(完整版)高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间
1.设()
ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而
),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,
在n R 中定义内积βαβα'A =),(,
1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量
)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见
βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑=
'A =j
i j i ij
y x a
,),(αααα，
由于A 是正定矩阵，因此
∑j
i j i ij y x a
,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有
0),(=αα。
2)设单位向量
)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，
的度量矩阵为
)(ij b B =，则
)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε???????
??nn n n n n a a a
a a a a a a Λ
M O M
M ΛΛ2
1222
22112
11)(010j ?
???
???
? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知
∑=j
i j
i ij y x a ,),(βα
，
α==
β==
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。 解 1)由定义,得
012)1(32112),(=?+-+?+?=βα，
所以
2,π
βα>=
<。
2)因为
1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα，
2236
1818,cos =
>=
<βα，
所以
4,π
βα>=<。 3)同理可得
3),(=βα, 17),(=αα, 3),(=ββ, 773,cos >=
<βα，
所以
773cos ,1
->=<βα。
,,ij i j
ij
i j
i j
i j
a x y
a
y y ≤
∑
3. β
αβα-=
),(d 通常为βα,的距离，证明；
),(),(),(γββαβαd d d +≤。 证 由距离的定义及三角不等式可得
)()(),(γββαγαβα-+-=-=d
γββα-+-≤
),(),(γββαd d +=。
4在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。 解 设()4321,,,x x x x =α与三个已知向量分别正交，得方程组
???
??=+++=+--=+-+0
32004321
43214321x x x x x x x x x x x x ， 因为方程组的系数矩阵A 的秩为3，所以可令 x 3,0,414213-===?=x x x ，即()3,1,0,4-=α。
再将其单位化，则 ()3,1,0,426
1
1-=
=αηa ， 即为所求。 5．设n α
ααΛΛ,,21是欧氏空间
V 的一组基，证明：
1） 如果V ∈γ使()(),,,2,10,n i i ΛΛ==αγ，那么0=γ。
2） 如果V ∈21,γγ使对任一V ∈α有()()αγαγ,,21=，那么21γγ=。 证 1)因为n α
ααΛΛ,,21为欧氏空间
V 的一组基，且对V ∈γ，有
()()n i ,,2,10,ΛΛ=αγ ，
所以可设n n k k k αααγΛΛ++=2211， 且有
()()
()()()
n n n n k k k k k k αγαγαγαααγγγ,,,,,22112211+++=+++=ΛΛΛΛ
即证0=γ。
2)由题设，对任一V ∈α总有()
()
αγαγ,211=，特别对基i α也有
()()i i αγαγ
,211
=，或者()()n i i ,,2,10,21ΛΛ==-αγγ，
再由1)可得021=-γγ，即证21γγ=。
6设3,2,1εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
()()()
321332123211223
1
2231
2231
εεεαεεεαεεεα--=+-=-+=
也是一组标准正交基。 证 因为
()()3213212122,2291,εεεεεεαα+--+=
()()()[]3322112,,22,291
εεεεεε-+-+=
[]0)2()2(49
1
=-+-+=，
同理可得
()()0,,3231==αααα， 另一方面 ()()3213211122,2291
,εεεεεεαα-+-+=
()()()[]332211,,4,491
εεεεεε--++= 1)144(9
1
=++=， 同理可得
()()1,,3322==αααα，
即证321,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设54321,,,,εεεεε也是五维欧氏V 空间中的一组标准正交基, ()3221,,αααL V =，其中 511εεα+= ,
4212εεεα+-= , 32132εεεα++=，
求1V 的一组标准正交基。
解 首先证明321,,ααα线性无关.事实上，由
???????
? ?
?-=00
1010100
110
211),,,,(),,(54321321εεεεεααα， 其中 ?????
??
?
?
