不定积分例题及参考答案
不定积分例题及参考答案第4章不定积分
内容概要
课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分:
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1)
思路: 被积函数52
x -
=,由积分表中的公式(2)可解。
解:
53
2
2
23x dx x C -
-==-+?
★(2)dx
-
?
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+????
★(3)2
2x x dx +?
()
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++?
??()
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+??
★★(5)422331
1
x x dx x +++?
思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,
分别积分。
解:4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2
2
1x dx x +? 思路:注意到22222
111
1111x x x x x
+-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:22
21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?
34
134(-
+-)2 思路:分项积分。 解:34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-
+-)2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★(8)
23(
1dx x -+?
思路:分项积分。 解:
2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?
?
★★(9)
思路=?111
7248
8
x x ++==,直接积分。
解:
715
8
88
.15
x dx x C ==+?
?
★★(10)
221
(1)dx x x +?
思路:裂项分项积分。 解:
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21
1
x x
e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11
x x x x x
x
x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然33x x x
e e =
()。 解:333.ln(3)
x x
x
x
e e dx e dx C e ==+??
()
() ★★(13)2cot xdx ?
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。 解:2
2
cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+?
?
★★(14)23523x x
x
dx ?-?? 思路:被积函数 235222533
x x x
x
?-?=-(),积分没困难。 解:2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ?-?=-=-+-??(()) ★★(15)2cos 2
x dx ? 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。
解:2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++?? ★★(16)1
1cos 2dx x
+?
思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。
解:
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x
dx x x
-?
思路:不难,关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解:
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22
cos 2cos sin x
dx x x
?? 思路:同上题方法,应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”,分项积分。
解:22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-?????? 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??
★★(19)dx ?
思路:注意到被积函数
==
,应用公式(5)即可。
解:
22arcsin .dx x C ==+?
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x
++?
思路:注意到被积函数 2222
1cos 1cos 11
sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++,则积分易得。 解:221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++?
?? ★2、设()arccos xf x dx x C =+?
,求()f x 。 知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:直接利用不定积分的性质1:[()]()d
f x dx f x dx =?
即可。 解:等式两边对x 求导数得:
()()xf x f x =∴=
★3、设()f x 的导函数为sin x ,求()f x 的原函数全体。 知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:连续两次求不定积分即可。
解:由题意可知,1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以()f x 的原函数全体为:112cos sin x C dx x C x C -+=-++?
()。
★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx -的原函数
知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:只需验证即可。
解:
2x x e e chx shx =-,而22[][][]x x x x d d d
e e shx e chx e dx dx dx
===1()2
★5、一曲线通过点2
(,3)e ,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。
知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为()y f x =,由题意可知:
1
[()]d f x dx x
=,()ln ||f x x C ∴=+; 又点2
(,3)e 在曲线上,适合方程,有2
3ln(),1e C C =+∴=, 所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是2
3(/)t m s ,问: (1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需要多少时间?
知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。
思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。 解:设物体的位移方程为:()y f t =, 则由速度和位移的关系可得:
23[()]3()f t t f t t C =?=+d
dt
, 又因为物体是由静止开始运动的,3
(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3
(3)327f ==米; (2)
令3
360t t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点:练习简单的凑微分。
思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。 解:234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =
-=--=-
2222
111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255
112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+
2、求下列不定积分。
知识点:(凑微分)第一换元积分法的练习。
思路分析:审题看看是否需要凑微分。直白的讲,凑微分其实就是看看积分表达式中,有没有成块的形式作为一个整体变量,这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟
练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效,这在课外例题中专门介绍!
★(1)3t
e dt ?
思路:凑微分。 解:33311(3)33
t
t t
e dt e d t e C =
=+?
? ★(2)3
(35)x dx -?
思路:凑微分。
解:3
3411
(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d
★(3)1
32dx x
-?
思路:凑微分。 解:
1111(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
思路:凑微分。
解:12
3
3
111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+??? ★(5)(sin )x b
ax e dx -?
思路:凑微分。
解:11
(sin )sin ()()cos x
x x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =,凑出d 易解。
解:
2C
==+?
★(7)10
2
tan sec x xdx ?
思路:凑微分。 解:10
210111
tan sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+?
? ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解:
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)tan ?
思路:
是什么,是什么呢?就是
解:ln |C ==-+?
?
★★(10)
sin cos dx
x x ?
