高考数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（）

A ．21(1)(2)a a a a +++>+

B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+

C ．1

log (1)a a a a ++< D ．12

log (2)1

a a a a +++<

+ 【答案】ABD 【分析】

对于选项A ：原式等价于

()()

ln 1ln 212

a a a a ++>

++，对于选项C ：1

log (1)a a a a ++<

()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a

+⇔<

+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121

a a a a ++<

++，构造函数()ln x

f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；

对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()

()

ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔

>+，等价于()()2

ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2

2a b ab +⎛⎫≤ ⎪

⎝⎭

，再结合放缩法即可

判断；【详解】令()ln x f x x =

，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()

ln x

f x x

=在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以

21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，

即原不等式等价于

()()

ln 1ln 212

a a a a ++>

++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>

++，从而可得2

1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1

log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a

+⇔<

+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3

<，

因为

ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3

23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a

+>+，故选项C 错

误；

对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121

a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.

对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()

()

ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔

>+，因为2a ≥，所以等价于()()2

ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2

ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦

，

因为()()()()2

2ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢

⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确；故选：ABD 【点睛】

本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.

2．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001

f x f x =+=-

，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（）

A ．0112f x ⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭

C ．()f x 的最小正周期为3

D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为

1346个【答案】AC 【分析】

根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得

052,6

x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6

x k k Z π

ωϕπ++=-

∈，两式相减可求出ω，进而求得

周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ．【详解】

解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，即0112f x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

，所以A 正确；

因为()()00112

f x f x =+=-

，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，所以不妨令05

2,6

k k Z ωϕππ+=-

∈， ()012,6

x k k Z π

ωϕπ++=-∈，

两式相减得，23

πω=，所以23T π

=，即B 错误，C 正确；

因为3T =，

所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，

()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.

故选:AC . 【点睛】

本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．

3．设函数2,0()1

2,0

2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩

，对关于x 的方程2

()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（）．

．当2b =-+1个实根 B ．当3

b =

时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则

210

b <≤ D ．若方程有6

个不等实根，则322

b -+<< 【答案】BD 【分析】

先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】

函数()2

2,0,0()13

2,01,022x x e x e x f x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪

==⎨⎨-++>--+>⎪⎪⎩⎩

，作图如下：

由图可知，3(),2f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝

⎦，令()f x t =，则3,2

t ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝

⎦

，则方程转化为

20b bt t +-=-，即2

2()22204b b t t b t t b b ϕ⎛

⎫=--- +-=+⎪-⎝=⎭

选项A 中，223b =-+时方程为(2

2234230t t -+-=+，即(2

310t +=，

故31t =，即131,12()f x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

=，看图知存在三个根，使得()31f x =，故A

错误；选项B 中，32b =

，方程即2

31022t t -+=，即22310t t -+=，解得1t =或12

t =，当()1f x t ==时看图可知，存在3个根，当1

()2

f x t ==

时看图可知，存在2个根，故共5个不等的实根，B 正确；

选项C 中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）122

t t ==

，则31,22b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或

10,22b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，此时2

204

b b +--=，即2480b b -+=，解得223b =-±，132b =-2）12t t ≠时，即(]123

,,02

t t =∈-∞或(]12,,0t t ∈-∞.①当(]123,,02t t =∈-∞时132t =，代入方程得2

220332b b +⎛⎫-⋅ ⎪⎝-=⎭

，解得1710b =

，由123210t t b =-=，得(]21

,05

t =∉-∞，不满足题意，舍去；②当(]12,,0t t ∈-∞时220b bt t +-=-，则()2420b b ∆=-->，1220t t b =-≥，

120t t b +=<，解得223t <--，故C 错误；

选项D 中，方程有6个不等实根，则1211,1

,,122t t ⎛⎤⎛⎤

∈∈

⎥⎥⎝⎦⎝⎦

且12t t ≠，2

()2422b b

t t b t t b b ϕ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭

+-=+-图象如下：

需满足：()2

193

024*********b b b b b ϕϕϕ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪

=-≥⎨⎪⎛⎫⎪=-+-< ⎪⎪⎝⎭

⎩，解得：32232b -+<<，故D 正确.

