考研数学微分方程与无穷级数相关解析
考研数学微分方程与无穷级数相关解析
“世事洞明皆学问”。想把一件事做好，就需要用心揣摩其规律、总结其方法。考研复习亦不例外：除了结合考纲把基础打牢，还需适当总结方法、关注重点。针对考生需求，以下是高数微分方程与无穷级数部分，供参考。
一、微分方程
微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。该部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右。常考的题型包括各种类型微分方程的求解，线性微分方程解的性质，综合应用。
对于该部分内容的复习，考生首先要能识别各种方程类型(一阶：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一);高阶：线性方程、欧拉方程(数一)、高阶可降阶的方程(数一、二))，熟悉其求解步骤，并通过足量练习以求熟练掌握;在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景，建立微分方程。
另外，有几点需提醒考生：
1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力，而实际应用则对考生的综合能力提出较高要求，考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。
2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。
3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。
二、无穷级数
级数可视为微积分的综合应用。该部分是数一、数三的必考内容，分值约占10%。常考的题型有：常数项级数的收敛性，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数展开，幂级数求和，常数项级数求和以及傅里叶级数。其中幂级数是重点。
结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容：
1. 常数项级数
理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。
2. 幂级数
考试有三方面的要求：幂级数收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数，准确计算其收敛半径进而得到收敛域，能求其和函数，能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。
3.傅里叶级数
考试出现频率和考试要求均较低，掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
如何有效地复习考研数学?如果我们也视其为一道数学题，我想我们应该明白：我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清，也要做积分运算——持续地投入，积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了，还要有灵活的思维——于
点、线、面，数、表、空间，常量、变量、随机变量间自由游弋;面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调，人却要让过去决定未来吗，面对不如意的现状要接纳——作为考生，我们无权更改微分方程的初始条件，我们能做的是接受它，把题漂亮地解出来。
高等数学讲义-- 无穷级数(数学一和数学三)
129 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： +-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1 )1(1111 则[]S =+-+-- 11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u +++ + （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，
130 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1 考研数学假期作业第七章无穷级数（数一数三必做29题，附答案） 1.判别无穷级数的收敛性. 2. ; 3.求级数的和. 4. 敛散性 5.已知，级数 收敛，证明级数也收敛. 6.判断级数 的敛散性 7.判断下列级数的敛散性 （1） （2）.（3） （4） 8.判定下列级数的收敛性. （1） （2） （3） （4） 9.判别级数 的收敛性. 10.判定下列级数的收敛性. （1） （2） 11. 判定下列级数的收敛性. ) 1(1 4 31321211???+++ ???+?+?+?n n )122( 1 ∑∞ =++-+n n n n ∑∞ =++1)2)(1(1 n n n n ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n 0lim =∞ →n n nu ))(1(1 1 n n n u u n ∑∞ =+-+∑∞ =1 n n u 1 1 1n n n i n n n +∞ =??+ ?? ? ∑ n ∞ =11(1)(2)n n n ∞=++∑12(1)2n n n ∞=+-∑1 21 (2ln 1)n n n n n n -∞ =++∑ ∑∞ =1 1sin n n ∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n 10! 10321102110132???++???+??+?+n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n （1）； （2）. 