不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1)
?
思路: 被积函数52
x
-
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C --==-+?
★(2)
dx
?
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+?
???
★(3)22
x
x dx +?
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++???（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+??
★★(5)4223311x x dx x +++?
思路:观察到422
22
3311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：422
32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++??? ★★(6)2
21x dx x +?
思路:注意到
22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：22
21
arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++???
注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ?
34
134（
-+-）2 思路:分项积分。 解：34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-
+-）2 223134
ln ||.423x x x x C --=--++ ★
(8)
23(1dx x -+?
思路:分项积分。 解
：2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?
? ★★
(9)
思路
=？
111
7248
8
x x
++==，直接积分。
解
：
715
8
88
.15
x dx x C ==+?
★★(10)
221
(1)dx x x +?
思路:裂项分项积分。 解：
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21
1
x x
e dx e --? 解：21(1)(1)
(1).11
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)
3x x
e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x
x
x
e e =
（）。
解：333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+??（）
（）
★★(13)
2cot xdx ?
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。 解：2
2
cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+?
?
★★(14)23523x x
x dx ?-??
思路:被积函数
235222533
x x x
x
?-?=-（），积分没困难。 解：2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ?-?=-=-+-??（（）） ★★(15)2cos 2x dx ?
思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++?? ★★(16)1
1cos 2dx x +?
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x
dx x x -?
思路:不难，关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22cos 2cos sin x
dx x x ??
思路:同上题方法，应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x -==-?????? 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??
★★(19)
dx ?
思路:注意到被积函数
==，应用公式(5)即可。
解：
22arcsin .dx x C ==+?
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x ++?
思路:注意到被积函数
2222
1cos 1cos 11
sec 1cos 2222cos x x x x x
++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x
dx xdx dx C x ++=+=++???
★2、设
()arccos xf x dx x C =+?，求()f x 。
知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d
f x dx f x dx =?
即可。 解：等式两边对x 求导数得：
()()xf x f x =∴=
★3、设
()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以
()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++?
（）。 ★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx -的原函数
知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
解：2x x e e chx shx =-
，而22[][][]x x x x d d d
e e shx e chx e dx dx dx
===1()2 ★5、一曲线通过点2
(,3)e
，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积
函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：
1
[()]d f x dx x
=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2
(,3)e
在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=，
所以曲线的方程为
()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动，经t
秒后的速度是2
3(/)t m s ，问：
（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的
关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =，
则由速度和位移的关系可得：
23[()]3()f t t f t t C =?=+d
dt
， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1)
3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；
(2)
令3
360t t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =
-=--=-
2222
111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255
112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+
2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）
3t e dt ?
思路:凑微分。 解：33311(3)33
t t t
e dt e d t e C =
=+?
? ★(2)
3
(35)x dx -?
思路:凑微分。
解：3
3411
(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d
★(3)1
32dx x -?
思路:凑微分。 解：
1111
(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
?
思路:凑微分。
解：12
33
111
(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+? ★(5)
(sin )x b
ax e
dx -?
思路:凑微分。
解：11
(sin )sin ()()cos x
x x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =
，凑出d 易解。
解：
2C
==?
★(7)
102tan sec x xdx ?
思路:凑微分。 解：10
210111
tan
sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+?
? ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解：
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)
?
思路:
是什么，是什么呢？就是！这有一定难度！
解：tan ln ||C ==-+?
?
★★(10)
sin cos dx
x x ?
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx
xd x x x C x x x ===-+???
方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。
2
2cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????
方法三： 三角公式2
2
sin cos 1x x +=，然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+??????
ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+
★★(11)
x x dx e e -+?
思路:凑微分：222
111()x x x
x
x x x x dx e dx de de e e e e e -===++++。
解：22arctan 11()
x x x
x
x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)
2
cos()x x dx ?
思路:凑微分。 解：2
22
211cos()cos sin 22
x x dx x dx x C =
=+?
? ★★(13)
?
思路:
22==凑微分易解。 解
：
1
22
2211(23)(23)66x d x C -=-=---=??
