切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
南江石 2018年4月7日星期六
圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。 弦是割线的部分线段。
公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。 公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。
几何原理 几何原理
共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线
4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点
3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点
共割线上任意一点到圆的
4个切线的长度相等，4切点共圆
共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆
圆幂定理
是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。
圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。
点对圆的幂
P 点对圆O 的幂定义为
2
2
R OP F
B
性质
点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
PB
PT
PT PA =
PB PA PT ?=2 222Am Pm PT -=
割线定理（切割线定理的推论）
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
PD PC PB PA ?=?
2222Cn Pn Am Pm -=-
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
PD PC PB PA ?=?
2222A Pn Cn Pm m -=-
垂径定理（相交弦定理推论）
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
PB
PC
PC PA =
PB PA PC ?=2 222OP R PC -=
P 点在圆外，切割线定理、割线定理
2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=?=?=
P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理
222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=?=?
222OP R PB PA PC -=?=
题目1．圆定点割线2等分
题目2．弧定点割线2等分
题目3．切线长角度割线弦长
题目4．直角三角形（BD-132）
题目5．直角三角形（AE-321）
题目6．大圆过两小圆直径线与90度
题目7．大圆过两小圆直径线与28
题目8．大圆过两小圆直径线圆心在右圆上
【解法1】圆幂法
PB PA R OP ?=-22 22222d d d R OP =?=-
222
2
R OP d -=
以OP 为直径作圆，以R 半径作圆，得到 2
2
R OP -以为腰作等腰直角三角形，得到高2
2
R OP -222
2
R OP d -=
题目1【解法1】
【解法2】切割线法1
PB PA PT ?=2
2222d d d PT =?=
PT d 2
2=
作圆切线OT
以OT 为腰作等腰直角三角形，得到高OT d
2
=
题目1【解法2】
【解法3】切割线法2
222Am Pm PB PA PT -=?=
222Am PT Pm +=
22Am PT Pm +=
题目3【解法3】题解2
【解法4】相似三角形法
圆幂定理实质是相似三角形。
q 为OP 中点
21
2====d d PB PA OP Pq OB qA R OB qA 2
121==
题目2【解法4】
题目4分析
以BT为直径作圆O，直角三角形边高问题，
转换为切割线问题，适用切割线公式求解，
适用【解法3】求解。
2
2
2Am
Pm
PT-
=
2
2
2Am
PT
Pm+
=
5．小圆的直径是大圆的弦，大小圆连心
线是弦的垂直平分线
6
7．直角所对的弦为圆的直径
8．圆直径相互平分，所以四边形上下两点到竖向直径的距离相等
9．垂直于弦的直径平分弦线，所以四边形外接圆垂直于连心线的直径线，过连心线题目1011．大圆圆心位于右竖线与28横线交点
题目6、7、8解题1，画横线两圆
12．大圆圆心位于右竖线与右圆交点
解题2，画公切线，自公切线中点画竖线
解题3，画公切线，自公切线中点画竖线
题目6、7、8解题4，自连心线中点画竖线，
左竖线镜像出右竖线
题目6解题5，以连心线为直径画圆，拉长左右竖线与圆相交题目7解题5-1，偏移连心线28，拉长右竖线与上横线相交
题目7解题5-2，以两圆圆心和上交点
三点作圆，拉长左竖线与圆相交
题目
题目6解题6，连线圆心与左竖线下交点，
以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
题目7解题6，连线圆心与左竖线下交点，
以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
题目8解题6，连线圆心与左竖线下交点，
以右竖线上交点为圆心，过交点画圆
题目6题解题目7题解
题目8题解
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 ［学习目标］ 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直 线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相 等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆 外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆 外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5） 圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定 理。 7.与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交弦 定理 ⊙O中，AB、CD为 弦，交于P. PA·PB＝ PC·PD. 连结AC、BD，证： △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论⊙O中，AB为直 径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB.用相交弦定理. 切割线定理⊙O中，PT切⊙O于 T，割线PB交⊙O于 A PT2＝PA·PB连结TA、TB，证： △PTB∽△PAT 切割线定理推论PB、PD为⊙O的两 条割线，交⊙O于 A、C PA·PB＝ PC·PD 过P作PT切⊙O于 T，用两次切割线定 理 圆幂定理⊙O中，割线PB交 ⊙O于A，CD为弦 P'C·P'D＝r2－ OP'2 PA·PB＝OP2－ r2 r为⊙O的半径 延长P'O交⊙O于 M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理 证；过P作切线用 切割线定理勾股定 理证 8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 【典型例题】 例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。 图1 解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理