思路:凑微分。 解:
方法一:倍角公式sin 22sin cos x x x =。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx
xd x x x C x x x ===-+???
方法二:将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。
22cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????
方法三: 三角公式2
2
sin cos 1x x +=,然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+??????
ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+ ★★(11)
x x dx e e -+?
思路:凑微分:222111()x x x
x x x x x dx e dx de de e e e e e -===
++++。 解:22arctan 11()
x x x
x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)2
cos()x x dx ?
思路:凑微分。 解:2
222
11cos()cos sin 22
x x dx x dx x C =
=+?
?
★★(13
)
思路:
22==凑微分易解。 解
:
1
2222
11(23)(23)66x d x C -=-=---=?
★★(14)2cos ()sin()t t dt ωω?
思路:凑微分。
解:2
2
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω=
=-
?
??
31
cos ().3t C ωω
=-
+ ★★(15)3
4
31x dx x
-? 思路:凑微分。
解:3344
4444433431313(1)ln |1|.4444
1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----???? ★(16)
3sin cos x dx x ?
思路:凑微分。 解:
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+?? ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
:
9
10
10
10111010C ===+?
★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。
解
:=-
2
2
121
4
238
121
94
238
12
arcsin().
23
x
x
x
x
x
C
=-
=+-
=+
)
★★(19)
2
21
dx
x-
?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解
:
2
1
212
dx
dx
x
==-
-
??
1)1).C
=
=-+=+?
★(20)
2
(45)
xdx
x
-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:
222
1454111
4(45)
(45)5(45)2545(45)
xdx x
dx d x x x x x
--
=-=------
???
()()
2
1141141
(45)(45)ln|45|.
254525252545
(45)
d x d x x C
x x
x
=---=-++ --
-
??
★(21)
2
100
(1)
x dx
x-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解:
222
100100100100100
(11)(1)(1)1
(2)
(1)(1)(1)(1)(1)
x dx x dx x x
dx x x x x x
-+--
==++
-----
???
9899100
111
(2)(1)(1)(1)(1)
d x x x x =++----? 979899
111111
.97(1)49(1)99(1)C x x x =-
--+---
★★(22)
81xdx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解:
2
8444444111111()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? 222224222
2222211111111[()][(1)(1)]42811111
11111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =
--=--+-++-+--=-+++???? ★(23)3cos xdx ?
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。
解:3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-????
31
sin sin 3
x x C =-+
★★(24)2
cos ()t dt ω?+?
思路:降幂后分项凑微分。 解:2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω
+++=
=+++?
??? 11
sin 2()24t t C ω?ω
=
+++ ★★★(25)sin 2cos3x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:111
sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =
-=-?
??? 11
cos5cos 102
x x C =-
++ ★★★(26)sin5sin 7x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解:111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =
-=-?
??? 11
sin 2sin12.424
x x C =-+ ★★★(27)3tan sec x xdx ?
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。
解:3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????
231
sec sec sec sec sec 3
xd x d x x x C =-=-+??
★★(28
)
arccos x
思路:
(arccos )d x =-。
解
:
arccos arccos arccos 1010
arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+?
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
:
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+? ★★★★(30
)
思路:
2arctan =
=。
解
:
==?
2C =+
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ?
思路:被积函数中间变量为tan x ,故须在微分中凑出tan x ,即被积函数中凑出2
sec x ,
22
ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x
dx dx xdx d x x x x x x x
=== 21
ln tan (ln tan )((ln tan ))2
xd x d x ==
解:2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x
===???? 21
(ln tan )2
x C =+ ★★★★(32)
21ln (ln )x dx x x +?
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解:
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+?? ★★★★(33)
1x dx e -?
解:方法一:
思路:将被积函数的分子分母同时除以 x
e ,则凑微分易得。
11()(1)ln |1|1111
x x x x
x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----???? 方法二:
思路:分项后凑微分
11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---????1(1)1x x
x d e e =---? ln |1|ln(|1|)x
x
x
x e C x e e C -=--+=--+
(ln ln |1|)x
x
x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+
方法三:
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x
e ,裂项后凑微分。
111ln (1)1(1)(1)11x x x x
x x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??
????? ln |1|x
x e C =--+ln |1|x
e C -=--+
★★★★(34)
6(4)dx x x +?
解:方法一:
思路:分项后凑积分。
6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??
