高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用

知识汇总

一、求导数方法

1.利用定义求导数

2.导数的四则运算法则

3.复合函数的求导法则

若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx

du dy dx dy ?

= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则

若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则

)(1)(y x f φ'=

'，即dy

dx dy 1

5.隐函数求导法

求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx

。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出

即可。 6.对数求导法

对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题：

(1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如

)3(52)2)(1(---++x x x x x ,3

)

2)(53()

32)(1(--+-=x x x x y ,5

+-=x x y 等等。

7.由参数方程所确定函数的求导法则

设由参数方程

?==)()

(t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且

dt dy

t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法

二、求导数公式

1.基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1

)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin ='

(4) x x sin )(cos -='

(5)

x x 2

sec )(tan =' (6)

x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='

(8) x x x cot csc )(csc -='

(9)

a a a x

x ln )(=' (10) (e )e x

x '=

(11)

a x x a ln 1

)(log =

(12)

x x 1)(ln =

'，

(13)

211)(arcsin x x -=

' (14)

211)(arccos x x --

=' (15)

21(arctan )1x x '=

(16)

21(arccot )1x x '=-

2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα

αααα)1()2()1()()

(

(2) x n x e e =)

()

( (3) ()()ln x n x n a a a =

(4) ()

(sin )

sin 2n x x n π?

?=+? ??? (5) ??? ?

??+=2cos )(cos )(πn x x n

(6) ()

(1)!ln()(1)

()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1

)()

(!)1()1(++-=+n n

n n b ax a n b ax

3.两个函数乘积的n 阶导数公式(莱布尼兹公式)

()

()()

()(0)(1)'(2)''

(1)()

n k n k k n n n n k n n u v C u v u v nu v u v ---=-?==+++∑

()()

(0)()(1)

(1)!

n k k n n n n k u v u v k ---++

三、微分在近似计算中的应用

1.微分可以用来求函数在某点的近似值：

当|Δx|很小时， f (x 0+Δx)≈f (x 0)+f '(x 0)Δx 2.微分可以用来求函数增量的近似值

当|Δx|很小时，Δy≈dy=f '(x 0)Δx 3.微分可以用来求函数的近似公式

当|x|很小时，特别当

时, 有近似公式

常用的近似公式有

sinx ≈x (x 以弧度为单位)，tanx ≈x ，ln(1+x) ≈x ，e x ≈1+x ，(1+x)n

≈1+nx

四、导数的应用

1.函数单调性的判别法

设],[)(b a C x f ∈且在),(b a 内可导，

（1）若在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递增；（2）若在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上单调递减.

?说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.

2.函数取极值的充分条件

第一充分条件：设函数设)(x f 在)(0x U 内可导且0)(0='x f （或)(x f 在)(0x U

内可导且在0x 处连续），

（1）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(>'x f ；当0x x >时，0)(<'x f ，则)(x f 在0

处取得极大值)(0x f ；

（2）若在)(0x U 内，当0x x <时，0)(<'x f ；当0x x >时，0)(>'x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；

（3）若在)(0x U 内，)(x f '在0x 的左右同号，那么0x 不是)(x f 的极值点. 3.曲线凹凸性的判定法

设函数)(x f y =在区间),(b a 内二阶可导，

（1）若在),(b a 内0)(">x f ，则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的．（2）若在),(b a 内0)("

案例分析

一、利用导数定义计算若干问题

1.利用导数定义求极限如果)(/

x f 存在)()

()(lim

x f x f x f =-+?→口

口口

注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同例1设)(x f 在0x 点可导，求下列极限（1）h

h x f h x f h 2)

2()2(lim

000

--+→

（2）已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限x

x x 1

)2π

sin(lim 0-+→

解：（1）00000000(2)(2)(2)()[(2)()]

lim lim 22h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h

→→+--+----=

000000(2)()(2)()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h

→→+---=+- 000()()2()f x f x f x '''=+=

（2）x x x 1)2πsin(lim 0-+→=x x x 2sin

)2πsin(lim 0π-+→=2

|)'(sin =x x = 2πcos =0 2.利用导数定义求函数的导数

例2 (1) 设2

))(())(()(a x x f a x a f x -+-=?，求)(//

a ?

