华理高数全部复习资料之数列与无穷级数

第8章 数列与无穷级数

（一） 数列 1． 数列极限的定义

若ε∀>0，∃正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极

限，或称数列}{n a 收敛于L ，记为L a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若

()1

lim L a n n =∞

→，2

lim L b n n =∞

→，c 是常数，则

()1

lim cL ca n n =∞

→；

()2

1lim L L b a n n n ±=±∞→；

()2

1lim L L b a n n n =∞

→；

()0,lim

221

≠=∞→L L L b a n n n 。 3． 数列极限的性质

(1)若L

a n x =∞→lim >0则正整数∃N ，当N n >时成立n a >0；L

b a N n N n n n =≥>∃∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。

(2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）:

L

b L

c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>∃∞

→∞

→∞

→lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单

调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系

对于数列{}n a ，若存在定义域包含[)∞，1的函数()x f ，使()n f n a =，且

()L

x f x =+∞→lim ，且L a n n =∞→lim 。 6． 数列与数列的关系

（1）若L a n n =∞→lim ，{}

k n a 是{}n a 的一个子数列，则L a k n k =∞→lim 。

（2）若

L

a a k k k k ==+∞

→∞

→122lim lim ，则L

a n n =∞

→lim 。

（二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义

称∑==n

k k

n u s 1为级数∑∞

=1n n

u

的前n 项部分和() ,2,1=n ，而称数列{}n s 为级数∑∞

=1

n n u 的部分和数列。

若级数∑∞

=1

n n

u

的部分和数列{}n s 收敛，即s

s n

n =∞

→lim ，则称级数∑∞

=1

n n

u

收敛，称s 为

该级数的和，记为s

u

n n

=∑∞

=1

，同时称

∑∞

+==

-=1

n k k

n n u

s s r 为级数∑∞

=1

n n

u

的余和。

若级数∑∞

=1

n n

u

的部分和数列{}n s 发散，则称级数∑∞

=1n n u 发散。

2．级数的基本性质

（１）若s

u

n n

=∑∞

=1

，c 是常数，则cs

cu

n n

=∑∞

=1

。

（2）若∑∞

=1

n n

u

=s ，σ

=∑∞

=1

n n

v

，则()σ

+=+∑∞

=s v u

n n n

1

。

（3）若∑∞

=1

n n

u

收敛，则∑∞

+=1m n n

u

也收敛，其中m 任一正整数；反之亦成立。

（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。

（5）级数收敛的必要条件：若∑∞

=1

n n

u

收敛，则0

lim =∞

→n n u 。

（三）数项级数 1．正项级数

（1）正项级数∑∞

=1

n n

u

收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有界。

（2）正项级数的比较判别法及其极限形式

设

()

,2,10=≤≤n v u n n ，（１）若∑∞

=1

n n

v

收敛，则∑∞

=1

n n

u

收敛；（２）若∑∞

=1

n n

u

发

散，则∑∞

=1

n n

v

发散。

设∑∞

=1n n u 与∑∞

=1n n v 均是正项级数，若()+∞<<=∞→l l v u n n

n 0lim ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 具有

相同的敛散性。

（3）正项级数的积分判别法

对于正项级数∑∞

=1n u

，若存在单调减少的连续函数()x f ，使得()n u n f =，则级数

∑∞

=1

n n

u

与广义积分()dx

x f ⎰+∞

1

具有相同的敛散性。

（4）正项级数比值判别法的极限形式

设∑n u 为正项级数，且ρ

=+∞→n n n u u 1

lim

, 则

（a ）ρ<1时，级数∑n u 收敛；

（b ）当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 收敛； （c ）当1=ρ时，本判别法失效。 （5）正项级数根值判别法的极限形式

设∑n

u

为正项级数，且ρ

=∞

→n n n u lim , 则

（a ）当ρ<1时，级数∑n u 收敛；

(b) 当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 发散； ( c) 当1=ρ时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法

若正数列｛n u ｝单调减少，且0

lim =∞→n n u , 则交错级数∑∞

=+-11

)

1(n n n u （及∑∞

=-1)1(n n n u ）

收敛，且余和1+≤n n u r 。

3. 绝对收敛与条件收敛

若∑n u 收敛，则称∑n u 绝对收敛；

若∑n u 发散，而∑n u 收敛，则称∑n u 条件收敛。 绝对收敛级数∑n u 必收敛。

绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数

1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理

若幂级数∑∞

=0n n

n

x

a

在某点0x x =(≠0)处收敛，则∑∞

=0

n n

n

x a

在区间（00,x x -）

内的任一点处均绝对收敛；

若幂级数n

n n

x

a

∑∞

=0

在某点1x x =处发散，则n

n n

x a

∑∞

=0

在满足1x x >的任一点x 处均

发散。

（2）收敛半径的定义

若幂级数∑∞

=0

n n

n

x a

不是仅在点x=0处收敛，也不是在（∞+∞-，

）内的任一点处均收敛，则存在正数r ，使当r x <时，∑∞

=0n n

n

x

a

收敛；而当r x >时，∑∞

=0

n n

n

x a

发散，

称此正数r 称为幂级数∑∞

=0n n

n

x

a

的收敛半径。当∑∞

=0

n n

n

x a

仅在点x =0处收敛时，定义收

敛半径r =0; 当∑∞

=0

n n

n

x a

在（∞+∞-，

）上都收敛时，定义收敛半径r =+∞。 (3) 收敛半径的计算

设幂级数∑∞

=0

n n

n

x

a

满足n a 0≠,N n >（这里的N 是某个正整数）,且

L

a a n

n n =+∞→1

lim

，

则 （a ）当L>0时，r =L 1

;