初中几何定理、公式
初中几何公式、定理 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2
高中数学解析几何中的基本公式
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解
切割线定理割线定理相交弦定理等及几何题解 南江石 2018年4月7日星期六 圆的切线，与圆（圆弧）只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。 圆的割线，与圆（圆弧）有两个公共点的直线叫做圆的割线。 圆的弦，圆（圆弧）上两点的连接线段叫做圆（圆弧）的弦。 弦是割线的部分线段。 公共弦线：两圆相交，两交点的连线为公共弦线——共弦线，共割线。 公共切线：两圆相切，过两圆切点的公切线为公共切线——共切线。 几何原理 几何原理 共弦线垂直于连心线共切线垂直于连心线共割线平分公切线 共切线平分公切线 4切线长度相等—— 4切点共圆，圆心在两线交点 3切线长度相等——3切点共圆，圆心在两线交点 共割线上任意一点到圆的 4个切线的长度相等，4切点共圆 共切线上任意一点到圆的3个切线的长度相等，3切点共圆 圆幂定理 是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一。 圆幂定理及相交弦定理、切割线定理和割线定理的实质是相似三角形。 点对圆的幂 P 点对圆O 的幂定义为 2 2 R OP F B 性质
点P 对圆O 的幂的值，和点P 与圆O 的位置关系有下述关系： 点P 在圆O 内→P 对圆O 的幂为负数； 点P 在圆O 外→P 对圆O 的幂为正数； 点P 在圆O 上→P 对圆O 的幂为0。 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 PB PT PT PA = PB PA PT ?=2 222Am Pm PT -= 割线定理（切割线定理的推论） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222Cn Pn Am Pm -=- 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 PD PC PB PA ?=? 2222A Pn Cn Pm m -=- 垂径定理（相交弦定理推论） 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。 PB PC PC PA = PB PA PC ?=2 222OP R PC -= P 点在圆外，切割线定理、割线定理 2222222Cn Pn Am Pm R OP PD PC PB PA PT -=-=-=?=?= P 点在圆内，相交弦定理、垂径定理 222222Pn Cn Pm Am OP R PD PC PB PA -=-=-=?=? 222OP R PB PA PC -=?=
初中几何定理大全：初中数学几何121个定理总结
初中几何定理大全:初中数学几何121个定理总结1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9同位角相等,两直线平行 10内错角相等,两直线平行 11同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13两直线平行,内错角相等 14两直线平行,同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)
高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
相交弦定理、切割线定理、割线定理综合训练
相交弦定理、切割线定理、割线定理 一、单选题 1．如图，与切于点，是的割线，如果， 那么的长为（） A． B． C． D． 2．是外一点，切于，割线交于点、，若， 则的长是（） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则 DE=_____． 4．如图⊙的半径为，弦，的长度分别为，，则弦，相交所 夹的锐角__________． 5．已知弦和弦相交于内一点，，，，则________． 6．如图，的直径与弦相交于点，若，，，则________． 7．如图，切于，是的割线，如果，，则的长为________．
8．如图，、是的割线，，，，则 ________． 9．如图，是的切线，为切点，是的割线，，， 则________． 三、解答题 10．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点，，．求的大小； 求弦的长． 11．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=4，EB=8，∠DEB=30°，求弦CD长． 12．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
13．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 14．如图，中，弦与弦相交于点，且．求证：． 15．如图，⊙O与割线AC交于点B，C，割线AD过圆心O，且∠DAC=30°．若⊙O的半径OB=5，AD=13，求弦BC 的长．
参考答案 1．B 2．C 3．． 4．75°． 5． 6． 7． 8．9 3 9．5 10．(1)；(2). CD 11．235 12．详见解析. 13．215 14．详见解析. 15．6．
初中数学几何公式大全
初中数学几何公式 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段绘短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和己知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两II线平行，同位角相等 n两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和人于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180? 18推论2直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的-个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)令两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASAMj两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)右斜边和一条直角边对应用等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边匕的中线和底边上的高互相旋合 33推论3等边三角形的各角都柑等，并且每一个角都等于60。 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论2有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
高中数学公式定理大集中