解：由于)()(2))(()()(2

x f a x a x x f a f x -+-+=?，则)()(//

a f a =? 故)](2))(([lim )

()(lim

)(/////

x f a x x f a

x a x a a

x a

x +-=--=→→???

因为)(x f 在a x =处二阶可导，故)(x f 、)(/

x f 在a x =处连续，即

)()(lim a f x f a

x =→、)()(lim //a f x f a

x =→

所以)(2)(//

a f a =?

注意：函数)(x ?仅在a x =处存在二阶导数，故求)(//

a ?时不能直接利用求导公式。

（2）设周期函数)(x f 的周期为5，)(x f 可导，如12)

2()2(lim

=--→x

x f f x ，求曲线

)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线方程。

解：因为函数)(x f 的周期为5，故

)3()53()2(-=+-=f f f )3()53()2(x f x f x f --=+--=-

而 12)

3()3(lim 2)2()2(lim

00=-----=--→→x

f x f x x f f x x 故

2)3()3(lim 0=-----→x f x f x ，即2)3()3(lim )3(0/=-----=-→x

f x f f x 所以)(x f y =在点))3(,3(--f 处的切线为)3(2)3(+=--x f y

（3）设))((sin )(x f x F ?=，b a f ===)0(,0)0(,)0(/

??，求)0(/

F 解：x

f x f x F x F F x x ))

0((sin ))((sin lim 0)0()(lim

)0(00

??-=--=→→

x x x x f x f x )

()()(sin )(sin )0())((sin lim

???????-=→

ab f x x f x =?=--?=→)0()0(0

)

0()(lim

)0(//0

???

3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析: 含有绝对值的函数可转化为分段函数

??=)()(x g A x f y a x a x a

x <=>

分析:（1）当x>a )(/

x f y = 当x

x g y = （2）当x=a a x A x f a y a

x --=+→+)(lim

)(/

x A x g a y a x --=-→-)(lim )(/

（3）如B a y a y ==-+)()(/

1x f x f x x <<-=?，其中1)(1+=x x f ，2

2)1()(+=x x f ，求)(/

x ?

解：当01≤<-x 时，2)1(1+≥+x x ；当10<

x x x ?--→+-'==- 20(1)1(0)lim 20x x x ?++

4.分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数已知??

?=)()()(x g x f x y a

x a

x <≥在a x =处可导,求)(x y 中的待定系数

分析：（1）)(x y 在a x =处可导,则在a x =处连续,即)()(lim )(lim a f x g x f a

x a

x ==-→+→﹡

（2）求a x a f x f a y a

x --=+→+)()(lim

)(/

x a f x g a y a x --=-→-)()(lim )(/

,而)()(//a y a y -+= ﹟

（3）由﹡和﹟,求待定系数

例4已知???+=b ax e x y x )( 0

≥

5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性

函数??

???=)()()(x g A x f x y a x a x a x <=>,求)(/x y ,并讨论)(/

x y 的连续性

分析:（1）先求)(/

x y (见求导数部分) （2）然后讨论)(/x y 在定义域内的连续性

例5设2, 0

()ln(1), 0

ax bx c x f x x x ?++<=?+≥? 问如何选取a ,b ,c 才能使f (x )处处具有一阶连续导

数，但在x =0处却不存在二阶导数。 6.利用导数求函数

例6（1）设f (x )在（0，+∞）内有定义，且(1)(0)f a '=≠，又对,(0,)x y ?∈+∞，有

()()()f xy f x f y =+，求)(/x f

解：令1==y x ，有)1()1()1(f f f +=得0)1(=f (﹡)

而)1()()1()1(x f x f f x

f x x f x x f x x f x x f x f x x x ??+=?+?+=?-?+=→?→?→?)