12.判定下列级数的收敛性 （1），（2）. 13. 判断的收敛性. 14.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛. （1） (2) 15.判别级数的收敛性. 16.已知级数 绝对收敛，级数条件收敛，则（） （A ） （B ） （C ） （D ） 17.设幂级数 在处收敛，则此级数在处（ ）. （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 18. 设幂级数 的收敛半径为3，则幂级数 的收敛区间_____. 19.求幂级数的收敛半径与收敛域. 20.求幂级数的收敛域. 21.求幂级数的收敛半径. 22.求幂级数的收敛域. 1 23 32n n n ∞ =+-∑11 (21)2n n n ∞ =-?∑∑∞ =-+1 2)1(2n n n 121n n n n ∞=?? ?+??∑∑∞ =--1 1 ln )1(n n n n ∑∞ =12 sin n n na 1 1 (1)21 n n n ∞ =--∑∑∞ =+-1 2 )11(21) 1(n n n n n 1 1(1) n n α∞ =-∑21(1)n n n α∞-=-∑102α<≤ 112α<≤312α<≤322α<<1 (1) n n n a x ∞ =-∑1x =-2x =0 n n n a x ∞ =∑1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑∑∞ =--11 ) 1(n n n n x ∑ ∞ =0 !1n n x n ∑∞ =0!n n x n ∑∞ =-12)1(n n n n x 考研高数知识点总结 引言 随着我国研究生教育水平的提高，考研成为越来越多学子追求的目标。高数是考研数 学的重要组成部分，掌握高数知识不仅对考研学子而言至关重要，也是提高数学素养的关键。本文将从高数的基本概念、常见定理、解题技巧等方面进行总结，帮助考研学子系统 地了解高数知识点。 一、导数与微分 1.1 基本概念 导数是函数在某点处的瞬时变化率，可以用极限的概念来定义。微分是导数概念的一 种应用，代表函数在某点处的局部线性化。在考研高数中，导数与微分是非常重要的概念，常被用于函数的研究和问题的解决。 1.2 常见导数公式 常见的导数公式包括：幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数 的导数等。考研学子需要掌握这些导数公式，并能熟练地进行推导和运用。 1.3 微分的应用 微分在几何、物理等领域都有广泛的应用，如切线方程的求解、极值问题的研究、函 数图像的描绘等。在考研高数中，学子需理解微分的应用，掌握相关的解题技巧。 二、定积分 2.1 定积分的概念 定积分是对函数在一定区间上的积分，可以看作是曲线下面积的一种衡量。在考研高 数中，定积分是解决面积、体积、物理问题等的重要工具，学子需要深刻理解定积分的概 念和性质。 2.2 定积分的计算 定积分的计算方法包括：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的性质、换元积分法、分部积 分法等。通过对这些计算方法的掌握，考研学子能够灵活地解决各种定积分计算题目。 2.3 定积分的应用 定积分在几何、物理、经济等领域都有广泛的应用，如求曲线下面积、求旋转体的体积、求物体的质量和重心等。考研学子需要理解定积分的应用，并掌握相关的解题技巧。 三、无穷级数 3.1 级数的概念与性质 级数是指一列数的和，无穷级数是指该列数的和在n趋于无穷时的性质。在考研高数中，学子需要理解级数的概念、收敛与发散性质，以及级数收敛的判别法则等。 3.2 常见级数 常见的级数包括：等比级数、调和级数、幂级数、泰勒级数等。考研学子需要掌握这些常见级数的性质和收敛条件，以便能够快速判断级数的收敛性。 3.3 级数的应用 级数在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如泰勒级数在函数逼近中的应用、级数在无线电电路中的应用等。考研学子需要了解级数的应用，并掌握相关的解题技巧。 四、常微分方程 4.1 基本概念与分类 常微分方程是研究自变量的导数与因变量之间的函数关系的数学分支。常微分方程分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类，每类又有特定的解法和应用场景。 4.2 常见的一阶常微分方程 常见的一阶常微分方程包括：可分离变量方程、一阶线性齐次方程、一阶线性非齐次方程等。考研学子需要掌握这些常见一阶常微分方程的解法和应用技巧。 4.3 常见的高阶常微分方程 常见的高阶常微分方程包括：二阶线性齐次方程、二阶线性非齐次方程等。考研学子需要深入理解这些高阶常微分方程的特性和解法，以便能够熟练解答相关题目。 结语 高数知识在考研数学中起着重要的作用，对于考研学子而言，掌握高数知识是提高数学素养、解决问题的关键。本文介绍了高数的基本概念、常见定理以及解题技巧，希望能为考研学子提供有益的参考和帮助。希望考研学子能够通过不断地学习和实践，掌握高数知识，顺利实现考研的目标。 2018考研数学多元积分和无穷级数 在每年的全国硕士研究生入学考试中，数学总分是150分，占了较大比重，数学能否复习好、考好，对考研能否成功有较大影响。对于考研数学的复习，除了按照数学考试大纲的要求对知识点进行全面的复习外，要想取得高分，还应该对往年的考研数学试题的规律、风格和特点有较全面的认识，这样才能做到心中有数、知己知彼，一考成功。为了帮助广大考生复习好、考好数学，老师对多年来考研数学真题各个章节考点的分布规律进行了细致的分析总结，现与大家分享，供各位考生参考，希望对大家有所帮助。下面对考研数学(一)中的多元函数积分学和无穷级数的真题考点进行分析总结。 下面的内容包括：重积分及其应用、曲线积分和曲面积分、无穷级数，这几部分内容的考点分布规律如下表所示。 