故选：BD. 【点睛】关键点点睛：

本题解题关键在于对方程2

()()20f x bf x b -+-=进行换元()f x t =，变成关于t 的二次

方程根的分布问题，结合函数()f x 图象中函数值的分布情况来突破难点.

4．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x

f x e x =+，下列命题正确的是

（）

A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x

f x e x =+

B ．若()()33f x f x --=-，则()()3

g x f x e =+

在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]

23,3x ∈-，()()122f x f x -<

D ．若()()3f x f x +=，方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，则

k 的范围为2312

k e e

<<- 【答案】BC 【分析】

A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；

B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数

()f x 与直线3

y e =-

有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]

3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e

-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】

A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x

f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函

数，所以()()()1x

f x f x e

x -=-=-+，A 错误；

B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x

f x e

x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当

()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()3

3f e -=-

，()2

20f e -=-

<，()10f -=，作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线3

y e =-有3个交点，即函数()()3

g x f x e =+

在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；

C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2

[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当

[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；

D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]

3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，

因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]

3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21

20f e -=-<，所以23

12k e e

-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】

本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.

5．已知定义域为R 的奇函数()f x ，满足22

,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪

=-⎨⎪-+<≤⎩

，下列叙述正确的

是（）

A ．存在实数k ，使关于x 的方程()f x kx =有7个不相等的实数根

B ．当1211x x -<<<时，恒有12()()f x f x >

C ．若当(0,]x a ∈时，()f x 的最小值为1，则5[1,]2

a ∈ D ．若关于x 的方程3()2f x =和()f x m =的所有实数根之和为零，则32

m =- 【答案】AC 【分析】

根据奇函数()()f x f x -=-，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】

函数是奇函数，故()f x 在R 上的解析式为：

,22322,20()0,022,022

,223

x x x x x f x x x x x x x ⎧<-⎪+⎪----≤<⎪⎪

==⎨⎪-+<≤⎪⎪>⎪-⎩

绘制该函数的图象如所示：

对A ：如下图所示直线1l 与该函数有7个交点，故A 正确；

对B ：当1211x x -<<<时，函数不是减函数，故B 错误；对C ：如下图直线2:1l y =，与函数图交于5(1,1),(,1)2

，故当()f x 的最小值为1时有5[1,]2

a ∈，故C 正确

对D ：3()2f x =

时，函数的零点有136x =、212x =+、2

x =-；若使得其与()f x m =的所有零点之和为0，

则32

m =-

或3

8m =-，如图直线4l 、5l ，故D 错误

故选：AC 【点睛】

本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立

6．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π

个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A ．f (x )的图象关于直线2

x π=

对称

B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点

C ．f (x )在(0,

)10

上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510

) 【答案】CD 【分析】

利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10π

上递增，且

31010π

，可知C 正确. 【详解】

依题意得()()5f x g x πω=+

sin[()]5x πωω=+sin()5

x πω=+， 2T πω=，如图：

对于A ，令5

x k π

ωπ+=+

，k Z ∈，得310k x π

，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π

(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω

+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255ππ

πωω

≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；

对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10π

上递增，因为29310ω<

<，所以33

(1)0101010πππωω

-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；

故选：CD. 【点睛】

本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.

7．若定义在R 上的函数()f x 满足()

()

0f x f x ，当0x <时，

()22

f x x ax a =++(a ∈R )，则下列说法正确的是（）

A ．若方程()2

f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a << B ．若方程()2

f x ax =+有两个不同的实数根，则48a << C ．若方程()2

f x ax =+有4个不同的实数根，则8a > D ．若方程()2

f x ax =+有4个不同的实数根，则4a > 【答案】AC 【分析】

由题知()f x 是R 上的奇函数，则由0x <时的解析式可求出()f x 在R 上的解析式.先讨论特殊情况0x =为方程的根，则可求出0a =，此时方程化为()0f x =，而函数()f x 为R 上的减函数，则方程仅有一个根.当0x ≠时，由分段函数分类讨论得出0x <时，