(b) 当L=0时，r = +∞; (c) 当L= +∞时，r =0。 （４）收敛区间与收敛域

当幂级数∑∞

=0

n n

n

x a

的收敛半径r>0时，称（r r +-，

）是它的收敛区间；当判定∑∞

=0

n n

n

x a

在x =r ±处的敛散性后，可确定其收敛域。

2．幂级数的运算 （1）代数运算

设

)(10

x s x a

n

n n

=∑∞

=，收敛域为2I ，收敛半径1r >０，

)

(20

x s x

b n

n n

=∑∞

=，收敛域2I ，收敛半径2r >０，

则

a) =

±∑∞

=n

n n n

x b a

)(0

±

∑∞

=n

n n

x a

n

n n

x b

∑∞

=0

＝)()(21x s x s ±，收敛域为21I I ⋂；

b) )0

(n x n n a ∑∞==

∑∞

=)0(n x n n

b n

k n k n

k n x b a )(0

0-=∞=∑

∑

＝)()(21x s x s ，收敛半径),min(21r r r = （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。 （2）、分析运算

设)

(0

x s n x c

n n

=∑∞

=，收敛域I ，收敛半径0>r ，则

a) 和函数)(x s 在I 上连续；

b) 和函数)(x s 在),(r r -内可导且可逐项求导：

∑∑∞

=-∞

===1

1

)'()('n n n n n

n x nc x c x s )(r x r <<-；

ｃ）和函数)(x s 在),(r r -内可积，且可逐项积分：

⎰

x

dx

x s 0

)(=

⎰

∑∞

=x n n

n dx

x c 0

=1

01+∞

=∑+n n n x n c ，)(r x r <<-；

3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数

设函数f(x)在点x 0的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数

n

n n x x n x f )(!)(00

0)(-∑

∞

== +-+))((')(000x x x f x f +!)(0)(n x f n n

x x )(0-+…

为f(x)在点x 0的泰勒级数。而称

n n n x n f ∑

∞

=0

)(!)0(= ++x f f )0(')0(+!)0()(n f n n

x +…

为f(x)的麦克劳林级数（0x =0时的泰勒级数）。 （2）函数的幂级数展开（间接展开法）

利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变

量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。

复习指导：

第8章 数列与无穷级数

（一）、数列

计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。 假定数列由递推公式)(1-=n n a f a 定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。 如果数列的通项是由n 个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。 （二）、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义

每个级数∑∞

=1

n n

u

涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛u n ｝，二是由其部分和构

成的数列｛s n

｝。级数∑∞

=1

n n

u

的敛散性是用｛s n ｝的敛散性定义的。

一般，即使级数∑∞

=1

n n

u

收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数∑∞

=1n n

u

收敛，我们就

可以用部分和近似表示它的和，其误差为n r 。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。 ２、级数的基本性质

（１）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。

（２）、收敛级数可以逐项相加。而且，若∑∞

=1

n n

u

收敛，∑∞

=1

n n

v

发散，则必有

∑∞

=+1

)

(n n n

v u

发散。

（３）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。

（４）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数

发散。

（５）、n n u ∞→lim ＝０是级数∑n u 收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由 n

n u ∞→lim ≠

０可推得级数∑n u 发散。

若需证明数列{ n a }收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数∑n a 收敛，再利用级数收敛的必要条件得{ n a }收敛于零。 （三）、数项级数 １、正项级数

（１）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。

（２）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n 的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为

n ∞→时，通项关于无穷小n 1

的阶数易观察而得，应优先考虑与p 级数比较，（利用比

较判别法或其极限形式）。

（３）、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和p 级数，故下列结论应牢记。

等比级数∑∞

=-1

1

n n aq

当q <1时，收敛于a

，当 q ≥1时发散。

P 级数∑∞

=11n p

n ，当p>１时收敛，当p ≤１时发散。

２、交错级数的莱布尼兹判别法

这里需指出，与其他的判别法一样，莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要。 对于莱布尼兹型级数，其“截断误差”有估计式n

r ≤1+n u

３、绝对收敛与条件收敛

（１）、判断变号级数的敛散性，是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散。 （２）、若n u ∑发散，且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得，则必有0lim ≠∞→n n u ，因而立即可得 ∑n u 发散。 （四）、幂级数

1、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域

（1）、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点。

（2）、对于“缺项”的幂级数，不能直接利用公式求收敛半径，我们可以将x 任意取定为一常数，再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径。 2、幂级数的运算

利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算，可能会改变其收敛区间端点上的敛散性。 3．幂级数的展开

通常利用间接法展开。这里首先需要注意的是基点，如果是将函数)(x f 在点0x 处展开为

泰勒级数，是指将)(x f 表达成 n

n x x a )(0-∑的形式。一般，对数函数可利用)1ln(x +的麦克劳林级数，指数函数利用x

e 的麦克劳林级数等等，又，反三角函数或变限积分函数常

常

先求导再展开。

若在展开过程中，利用了幂级数的乘法，逐项微分和逐项积分的运算，则收敛区间端点上的敛散性需重新判断。

求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一，千万不要遗漏。 4．求幂级数的和函数与收敛数项级数的和

若在幂级数的项中没出现阶乘记号，通常利用幂级数的运算，将其化为等比级数，利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数。若在幂级数的项中出现阶乘记号，则利用 x

e 、sinx 、cosx 的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的运算，求其在收敛域上的和函数。

求收敛数项级数的和，可以利用级数敛散性的定义，即计算n

n S ∞→lim 。也可构造幂级数，使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值，通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。