近15年考研数学(一)中的多元函数积分学和无穷级数的真题考点分析： 内容年份重积分及其应用曲线与曲面积分无穷级数 2000 八(球体重心) 二(2)(曲面积分对称性)，五 (格林)，六(高斯，微分方程) 二(3)(敛散判断)，七(收敛区 间) 2001 一(3)(二次积分)，八(雪 堆融化，体积，侧面积) 六(斯托克斯) 五(函数展开，数项求和) 2002 五(二重积分，分区) 六(格林) 二(2)(敛散判断)，七(Ⅰ)(逐项求导，微分方程) 2003 八(球面坐标，极坐标， 变限求导) 五(格林，对称性) 一(3)(傅里叶系数)，四(函数 展开，数项求和) 2004 10(交换次序，变限求 导) 3(参数法，格林)，17(高斯) 9(敛散判断，反例法)，18(比 较审敛，零点定理) 2005 15(极坐标，分区，取 整函数) 4(高斯)，19(格林，路径无 关，微分方程) 16(收敛区间，求和) 2006 8(极化直)，15(极坐标， 对称性) 3(高斯)，19(格林，偏导) 9(敛散判断)，17(函数展开) 2007 6(曲线积分正负)，14(曲面 积分对称性)，18(高斯) 20(逐项求导，微分方程，求 和) 2008 12(高斯)，16(参数法，格林) 11(收敛域)，19(傅里叶级数) 2009 2(大小比较，对称性)， 12(球面坐标，对称性) 11(曲线积分)，19(高斯) 4(敛散判断，比较审敛，反例 法)，16(数项求和，面积) 2010 4(定义求和)，12(立体 形心) 11(参数法，格林)，19(曲面 积分，切平面，投影) 18(收敛域，和函数) 2011 19(交换次序，分部积 分，抽象函数) 12(参数法，斯托克斯) 2(收敛域) 2012 12(曲面积分)，19(格林) 17((收敛域，和函数)) 2013 19(旋转体方程，立体 形心) 4(格林，参数法) 3(傅里叶，延拓，周期性)， 16(逐项求导，微分方程) 2014 3(交换次序，直化极) 12(参数法，斯托克斯)， 18(高斯，对称性，投影法) 19(证数列收敛、级数收敛) 考研数学微分方程与无穷级数相关解析 “世事洞明皆学问”。想把一件事做好，就需要用心揣摩其规律、总结其方法。考研复习亦不例外：除了结合考纲把基础打牢，还需适当总结方法、关注重点。针对考生需求，以下是高数微分方程与无穷级数部分，供参考。 一、微分方程 微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。该部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右。常考的题型包括各种类型微分方程的求解，线性微分方程解的性质，综合应用。 对于该部分内容的复习，考生首先要能识别各种方程类型(一阶：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一);高阶：线性方程、欧拉方程(数一)、高阶可降阶的方程(数一、二))，熟悉其求解步骤，并通过足量练习以求熟练掌握;在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景，建立微分方程。 另外，有几点需提醒考生： 1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力，而实际应用则对考生的综合能力提出较高要求，考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。 2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。 3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。 二、无穷级数 级数可视为微积分的综合应用。该部分是数一、数三的必考内容，分值约占10%。常考的题型有：常数项级数的收敛性，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数展开，幂级数求和，常数项级数求和以及傅里叶级数。其中幂级数是重点。 结合考试分析，建议考生从以下方面把握该部分内容： 1. 常数项级数 理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。 2. 幂级数 考试有三方面的要求：幂级数收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数，准确计算其收敛半径进而得到收敛域，能求其和函数，能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。 3.傅里叶级数 考试出现频率和考试要求均较低，掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。 如何有效地复习考研数学?如果我们也视其为一道数学题，我想我们应该明白：我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清，也要做积分运算——持续地投入，积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了，还要有灵活的思维——于 考研数学经典难题解析 数学在考研中一直是一个最为重要和关键的科目，而数学中又有许多难题需要我们去解析和解决。今天，我们就一起来分析一些经典的数学难题，帮助大家更好地理解数学的精髓。 1. 高等数学中的无穷级数 无穷级数在高等数学中是一个常见且重要的概念。给出一个经典的数学难题：计算级数$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$的和。 要解决这个难题，我们可以采用不同的方法。其中一种方法是使用数学分析中的特殊函数知识。根据数学分析的理论，我们可以得知这个级数的和是 $\frac{\pi^2}{6}$。这个结果被称为巴塞尔问题的解。 2. 