1(1)2(1)a x x =-++

+-+，0x >时，4

242

a x x =-++-.利用数形结合思想，画出图

象，则可得知方程()2

f x ax =+不同的实数根个数分别为2个和4时，参数a 的取值范围. 【详解】因为()

()

0f x f x 所以()()f x f x -=-，

所以()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，当0x >时，0x -<，2

()22

f x x ax a -=-+，所以2

3()()22

f x f x x ax a =--=-+-

，综上2

232,02()0,03

2,0

2x ax a x f x x x ax a x ⎧++<⎪⎪

==⎨⎪⎪-+->⎩

，

若0x =是方程()2

f x ax =+的一个根，则0a =，此时()2

f x ax =+

，即()0f x =，而22,0()0,0,0x x f x x x x ⎧<⎪

==⎨⎪->⎩

，在R 上单调递减，

当0a =时，原方程有一个实根. 当0x <时，2

3222

a x ax a ax ++

=+，所以20x ax a ++=，当1x =-时不满足，

所以21

(1)21(1)

x a x x x =-

=-++++-+，当0x >时，2

3222

x ax a ax -+-

=+，所以220x ax a -+=，当2x =时不满足，

所以24

2422

x a x x x ==-++--，如图：

若方程()2

f x ax =+有两个不同的实数根，则0a <或48a <<；

若方程()2

f x ax =+有4个不同的实数根，则8a >. 故选：AC 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是将方程()2

f x ax =+进行参数分离，再借助数形结合法，求出对应的参数的取值范围.

8．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数

()1,0,x Q f x x Q

∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，

从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（）

A ．函数()f x 是偶函数

B ．函数()f x 是周期函数

C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=

D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 【答案】ABC 【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取

20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.

【详解】

对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-；

任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.

所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确；对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==；任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.

所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确；对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==；对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确；对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证.

二、导数及其应用多选题

9．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>

【答案】ABC 【分析】

求导2

()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】

3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+

当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；

当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'

f x ，()f x 的变化情况如下表：

()'f x

+ 0

0 +

()f x

极大值极小值

故当3

x -=-

，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝

⎭，当3

a x -=，函数()f x 取得极小值

2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭

又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图

或

则需0303a f a f ⎧

⎛--<⎪ ⎪⎝⎨

-⎪<⎪⎩，即203320

33a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a a

b -<<，

B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；

则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨

-⎪>⎪⎩

，即203320

33a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a a

b ->>，

D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意；故选：ABC 【点睛】

思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.

10．设函数()()1x a

f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下

列结论正确的有（） A ．a e =

B ．()f x 在区间()1,e 单调递增

C ．1x =是()f x 的极大值点

D ．()f e 是()f x 的最小值

【答案】ACD 【分析】

()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即

ln ln x a

x a

=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x

h x x

的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零

点1和e ，并证明出()'

f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．

【详解】

()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即

ln ln x a

x a

=只有一个正根．设ln ()x

h x x =

，则21ln ()x h x x

-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，

max 1()()h x h e e

． ∴要使方程

ln ln x a

x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a

<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；

()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，

1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，

易知1x =和x e =是此方程的解．

设()(1)ln 1p x e x x =--+，1

()1e p x x

-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，

又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，

01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，

所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为

(1)f ，

又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．

【点睛】

关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'

f x 的零点时，利用零点定义解方程，1

()0x

e f x e ex

-'=-=，11x e e x --=，取对数得

1(1)ln x e x -=-，

易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．

江苏省徐州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

江苏省徐州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数22 1,0 ()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点 C ．当10k >>，有4个零点 D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数 ()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数2 1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2 k x = 对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：

()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误；对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112 t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由 ()1 2 f x = 可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确；故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．

函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()()2 2 14sin 2 x x e x f x e -= +，则下列说法正确的是（） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥ 【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ， ()() 2 22 11 4sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+= +-，定义域为R ，关于原点对称， ()2211 =2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e --++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称， ()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e --''-=- +---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1 ()2sin x x g x e x e =-+，则1 ()+ 2cos 2+2cos 0x x g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又 (0)0f '=， π,02x ⎛⎫ ∴∈- ⎪⎝⎭ 时，()0f x '<，