?-=00101010
011
0211A 的秩为3，所以321,,ααα线性无关。 将正交化，可得
5
111εεαβ+==，
=-
=),(),(112222βββααβ5
42121
21εεεε-+-，
单位化，有
)(2
2
511εεη+=
， )22(10
10
54212εεεεη-+-=
， )(2
153213εεεεη-++=，
则321,,ηηη为1V 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
??
?=+-+=-+-+0
32532154321x x x x x x x x x 的解空间(作为5
R 的子空间)的一组标准正交基。 解 由
??
?+--=+--=-3215
3
215423x x x x x x x x x 可得基础解系为
)1,5,0,0,1(1--=α，)1,4,0,1,0(2--=α，)1,4,1,0,0(3=α，
它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得
)1,5,0,0,1(11--==αβ， )
2,1,0,9,7(9
1
),(),(1111222---=-
=ββββααβ，
)2,1,15,6,7(15
1
),(),(),(),(222231111333=--
=ββββαββββααβ，
再将321,,βββ单位化,可得 )1,5,0,0,1(3
311--=
η，)2,1,0,9,7(15
312---=
η，)2,1,15,6,7(35
313=
η，
则321,,ηηη就是所求解空间的一组标准正交基。 9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=?
-dx x g x f )()(11
求R[X]4的一组标准正交基(由基
1.3
2,,χχχ出发作正交化)。
解 取R[X]4的一组基为,,,,13
42321x x x ====αααα将其正交化,可得111==αβ，
x =-
=1111222)
,()
,(ββββααβ，其中(?=?=-01),1112dx x βα，又因为
?=
==-3
2),(),(21
12213dx x βββα， ?=?=-211),(1
111dx ββ， ?=?=-0),(21
123xdx x βα，
所以3
1
),(),(),(),(2222231111333-=--
=x ββββαββββααβ，
同理可得x x 5
3
),(),(),(),(),(),(333334222241111444-=---
=ββββαββββαββββααβ，
再将4321,,,ββββ单位化，即得2
2
1
11
1=
=
ββη，
x
26
1
22
2=
=
ββη，)13(41023-=x η，)35(41434x x -=η， 则4321,,,ηηηη即为所求的一组标准正交基。 10.设V 是一n 维欧氏空间,0≠α是V 中一固定向量,
1)证明:V },0),(|{1V x a x x ∈==是V 的一个子空间； 2)证明:V 1的维数等于n-1。
证 1)由于0,01V ∈因而V 1非空.下面证明V 1对两种运算封闭.事实上,任取,,121V x x ∈ 则有 (0),(),21==ααx x ，于是又有(0)()(),2121=+++=+αααx x x x ，
所以121x x V +∈。另一方面，也有 (0),(),11==ααx k kx ， 即11kx V ∈。故V 1是V 的一个子空间。
2)因为0≠α是线性无关的，可将其扩充为V 的一组正交基2,,n αηηL ，且(0),=αηi
(),3,2n i Λ=，1(2,3,)i V i n η∈=L 。下面只要证明:对任意的ββ,1V ∈可以由n
ηηηΛ,,32线性表出，则1V 的维数就是1-n 。
事实上，对任意的1V ∈β，都有V ∈β，于是有线性关系n n k k k ηηαβ+++=Λ221，且 ),(),(),(),(221αηαηαααβn n k k k +++=Λ， 但有假设知 ),,2,1(0),(),(n i i Λ===αηαβ，
所以0),(1=ααk ，又因为0≠α，故01=k ，从而有n n k k ηηβ++=Λ22， 再由β的任意性，即证。
11．1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。
证：1）设n ααα,,,21Λ与n βββ,,,21Λ是欧氏空间V 的两组不同基，它们对应的度量矩阵分别是)(ij a A =和)(ij b B =，另外，设n ααα,,,21Λ到n βββ,,,21Λ的过渡矩阵为
)(ij c C =，即???