★★(14)
2
cos
()sin()t t dt ωω?
思路:凑微分。
解：22
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω
=
=-
?
??
31
cos ().3t C ωω
=-
+ ★★(15)3
431x dx x -?
思路:凑微分。
解：33444444433431313(1)ln |1|.4444
1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----???? ★(16)
3sin cos x
dx x ?
思路:凑微分。 解：
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+?? ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
：
9
10
10
10111010C ===+?
★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。 解
：
=-
2
2
121
4
238
121
94
238
12
arcsin().
23
x
x
x
x
x
C
=-
=+-
=+
?
?）
★★(19)2
21
dx
x-
?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解
：
2
1
212
dx
dx
x
==
-
???
1)1).C
=
=-+=+?
★(20)2
(45)
xdx
x
-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
1454111
4(45)
(45)5(45)2545(45)
xdx x
dx d x x x x x
--
=-=------
???
（）（）
2
1141141
(45)(45)ln|45|.
254525252545
(45)
d x d x x C
x x
x
=---=-++ --
-
??
★(21)
2
100
(1)
x dx
x-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
100100100100100
(11)(1)(1)1
(2)
(1)(1)(1)(1)(1)
x dx x dx x x
dx x x x x x
-+--
==++
-----
???
9899100
111
(2)(1)
(1)(1)(1)
d x
x x x
=++-
---
?
979899
111111
.
97(1)49(1)99(1)
C
x x x
=---+
---
★★(22)
81xdx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
28444444111111
()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? 222224222
2222211111111[()][(1)(1)]42811111
11111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =
--=--+-++-+--=-+++???? ★(23)
3
cos
xdx ?
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。
解：3
2
2
2
cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-??
?
?
31
sin sin 3
x x C =-+
★★(24)
2
cos
()t dt ω?+?
思路:降幂后分项凑微分。 解：2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()2
24t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω+++=
=+++?
???
11sin 2()24t t C ω?ω
=+++ ★★★(25)
sin 2cos3x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111
sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =
-=-?
??? 11
cos5cos 102
x x C =-
++ ★★★(26)
sin 5sin 7x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111
sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =
-=-?
??? 11
sin 2sin12.424
x x C =-+ ★★★(27)
3
tan
sec x xdx ?
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。
解：3
2
2
2
tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-??
?
?
231
sec sec sec sec sec 3
xd x d x x x C =-=-+??
★★(28
)
arccos x
思路:
(arccos )dx d x =-。
解
：
arccos arccos arccos 1010arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+?
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
：
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+?
★★★★(30
)
?
思路:
==。
解
：
2arctan ==?
?
2C =+
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ?
思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2
sec x ，
22
ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x
dx dx xdx d x x x x x x x
=== 21
ln tan (ln tan )((ln tan ))2
xd x d x ==
解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x
===???? 21
(ln tan )2
x C =+
★★★★(32)
21ln (ln )x
dx x x +?
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+
解：
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+?? ★★★★(33)
1x dx e -?
解：方法一：
思路:将被积函数的分子分母同时除以 x
e ，则凑微分易得。
11()(1)ln |1|1111
x x x x
x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----???? 方法二：
思路:分项后凑微分
11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---????1(1)1x
x
x d e e =---? ln |1|ln(|1|)x
x
x
x e C x e e C -=--+=--+
(ln ln |1|)x
x
x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+
方法三：
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x
e ，裂项后凑微分。
111ln (1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??
????? ln |1|x
x e C =--+ln |1|x
e
C -=--+
★★★★(34)
6(4)dx
x x +?
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??
+-===- ?++++??
???? 66611(4)11
ln ||ln ||ln |4|4244424
d x x x x C x +=-=-+++?
方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =，则2
1
dx dt t =-
。 66626
66
6611(4)1(41)()12424(4)14144
114
ln(14)ln(1).
2424dx t d t d t dt x x t t t t t C C x
+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)
82(1)dx
x x -?
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx
dx dx x x x x x x x -+-++==+----???? 24681(1)(1)
x x x dx
dx x x x +++=+-+?? 8642
211111
()1dx dx x x x x x =++++-?