高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα 2cotα＝1 sinα 2cscα＝1 cosα 2secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)
初三数学相交弦定理和切割线定理人教版
初三数学相交弦定理和切割线定理 一. 本周教学内容：相交弦定理和切割线定理 二. 重点、难点： 1. [例 BP [例 证明： 作DN ∥EC ，交MF 于N ，则∠1=∠2，∠C=∠4 由弦切角定理得：∠3=∠1 ∴ ∠2=∠3 ∴ DN=DF 由切割线定理，CB CA CE ?=2 DA DB DF ?=2 ∵ AC=DB ∴ CB=DA ∴ 2 2 DF CE = CE=DF ∴ CE=DN 又 ∵ ∠5=∠6 ∴ DNM CEM ???（AAS ） ∴ CM=MD [例3] 已知PT 切⊙O 于T ，PBA 为割线，交OC 于D ，CT 为直径，若OC=BD=4cm ，AD=3cm ，求PB 长。 解：
设TD=x ，BP=y ，由相交弦定理得：TD CD DB AD ?=? 即x x )8(43-=? 61=x ，22=x （舍） 由切割线定理，BP AP PT ?=2 由勾股定理，222TD PT PD += ∴ 22TD BP AP PD +?= ∴ )7(6)4(2 2 ++=+y y y ∴ y =[例4] F ，若BC=9，解： 连AB ，∴ ∠1=∴ EF CE =由切割线定理得：1441692 =?=?=CF CB AC ∴ AC=12 [例5] P 为弦AB 上一点，C 在圆O 上，OP ⊥PC ，求证： （1）PB PA PC ?=2 （2）若证明： （1）延长CP
解： （2）易知32 1 == OC PM ，设x AP =，y MB = 由相交弦定理，MN CM MB AM ?=?，即27)63(3)3(=+?=+y x ① 由垂径定理，CP=PD ，故在CPO Rt ?中有20462 2 2 =-=PC ∴ 由（1）结论，20)3(=+y x ② 由①—②得：37+ =x y 代②得，0203 162=-+x x ∴ 0601632 =-+x x ，3 61 28±-= x （舍负） ∴ AP 长为 3 61 28+- [例6] 如图，AB 切⊙O 于B ，OB 交割线ACD 于E ，AC=CE=3，OE= 2 5 ，求AB 长。 解： 设⊙O 半径为r ，DE=a ，延长BO 交⊙O 于K 由相交弦定理，ED CE BE EK ?=?，故a r r 3)2 5)(25(=-+ ① 由AB 切⊙O 于B 知BE AB ⊥，故AD AC EB AE AB ?=-=2 2 2 ∴ )6(3)2 5(62 2 a r +=-- ② 由②—①得：018522 =--r r ，2 9 1= r ，22-=r （舍） ∴ 32)2 529(62 22=--=AB ，AB=24 [例7] 如图，⊙O 中直径AE ⊥BF ，M 为OE 中点，BM 延长交⊙O 于C ，连AC ，求ABC ?中三个内角的正切值。 解：易知?=∠= ∠452 1 BOA C ∴ 145tan tan =?=C 连CF 、CE ∵ BF 为直径 ∴ ?=∠90BCF 又 ∵ ?=∠90BOM ∴ BCF BOM ??~
切割线定理(一)(含解析)
切割线定理（一）? 2011 菁优网
一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分） 1、（10分）（2010?江汉区）如图，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC 的外接圆的半径为r． （1）若∠E=30°，求证：BC?BD=r?ED； （2）若BD=3，DE=4，求AE的长． 2、（10分）（2009?淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD． （1）求BD的长； （2）求∠ABE+2∠D的度数； （3）求的值． 3、（10分）（2008?苏州）如图，在△ABC中，∠BAC=90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T． （1）求证：AK=MT； （2）求证：AD⊥BC； （3）当AK=BD时，求证：． 4、（10分）（2008?濮阳）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．（1）求证：AB=AC； （2）当时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值．
5、（10分）（2007?厦门）已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP， （1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数； （2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点， ①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD； ②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 6、（10分）（2007?天津）如图，⊙O和⊙O′都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作⊙O的割线PCD交⊙O于 C、D两点，作⊙O′的切线PE切⊙O′于点E．若PC=4，CD=8，⊙O的半径为5． （1）求PE的长； （2）求△COD的面积． 7、（10分）（2007?庆阳）如图EB是⊙O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作⊙O的切线AC，切点为D，过B 作⊙O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长． 8、（10分）（2007?河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点 （P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E． （1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）； （2）求四边形CDPF的周长； （3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF?FG=CF?OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．
初中数学必背几何定理及公式
初中数学必背几何定理及公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
解析几何公式大全
平行线间距离：若l i : Ax By C i 0, 12 : Ax By C20 则：d C i C2I J A2B2 注意点：x, y对应项系数应相等。 点到直线的距离：P(x , y ),I:Ax By C 0 则P到1的距离为: |Ax d By C 解析几何中的基本公式 .A2B2 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y kx b F(x,y) 0 2 消y：ax bx c 0，务必注意0. 若I与曲线交于A(x1, y1), B(x2, y2) 则：AB v'(1 k2)(X2 X i)2 若A(x i, y i), B(X2, y2)，P（x，y）。P在直线AB上，且P分有向线段AB所成的比为 i y i y2 i ，特别 地: x =1时，P为AB中点且 y x-i x2 2 y i y2 2 变形后：—i或」 X2 x y2 y 若直线l i的斜率为k i，直线|2的斜率为k2,则l i到|2的角为， （0, ） 适用范围：k i，k2都存在且k i k2 —i , tan k2 k i i k i k2