??+++=+++=n nn n n n n n c c c c c c α
ααβαααβΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ221112121111 ，
),(),(1111n nj j n ni i j i ij c c c c b ααααββ++++==ΛΛ
=
∑=++n
k n nj j k ki
c c c
111),(αααΛ
=
∑∑==n
k n
s s k sj
ki c c
11
),(αα
=
∑∑==n k n
s ks si
ki c c
11
α，
另一方面,令
)(),(''ij ij e DC AC C d A C D ====， 则D 的元素为
∑==n
k ks ki is c d 1
α，
故AC C '
的元素
∑∑∑=======n s n
n ij sj ks ki n s sj is ij n j i b c c c d e 1
1
1
),2,1,()(Λα，
即证B AC C ='
。再由,,,,;,,,2121n n βββαααΛΛ皆为V 的基，所以C 非退化，从而B
与A 合同。
2）在欧氏空间V 中，任取一组基n ααα,,,21Λ，它的度量矩阵为),(ij a A =其中
(,)ij i j ααα=，且度量矩阵A 是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即AC C E '=。
于是只要
C n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，
则由上面1）可知基n βββ,,,21Λ的度量矩阵为E ，这就是说，n βββ,,,21Λ就是所求的标准正交基。
12．设n ααα,,,21Λ是
n
维欧氏空间
V
中的一组向量，而
111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
(,)m m m m m m αααααααααααααααααα??
?
?
?=
?
?
??
L L M M O M L
证明：当且仅当0?≠时m ααα,,21Λ线性无关。
证 设有线性关系
02211=+++m m k k k αααΛ， 将其分别与i α取内积，可得方程组
),,2,1(0),(),(),(2211m i k k k m i m i i ΛΛ==+++αααααα，
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。
13．证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1或-1。 证 设
????
??
?
?
?=nn n n a a a a q a A M O
Λ
Λ
222112
11为上三角矩阵，则????
??
?
??=-nn n n b b b b b b A M O
ΛΛ222112111也是上三角矩阵。由于A 是正交阵，所以'1A A =-，即
????
??
?
??=???????
??=nn n n nn n n b b b b b b a a a
a a a A M O ΛΛΛ
O M M 222112112122
1211
， 所以)(0j i a ij ≠=，因而
??????
?
?
?=nn a a a A O
22
11
为对角阵。再由,'
E A A =知12=ii a ，即证1=ii a 或-1。
14．1）设A 为一个n 阶矩阵，且0≠A ，证明A 可以分解成
A=QT ，
其中Q 是正交矩阵，T 是一上三角矩阵
????
??
?
??=nn n n t t t t t t T M O
ΛΛ
22211211， 且),2,1(0n i t ii Λ=>，并证明这个分解是唯一的； 2)设A 是n 阶正交矩阵，证明存在一上三角矩阵T ，使 T T A '
=。
证 1)设A 的n 个列向量是,.,21n a a a Λ由于0A ≠，因此n a a a ,,,21Λ是线性无关的。从而它们也是V 的一组基，将其正交单位化，可得一组标准正交基为
?????
?
??
???
+
---=+-==--n n n n n n n n αβηβηαηβηαηαβηαβηααη1
),(),(1),(11111122
122211
1ΛΛ， 其中
??
??
???
---=-==--1
111122211),(),(),(n n n n n n ηηαηααβηηααβαβΛΛ，
??
??
???+++=+==n
nn n n n t t t t t t ηηηαηηαηαΛΛ221122*********，
其中),,2,1(0n i t i ii Λ=>=
β。即
????
??
?
?
?==nn n n n n t t t t t t A M O
ΛΛ
ΛΛ222112112121),,,(),,(ηηηααα， 令???
?
?
?
?=nn n t t t T M O Λ111，则T 是上三角矩阵,且主对角线元素0>ii t 。 另一方面，由于i η是n 维列向量，不妨记为
),2,1(21n i b b b ni i i i ΛM =????
??
? ??=η，
且令
),,,(211111n nn n n b b
b b Q ηηηΛΛM O
M Λ=???
?
?