? 753
111111ln 75321x
C x x x x x
-=-
----++ 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1
x t =
，则21dx dt t
=-。 88642
822222
11()(1)1(1)11
1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t
∴=?-=-=-++++----???? 642642
2753751111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C
t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。
知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等
式起到了重要的作用。
2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角
范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★(1
)
思路:令sin ,2
x t t π
=<，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
解：令sin ,2
x t t π
=<
，则cos dx tdt =。
22cos sec 1cos 1cos 222cos 2
tdt dt dt t t
dt t t d t t t ∴==-=-=-++??????
tan arcsin .2t t C x C =-+=
（或arcsin x C =+） （万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t t t
-==
+，又sin t x =
时，cos t = ★★★(2)
dx x
?
思路:令3sec ,(0,)2
x t t π
=∈，三角换元。
解：令3sec ,(0,
)2
x t t π
=∈，则3sec tan dx t tdt =。
223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3
3tan 33arccos .
||t t tdt tdt t dt
t t t C C x ∴===-=-+=+???
（3sec x x =时
，3
cos ,sin tan 3
x x x x
x ==
=） ★★★(3
)
思路:令tan ,2x t t π
=<，三角换元。
解：令tan ,2
x t t π
=<
，则2
sec dx tdt =。
23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+??? ★★★(4
)
思路:令a tan ,2
x t t π
=<，三角换元。
解：令tan ,2
x a t t π
=<
，则2
a sec dx tdt =。
233222sec 11
cos in sec sec .
a tdt dt tdt s t C
a t a t a a C ∴====+=
+???
★★★★(5
)
2
思路:先令2u x =，进行第一次换元；然后令tan ,2
u t t π
=<
，进行第二次换元。
解
：22212=? ，令2u x =得：
212=
，令tan ,2
u t t π=<，则2
sec du tdt =，
222
11tan 11tan 1sec sec 22tan sec 2tan 111
(csc sec )ln sec tan ln csc cot 222
1111
1
ln ln ln
.22
2
2
t t tdt tdt t t t t t dt t t t t C u C x C u ++∴=
==?=+=++-+=++=++???
（与课本后答案不同）
★★★(6
)
思路:三角换元，关键配方要正确。
解：2
2
549(2)x x x --=-+ ，令23sin ,2
x t t π
+=<
，则3cos dx tdt =。
21cos 21
9cos 99(sin 2)224
92arcsin .23t t tdt dt t C x C +∴===+++=??
★★4、求一个函数
()f x ,
满足'()f x =
，且
(0)1f =。
思路:
的不定积分，由条件
(0)1f =确定出常数C 的值即可。
解
：(1).x C =+=+
令()f x C =+，又(0)1f =，可知1C =-，
() 1.f x ∴=
★★★5、设tan ,n n
I xdx =?，求证：1-21
tan 1
n n n I x I n -=
--，并求5tan xdx ?。 思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n
x 分开成2
2tan
tan n x x -，进而写成：
22222tan (sec 1)tan sec tan n n n x x x x x ----=-，分项积分即可。
证明：2
22222tan (tan
sec tan )tan sec tan n
n n n n n I xdx x x x dx x xdx xdx ----==-=-?
?
??
21225442531
42421
tan tan tan .1111
5tan tan tan tan 442
1111
tan tan tan tan tan ln cos .4242
n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=
--===-=-+=-+=--+???时， 习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
★（1）
arcsin xdx ?
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0
x 优先纳入到微分
号下，凑微分后仍为dx 。
解
：2
1arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+
-??
arcsin .x x C =
★★（2）
2
ln(1)x
dx +?
思路：同上题。
解：22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x
+=+-=+-++???
22
2
2
222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .
x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++??? ★（3）
arctan xdx ?
思路：同上题。
解：222
(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++???
1 21
arctan ln(1)2x x x C =-++
★★(4)2sin 2
x
x e dx -? 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：22221111sin sin ()sin cos 22222222
x
x x x x x x x
e
dx d e e e dx ----=-=-+?