1(lim )1()(lim )()(lim )(000/

a x f x x

x f x x f x f x x f x x =?=??-?+=?-?+

=→?→?1)1(1)

1()1(lim )1()1(lim

/00 注意：有乘积的，一般令x 、y 互为倒数

（2）设函数)(x f 满足等式)

()(1)

()()(y f x f y f x f y x f -+=

+，且)0(f '存在，求)(x f

解：令1=x ，0=x 则)

0()1(1)

0()1()1(f f f f f -+=

有0)1)1()(0(2

=+f f 得0)0(=f [1] 令x y -= 有)

()(1)

()()()0(x f x f x f x f x x f f ---+=

-= [2]

由[1]、[2]得)()(x f x f --=

x f x x f x x f x x f x f x x ?-+?+=?-?+=→?→?)

()(lim

)()(lim

)(00/ )]()(1[)

(lim )]()(1)[(lim 00x f x x f x

x f x x f x x f x f x x ?++???=?-?+-?=→?→?

)](1[)0()]()(1[lim )

0()(lim 2/00x f f x f x x f x f x f x x +?=?++??-?=→?→?

有

??=+dx f dx x f x f d )0()(1)]([/2 得c x f x f +=)0()(arctan /

令0=x 得0=c 即])0(tan[)(/

x f x f ?=

注意：有和的，一般令x 、y 互为相反数；有差的，一般令x 、y 相等

二、根的存在性问题

1.利用零点定理证明方程有实根

利用零点定理证明方程)()(x g x f =在),(b a 内至少有一个实根方法：

（1）令)()()(x g x f x F -=，()F x 在[,]a b 上连续

（2）计算)(a F ，)(b F （或)(lim x F a

x ），则)()(x g x f =在),(b a 内至少

有一个实根

例7（1）设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/

内0)(=x f 有唯一的实根证明：因为0)(/

>>k x f ，则)(x f 在))

(,(k

a f a a -

上单调增加 0])(1)[()()()())((//

>-=-=-k

f a f k a f f a f k a f a f ξξ（中值定理）

而0)(

(,(k

a f a a -

内0)(=x f 有唯一的实根（2）设)(x f 在]1,0[上可导，且1)(0<

-≠x f ，证明方程x x f -=1)(在)1,0(内有唯一一个实根

证明：令1)()(-+=x x f x g ，1)()(/

+=x f x g

因为1)(/

-≠x f ，故)(/

x g 要么恒正或恒负，即)(x g 是单调函数

01)0()0(<-=f g ，0)1()1(>=f g ，故方程x x f -=1)(在)1,0(内有唯一一个实根

2.利用中值定理证明方程有实根

若)(x f 可导，证明方程)(x f =0的相邻两个实根之间必有方程)(x f '=0的一个实根。

例8若)(x f =(1)(2)(3)x x x ---，不用求导数，指出)(x f '=0的实根个数及所在的区间。

证明：因1,2,3x x x ===是方程)(x f =0的根，即(1)(2)(3)0f f f ===，又因

)(x f 在[1,2]上连续，在（1,2）内可导，故)(x f 在[1,2]上满足罗尔定理的

条件，则在（1,2）内至少存在一个点1ξ，使得1()f ξ'=0，即1ξ是方程)(x f '=0

的一个实根。

同理，)(x f 在（2,3）内至少存在一个点2ξ，使得2()f ξ'=0，即2ξ是方程)(x f '=0的另一个实根。

另外，由于)(x f '为二次函数，)(x f '=0最多有两个实根。综上，)(x f '=0有两个实根，分别在（1,2）和（2,3）内。

例9设)(x f 在),[+∞a 连续，在),(+∞a 可导，且0)(<<'k x f ，0)0(>f ，证明：方程

0)(=x f 在),(+∞a 内必有唯一实根。

证法一：令)0()(f kx x g +=，则有k x g =')(，)0()0(f g =. 由题义)()(x g x f '<'得

[]0)()(<'-x g x f ，0)0()0(=-g f

推出：0)()(<-x g x f ，)()(x g x f <，

得：0)0()0(=??? ??-

??-

k f g k f f ，而0)0(>f 在??