+-===- ?++++??
???? 66611(4)11
ln ||ln ||ln |4|4244424
d x x x x C x +=-=-+++? 方法二:思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1
x t =,则2
1
dx dt t =-
。 66626
666611(4)1(41)()12424(4)14144114
ln(14)ln(1).
2424dx t d t d t dt x x t t t t
t C C x
+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)
82(1)dx
x x -?
解:方法一:
思路:分项后凑积分。
8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx
dx dx x x x x x x x -+-++==+----???? 2468
1(1)(1)x x x dx
dx x x x +++=+-+?? 8642
211111
(
)1dx dx x x x x x =++++-?
?
753111111ln 75321x C x x x x x
-=-
----++ 方法二: 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =
,则21
dx dt t
=-。 88642
822222
11()(1)1(1)11
1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t
∴=?-=-=-++++----???? 642642
2753751111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C
t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。
知识点:(真正的换元,主要是三角换元)第二种换元积分法的练习。
思路分析:题目特征是----被积函数中有二次根式,如何化无理式为有理式?三角函数中,下列二恒等式起到了重要的作用。
2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=
为保证替换函数的单调性,通常将交的范围加以限制,以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内,得出新变量的表达式,再形式化地换回原变量即可。 ★★★(1
)
思路:令sin ,2
x t t π
=<,先进行三角换元,分项后,再用三角函数的升降幂公式。
解:令sin ,2
x t t π
=<
,则cos dx tdt =。
22cos sec 1cos 1cos 222cos 2
tdt dt dt t t
dt t t d t t t ∴==-=-=-++?????
tan arcsin .2t t C x C =-+=
(或1arcsin x C x -=-
+) (万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t
t t
-==+,又sin t x =
时,cos t =) ★★★(2)
dx x
?
思路:令3sec ,(0,)2x t t π
=∈,三角换元。
解:令3sec ,(0,
)2
x t t π
=∈,则3sec tan dx t tdt =。
223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3
3tan 33arccos .
||t dx t tdt tdt t dt
x t t t C C x ∴===-=-+=+????
(3sec x x =
时,3
cos ,sin ,tan 3
x x x x
x ==
=) ★★★(3
)
思路:令tan ,2
x t t π
=<,三角换元。 解:令tan ,2
x t t π
=<
,则2
sec dx tdt =。
23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+??? ★★★(4
)
思路:令a tan ,2
x t t π
=<,三角换元。 解:令tan ,2x a t t π
=<
,则2
a sec dx tdt =。
233222sec 11
cos in sec sec .
a tdt dt tdt s t C
a t a t a a C ∴====+=
+???
★★★★(5
)
2
思路:先令2
u x =,进行第一次换元;然后令tan ,2
u t t π
=<
,进行第二次换元。
解
:222412x
x =
+?,令2u x =得:
212=,令tan ,2
u t t π=<,则2
sec du tdt =,
2
2
2
11tan11tan1
sec sec
22tan sec2tan
111
(csc sec)ln sec tan ln csc cot
222
11111
ln ln.
2222
t t
tdt tdt
t t t
t t dt t t t t C
u C x C
u
++
∴===
?
=+=++-+
=++=+
??
?
(与课本后答案不同)
★★★(6
)
思路:三角换元,关键配方要正确。
解:22
549(2)
x x x
--=-+,令23sin,
2
x t t
π
+=<,则3cos
dx tdt
=。
2
1cos21
9cos99(sin2)
224
92
arcsin.
23
t t
tdt dt t C
x
C
+
∴===++
+
=
??
★★4、求一个函数()
f x,
满足'()
f x=(0)1
f=。
思路:
(0)1
f=确定出常数C的值即可。
解
:(1).
1
x C
x
=+=+
+
?
令()
f x C
=+,又(0)1
f=,可知1
C=-,
() 1.
f x
∴=
★★★5、设tan,
n
n
I xdx
=?,求证:1-2
1
tan
1
n
n n
I x I
n
-
=-
-
,并求5
tan xdx
?。
思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x分开成22
tan tan
n x x
-,进而写成:22222
tan(sec1)tan sec tan
n n n
x x x x x
---
-=-,分项积分即可。
证明:222222 tan(tan sec tan)tan sec tan
n n n n n n
I xdx x x x dx x xdx xdx
----==-=-
????