高考数学多选题(讲义及答案)附解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数221,0 ()log ,0 x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点 C ．当10k >>，有4个零点 D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数 ()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数21y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为 2 k x = 对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根1 2 t = ，由()12f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：

()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根1 2 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 有3个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确；对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误；对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112 t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由 ()1 2 f x = 可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正确；故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题． 2．已知函数2 22,0 ()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若x 1

2023年高考数学总复习：基本初等函数、函数的概念和性质(附答案解析)

2023年高考数学总复习：基本初等函数、函数的概念和性质一．选择题（共8小题） 1．（2022春•兴庆区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），且当时，f（x）＝﹣2x2+1，则f（2021）＝（） A．7B．1C．0D．﹣1 2．（2022春•兴庆区校级期末）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 3．（2022春•昌平区期末）已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（2+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝（）A．﹣2B．0C．2D．4 4．（2022•南京模拟）函数f（x ）＝+的最大值为M，最小值为N，则M+N＝（） A．3B．4C．6D．与m值有关5．（2022春•朝阳区期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（） A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1} 6．（2022春•金华期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子” 的关兴，用其名字命名的“高斯函数“：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知，则函数y＝[f（x）]的值域为（） A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 7．（2022春•天津期末）已知函数f（x ）满足，函数g （x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5个零点，则实数a的取值范围为（）第1页（共25页）

湖北省武汉市第六中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

湖北省武汉市第六中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ，当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

山西省山西大学附属中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

山西省山西大学附属中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数22 1,0 ()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说法中，正确的是（） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点 C ．当10k >>，有4个零点 D ．当4k =-时，有7个零点【答案】ABD 【分析】令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数 ()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-，函数2 1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2 k x = 对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 只有一解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确；对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：

天津市函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

天津市函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ，当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

湖南长沙市明德中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

湖南长沙市明德中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数222, ()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若x 1

福建省福州第三中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

福建省福州第三中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

湖北武汉市第六中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

湖北武汉市第六中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数222, ()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若x 1

江西省吉安县第三中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

江西省吉安县第三中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

山东省青岛市第二中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

山东省青岛市第二中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛ ⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-；当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>满足()01 ()12 f x f x +=-=0，且()f x 在 ()00,1x x +上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（） A ．01()12 f x +=- B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．()f x 的最小正周期为3 D ．()f x 在()0,303上的零点个数最少为202 个【答案】AC 【分析】由题意知()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，有01()12f x +=-且23 π ω= ，进而可判断A 、B 、C 的正误，又[0,303]上共有101个周期，最多有203个零点，最少有202个零点，进而可知()0,303零点个数最少个数，即知D 的正误. 【详解】由()01 ()12 f x f x +=-=0，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， ∴()00,1x x +在一个波谷的位置且有对称性，即01()12 f x +=-，

数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛ ⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-；当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(] 0,1x ∈时， ()(2)f x x x =--，则（） A ．()f x 是周期为2的函数 B ．()()201920201f f +=- C ．()f x 的值域为[]1,1- D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A. 对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==， ()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(] 01 x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[ )10 x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ．【详解】

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ，当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当 12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（） A ． B ．1- C ．1 D 【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2 |2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线 0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数. 又12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数. 且()() 2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2 |2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11 |||||||||2|22x a x x x x x +< =+=+，又因为1||| |2x x +=≥||2 x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或 ()max 0f x ≤恒成立. 2．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[] y x =称为高斯函数，也叫取整函数. 令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1

四川省成都市第七中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

四川省成都市第七中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛ ⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-；当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．下列函数求值域正确的是（） A ．()1f x x =+的值域为[2)+∞， B ．222 ()1 x x g x x ++=+的值域为[2)+∞， C ．()h x = (0 D ．()w x =的值域为[2 【答案】CD 【分析】 ()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ； 2(1)11 ()(1)11 x g x x x x ++==++ ++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；() h x = = 利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31] -，，将()w x =()2 4w x =，由于()0w x >，可得()w x =2 (1)t x =-+的范围即可求() w x 值域，可判断选项D.

高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案

高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++ =++⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+，若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦；若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.