矩阵和线性代数中的特征值问题 线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射等概念。在线性代数中，特征值问题是一个经典的难题。 具体而言，给定一个矩阵$A$，我们需要求解其特征值和特征向量。通过求解特征值和特征向量，我们可以更好地理解矩阵的性质和变换。 在解决特征值问题的过程中，我们可以采用不同的方法，如特征多项式法、最小多项式法、Jordan标准型等方法，将问题转化为更加简单和易解的形式。 3. 数学分析中的导数和微分方程问题 数学分析是研究极限、连续性、可导性等概念的一个分支。其中，导数和微分方程问题是考研数学中常见的难题。 在求导的过程中，我们需要掌握求各种函数的导数的方法和技巧。而求解微分 方程则需要我们掌握不同类型微分方程的解法，如分离变量法、齐次化法、特征方程法等。 这些难题在数学分析中有其重要性，对于我们理解数学的本质和应用是非常关 键的。 4. 概率论中的随机变量和概率分布问题 概率论是研究随机现象和概率规律的数学分支，对于统计学和随机过程等领域 有着广泛的应用。在概率论中，随机变量和概率分布问题是一个经典的难题。 具体而言，我们需要掌握随机变量的定义和性质，了解各种常见的概率分布， 并能够使用概率论的方法进行概率计算。 解决这些难题，我们需要掌握概率论的基本概念和理论，同时运用数学分析和 统计学的方法进行推导和计算。 总结 数学作为一门精密而优美的学科，对于考研数学的学习和理解有着重要的意义。通过对经典数学难题的解析，我们可以更好地理解数学的核心概念和方法。 在解决数学难题的过程中，我们可以运用数学分析、线性代数、概率论等不同 数学分支的方法，这也是体现数学学科综合性和交叉性的表现。 因此，无论是在考研准备中还是日常学习中，我们都应该注重对数学难题的解 析和理解，不断提升自己的数学思维和解题能力。通过对经典数学难题的研究，我们可以更好地掌握数学的精髓，为未来的学术和研究打下坚实的基础。让我们一起努力，成为优秀的数学家！ 无穷级数考研真题 无穷级数是数学中一个非常重要的概念，也是考研数学中的一个常见考点。在 考研真题中，经常会出现与无穷级数相关的题目，考察学生对该概念的理解和 运用能力。本文将从无穷级数的定义、性质和应用等方面进行探讨。 首先，我们来看一下无穷级数的定义。无穷级数是由无穷多个数相加而得到的 一种数列。通常用符号∑表示，∑an表示无穷级数的一般形式，其中an为级 数的通项。例如，∑(1/2)^n就是一个无穷级数，其中(1/2)^n为通项。 接下来，我们来讨论无穷级数的性质。首先是级数的收敛性。如果无穷级数的 部分和数列{Sn}存在有限的极限S，那么我们称该无穷级数是收敛的，记作 ∑an=S。反之，如果无穷级数的部分和数列{Sn}不存在有限的极限，那么我们 称该无穷级数是发散的。 其次是级数的收敛域。对于收敛的无穷级数∑an，我们可以通过求和的方式得 到一个数S。但是需要注意的是，这个和S并不一定包含在级数的收敛域内。 级数的收敛域是指所有使得级数收敛的x值构成的集合。例如，级数∑(1/2)^n 在区间(-1,1)内是收敛的，但是在区间[-1,1]的两个端点上是发散的。 再次是级数的运算性质。对于两个收敛的无穷级数∑an和∑bn，我们可以进行 加法、减法和乘法运算。具体来说，如果两个级数都是收敛的，那么它们的和 级数∑(an+bn)、差级数∑(an-bn)和乘积级数∑(an*bn)也都是收敛的。 最后，我们来探讨一下无穷级数的应用。无穷级数在数学中有广泛的应用，特 别是在数学分析和物理学中。例如，在数学分析中，我们可以通过无穷级数来 表示和计算各种函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。在物理学中，无 穷级数可以用来描述连续体的离散化模型，如波动方程和热传导方程等。此外， 考研数学知识点复习：“微分方程”大纲 考点 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知，高数是考研[微博]数学的重头戏，因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，老师继续梳理分析最后一个模块微分方程，希望对学员有所帮助。 1、考试内容 (1)常微分方程的基本概念；(2)变量可分离的微分方程； (3)齐次微分方程；(4)一阶线性微分方程；(5)伯努利(Bernoulli)方程和全微分方程；(6)可用简单的变量代换求解的某些微分方程；(7)可降阶的高阶微分方程；(8)线性微 分方程解的性质及解的结构定理；(9)二阶常系数齐次线性微分方程；(10)高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程； (11)简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；(12)欧拉(Euler)方程；(13)微分方程的简单应用(其中5、7、12只要求数一考生掌握，数二、数三考生不要求掌握)。 2、考试要求 (1)了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；(2)掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；(3)会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；(4)会用降阶法解下列形式的微分方程；(5)理解线性微分方程解的性质及解的结构；(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；(7)会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；(8)会解欧拉方程；(9)会用微分方程解决一些简单的应用问题。 3、常考题型 考研高等数学重难点的解析 考研高等数学重难点的解析 我们在准备考研数学的复习时，需要把高等数学的重难点知识掌握好。