2122544253142421
tan tan tan .1111
5tan tan tan tan 442
1111
tan tan tan tan tan ln cos .4242
n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=
--===-=-+=-+=--+???时,
习题4-3
1、 求下列不定积分:
知识点:基本的分部积分法的练习。
思路分析:严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序,越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★(1)arcsin xdx ?
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x x ,按照“反、对、幂、三、指”顺序,幂函数0
x 优先纳入到微分号下,凑微分后仍为dx 。 解
:21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+
-??
arcsin .x x C =+
★★(2)2
ln(1)x dx +?
思路:同上题。
解:22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x
+=+-=+-++??? 22
2
2
222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .
x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++??? ★(3)arctan xdx ?
思路:同上题。
解:222
(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++???1
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 (1)若2 2 ()x t x f x e dt -=?,则()f x '=___;(2)若0 ()()x f x xf t dt =?,求()f x '=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?. 解 (1)()f x '=42 2x x xe e ---; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?,则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?. 例4 设()f x 连续,且31 ()x f t dt x -=?,则(26)f =_________. 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=, 故321(1)3f x x -= ,令3126x -=得3x =,所以1(26)27 f =.
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 (A ) 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1)2 2 1x y =与822=+y x (两部分都要计算) 2)x y 1 =与直线x y =及2=x 3)x e y =,x e y -=与直线1=x 4)θρcos 2a = 5)t a x 3 cos =,t a y 3 sin = 1、求由摆线()t t a x sin -=,()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 2、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
3、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 4、由3 x y =,2=x ,0=y 所围成的图形,分别绕x 轴及y 轴旋转,计算所得两旋转体 的体积 5、计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 6、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 7、计算星形线t a x 3 cos =,t a y 3 sin =的全长 8、由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力→ F (单位:N )与伸长量S (单位:cm )成
正比,即:kS =→ F (k 是比例常数),如果把弹簧内原长拉伸6cm , 计算所作的功 9、一物体按规律3 ct x =作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由0 =x 移到a x =时,克服介质阻力所作的功 10、 设一锥形储水池,深15m ,口径20m ,盛满水,将水吸尽,问要作多少功? 11、 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10cm 和6cm ,高为20cm ,较长的底边与水 面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力 12、 设有一长度为λ,线密度为u 的均匀的直棒,在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1) 求D 的面积S ;2)将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是32π ,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1.利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ,两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2.利用定积分的几何意义,证明下列等式: ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3.估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4.根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5.计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6.计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7.当x 为何值时,函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值? 8.计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ,其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ,l 为正整数,且l k ≠,试证下列各题: ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
§4不定积分习题与答案
第四章 不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2)?x x dx 2 3)dx x ?-2 )2( 4)dx x x ?+2 2 1 5)??-?dx x x x 32532 6)dx x x x ?22sin cos 2cos 7)dx x e x )32(? + 8)dx x x x )1 1(2?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1)dx x ?-3)23( 2) ? -3 32x dx 3)dt t t ? sin 4)? ) ln(ln ln x x x dx
5)?x x dx sin cos 6)?-+x x e e dx 7)dx x x )cos(2 ? 8)dx x x ?-4 3 13 9)dx x x ?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122x dx 12)dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1)dx x x ?+2 11 2)dx x ?sin 3)dx x x ? -42 4)?>-)0(,222 a dx x a x 5)? +3 2 ) 1(x dx 6) ?+ x dx 21 7) ?-+ 2 1x x dx 8) ?-+ 2 11x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1)inxdx xs ? 2)? xdx arcsin 3)? xdx x ln 2 4)dx x e x ? -2 sin 2
