数学八年级二次根式练习题

数学八年级二次根式练习题

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２0１5数学八年级二次根式练习题

知识点一:二次根式的概念

【知识要点】:二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数,只有当是一个

非负数时,

才有意义.

【典型例题】 【例1】下列各式：1)

22211

,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153

x a a a --+---+，其中是二次根式的是_＿_______(填序号）． 举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是( )

A 、a

B 、10-

C 、1a + Ｄ、

2

1a

+

2、在a 、2a b 、1x +、2

1x +、3中是二次根式的个数有_____＿个

【例２】若式子

1

3

x -有意义，则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z ＊Ｘ*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式

4

3--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>３ ?Ｂ、ｘ≥3 ?C 、 x>4 ?D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2

21x x

-

+-有意义的x 的取值范围是

3、如果代数式mn

m 1+

-有意义，那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在( )

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+20０9，则x+y= 举一反三:

1、若11x x ---2

()x y =+,则x -y 的值为（ )

A ．-1 Ｂ．１ C.2 D ．3

2、若x 、ｙ都是实数，且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值

3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知ａ是5整数部分,b 是 5的小数部分,求1

2

a b ++的值。

举一反三：

若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x,小数部分为y ，求

y x 1

2+

的值.

知识点二：二次根式的性质 【知识要点】

1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到. ２. ()()a aa 20=≥.注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20 3.

a a a a a a 200==≥-

?

?

||()() 注意：（1）字母不一定是正数. （2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的,应把负号留在根号外．

4. 公式a a a a a a 2

00==≥-

?

?

||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,ａ的范围是非负数. (3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的. 【典型例题】

【例４】若()2

2340a b c -+-+-=，则=

+-c b a .

举一反三:

1、若0)1(32

=++-n m ,则m n +的值为 。

２、已知y x ,为实数，且()02312

=-+-y x ,则y x -的值为（ )

A ．3??Ｂ.– 3? Ｃ.1 D.– 1

３、已知直角三角形两边ｘ、y 的长满足|x 2

－4｜＋

652+-y y =0,则第三边长为__＿＿__.

4、若

1

a b -+与

24a b ++互为相反数，则()

2005

_____________

a b -=。

【例5】 化简:

21(3)a a -+-的结果为（ )

A 、4—2a

B 、0

C 、２a —４

D 、４ 举一反三：

１．在实数范围内分解因式： 23x -= ;4244m m -+＝

429__________,222__________x x x -=-+=

２.化简:()

3313--

3.已知直角三角形的两直角边分别为2和5,则斜边长为 【例６】已知2x <，则化简244x x -+的结果是 A 、2x -?? B 、2x + ?C 、2x -- ?D 、2x -

举一反三:

1、根式2(3)-的值是( )

Ａ．－３ B.３或-3 C.3 Ｄ.9 2、已知a<0,那么│2

a －2a │可化简为( )

A.-a B ．a C.－3a D.3a 3、若2

3a ，则

()

()

2

2

23a a --

-等于（ )

Ａ. 52a - Ｂ. 12a - C. 25a - D. 21a - 4、若ａ－３<０,则化简

a

a a -++-4962的结果是( ）

(A) －1 (Ｂ) 1 (C ） ２a-7 (D) 7-2a

５、化简(

)

2

2

44123x x x -+-

-得( )

（A) 2 （Ｂ）44x -+ （C)－2 （Ｄ）44x -

6、当ａ<ｌ且a ≠0时,化简

a a a a -+-221

2＝ .