店铺为大家精心准备了考研高等数学重难点的分析，欢迎大家前来阅读。 考研高等数学知识点的总结 高等数学： 从科目上看，从数一到数三，分量最重的都是高等数学，它在数一、数三中占了56%，在数二中更是占了百分之78%，因此科目上的重头戏在高数。 通过对2013考研数学考纲以及历年真题的分析，新东方在线的老师对高数的重难点进行了梳理、总结： 一、函数、极限、连续部分：极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理)，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分：主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。曲率部分，仅数一考生需要掌握，但是并不是重点，在考试中很少出现，记住相关公式即可。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。方向导数、梯度，空间曲线、曲面的切平面和 考研数学高数微分方程的应用解读 考研数学高数微分方程的应用解读 我们在准备考研数学的高数复习时，需要把微分方程的应用了解清楚。店铺为大家精心准备了考研数学高数微分方程应用指导，欢迎大家前来阅读。 考研数学高数微分方程应用解析 1.关于列方程 有关微分方程的应用题，首先是建立方程，这要根据题意，分析条件，搞清问题所涉及到的基本物理或几何量的意义，并结合其他相关知识，通过逻辑推理等综合手段，使问题得到解决. 列方程，建立数学模型，是考查考生综合应用能力的重要方面，是考试的重点内容之一，同时也是考生的难点，考生要通过练习，结合自己的实际，总结建立微分方程的步骤及注意事项(例如正负号的处理). 有些微分方程可能是数学问题中提供的，例如有的微分方程是由积分方程提出的，有的来自线积分与路径无关的充要条件，或微分式子是某个原函数的全微分.此时应转化成微分方程来求解，同时还应注意到所给条件中可能还提供了函数的某个函数值、导数值(即初始条件)等信息. 2.关于解方程 首先，应掌握方程类型的判别，因为不同类型的方程有不同的解法，同一个方程，可能属于多种不同的类型，则应选择较易求解的方法.对于一阶方程，通常可按可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的顺序进行，特别是一阶线性方程和伯努利方程还应注意到有时可以以x为因变量，y为自变量得到，对于高阶方程，一般可按线性方程、欧拉方程、高阶可降阶的方程进行，第二，是求解方程，不同类型的方程有不同的求解方法，应该熟练掌握，典型方程可用固定的变量置换化简并求解(如齐次方程、线性方程、伯努利方程、高阶可降阶方程、欧拉方程等)，如用公式求解一 考研数学：无穷级数考点和常考题型分析 考研数学：无穷级数考点和常考题型分 析 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比 函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和积分学的基础上，梳理分析无穷级数，希望对学员有所帮助。 无穷级数内容数二考生不要求掌握。 1、考试内容 (1)常数项级数的收敛与发散的概念;(2)收敛级数的和的概念;(2)级数的基本性质与收敛的必要条件;(3)几何级数与级数及其收敛性;(4)正项级数收敛性的判别法;(5)交错级数与莱布尼茨定理;(6)任意项级数的绝对收敛与条件收敛;(7)函数项级数的收敛域与和函数的概念;(8)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域;(9)幂级数的和函数;(10)幂级数在其收敛区间内的基本性质;(11)简单幂级数的和函数的求法;(12)初等函数的幂级数展开式;(13)函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数;(14)狄利克雷(Dirichlet)定理;(15)函数的傅里叶级数;(16)函数的正弦级数和余弦级数。(其中13-16只要求数一考生掌握，数三考试不要求掌握)。 2、考试要求 (1)理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;(2)掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;(3)掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法;(4)掌握交错级数的莱布尼茨判别法;(5)了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系;(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;(7) 理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;(8)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的 【例 l - 4 - 9 】 幂级数 的收敛域是 〔 A 〕 〔- 1 ,l 〕 〔 B 〕 〔- l , 1 〕 〔 C 〕 〔- l , l 〕 〔 D 〕 〔- l , 1 〕 【 解 】 易知级数收敛半径 R = l ，当 x ＝- 1 时，级数11n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑，当x = 1时，级数111(1)n n n ∞-=-∑收敛，故应选〔 D 〕。 〔 A 〕条件收敛 〔 B 〕绝对收敛 〔 C 〕发散 〔 D 〕收敛性不能确定 【 解 】 由1(1)n n n a x ∞=-∑的结构知其收敛区间的中心为x = 1， x = -1为此级数的一个收敛点，设其收 敛半径为 R ，那么(1)12R ≥--=，而 x = 2 与收敛区间中心x ＝ 1的距离为 1 , 1 < R ，由幂级数的收敛性〔阿贝尔定理〕知，此级数在 x = 2 处绝对收敛，故应选〔 B 〕。 