I i 到I 2的夹角：指 11、 12相交所成的锐角或直角。 (2) l 1 I 2时，夹角、到角=—。 2 (3) 当11与I 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 直线的倾斜角 与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角 ，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ,而倾斜角为 ，则k=tan 。 直线I 1与直线I 2的的平行与垂直 (1)若I 1， I 2均存在斜率且不重合：①I 1//I 2 k 1=k 2 ② I 1 I 2 k 1k 2=— 1 (2)若 I 1 : A 1x B 1 y C 1 0, I 2 : A 2X B 2y C 2 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 I 1//I 2 △邑 C !； A 2 B 2 C 2 若i i 与12的夹角为，则tan 注意：(1 ) I i 到12的角，指从 k i k 2 1 kk 11按逆时针方向旋转到 I 2所成的 角, (0,) (1) 倾斜角 ， (0,)； (2) a, b 夹角, [0, ］； (3) 直线I 与平面 的夹角 ,[0，,] (4) I 1与I 2的夹角为 ［0,—］，其 中 2 (5) 二面角， (0,]； (6) I 1到I 2的角, (0, ) I 1//I 2时夹角 =0； I 1 I 2 A 1A 2+B 1B 2=0；
苏科版教材初中数学几何定理定义公式大全
苏科版初中数学几何定理定义公式大全 班级学号姓名以下标注真命题的条目，解答题时要先证明，再使用。未标注的定理、定义、公式可以直接使用。 第一部分相交线、平行线 1、直线公理：经过两点有且只有一条直线（两点确定一直线）。 2 、线段公理：两点之间线段最短。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等。 5、垂线的性质： ①经过一点 ．．有且只有一条直线和已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。（简写为：垂线段最短。） 6、平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线。 7、在同一平面中两条直线的位置关系有两种，相交和平行。 在空间几何中两条直线的位置关系有三种，相交、平行和异面。 8、平行公理：经过直线外一点 ．．．．．，有且只有一条直线与这条直线平行。 7、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。 9、平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 10、平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 10、三视图（略） 第二部分三角形 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫作三角形。 2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
4、三角形的高：经过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。 5、三角形三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 6、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 7、推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 8、真命题：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 9、多边形的内角和公式：N=（n-2)180° 10、任意多边的外角和等于360°。 11、连接多边形的不相邻顶点的直线叫作对角线。从n 边形（n ≥3）的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n 边形（n ≥3）一共有)3(2 1 n n 条对角线。 12、能够完全重合的两个图形叫作全等形。 13、能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。全等三角形的对应边、对应角相等 。 14、全等三角形的判定： ①边角边(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ②角边角( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 。 ③角角边(AAS) ：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④边边边(SSS) ：有三边对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边、直角边(HL) ：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 第三部分 轴对称图形 1、轴对称：如果把一个图形沿着一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于直线成轴对称。 2、轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形。 3、轴对称的性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 ④真命题：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
初中数学常用拓展公式定理汇总汇编
初中数学实用拓展公式定理汇总 一、解析几何 直线斜率公式 已知11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线l 上两点，α是直线l 的倾斜角，k 是它的斜率，则 1212 tan y y k x x α-==-. 两点之间的距离公式 已知11(,)A x y 、22(,)B x y ，则 AB = 点到直线的距离公式 已知直线:l y kx b =+，00(,)A x y ，l 到点A 的距离是d ，则 d = 平行直线的距离公式 已知直线11:l y kx b =+、22:l y kx b =+，l 1到l 2的距离是d ，则 d = 两直线位置关系的判定 已知直线l 1、l 2的斜率是k 1、k 2，则 1212l l k k ?=∥；1212=1l l k k ⊥?-. 二、三角函数 已知α、β是任意角，则下列公式成立： 和差角正弦公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 和差角余弦公式 cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； 和差角正切公式 tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=m ； 倍角正弦公式 sin 22sin cos ααβ=； 倍角余弦公式 2cos 22cos 1αα=-；