????

k f )0(,0上由介值定理知，存在??

???

∈k f )0(,0ξ，使0)(=ξf ，即在),0(+∞内0)(=x f 有实根。又0)(<'x f ，知)(x f 单调减，故有唯一实根。证法二：设o a >，在],0[a 上用拉格朗日定理得

a f f a f )()0()(ξ'==,),0(a ∈ξ

由设知ka f a f <-)0()(，即ka f a f +<)0()(，取k

f a )

0(-=，即0)0(=+ka f ，得0)(

由题设知0)0(>f ，在],0[a 上用介值定理，推知方程0)(=x f 在),(+∞a 内有实根，

故函数单调，知其根唯一。

3.求含有待定系数的方程在区间上的根的个数例10（1）0932

3=+--h x x x

解：令h x x x x f +--=93)(2

则963)(2

--=x x x f 由963)(2

--=x x x f =0 得11-=x ，32=x

→)931(lim )(323x h x x x f x ；+∞=+--=+∞-∞→)931(lim )(323x h

x x x f x

h f +=-5)1( h f +-=27)3(

当27>h 时，有唯一根在)1,(--∞上；当5-

275<<-h 时，有三个根分别在)1,(--∞，)3,1(-，),3(+∞上

（2）kx x =ln

解：令kx x x f -=ln )( 则k x

因为-∞=-=++→)(ln lim )0(0

kx x f x ；+∞=-=+∞+∞

→)(ln lim )(kx x f x

此时kx x =ln 有一根

（ii ）当0=k ，有一根1=x （iii ）当0>k ，由01)(/

=-=

k x x f 得k x 1= k x 10<<时，0)(/>x f ；k

x 1

>时，0)(/

因-∞=-=++→)(ln lim )0(0

kx x f x ；-∞=-=+∞+∞

→)(ln lim )(kx x f x ；1ln )1

(--=k k

01ln =--k ，即1-=e k 时有一根；01ln >--k ，即10-<

4.已知方程0)(=x f 在],[b a （或),(b a ）上有若干个根，求待定系数λ的范围

方法：

（1）令)(x f y =并求)(/

x f y =

（2）当待定系数λ满足条件P 时，0)(/

>x f （或0)(/

),(b a ）上单调，考察)()(b f a f 的正负性，判断)(x f y =是否有唯一根

（3）找

0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点，再分区间讨论

例11设0>x 时，方程11

2=+

ax 有且只有一根，求a 的范围解：（1）当0=a 时，1=x 是方程的唯一根（2）令11)(2-+

x ax f x -∞=-+=+∞+∞→)11

ax x f 在0>x 时有唯一的根（3）当0>a 时，令0)(/

>x f ，)(x f 为增函数又因为+∞=-+=+→+)11(lim )0(20

x ax f x +∞=-+=+∞+∞→)11

a 时方程有唯一的根三、利用微分中值定理证明

1.利用中值定理证明等式成立

（1）将等式变形，使含ηξ,的表达式分别在等式的两端（2）两端分别使用中值定理(或柯西定理)

例12设)x (f 在]1,0[上可微，且1)x (f 0<<，1)x (f ≠'，则在)1,0(内存在唯一点，使

ξξ=)(f

证明：（i ）存在性构造辅助函数x )x (f )x (F -=，在]1,0[连续，且0)0(f )0(F >=，

01)1(f )1(F <-=，由连续函数的介质定理，存在)1,0(∈ξ使0)(F =ξ，即ξξ=)(f

（ii ）唯一性（反证法）

设还存在)1,0(2∈ξ，使22)(f ξξ=，且2ξξ≠，在区间],[2ξξ上应用拉格朗日定理，存在)1,0(∈η使1)(f )(f )(f 2222=--=--='ξ