【 例 1 - 4 - 11 】利用逐项求导法求级数 的和函数。 【 解 】幂级数0n n x ∞=∑的和函数是 1(11)1x x -<<-即 利用逐项求导公式，得 【 例 l - 4 – 12】将函数 1x 展开成〔x 一 3 〕的幂级数。 【 解 】 因为 而 因此 【 例 1 · 4 · 13】 将函数 展开成 x 的幂级数。 ［解］先将有理分式分解成局局部式之和： 三、傅立叶级数 〔一〕傅立叶级数概念 1 ．傅立叶系数和傅立叶级数 设 f 〔 x 〕是周期为 2π 的周期函数，那么下面公式中出现的积分 都存在，那么系数 a 0，a 1, ,b l … 叫做函数 f 〔 x 〕的傅立叶系数，级数 叫做函数 f 〔 x 〕的傅立叶级数。 2 ．狄利克雷收敛定理 设 f 〔 x 〕是周期为 2 π的周期函数，如果它满足条件： 〔 1 〕在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点； 〔 2 〕在一个周期内至多只有有限个极值点，那么 f 〔 x 〕的傅立叶级数收敛，且当 x 是f 〔 x 〕的连续点时，级数收敛于f 〔 x 〕 ；当 x 是f 〔 x 〕的间断点时，级数收敛于 〔二〕正弦级数和余弦级数 1 ．正弦级数 假设 f 〔 x 〕是周期为 2 π的奇函数，那么它的傅立叶系数为 它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数 2 ．余弦级数 假设 f 〔 x 〕是周期为 2 π的偶函数，那么它的傅立叶系数为 它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 〔三〕周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数 设 f 〔 x 〕是周期为2l 的周期函数，那么它的傅立叶系数为 而它的傅立叶级数为 〔四〕例题 【 例 1 - 4 – 14 】 设f 〔 x 〕是周期为 2 π的周期函数，它在 [-π，π〕，上的表达式为 问 f 〔 x 〕的傅立叶级数在 x ＝-π处收敛于何值。 【 解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x ＝-π是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在 x ＝-π处收敛于 【 例1- 4 – 15】 将函数 展开成傅立叶级数。 【 解 】 将函数22()f x x π=-在[,]ππ-外作周期延拓，注意到 f 〔 x 〕是偶函数，故 由于 f 在区间[-π，π]满足收敛定理的条件，在 [-π，π]上连续，且 f 〔π〕= f -〔π〕，因此在区间[-π，π]上，有 第五节 微分方程 考研数学高数导数及微分及知识点总结导数是数学史上重要的一部分。导数对大学数学最基本的性质——导数函数和导函数间的关系做了充分的研究；导数与微分之间相互影响。导数的研究对于其他数学问题如复数、积分、微分、不等式、线性代数、解析数论等均有着重要影响。它与所有其他问题都有着密切的联系：集合、连续、微分、复变函数、微分方程、不等式、直线、平移、旋转、二次函数、导数定理、导数极限积分、极值、积分不等式、导数积分问题、线性方程组和线性代数计算等都有着密切的关系。微分是在复变函数和函数值在一定条件下有一个相互依赖的关系；导数可以帮助解决一些重要问题；而多项式则可以证明其性质并解决问题（它也是复变函数与微分的一个特殊部分）。这三个知识点相比较来说简单许多、内容也更加广泛一些：函数与复积分、线性方程组、概率论是三个最基本的知识点；线性代数和概率论则是两者交叉进行研究后又有关联；多项式是由导数衍生出来的一个特殊命题，比如二次函数多项式和二次函数双曲方程组中的一项都只需导一个数；矩阵运算以及解集合等内容在导数中有非常广泛的应用。所以复习前最好能把知识点理解透彻一遍比较好点。 一、基础知识总结 导数中的微分定义、基本性质，求解问题的方法（特殊形式）都非常重要。基本概念：导数是关于导数函数的概念，一般情况下都有它的定义；对一般性质有一些简单的求解方法；导数与微分之间相互影响，并与其他数学问题有着密切的关系。函数与复积分、线性方程组、概率论三个方面都是需要深入学习的数学内容。对于导数知识，复习时一定要将其重点把握住：导数是对所有其他数学内容的总称，包括复变函数、微分、极限积分、微分不等式、几何、积分、微分方程组、矩阵运算、线性代数、解析数论、线性方程组、解集合等。对于导数学习来说要掌握四个重点难点：一、微分不定积分；二、多项式基本性质；三、矩阵运算和解集合；四、直线和平移。其中线性代数和概率论可以复习两遍重点掌握。 1、微分不定积分 从历年的真题来看，微分不定积分在高考中所占的分值较大，并且也是考试的重点内容，因此在复习时要重点掌握。微分积分可以分为三个部分：微分定义、求基本性质，解多项式和线性代数。导数中的微分定义主要是在第一章、第二章和第三章内容，由于导数是考试中常考，所以重点掌握好了是复习的重中之重。对于求微分不定积分而言，我们首先要对微分定义和基本性质有一个清晰的认识。对于函数或者复积分来说，这个东西对其后面的知识点有很大的帮助。大家在学习时也应该对微积分非常熟悉了，所以只要掌握微分不定积分问题都可以通过这个方法解决。其次在学习这些年来考微分的题目出现了一些特殊形式。很多同学都会在考研数学里遇到这类问题也是经常的题目，只要掌握好方法就能顺利地做出来然后用不到三个月，甚至是半年就可以了。但是对于特殊形式需要注意的是可以在网上查找相关内容，把自己没有接触过的知识记录下来，最后利用这个知识点进行解题。在考试或练习题中都会出现这种情况：首先要通过分析或者判断题目所给出问题是否为解析数论方面的知识，如果是可以写出这类题目一般有两种结果：要么把它解决出来，要么是再做一遍（如果只看得到就不必去做了）。