??=， 则有QT A =,由于n ηηη,,,21Λ是一组标准正交基，故Q 是正交矩阵。
再证唯一性，设QT T Q A ==11是两种分解，其中1,Q Q 是正交矩阵，1,T T 是主对角线元素
大于零的上三角阵，则1
11
1--=T T Q Q ，由于111
1,--T T Q Q 从而是正交矩阵也是正交矩阵,
且1
1-T
T 为上三角阵，因此, 1
1-T
T 是主对角线元为1或-1的对角阵，但是1T T 与的主对角
线元大于零，所以1
1-T T 的主对角线元只能是1，故E T T =-1
1，即证T T =1。进而有1Q Q =,
从而分解是唯一的。
2)因为A 是正定的，所以A 与E 合同，即存在可逆阵C 使C C A '=,再由1)知QT C =,其中Q 是正交矩阵T 为三角阵，所以T T QT Q T A '''==。 15.设η是欧氏空间中一单位向量，定义ηαηαα),(2-=A ，
证明:1)A 是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射；
2) A 是第二类的；
3)如果n 维欧氏空间中正交变换A 以1作为一个特征值,且属于特征值1的特征子空间
1V 的维数为1-n ，那么A 是镜面反射。
证:1)βα,?,有:ηβαηβαβα),(2)(212121k k k k k k A +-+=+
βαηβηηαηβαA k A k k k k k 212121),(2),(2+=--+=， 所以A 是线性变换。
又因为 ]),(2,),(2[),(ηβηβηαηαβα--=A A
),)(,)(,(4),)(,(2),)(,(2),(ηηβηαηβηαηβηαηβα+--=， 注意到1),(=ηη，故),(),(βαβα=A A ,此即A 是正交变换。
2)由于η是单位向量，将它扩充成欧氏空间的一组标准正交基n εεη,,,2Λ,则
??
?==-=-=-=)
,,3,2(),(2),(2n i A A i i i i Λεηεηεεη
ηηηηη， 即 ??????
?
?
?-=111),,,(),,,(22O
ΛΛn n A εεηεεη， 所以A 是第二类的。 3)
A 的特征值有n 个，由已知A 有1-n 个特征值为1，另一个不妨设为0λ，则存在
一组基n εεε,,,21Λ使??????
?
?
?=11),,,(),,,,(02121O
ΛΛλεεεεεεn n A ， 因为A 是正交变换，所以),(),(),(112
01111εελεεεε==A A ， 但00≠λ，所以10-=λ，于是
)
,,3,2(0),(),,3,2(,111n i n i A A i i ΛΛ====-=εεεεεε
现令11
1
ηεε=
，则η是单位向量，且与n εε,,2Λ正交，则n εεη,,,2Λ为欧氏空间 V
的 一组基。又因为
n
n k k k A A A εεηαη
εεεεεεη+++=-=-=
=
=Λ22111
11
11
)(1
1
)1
(
，
n n n n k k k A k A k A k A εεηεεηα+++-=+++=ΛΛ221221， 1221),(),(k k k k n n =+++=ηεεηηαΛ，
所以 n n k k k εεηηαηα+++-=-Λ221),(2，即证。 16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数。 证:设ξ是属于特征值λ的特征向量，即λξξ=A ，则
ξξξξξξξξξξ)'()'('')'(''A A A A A -=-=-=-=，
于是 λλξξλξξλ-=?-=''， 令a bi λ=+，可得0=a ，即证bi =λ。
17.求正交矩阵T 使AT T '成对角形，其中A 为
1)???
?
? ??----02021
2022 2) ?????
??----542452222 3)??
?
?
?
?
?
??0041
001441001400
4) ??????
? ??------------1333313333133331 5) ??
??
?
?
?
??1111111111111111
解1）由
()()()24120212022
+--=???
?
? ??--=-λλλλλλλA E ，
可得A 的特征值为2,4,1321-===λλλ。 对应的特征向量为
()()(),2,2,1,1,2,2,2,1,2321=-=--=ααα 将其正交单位化，可得标准正交基为 ,3
2,
31,3
2
1??