??
2222222222111
sin cos ()
224221111sin (cos sin )
2242242
111sin cos sin 2282162
2sin (4sin cos ).
21722
x x x x x x x x x x
x x e d e x x x e e e dx x x x e e e dx
x e x x e dx C ----------=-+-=-+--=---∴=-++????
★★(5)
2
arctan x
xdx ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：32
332111
arctan arctan ()arctan 3331x x xdx xd x x x
dx x ==-+??? 33211arctan 331x x x x x dx x +-=-+?3211arctan ()331x x x x dx x
=--+? 3322
223221111111arctan arctan (1)33313661111
arctan ln(1).366
x x x xdx dx x x x d x x x
x x x x C =-+=-++++=-+++???
★(6)
cos 2
x x dx ? 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：cos 2sin
2sin 2sin 2sin 4sin 2
222222
x x x x x x x x dx xd x dx x d ==-=-?
?
?? 2sin
4cos .22x x
x C =++ ★★(7)
2
tan
x xdx ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：2
222
tan (sec 1)(sec )sec x xdx x x dx x x x dx x xdx x x =
-=-=-????
?d 2211
(tan )tan tan tan ln cos .22
xd x xdx x x xdx x x x x x C =-=--=+-+???
★★(8)
2
ln
xdx ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：2
2
2
2
1
1ln ln 2ln ln 2ln ln 2ln 2xdx x x x x dx x x xdx x x x x x dx x
x
=-??=-=-+??
?
?
?
22ln 2ln 2ln 2ln 2.x x x x dx x x x x x C =-+=-++?
★★(9)
ln(1)x x dx -?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：22
211ln(1)ln(1)ln(1)2221x x x x dx x d x x dx x -=-=---???
221111ln(1)221x x x dx x -+=---?2111ln(1)(1)221
x x x dx x =--++-?
221111
ln(1)ln(1)2422
x x x x x C =
-----+ ★★(10)22ln x dx x ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：22
2222ln 11111ln ln ()ln 2ln ln 2x x dx xd x x dx x dx x x x x x x x
=-=-+?=-+????
222211121122
ln 2ln ()ln ln 2ln ln x xd x x dx x x C x x x x x x x x =-+-=--+=---+??
2
(ln ln 2)x x C x
=-+++1
★★(11)
cos ln xdx ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：1cosln cosln sin ln cosln sin ln xdx x x x x dx x x xdx x
=+?=+??
?
1
cos ln sin ln cos ln cos ln sin ln cos ln cos ln (cos ln sin ln ).
2
x x x x x x dx x x x x xdx
x x
xdx x x C =+-?=+-∴=++???
★★(12)
2ln x dx x ?
思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。
★★(13)
ln (1)n
x
xdx n ≠-?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
解：111111
ln ln ln 111n n
n n x x xdx xd x x x dx n n n x
+++==-?+++???
111ln 11n n
x x x dx n n +=
-++?111ln .1(1)n x x C n n +??=-+ ?++??
★★(14)
2x
x e
dx -?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：222222x
x
x x x x x e dx x e
e xdx x e xe e dx ------=-+=--+?
??
2222(22)x x x x x e xe e C e x x C ----=---+=-+++
★★(15)
3
2(ln )x
x dx ?
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：3
2
2
4
4241111(ln )(ln )()(ln )2ln 4
44x x dx x d x x x x x dx x
==
-???
?
? 423424424442434244421111
(ln )ln (ln )ln 42481111111
(ln )ln (ln )ln 48848811111
(ln )ln (2ln ln ).483284x x x xdx x x xdx x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x C x x x C =
-=-=-+?=-+=-++=-++???? ★★(16)
ln ln x dx x ?
思路： 将积分表达式ln ln x
dx x
写成ln ln (ln )xd x ，将ln x 看作一个整体变量积分即可。
解：ln ln 111ln ln (ln )ln ln ln ln ln ln ln ln x dx xd x x x x dx x x dx x x x x
==-??=-????
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
不定积分-定积分复习题及答案-精品
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V