所以这样就提高了我们利用微分的能力！” 2、多项式性质 多项式的基本性质是导数学中的重点内容，在复习中一定要重视。对于多项式的学习，重点在于理解定义、性质、判断条件。性质、证法和定义条件，对于性质的理解，可以从解析数论说起。导数定义中要理解一些基本的性质，如果连公式都不会掌握，就会对解题造成很大的困难。可以先记忆这些函数的一些参数的概念，它们的定义等。多项式通常都具有简单的两种基本性质:(1)当两个或多个整式相等时，就是它们的最小值；当两个或多个数相等时，这两个数相等则为最大数，如不相等则称为反，反之则称为同。同一台机器中多项式通常是整式中唯一一个是实 专升本高等数学(二)-微分方程求解方法、无穷级数解题方法、 向量与空间解析几何 (总分：70.97，做题时间：90分钟) 一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：9.00) 1.函数y=xe x是微分方程y'+ay=e x的解，则a的值为______． ∙ A.0 ∙ B.-1 ∙ C.1 ∙ D.2 （分数：1.00） A. B. √ C. D. 解析： 2.若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=C1e-2x+C2e x，则该微分方程为______． ∙ A.y"+y'=0 ∙ B.y"+2y'=0 ∙ C.y"+y'-2y=0 ∙ D.y"-y'-2y=0 （分数：1.00） A. B. C. √ D. 解析： 3.求解微分方程y"+3y'+2y=sinx时，应设一个特解为y*=______． ∙ A.asinx ∙ B.acosx ∙ C.asinx+bcosx ∙ D.x(asinx+bcosx) （分数：1.00） A. B. C. √ D. 解析： 4.______． ∙ A.x=y(y2+C) ∙ B.y=x(x2+C) ∙ C.x=y(2y2+C) ∙ D.x=y3+C （分数：1.00） A. √ B. C. D. 解析： 5.正项级数收敛，那么______． ∙ A.发散 ∙ B.收敛 ∙ C.可能收敛，也可能发散 ∙ D.无法判断 （分数：1.00） A. B. √ C. D. 解析： 6.x=2处收敛，那么级数在x=1处的敛散性为______． ∙ A.发散 ∙ B.收敛 ∙ C.条件收敛，但不绝对收敛 ∙ D.无法判断 （分数：1.00） A. B. √ C. D. 解析： 7.空间坐标系中，方程y=2x-5代表______． 考研数学考前预测重点题型之无穷级数（数一、数三） 无穷级数是考研数学中数学一和数学三同学必考的内容，这一部分是同学们复习的难点，但是它也是考试的重点. 在考试中，既可以以选择题和填空题的方式进行考查，也可以以解答题的方式进行考查. 要求同学们对于数项级数敛散性的判别，幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的求法，求幂级数的和函数，求函数的幂级数展示式的基本方法掌握到位，不过这一块经常也会出一些比较难的压轴题，比如和数列极限存在性的结合，和微分方程的综合题等等. 题型一：判别数项级数的敛散性 【例1】设正项级数1ln(1)n n a ∞=+∑ 收敛，则级数1(1)n ∞ =-∑ ) (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不能确定 【难度】中 【答案】(B) 【解析】由于正项级数1 ln(1)n n a ∞=+∑收敛，所以0n a >，且lim 0n n a →∞=， 又因为ln(1)lim 1n n n a a →∞+=，所以1ln(1)n n a ∞=+∑与1n n a ∞=∑有相同的敛散性，即1 n n a ∞=∑收敛，故11 n n a ∞+=∑也收敛. 又()11(1)2n n a a +-=≤+，而()11n n n a a ∞+=+∑收敛，所以由比较 判别法可得1 (1)n ∞=-∑. 【小结】此题考查了正项级数的比较判别法.抽象型数项级数敛散性的判别经常以选择题的方式进行考查,而出现了正项级数，经常考的是比较判别法. 题型二：简单函数的幂级数展开 【例2】设21()3n n n S x a x ∞ ==+∑满足()()2x S x S x e '+=+，求()S x ，并求出n a . 【难度】中 【解析】已知()()2x S x S x e '+=+且可得(0)3S =，解得1()2()2x x S x e e -=++. 001()()2[]2!!n n n n x x S x n n ∞∞==-=++∑∑011(1)22!n n n x n ∞=+-=+∑ 222001 12112232(2)!(2)!(2)!n n n n n n x x x n n n ∞∞∞====+=+=+∑∑∑，(,)x ∈-∞+∞ 因21()3n n n S x a x ∞==+∑，故1(2)! n a n = . 【小结】此题考查了微分方程和幂级数的综合题，但是此题难度不大. 通过微分方程可以求出函数的表达式，进而可以写出对应的幂级数展开式.要求对于常见函数的麦克劳林级数形式记住了. 题型三：求幂级数的和函数 【例3】求幂级数2 0(1)1n n n x n ∞ =-+∑的和函数. 考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含 答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )． A．当收敛时，anbn收敛 B．当发散时,anbn发散 C．当收敛时,an2bn2收敛 D．当发散时,an2bn2发散 正确答案：C 解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为 C．