解决药物中毒问题

《如何施救药物中毒》

[数学模型]

班级信服142

姓名 ****

**

运用MATLAB 软件解决施救药物中毒问题

（****）

山东工商学院数学学院

摘要 本问题是研究氨茶碱片导致孩子和成人引起中毒和致命的最小剂量问题主要需要结合极值与导数的关系，建立微分方程模型

1100)0(,=-=x x dt dx λ

0y (0)=-= y x dt dy μλ 通过运用MATLAB 解方程判断孩子的身体状况得出孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！然后得到新的模型

5

.236)2(,1100,2,==≥-=-z e x t z x dt dz t λμλ

再运用MA TLAB 解方程得出最佳的施救方案即口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

关键字 MA TLAB 半衰期 血药浓度

一. 问题重述

两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两个小时前，孩子误吞11片治疗哮喘病的，剂量为每片100mg的氨茶碱片，已经出现了呕吐，头晕等症状，氨茶碱片成人每次用量是100~200mg，儿童是3~5mg/kg，如果过量服用，可使血药浓度过高，当血药浓度达到100ug/ml时，会出现严重中毒，达到200ug/ml则可致命。现在，药物已经进入肠道，无法用呕吐的办法排除，孩子的血药浓度是否达到100ug/ml甚至200ug/ml，如果达到采取紧急方案。

二. 问题分析

血药浓度=药量/血液总量

通常血液总量是体重的7%~8%，即50~60kg的成年人有4000ml左右血液，目测孩子血液为2000ml，由此，血液系统中的血药浓度不会与药量之间可以认为互相转换。

临床施救的办法：

口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.

体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.

三. 模型假设

胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.

1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.

2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物.

3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期为6小时.

4. 孩子的血液总量为2000ml.

四.模型设计

据假设对胃肠道中药量x（t）和血液系统的药量y（t）建立如下模型：

由假设1 x(0)=1100mg,随着药物进入血液系统，x(t)下降的速度与x(t)本身成正比(λ>0），所以x（t）满足微分方程：

1100)0(,=-=x x dt

dx λ （1） 由假设2 y （0）=0，药物从肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y （t ）由于吸收作用而增长的速度为λx λ，由于排除而减少的速度与y(t)本身成正比（比例系数为μ>0）,所以y （t ）满足微分方程：

0y(0)=-= y x dt

dy μλ （2） 且λ和μ可由半衰期确定

五. 模型求解与结果

模型求解：

微分方程（1）是可分离变量方程表明胃肠道中的药量x(t)随时间单调减少并趋于0.容易得到

t

e t x λ-=1100)( （3） 将（3）带入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得

（4）

表明血液系统中的药量y(t ）随时间先增后减并趋近于0.

将λ=0.1386和μ=0.1155代入（3），（4），得（t 的单位：h;x,y 单位：mg ）

t

e t x 1386.01100)(-=

)(6600)(1386.01155.0t t e e t y ---=

结果分析：

用MA TLAB 作图得

由图可看出：

血液总量2000ml 血药浓度100μg/ml y(t) =200mg 严重中毒

血药浓度200μg/ml y(t) =400mg 致命

据图求得y(2)=236.5 故而可知孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！

施救方案：

口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

设子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)，由（2）（3）得出新模型

5.236)2(,1100,2,==≥-=-z e x t z x dt

dz t λμλ

当λ=0.1386 (不变)，μ =0.1155*2=0.2310时，上式解出 2,5.16091650)(2310.01386.0≥-=--t e e t z t t

用MA TLAB 作图得

看图可知：

施救后血液中药量z (t)显著低于y(t). z (t)最大值低于致命水平. 要使z (t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885.

若采用体外血液透析，μ可增至0.1155*6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.

六.模型的评价

模型的应用：本题所求得模型，可用于对药物中毒者的抢救，确定抢救的最佳时间和最佳方案，也可用于医学上对患者如何服药，以及出现药物中毒时如何处理提供相应的理论依据。

模型的优缺点：

优点：方法简单，实用性强，能够快速有效地帮助误服药物的病人和医生确定中毒的程度，有利于选择更好的方案。

缺点：在计算参数μ的时候，忽略血液系统对药物吸收情况，只考虑血液系统只对药物进行排除的情况。

七．参考文献

[1]《MATLAB入门》后勤工程学院1997

[2]《数学实验》萧树铁主编高等教育出版社1999

[3]《概率论第二册——数理统计》复旦大学高等教育出版社1985

[4]《数学模型》姜启源主编高等数学出版社1993

八．附录

MATALAB程序代码

syms a b t;

[x,y,z]=dsolve('Dx=-a*x','Dy=-b*y','Dz=-b*y','x(0)=1100','y(0)=0','z(2)=236.5','t');

x=((1100*a^2)/(exp(a*t)*(a - b))-(1100*a*b)/(exp(a*t)*(a -b )))/a;

y=(1100*a)/(exp(b*t)*(a - b))-(1100*a)/(exp(a*t)*(a - b ));

t=0:0.1:25;

z=20.047*exp(-0.693*t)+42350*exp(-0.1386*t);

x=1100*exp(-0.1386*t);

plot(t,x,t,z)

t=0:0.1:25;

y=6600*(exp(-0.1155*t)-exp(-0.1386*t));

x=1100*exp(-0.1386*t);

plot(t,x,t,y)

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