7、已知0a <，化简求值：

22

114()4()a a a a -+-+-

o

b a

【例７】如果表示ａ，ｂ两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果

等于（ ）

A ．－2b Ｂ.2b C ．－2a Ｄ．2a 举一反三:

实数a 在数轴上的位置如图所示:化简：02

1(2)______a a -+-=．

【例8】化简2

1816x x x ---+的结果是2x -5,则ｘ的取值范围是( ）

(A ）ｘ为任意实数 （B ）1≤x ≤４ （Ｃ） ｘ≥1 (D ）x ≤1

举一反三：若代数式22(2)(4)a a -+-的值是常数2，则a 的取值范围是（ ) A.4a ≥ ?B ．2a ≤??Ｃ.24a ≤≤? D .2a =或4a =

【例９】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）

A. a=0 B ． a=1 C. a ＝0或ａ＝1 D. a ≤1 举一反三:

１、如果2693a a a +-+=成立，那么实数a 的取值范围是（ ）

.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥

2、若03)3(2

=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）

(A)3>x （Ｂ）3

2

a

a a +-

的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D ）2--a

1、把二次根式a a

-

1

化简,正确的结果是( ) Ａ． -a ?

B. --a

??C. -a

??D. a

2、把根号外的因式移到根号内:当b ＞0时，x x b = ;a

a --11

)1(= 。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】1、最简二次根式：

(1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．

2、同类二次根式(可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】

1

- 1 2

a

【例1１】在根式1) 22

2;2)

;3);4)275

x

a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ) A ．1) ２） Ｂ.3) 4) C ．1) 3) Ｄ.1) 4) 举一反三:

１、)b a (17,54,b 40,2

1

2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。

2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是( ） Ａ．7?

Ｂ．3

Ｃ.12

???D.2

3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A ．21a + Ｂ.21x + Ｃ.

24

b

D.0.1y ４、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是？为什么?

（1)b a 23 (２）23ab

（3)22y x + （4))(b a b a >- （５）5 (６）

xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式：

（1)12 (2)

b a 2

45 (3)x y

x 2

【例1２】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8

B.

27 C.25 Ｄ．

2

1 举一反三：

1、下列各组根式中,是可以合并的根式是（ ）

A 、318和 Ｂ、1

33

和

Ｃ、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、在二次根式：①12；②

32;③

3

2

；④27中，能与3合并的二次根式

是 。 3、如果最简二次根式83-a 与

a 217-能够合并为一个二次根式, 则a ＝＿＿＿__＿_＿__.

知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式：利用a a a ?=来确定，如：a a 与,a b a b ++与,b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a b +与a b -,

a b a b +-与，

a x

b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化 （1）148 （2）4337

- （３)11212 （4）13550-

【例14】把下列各式分母有理化：

(1)221- (２）5353+- (3)33

3223

-

举一反三： 1、已知2323

x -=+,2323y +=-,求下列各式的值：(1)x y x y +-（2)22

3x xy y -+

小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①

与

； ②

与

；

③与; ④

与

.

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab =a ·b （ａ≥0，b ≥0)

２.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

a ·

b ＝ab .（a ≥0,ｂ≥０）

３.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

a b ＝a b

(a ≥0,ｂ>0）

4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

a b

=a b （a ≥０，b ＞0）

注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑

字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 【典型例题】 【例1５】化简

(1)916? (2)1681? (3) 1525? （４）229x y (0,0≥≥y x ) (5）

12

×632?

【例16】计算(1)

【例17】化简： (1）

3

64

(2）2

2

649b a )0,0(≥>b a (3)2

964x

y )

0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x

【例18】计算：(1）

123

(2）31

28÷ (３)11416÷

（4)648 【例19】能使等式2

2x x

x x =

--成立的的ｘ的取值范围是( ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减,被开方数不变。注意：对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. 【典型例题】

【例20】计算(１）11327520.53227--+-; （2)12

543102024553457????+-- ? ? ? ?????

；

（3)11113275348532-+-+； （4）113326327284814723247????-+-+ ? ?????

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】 1、确定运算顺序；２、灵活运用运算定律; ３、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时;5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;

【典型习题】 【例２1】1、

错误!（2错误!+4错误!－3错误!)

