
圆锥曲线第二定义
大成培训教案 圆锥曲线第二定义及其应用 教学目标：理解熟悉圆锥曲线统一定义，会利用统一定义灵活解题； 教学重难点：会利用统一定义灵活解题； 教学过程： ● 回顾圆锥曲线第二定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为 当e=1时，轨迹为 当e ＞1时，轨迹为 ● 统一定义的应用 一、焦点弦长 例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若 6x x 21=+，求|AB|的长。 例2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 二、求离心率 例3 设椭圆2 22 2b y a x + =1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴 的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。
练习：已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F1A ＝2F1B ，则椭圆的离心率为________． 三、求点的坐标 例4 双曲线13 y x 2 2 =-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2： 1，求点P 的坐标。 例5 P 点在椭圆120 45 2 2 =+ y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标 是 . 练习：1、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 2、点P 在椭圆 19 25 2 2 =+ y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则 点P 的横坐标为_______ 四、求离心率的范围 例6 已知椭圆 )0b a (1b y a x 2 22 2>>=+ ，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ， 使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。 练习：若双曲线222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）上横坐标为 32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是
椭圆的第二定义(含解析)教学内容
课题：椭圆的第二定义 【学习目标】 1、掌握椭圆的第二定义； 2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题； 一、椭圆中的基本元素 （1）.基本量: a 、b 、c 、e 几何意义： a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系： a c e b a c = -=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心 （3）.基本线: 对称轴 二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a >>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ????==??????| c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-． 设222 a c b -=，就可化成22 221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆． 由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a =<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2 a x c =．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2 a x c =-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义． 【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。 中心到准线的距离：d=c a 2 焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2c a 2 三．第二定义的应用 1、求下列椭圆的焦点坐标和准线 （1）136 1002 2=+y x （2）822 2=+y x 2、椭圆 136 1002 2=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( )
椭圆第一定义与第二定义的统一
高中二年级数学（人教版） 椭圆第一定义与第二定义 的统一
椭圆第一定义与第二定义的统一 一、学习目标与任务 学习目标描述 知识方面： 1．复习巩固椭圆的第一定义； 2．认识椭圆的第二定义，椭圆的准线，离心率等概念； 3．通过“几何画板”的实际操作，了解离心率对椭圆扁平程度的影响； 4．通过椭圆构造实验，引入双曲线，初步理解圆锥曲线的统一定义； 能力方面： 1．学会利用软件“几何画板”以不同的方法探求椭圆的轨迹； 2．学会改变模拟数据进行数学实验； 3．学会在网络环境下的合作学习与交流。 学习内容与学习任务说明 问题1：如图，点B是半径为r的圆A的一个定点，点C是圆A上的一个动点，线段BC的垂直平分线l交直线AC于点N，求点N的轨迹。 实验1：将点B在圆A内部左右拖动，观察点N的轨迹有哪些变化。 深入：由实验1继续利用“几何画板”作图，观察椭圆的几何性质，作出椭圆的准线，理解椭圆的第二定义。 实验2：将点B拖到圆外离点A不同距离的地方，观察点N的轨迹有哪些变化。 二、学习者特征分析 （说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等） 学生已经掌握了椭圆的第一定义，以及相关的一些“几何画板”简单操作。高中的学生具有较抽象的思维能力，喜欢自己探索、发现问题和解决问题。 三、学习环境选择与学习资源设计 1、学习环境选择（打√）
（1）Web教室（2）局域网 (3)城域网 （4）校园网√（5）Internet √（6）其它 2、学习资源类型（打√） （1）课件（网络课件）（2）工具√（3）专题学习网站 （4）多媒体资源库（5）案例库√ 6）题库 （7）网络课程（8）其它√ 3、学习资源内容简要说明（说明名称、网址、主要内容） 教师设计制作了多个椭圆的构造实验，把它放在校园网上。利用几何画板让学生自己探索构造椭圆，并深入思考是否可以推广变化为圆锥曲线的统一定义。 四、学习情境创设 1、学习情境类型（打√） （1）真实情境（2）问题性情境√ （3）虚拟情境（4）其它 2、学习情境设计 以具体的数学问题结合“几何画板”有趣的数学实验引起学生的学习兴趣和探究欲望。下面的每一个具体的问题都结合动态的数学实验，让学生利用“几何画板”自己动手“做”，探究椭圆构造的方法，以及和其他圆锥曲线（双曲线、抛物线）的联系。 五、学习活动组织 1．学生学习设计
椭圆的第一定义与基本性质的练习题(精)
椭圆的第一定义与基本性质的练习题 1.椭圆2x2+3y2=6的焦距是 A.2 B.2(－ C.2 D.2(+ 2.方程4x2+Ry2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是 A.R>0 B.0 10.椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（）（A）9 （B）12 （C）10 （D）8 11.AB为过椭圆+=1中心的弦，F(c,0为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值是 A.b2 B.ab C.ac D.bc 12.若椭圆的两个焦点为F1(－4，0、F2(4，0，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________. 14.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是_____ 15.椭圆+ =1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是__________. 椭圆的第二定义与性质的练习题 16.点M到一个定点F(0，2的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________. 17.如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的 A.4倍 B.9倍 C.12倍 D.18倍 18.设点A(－2，，椭圆+ =1的右焦点为F，点P在椭圆上移动.当|PA|+2|PF|取最小值时,P点的坐标是__________. 19.设椭圆+=1(a＞b＞0的左焦点为F1(－2,0,左准线l1与x轴交于点N(－3,0,过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点. (1求直线l和椭圆的方程； (2求证:点F1(－2,0在以线段AB为直径的圆上.