ξξ

ξξξξξη，这与题设1)x (f ≠'矛盾。（证明过程

对2ξξ>仍正确）

例13设)x (f 在]1,0[连续，在)1,0(内可导，且1)0(f =，0)1(f =，证明在)1,0(内至少? 一点ξ，使ξ

ξξ)

(f )(f -

证明：令)x (xf )x (F =，则)x (f )x (f x )x (F +'='，0)1(F )0(F ==，由罗尔定理有)1,0(∈ξ，使0)(F ='ξ 即0)(f )(f =+'ξξ，得：)

()

(f )(f ξξξ-

=' 例14已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/

ηξηf b ab a f ++=

解：利用柯西中值定理3

32/)()(3)(a b a f b f f --=

ηη 而))(()()(/

a b f a f b f -=-ξ 则

/33/332/)

())(()()(3)(b ab a f a b a b f a b a f b f f ++=--=--=ξξηη（后面略） 2.结论为0)()

(=ξn f 的命题证明

方法：（1）对)()1(x f

n -用罗尔定理

（2）利用)(x f 的1-n 阶泰勒公式

例15设函数)(x f 在区间],[b a 内具有二阶导数，且)()()(b f c f a f ==（b c a <<）。证明在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使0)(//

=ξf

解：因为)()(c f a f =，则在),(c a 内存在一点1ξ，使0)(1/

=ξf 同理,因为)()(b f c f =，则在),(b c 内存在一点2ξ，使0)(2/=ξf 故在),(21ξξ内存在一点ξ，使0)(//

=ξf

例16设函数)(x f 在区间]1,0[内具有二阶导数，0)1(=f ，又)()(2

x f x x F =，证明在

)1,0(内至少存在一点ξ，使0)(//=ξF

解：因为0)1(=F ，0)0(=F 而)()(2)(/

x f x x xf x F += 所以0)0(/

)(!

2)0()0()(//

ξF x x F F x F ++= 其中),0(x ∈ξ

当1=x 时，有)(!

21)0()0()1(//

ξF F F F ++= 其中)1,0(∈ξ 即0)(//

=ξF

3.(1)利用泰勒公式证明含有抽象函数及其导数的不等式

例17设)(x f 在]2,0[上二阶可导，且1|)(|≤x f ，1|)(|//

≤x f ，证明2|)(|/

≤x f

解：2//

)(21)()()0(x f x x f x f f ξ！

|)0(||)(||)(|ξ++≤ 由于1|)(|≤x f ，1|)(|//≤x f 所以x

例18设)(x f 在]1,0[上三阶可导、连续，且0|)0(|=f ，21|)1(|=f ，0)2

1(/=f ，证明在)1,0(内至少存在一点ξ，使12|)(|///

≥ξf

解：由于30///200//00/

0))((61

))((21))(()()(x x f x x x f x x x f x f x f -+-+

-+=ξ 当21,00==x x 时，有)(481)21(81

)21(01/////ξf f f -+= )2

1,0(1∈ξ 当21,10==x x 时，有)(481)21(8

)21(212/////ξf f

f ++= )1,2

1(2∈ξ 两式相减得24)()(1///2///

=+ξξf f

而24)()(1///2///

=+ξξf f

即|)(||)(||)()(|2///1///1///2///ξξξξf f f f +≤+ 令|})(||,)(m ax {||)(|2///1//////

ξξξf f f

=,则12|)(|///≥ξf

(2)题中已知A x f b a x =∈)(max )

,(或B x f b a x =∈)(min )