2、

673)3

2272(-?++

知识点八：根式比较大小 【知识要点】

1、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

2、平方法 当0,0a b >>时,①如果22a b >，则a b >;②如果22a b <，则a b <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 ５、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b -

８、求商比较法它运用如下性质：当ａ>0,b>0时,则：①1a

a b

b >?>； ②1a

a b

b

【典型例题】

【例2２】 比较35与53的大小。 例23】比较231-与1

21

-的大小。

【例2４】比较1514-与1413-的大小。【例25】比较76-与65-的大小。

【例２6】比较73+与873-的大小

二次根式练习题

一、选择题

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

Ａ.2--x B ．x C.22+x D ．22-x ２.若13-m 有意义,则ｍ能取的最小整数值是（ ）

A ．m=0

B ．m ＝１ Ｃ.m=2 D ．ｍ＝3

3．若x<0，则x

x x 2

-的结果是( )

A.0

B.—2

C.0或—2 Ｄ．2 4．下列说法错误的是 ( ）

Ａ.962+-a a 是最简二次根式 B ．4是二次根式 C.22b a +是一个非负数 D ．162+x 的最小值是4 5．24n 是整数,则正整数n 的最小值是（ ）

A.4 Ｂ.５ C.６ Ｄ.2 6.化简

6

1

51+的结果为( ) A ．

30

11

B ．33030 C.30330 Ｄ．1130

７．．把a a

1

-

根号外的因式移入根号内的结果是( ） A 、 a - Ｂ、a --

Ｃ、a D 、a -

8． 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ) A.

(

)

2

a b

a b +=+ B. 22a b a b +=+ C..

()2

2222a b a b +=+ Ｄ.

()

2

a b a b +=+

9. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是( ）

A. 它是一个非负数

B. 它是一个无理数 Ｃ. 它是最简二次根式 Ｄ． 它的最小值为3

1０. 下列式子中正确的是( ） A ． 527+=

B.

22a b a b -=-

C ． ()a x b x a b x -=- D. 68

34322

+=+=+ 二、填空题

１1.①=-2)3.0( ；②=-2

)52( 。 １2．化简：计算

=--y

x y x ___＿＿_＿＿_____＿＿;

13.计算3

393a

a a a

-

+＝ 。 1４.化简:()2

211x x x -+的结果是 。

15. 当１≤ｘ＜5时,()

2

15_____________x x -+-=。 1６.

(

)(

)

20002001

32

32

______________-+=。

17.若0≤ a ≤１,则2

2

)1(-+a a ＝ ; 三、计算

(1)2

25241???

? ??-- （2）)459(43332-? (3)2332326-- (4）；2196234x x x x

+-

（5)()(

)()

2

743743351+--- (６). ()(

)(

)(

)

2

2

2

2

12

13

12

13++--

（７)计算：

10

31 (2)

313

212

11++

+++

++

+ （8)

)21(281

3

+---

(9)

251)52(32232++--?

(1０）

1

3

3

27++

(１1))

21()25()3()2(022---+--- (1２)

)52453204(52+-

8.计算：(1）32)2432

22731?-+ (２)（)243)(2+-a a

9.计算：（1）)2762)(6227(-+ (2) （２)32)(62+-

10. 计算：(1)

)235)(235(-++- (2))1462)(732(+++-

四、 解答题

1.已知:的值。

求代数式2,211881+++-+-=x

y

y x x x y

2． 当1＜x ＜５时,化简：22211025x x x x -+--+

３.若2440x y y y -+-+=，求xy 的值。

４. 观察下列等式:

①

12)

12)(12(12121-=-+-=+;②

23)23)(23(2

32

31-=-+-=

+； ③

34)

34)(34(3

43

41

-=-+-=

+；……

利用你观察到的规律，化简:11

321

+

5.已知ａ、b 、c 满足0235)8(2

=-+-+-c b a

求:（１）a 、b 、c 的值；

(2)试问以a 、b 、ｃ为边能否构成三角形？若能构成三角形,求出三角形的周长；若不能构成三角形,请说明理由.

6. 当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。

7．若a ，b 分别表示10的整数部分与小数部分，求4

1

++

b a 的值。