? ??--
=η ,3
1,
3
2,3
22??
?
??-=η ,3
2,3
2
,
313??
? ??=η 故所求正交矩阵为
????? ??---=21222112231T 且????
? ??-=241'
AT T 。
2）由
()()1015424522222
--=????
? ??----=-λλλλλλA E ，
可得 A 的特征值为10,1321===λλλ。
103=λ的特征向量为
(),1,2,
11--=α
121λλ==的特征向量为
(),0,1,22-=α (),1,1,23=α
正交化，可得
()()??
?
??=-=--=1,54,
52,0,1,2,2,2,1321βββ，
再单位化，有:()()()5,4,25
31,0,1,251,2,2,131
321=-=--=
ηηη， 于是所求正交矩阵为
??
???
???
? ?
?-
-
-=5350325345
132
5325
231T 且
?????
??=1110'AT T 。 3）由()()()()3355041014410140+-+-=????
??
?
??--------=-λλλλλλλλλA E ， 可得 A 的特征值为3,3,5,54321-==-==λλλλ， 相应的特征向量为
()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα，
()()1,1,1,1,1,1,
1,143--=--=αα，
将其正交单位化，可得标准正交基为
()()1,1,1,121,1,1,1,121
21--==
ηη， ()()1,1,1,1,1,1,1,12
1
43--=--=ηη，
故所求正交矩阵为
???
???? ??------=1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,121T 且?????
?? ??--=3355'
AT T 。 4）由()()8413333
133********
3
-+=?????
?
? ??+-+--+-+=-λλλλλλλA E ， 可得A 的特征值为4,84321-====λλλλ。 相应的特征向量为
()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=αα，
()()1,0,0,1,0,1,0,143=-=αα，
正交化后得
()()0,0,1,1,11,
1,121=--=ββ，
??
?
??-
=??? ??-
=1,31,
31
,31
,0,1,21,2143ββ， 再单位化，可得 ??
?
??=??? ??--
=0,0,21
,21
,21,21,
21,2121ηη， ???
?
??-=???? ?
?-=323,
3
21,321
,3
21,,0,62
,
6
1,
6143ηη， 故所求正交矩阵为
??
??????
??
?
??---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121
T 且 ??????
?
??---=44
48'AT T 。 5）由()411111
1111111111
13
-=??????
? ??----------------=-λλλλλλλA E ， 可得A 的特征值为0,44321====λλλλ。 相应的特征向量为
()()0,0,1,1,1,1,1,121-==αα，
()()1,0,0,1,0,1,0,143-=-=αα，
将其正交化，可得 ()()0,0,1,1,1,1,1,121=--=ββ，
??
?
??-
=??? ??-
=1,31,
31
,
31
,0,1,21,2143ββ， 再单位化后，有
???
?
?
?=??? ??
-
-
=0,0,
21,21,21,
21,21`,2121ηη，
???
?
??-=???? ?
?-
=323,
3
21,321
,3
21,0,62
,
6
1,
6
143ηη， 故所求正交矩阵为
??
??????
??
?
??---
-=3230
2
13216202132161212
1321
6
12121T 且??????
? ??=00
8'AT T 。 18用正交线性替换化下列二次型为标准形：
1）32212
322214432x x x x x x x --++； 2）3231212
3222184422x x x x x x x x ++---；
3）432122x x x x +；
4）4342324131212
4232221264462x x x x x x x x x x x x x x x x -+--+-+++。
解 1)设原二次型对应的矩阵为A ，则
????
? ??----=320222021A ，
且A 的特征多项式为
)5)(1)(2(-+-=-λλλλA E ，
特征值为
5,1,2321=-==λλλ，
相应的特征向量为
()()1,2,2,2,1,221=--=αα， ()2,2,13-=α，
单位化后，有 ()()()2,2,13
1,1,2,231,2,1,231
321-==--=
ηηη，
令X=TY ，其中
????
?