,(，则在)(x f 的最值点),(0b a x ∈处展开，

此时0)(0/

=x f

例19设)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)1()0(==f f 又1)(min ]

1,0[-=∈x f x ，证明在)1,0(上

存在一点ξ，使8)(//

≥ξf

解：设)(x f 在)1,0(∈η处取得最小值，此时1)(min )(]

1,0[-==∈x f f x η，且0)(/

=ηf

由泰勒公式知 21//

)(2

1)()()0(ηξηηηf f f f +

-+=f f f f 得22//)1(2)(ηξ-=

≥ξf 四、求函数的单调区间和极值（最值）

方法：

（1）确定函数)(x f y =的定义域D

（2）求)(/

x f ，在D 内求出)(/

x f 不存在的点和0)(/

=x f 的点（3）判断这些点左右的增减性

（4）求极值（5）再考虑函数)(x f y =在D 的端点处的取值，最终确定最值例20（1）设x bx x a x f ++=2

ln )(在11=x 和22=x 两点处取得极值，求b a , 解：12)(/

++=

bx x

x f 因为函数)(x f 在11=x 和22=x 两点处取得极值，故

0)1(/=f 0)2(/=f

即 ???

??=++=++0142

12b a b a 得32-=a 61-=b

（2）设n

x nx x f )1()(-=（N n ∈），记)(max )(]

1,0[x f n M x ∈=求)(lim n M n ∞

→

解：1

2/)

1()1()(----=n n x x n x n x f

n x 因为0)1()0(==f f 而1

n x f n M ，即11)1(lim )(lim -+∞→∞→=+=e n n n M n n n

(3) 设可导函数)(x f y =由32233

=+-y xy x 所确定，讨论)(x f 的极值

=y 得x y -=把x y -=代入原方程有2-=x ，2=y 求//

y ，因为04

2//

=-=y x y ，所以)(x f 在2-=x ，2=y 处有极小值（4）求数列})

，问x 为何值时，)(x f 取极值（提示：对每一段和分段点讨论）（6）求函f(x)=

()0f c =，()f x ''存在且()0f c ''≠，则)(c f 为函数)(x f 的极值（2）?>0)(//

c f 极小值，?<0)(//

c f 极大值例21设)(x f 满足x

x f x x xf --=+1))((3)(2

（R x ∈）

（1）如果)(x f 在)0(≠=c c x 有极值，证明)(c f 为极小值（2）如果)(x f 在0=x 处有极值，)0(f 是极大还是极小值解：（1）因为)(x f 在)0(≠=c c x 有极值，所以0)(/

=c f ，而

2///

))((31)(x f x e x f x --=-，即c

e c

f c e c f c c ---=--=1))((31)(2

///

因为0≠c 所以0)(//

>c f ，即)(c f 为极小值

（2）因为)(x f 二阶可导，所以)(/

x f 连续，)(x f 在0=x 处有极值，有0)0(/

=f 及0)(lim /

=→x f x

})]([31{lim )(lim )0()(lim )0(2/0//

0//0//

x f x

e x

f x f x f f x x x x --==-=-→→→

例22证明不等式)1ln(x x +>（0>x ）恒成立证明：设)1ln()(x x x f +-=，则有

x x x x f +=

+-+=+-

=1111111)(' )(x f 在),0[+∞内连续，且在开区间),0(+∞0)('>x f

因此在),0[+∞上函数)(x f 单调增加，从而当0>x 时，)0()(f x f > 而0)01ln(0)0(=+-=f

所以有0)(>x f ，即 )1ln(x x +> 2.利用微分中值定理来证明

例23证明：当0>x 时，不等式成立

x x x

<+<+)1ln(1恒成立. 证明：设)1ln()(x x f +=，显然)(x f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有

)0()

0)(()0()('x x f f x f <<-=-ξξ

+1)1ln(x x 又因为x <<ξ0，故有

= 6.x a a a x a a a x y ++= 二、设()时当∞→='n x f ,10n n y x ,为等价无穷小，求()()

n n n x y x f x x f --+∞

→00lim

三、设()???