解析二考察选项 C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数 2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )． A．收敛 B．收敛 C．收敛 D．收敛 正确答案：D 解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选 D．知识模块：无穷级数 3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )． A．若，则级数收敛 B．若存在非零常数λ，使得则级数发散 C．若级数收敛，则 D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得 正确答案：B 解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选 B．知识模块：无穷级数 4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ). A．发散 B．绝对收敛 C．条件收敛 D．收敛性根据所给条件不能判定 正确答案：C 解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选 C．知识模块：无穷级数 5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )． A． B． C． D． 正确答案：D 解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选 D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数 6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )． A．(一1，1] B．[一1，1) C．[0，2) D．(0，2] 正确答案：C 解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选 C．知识模块：无穷级数 7．(1999年试题，二)设其中则等于( )． 第五讲 无穷级数 §1 概念及其性质 无穷级数（简称级数）： 121n n n u u u u ∞ ==++++∑ ，n u 称为第n 项式通项一般项。 121 n n n i i S u u u u ==+++=∑ 为1 n n u ∞ =∑的前n 项和。 定义：若lim n n S S →∞ =（有限数），则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛，S 为其和，即 1 n n u S ∞ ==∑； 若lim n n S →∞ 不存在，则称级数 1 n n u ∞ =∑发散。 例1：判别下列级数的敛散性，收敛时求其和。 （1 ） 1 n ∞ =； （2）( )11!n n n ∞=+∑； （3）()()11 12n n n n ∞ =++∑； 提示：将通项n u 写成两项差的形式，即1n n n u v v -=-。 解：（1 ）n u == ) ()11n S n = + ++ =→∞ →∞ ∴ 1 n n u ∞ =∑发散。 （2）()()()11111!!1! n n u n n n +-= =-++； ()()()1111111112!2!3!!1!1!n S n n n n ⎛⎫⎛ ⎫⎛⎫=-+-++-=-→ →∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴ 1 1n n u ∞ ==∑。 （3）()()()()()1111 122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦ ()()()1111111 212232334112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫= -+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()()1111212124 n n n ⎡⎤=-→ →∞⎢⎥⋅++⎣⎦ ∴1 1 4 n n u ∞ == ∑。 性质： ① 设0c ≠为常数，则 1 n n cu ∞ =∑与 1n n u ∞ =∑具有相同的敛散性； ② 设 1n n u S ∞ ==∑，1n n v σ∞ ==∑，则()1n n n u v S σ∞ =±=±∑； 设 1n n u ∞ =∑收敛， 1n n v ∞ =∑发散，则 ()1 n n n u v ∞ =±∑发散； 设 1n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑均发散，则 ()1 n n n u v ∞ =±∑具体分析。 ③ 1 n n u ∞ =∑去掉或添加有限项不影响其敛散性，但收敛时其和可能要改变； ④ 设 1 n n u ∞ =∑收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍然收敛于原级数的和； 设有一个 1 n n u ∞ =∑，若对各项加括号后所得新级数发散，则原级数 1 n n u ∞ =∑发散；若对其 各项任意加括号后收敛，则原级数敛散性要具体分析。 ⑤ 级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件：lim 0n x u →∞ =。 必要条件的应用： ⑴ 判别 n u ∑发散； 例如：221 31 22n n n n n ∞ =-+++∑，3lim 02n x u →∞=≠ ，∴1n n u ∞ =∑发散。 ⑵ 求特殊极限： 例2：求极限：2! lim n n n n n →∞⋅考研数学假期作业第七章无穷级数(数一数三必做的29题,附详解)
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