??--=21222112231T ，
则
2
3222152'y y y AX X +-=。
2)原二次型对应的矩阵为
???
?
?
??---=242422221A ，
且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，
特征值为
2,7321==-=λλλ。 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，
正交化,可得 ()()??
? ??=-=-=1,54,
52
,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有
???
?
??=???? ?
?-=???
??-=535,534,532,0,51
,52,32,32,
31
321ηηη， 令X=TY ，其中
????????
?
?
?--
=5350325345
132
5325
231
T ， 则
2
32221'227y y y AX X ++-=。
3)原二次型对应的矩阵为
??
??
?
?
?
?
?=010*********
0010A ， 且A 的特征多项式为
22)1()1(-+=-λλλA E ，
特征值为
1,14321-====λλλλ。 相应的特征向量为
()()1,1,0,0,0,0,1,121==αα，
()()1,1,0,0,0,0,1,143-=-=αα，
标准正交基为
()()1,1,0,02
1,0,0,1,1212=
=
ηη，
()()1,1,0,0,0,0,1,
12
143-=-=
ηη，
令X=TY ，其中
??
?
?
?
?
? ?
?--=
10101010010101
01
21T ，
则
2
4232221'y y y y AX X --+=。
4)原二次型对应的矩阵为
??????
?
??--------=11321
12332112311A ， 且A 的特征多项式为
)7)(3)(1)(1(++-+=-λλλλλA E ，
特征值为
3,1,7,14321-=-===λλλλ。
相应的特征向量为
()()1,1,1,1,1,1,1,121--==αα， ()()1,1,1,1,1,1,1,143--=--=αα，
标准正交基为
()()1,1,1,12
1,1,1,1,121
21--==
ηη， ()()1,1,1,12
1,1,1,1,
12
143--=
--=
ηη，
令X=XY ，其中
??????
? ??------=11111
1111111111121T ， 故
2
4232221'37y y y y AX X --+=。
19.设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零。 证明 二次型AX X '经过正交变换X=TY ，可使
2
222211'n
n y y y AX X λλλ+++=Λ， 其中n λλλ,,,21Λ为A 的特征根。由于A 为正定的充分必要条件是上式右端的二次型为正定，而后者为正定的充分必要条件是0(1,2,,)i i n λ>=L ，即证。
20.设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使AT T '
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征多项式的根是实的。
证明 为确定起见，这里三角矩阵不妨设为上三角矩阵。 先证必要性，设
????
??
?
??-=nn n n
c c c c c c AT T λM O
ΛΛ22211211'
， 其中T ，A 均为实矩阵，从而ij c 都是实数。又因为相似矩阵有相同的特征多项式，所以
)())((2211222112
111nn nn n n c c c c c c c c c AT T E A E ---=????
??
?
?
?------=-=--λλλλλλλλΛM O
Λ
Λ从而A 的n 个特征根nn c c c ,,,1211Λ均为实数。
再证充分性，设s λλλ,,,21Λ为A 的所有不同的实特征根，则A 与某一若尔当形矩阵J 相似，即存在可逆实矩阵0P ，使
J AP P =-010，
其中
????
?
?
?=S J J J O 1
， 而
),,2,1(111
s i J i i
i
i
i ΛO
O
=?????
??
?
?
?=λλλλ， 由于i λ都是实数,所以J 为上三角实矩阵。
另一方面，矩阵0P 可以分解为 000S T P =， 其中0T 是正交矩阵，0S 为上三角矩阵，于是
J S AT T S AP P ==---001
010010，
即
1
00010--=JS S AT T 。
由于1
00,,-S J S 都是上三角矩阵，因而它们的乘积也为上三角矩阵，即证充分性。
21.设A ，B 都是上三角实对称矩阵，证明；存在正交矩阵T 使B AT T =-1
的充分必要
条件是A ，B 的特征多项式的根全部相同。
证明 必要性是显然的，因为相似矩阵有相同的特征值。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ） 故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==