??+-=x x x

x f sin 1sin 1arcsin ，求()0f '

四、设函数)(x f 在()+∞∞-,内有意义，且f （0）=0 ()10,='f 又

()()()()()122121x x f x x f x x f ??+=+，其中()x e x x x 22cos -+=?，求()x f '

五、设x x y sin 3

= ，求)0()

6(y

六、用对数求导法求下列函数的导数： 1.x

七、求方程 )tan(y x y +=所确定的隐函数y 的二阶导数

cos sin 所确定的函数的导数dx dy

九、设函数)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且)1(f =0，试证：至少存在一点)1,0(∈ξ 使：ξ

ξξ)

(2)(f f -

十、当a 为何值时，x x a y 3sin 31sin += 在 3

=x 处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。

参考答案

一、1.154

63211363x x x -----

3.1sin 211cos x e x x -?

4.1

sin sin(1)n n x n x -?+ 5.22242sec tan sec tan sec x x x x -+

n n n n n n n n n x x f y x f x x f x x f x y x f x x f 000000lim lim lim

()()()()()22lim lim

00000='=---+-+=∞→∞

→x f y x f y x f x x f x x f n

n n n n n ）三、1（提示：用导数定义求）四、()()22cos x

f x x x x e ?-'==+

（提示：

()()()()()()()()[]x f x x f x x f x x

x f x x f x f x x -?+??=?-?+='→?→???1

lim

()()()()00f x x f '+'=??

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高中文科经典导数练习题及答案

高二数学导数单元练习一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x 的递增区间是（） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 () 2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有（） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 11 ．函数 32y x x x =--的单调区间为

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。（1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）极值的求法与极值的性质（2）由导数求最值（3）单调区间零点驻点拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解：（1）单调区间零点驻点拐点————草图（2）草图——讨论题型二：利用导数解决恒成立的问题例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．

例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2 g x f x '=．（1）证明：当22t <时，()g x 在R 上是增函数；（2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；（3）证明：3()2 f x ≥．解：g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人，我也没做出来例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值（2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围解：讨论点x=1/e 1/e

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案：学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

(完整版)函数与导数经典例题(含答案)

函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。（Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或因为0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,2 t t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。（2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x

高考文科数学专题复习导数训练题(文)

高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。二、经典例题剖析考点一:求导公式。例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是。解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。考点二:导数的几何意义。例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3

例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

导数及其应用大题精选

导数及其应用大题精选姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围.

6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ，上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围.

导数典型例题包括答案.doc

导数典型例题数作考内容的考力度逐年增大 .考点涉及到了数的所有内容，如数的定，数的几何意、物理意，用数研究函数的性，求函数的最（极）等等，考的型有客（、填空）、主（解答）、考的形式具有合性和多性的特点 .并且，数与内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的合考成新的点 . 一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)? (x-100) 在 x=0 的数 .100 2 C ！ f ( 0 x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 ) 解法一 f ＇ (0)= lim x = lim x x 0 x 0 = lim ( x-1)( x-2)? ( x-100)= （ -1 ）（ -2）?（ -100 ） =100 ！ ∴ D. x 0 解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100 +? + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）?（ -100 ） =100 ！ . ∴ D. 点解法一是用数的定直接求解，函数在某点的数就是函数在点平均化率的极限 .解法二是根据数的四运算求法使解 . 【例 2】已知函数 f (x)= c n 0 c 1 n x 1 c n 2 x 2 1 c n k x k 1 c n n x n ， n ∈ N * ， 2 k n f ( 2 2 x ) f ( 2x) lim x = . x 0 f (2 2 x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f (2) 解 ∵ lim x =2 lim 2 x + x x 0 f 2 ( x) f ( 2) lim x =2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0 又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 x c n k x k 1 c n n x n 1 ， ∴ f ＇(2)= 1 （ 2 c n 1 22 c n 2 2k c n k 2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 ( 3 n -1). 2 2 2 点数定中的“增量 x ”有多种形式，可以正也可以，如 f ( x 0 m x) f ( x 0 ) ，且其定形式可以是 lim f ( x 0 m x) f ( x 0 ) lim m x m x ，也可以是 x 0 x 0 f (x) f (x 0 ) （令 x=x-x 得到），本是数的定与多式函数求及二式定理有关 lim x x x 0 知的合，接交、自然，背景新 . 【例 3】如的半径以 2 cm/s 的等速度增加，半径 R=10 cm ，面增加的速度是 .