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分(A) 1、求下列不定积分dxdx??2xx2x2)1) ?dx2?dx)(x?22x1?4)3) 2x ??dxdx x223xsincosx5)6)xx2?5?2?3x2cos 13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx8)7) 2、求下列不定积分(第一换元法)dx?3?dx)(3?2x3x32?2)1)dx tsin??dt)xlnxln(lnx t4)3)dxdx??x?x xsincosxe?e6)5) ?dx2?dx)xcos(x4x1?8)7) 3x3 x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos)109) dx?3?dxxcos21?2x12)11 ) 3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13) ??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15) 3x1 ??dxdx)x?(x12x?117) 18) x2arccos arctanx10 精品文档. 精品文档3、求下列不定积分(第二换元法)1?dx?dxxsin2xx?12)1) ?)0(a?dx,?dx22x?a x4)3) 2x24x? dx dx??32)1(x?x21?6)5) dxdx??22?1?x1?x1?x7)8) 4、求下列不定积分(分部积分法) ??xdxarcsinxsinxdx1)2) x x?2?dxsine2?xdxxln24)3)
?dxxcos2?xdxln28)7)22??xdxxxcosarctanxdx6)5)x22 5、求下列不定积分(有理函数积分)3x?dx3x?1) 3x?2?dx210??3xx2) dx?2)?x(x1 3 ) (B) 2)3e,(、一曲线通过点,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的1 方程。13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数,且当,试求此函数。时函数值为 精品文档. 精品文档?cx)?f(x)dx?F(,则3、证明:若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。xsin??dxx(xf) )(xfx。4、设,求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?22)1) 1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?3)4) dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a6)5)xarctan xe?dx lnx ?3dx2)?x(12x1x?ln)8 7) ?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) 1)(C)求以下积分x xe dx ?dx?dx341x?x2e4)3) 5x x earctan ??dxdx8xxsincos?1?x5)6) 5x?xxxsincos 精品文档. 精品文档不定积分第四章 答案习题 (A)321?cx??c??23x(2)1、(1)
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 一、选择题、填空题: 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数,贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) : (x) (C) : (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是: (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e :则: f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数,贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中,过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ,贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续,则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V
(完整版)定积分习题及答案
第五章 定积分 (A 层次) 1.?20 3 cos sin π xdx x ; 2.?-a dx x a x 2 2 2 ; 3.?+3 1 2 2 1x x dx ; 4.?--11 45x xdx ; 5.? +4 1 1 x dx ; 6.?--1 4 3 1 1x dx ; 7.? +2 1 ln 1e x x dx ; 8.? -++0 222 2x x dx ; 9.dx x ?+π02cos 1; 10.dx x x ?-π πsin 4 ; 11.dx x ?- 22 4 cos 4π π; 12.?-++5 5242 312sin dx x x x x ; 13.?3 4 2sin π πdx x x ; 14.?41ln dx x x ; 15.?10xarctgxdx ; 16.?20 2cos π xdx e x ; 17.()dx x x ? π 2 sin ; 18.()dx x e ?1 ln sin ; 19.?- -24 3 cos cos π πdx x x ; 20.?+4 sin 1sin πdx x x ; 21.dx x x x ?+π02cos 1sin ; 22.?-+21 11ln dx x x x ; 23.?∞+∞-++dx x x 42 11; 24.?20sin ln π xdx ; 25.( )() ?∞+++0 211dx x x dx α ()0≥α。 (B 层次) 1.求由0cos 0 =+??x y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数 dx dy 。 2.当x 为何值时,函数()?-=x t dt te x I 0 2 有极值? 3. () ?x x dt t dx d cos sin 2 cos π。 4.设()??? ??>≤+=1,2 11,12x x x x x f ,求()?20dx x f 。
不定积分习题与答案
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ?x x dx 2 3)dx x ?-2)2( 4)dx x x ?+22 1 5)??-?dx x x x 32532 6)dx x x x ?22sin cos 2cos 7)dx x e x )32(?+ 8) dx x x x )1 1(2?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1)dx x ?-3 )23( 2) ? -3 32x dx 3) dt t t ? sin 4)? )ln(ln ln x x x dx 5)?x x dx sin cos 6)?-+x x e e dx 7)dx x x )cos(2? 8)dx x x ?-43 13 9)dx x x ?3cos sin 10)dx x x ?--2491 11)?-122 x dx 12)dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分(第二换元法) 1)dx x x ?+2 11 2)dx x ? sin 3)dx x x ? -42 4)?>-)0(,2 22 a dx x a x 5)? +3 2)1(x dx 6)?+ x dx 21 7) ?-+2 1x x dx 8) ?-+ 2 11x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1)inxdx xs ? 2)? xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?-2sin 2 5)? xdx x arctan 2 6)? xdx x cos 2 7)? xdx 2 ln 8) dx x x 2cos 2 2? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1)dx x x ?+33 2)?-++dx x x x 1033 22 3)?+)1(2x x dx (B)
不定积分-定积分复习题及答案-精品
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则() f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0 ()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx = ? ,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s << 二、填空题:(每小格3分,共30分)