倍角正切公式 22tan tan 21tan ααα=-. 当0180α?<
椭圆中的“类切割线定理”
椭圆中的“类切割线定理” ——2016 年高考四川卷理科第20 题 江苏省东海县教师进修学校徐明 【原题呈现】 22 xy （2016年全国高考四川卷理科第20题）已知椭圆E: 2 2 1（a b 0）的两个焦点与短ab 轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. （I）求椭圆E的方程及点T的坐标； （II ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P. 证明：存在常数，使得|PT |2 |PA| |PB |，并求的值. 【考情综述】 在高考中，解析几何综合题的地位是无人可以撼动的，无论是四川卷还是其它省市卷或全国卷，解答题中必有它的身影，并且往往还是以压轴题（倒数第二题）的身份出现．究其原 因，是其在中学数学中的地位决定的．解析几何倡导用代数方法研究几何问题，把代数的知识和方法系统地用于研究几何之中，数形结合的思想和方法使代数、几何获得统一．通过解析几何学习，可以使学生对已学知识融会贯通，把数和形的研究紧密地结合起来，提高综合应用数学知识的能力．同时，系统地掌握解析几何的基础知识，也会为今后学习高等数学奠定坚实的基础． 就全国高考四川卷中的解析几何综合题而言，近三年的理科试题都位于整卷第20 题的 位置，统一以直线与椭圆的位置关系为素材，主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法，并考查数学思维的严谨性、深刻性与灵活性． 从考查内容看，试题同样以两问的形式进行设置，第一问一般是“求椭圆的方程”，这一问都是送分题，往往是要求考生熟练掌握椭圆的标准方程和简单几何性质．如2013 年“已知椭圆的焦点坐标，椭圆过定点，求椭圆的离心率”；2014 年“已知椭圆的焦距，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，求椭圆的方程”；2015 年“已知椭圆的离心率，过特 殊点的特殊直线被椭圆截得的弦长（本质是椭圆过定点），求椭圆的方程”等．由此可见，今年的第一问设置较前几年难度有所增加，其难度在于：第一问中就要动用直线与椭圆联立方程组，使用“判别式”，无形中增加了运算量． 试题的第二问才是试题或者整卷中的“亮点”，也是难点，是考生发挥能力的“舞台”．这一问往往以定量或定性的方法研究直线与椭圆间形成的某指定几何元素或结构间的关系，要求考生灵活进行转化与化归、准确进行运算与求解、严密进行推理与论证．如2013 年“过定点的动直线与椭圆交于Ｍ，Ｎ两点，求线段MN 上满足221212的Q 点轨迹|AQ|2 |AM |2 |AN |2 方程”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式，正确处理参数关系，从定量运算中探索动点的定性特征；2014 年“F 为椭圆左焦点，T 为左准线上动点，过F 作TF 的垂线交椭圆于点P,Q，证明OT 平分线段PQ，求|TF |最小值”，要求考生熟练运用韦达定理、弦长公式、|PQ| 斜率公式，除作定性分析外，还会用基本不等式对相关数据进行最值求解； 2015 年“是否存 在与定点P不同的定点Q，使得|QA| |PA |恒成立”，在要求考生熟练运用韦达定理的同时，|QB| |PB | 对考生转化与化归的能力提出较高要求．相比较而言，今年的第二问回到了对“韦达定理、弦长公式”的考查上，特别是动因的减少（定直线上已知斜率的动点），降低了试题的思维强度． 虽然今年是全国高考四川省自主命题的最后一年，解析几何综合题延续了自己的风格，但在今后的全国高考中，解析几何综合题的难度依然不会降低，考查的重点依然会聚焦在定点、定值问题，范围、最值问题等问题上，核心方法依然是“设而不求”，在进行弦长、斜率、距离等几何量的计算过程中巧妙运用韦达定理，只是考查内容有可能从椭圆的“一枝独秀”，发展到与抛物线“争奇斗艳”． 【考点解读】 在《2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理）考试说明》中，对圆锥曲线的考试
初中数学几何公式定理大全
初中数学几何公式、定理大全 一、有关“线”的公式定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 二、有关“角”的公式定理 1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4、两直线平行，同位角相等 5、两直线平行，内错角相等
6、两直线平行，同旁内角互补 三、有关“三角形”的公式定理 1、定理三角形两边的和大于第三边 2、推论三角形两边的差小于第三边 3、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 4、推论1 直角三角形的两个锐角互余 5、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 6、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 7、全等三角形的对应边、对应角相等 8、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 9、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 10、推论（AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 11、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 12、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
13、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 14、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 15、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 四、有关“等腰三角形”的公式定理 1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 2、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 4、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 5、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 6、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 7、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 8、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 9、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 10、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等