导数的应用练习题

导数的应用二、典型例题题型一未定式及其逆问题的求解例1、求下列极限（∞∞）：（1）0ln tan 2lim ln tan 3x x x +→　（2）0lim ln x x x +→　（3）arctan lim (1)x x x a x x a a x →∞->+ （4）ln(1)lim an n e n →∞+ （1）解：原式2'2002cot 2sec 22tan 3lim lim 13cot 3sec 33tan 2L H x x x x x x x x ++ →→===．（2）解：原式1'ln 1 lim lim 0t x L H t t t t t =→+∞→+∞-==-=．（3）提示：arctan 1()arctan lim lim 11() x x x x x x a x x x a x a x x a →+∞→+∞--==++； arctan ()arctan lim lim ()12 x x x x x x a x x a x x a x a x π →-∞→-∞--==++．（4）提示：0a ≤，原式0=；0a >，原式ln(1) lim an n an e a n -→∞++==（不能用'L H ）．注：ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,x x x x x x x a b a x x a x ββαββα><+>无限增大之速渐快； ln (1),ln ,(1),ln()(1),ln ,,,!,n n n n n n n a b a n n a n n ββαββα><+>无限增大之速渐快．例2、求下列极限（0 000,,1,,0∞ ?∞∞-∞∞，）：（1）4301 sin sin lim tan x x x x x x →-+；（2）20(1)ln(1)lim 1 x x x x x e →-++-；（3）01lim(cot )1x x x e →--；（4）21lim[ln(1)]x x x x →∞-+；（5）2arctan lim ()x x x π→+∞；（6）101lim()x kx n x k e n →=∑；（7）2122lim()x x x a →∞+．（1）提示：原式3300 32000tan ~sin 11cos 1 lim lim sin lim 36 x x x x x x x x x x x x →→→--+==．（2）提示：解：原式2200 '2001~(1)ln(1)ln(1)1 lim lim 22x L H x x e x x x x x x x →→--++-+===-．（3）提示：原式2'20001tan 1tan sec 1 lim lim lim (1)tan 22x x x L H x x x x e x e x e x e x x x →→→-----====-．（4）提示：原式1'20ln(1)1 lim 2 t x L H t t t t =→-+==．（5）提示：原式22 2 2 ln arctan arctan 12[(1)]2 lim 1lim lim 111x x x x x x x x x e e e e ππ π π∞ →+∞ →+∞ →+∞ -+- -====（令 2 arctan 1x t π -=）．（6）提示：原式1 1 00 11 ln( ) 11 1lim 1'lim lim 2 n n kx kx n kx k k x x x k e n e n n ke L H n x x e e e e ∞==→→→=-+∑∑ ∑ ====．（7）提示：原式0 ∞=22222ln()2() 'lim lim 21x x x a x x a L H x x e e →∞→∞++==．注1 ：对1n =，不能直接使用L’H 法则，先求0 1lim 1x x x ∞→+∞ =，而0 00 lim 1x x x + →=．

高中数学导数典型例题精讲(详细版)

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='．导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=．【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力．

高考数学 导数及其应用的典型例题

高考数学导数及其应用的典型例题