2020届 神州智达高三诊断性大联考(一) 数学(理)质检卷(解析版)

2020届神州智达高三诊断性大联考（一）数学（理）质检卷

一、单选题

1．已知集合{}{}

*

2,1,0,1,2N 129x

A B x =--=∈<<，，则A B =I （ ）

A ．{}1,0,1,2-

B ．{}1,0,1-

C ．{}1,1,2-

D ．{}1,2

【答案】D

【解析】由题意{}1,2,3B =，再由集合交集的概念可直接得解. 【详解】

{}

{}*N 1291,2,3x B x =∈<<=，

∴{}{}{}2,1,0,1,21,21,32,A B --==I I . 故选：D. 【点睛】

本题考查了指数不等式的求解，考查了集合交集的概念，属于基础题. 2．已知命题p ：复数121i z i

-=

+的虚部是3

2-，命题q ：复数()()21243i i i +-=-，以

下命题真假判断正确的是（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假

C ．p 假q 真

D ．p 假q 假

【答案】A

【解析】由复数的除法法则和虚部的概念可判断命题p ，由复数的乘法运算法则可判断命题q ，即可得解. 【详解】 因为()()()()121121311122

i i i z i i i i ----=

==-++-，所以其虚部为3

2-，所以p 为真命题； 因为()()2

21224243i i i i i i +-=-+-=-，所以q 为真命题.

故选：A. 【点睛】

本题考查了复数的运算和虚部的概念，考查了命题真假性的判断，属于基础题. 3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，前三项的和为26，则4a =（ ） A ．36 B ．48

C ．54

D ．64

【答案】C

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得222226q q ++=，解方程求得3q =即可得解. 【详解】

Q 数列{}n a 为各项均为正数等比数列，12a =，前三项的和为26，

设等比数列{}n a 的公比为q ，

∴222226q q ++=，解得3q =或4q =-（舍），

所以34154a a q ==. 故选：C. 【点睛】

本题考查了利用等比数列的通项公式进行基本量计算，属于基础题.

4．已知0.50.50.70.50.3log 0.2a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．b a c <<

C ．c b a <<

D ．a b c <<

【答案】B

【解析】由对数函数和幂函数的单调性可得1b a c <<<，即可得解. 【详解】

因为0.5y x =在(0,)+∞上是增函数，所以0.50.50.50.30.51<<，即1b a <<， 因为0.7log y x =在(0,)+∞上是减函数，所以0.70.7log 0.2log 0.71c =>= 所以1b a c <<<. 故选：B. 【点睛】

本题考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于基础题.

5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，

1,

2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点

位阳马内的概率为（ ） A ．

1

27π

B ．

427π

C ．

827π

D ．

49π

【答案】C

【解析】由题意知PC 的长等于其外接球的直径，可知2PA =，计算棱锥的体积，球

的体积，根据古典概型即可求解. 【详解】

根据题意，PC 的长等于其外接球的直径，因为222PC PA AB AD =

++，∴

2314PA =++，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以

3

14431223332P ABCD

V V π-??=???==? ???

球，， ∴3

4

83274332P ππ==??

? ???

. 【点睛】

本题主要考查了棱锥的外接球，棱锥的体积，球的体积，古典概型，属于中档题. 6．已知1sin 63πα?

?+= ??

?，则sin 26πα??

-= ???

（ ）

A ．

8

9 B ．89

-

C ．

79

D ．79

-

【答案】C

【解析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式可得2sin 212sin 66ππαα???

?-=-+ ? ????

?，即可

得解. 【详解】

由题意227sin 2sin 2cos 212sin 16233699πππππαααα?????????

?-=-+=+=-+=-= ? ? ? ??????

???????.

故选：C 【点睛】

本题考查了三角函数的以值求值，考查了诱导公式和余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.

7．函数()21

x x

e e

f x x --=-的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】根据函数的性质对比图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】

由()()2121

x x x x

e e e e

f x f x x x -----=

=-=---，∴()f x 为奇函数，排除选项B ； 当14

x =

时，11

440x x e e e e ---=->，210x -<，∴()0f x <，排除选项D ； 当()2,x ∈+∞时，()21

x x

e e

f x x --=-，

则()()()(

)()

()()()

2

2

212230222111x

x x x

x

x

e

e x e e e x e

f x x x x ---+----+'=

=>--+

∴()f x 在()2,x ∈+∞时单调递增，排除选项A. 故选：C. 【点睛】

本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性和利用导数判断函数单调性的应用，属于中档题.

8．执行如图所示的程序框图，若输出的1023

2512

i

S S S -=

=+，则判

断框内可以为（ ）

A ．10?i <

B ．10?i ≤

C ．11?i <

D ．11?i ≤

【答案】A

【解析】根据程序框图，注意变量取值的变化，可得1023

512

S =时10i =，即可得解. 【详解】

第一次运行时，13

122

S -=+=

，2i =； 第二次运行时，127

1224

S --=++=，3i =；

第三次运行时，12315

12228

S ---=+++=，4i =；

第四次运行时，123431

1222216

S ----=++++=，5i =；…，

以此类推，第九次运行时，101

2

3

4

9

1121023

12222212512

S --------=+++++???+==-，10i =，

依题意，此时刚好不满足判断条件，因此判断条件可以为10i <. 故选：A. 【点睛】

本题考查了当型循环结构程序框图的应用，属于基础题. 9．()

5

221x x --的展开式中2x 的系数为（ ） A ．400 B ．120

C ．80

D ．0

【答案】D

【解析】变形已知为(

)

5

2

5521(1)(21)x x x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的

通项55(1)r

r

r C x

--，55C (2)k

k x -，可知()

5

25521(1)(21)x x x x --=-+的通项为

510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.

【详解】 ∵()

5

25521

(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项

展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)

(1)(21)k

k

x x x --+，的通项为

510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为

525344435

5555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.

【点睛】

本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题.

10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（ ）

A ．平面11D C P ⊥平面1C CP

B ．三棱锥1A D DP -的体积为定值

C ．11A

D D P ⊥ D ．DP ⊥平面11D C P

【答案】D

【解析】由面面垂直的判定可判断A ；由11A D DP P D DA V V --=，再利用三棱锥体积公式可判断B ；由1A D ⊥平面11D C P ，再利用线面垂直的性质可判断C ；由反证法可判断D ；即可得解. 【详解】

在正方体中，显然有11D C ⊥平面1C CP ，又11D C ?平面11D C P ， 所以平面11D C P ⊥平面1C CP ，故A 正确；

三棱锥1A D DP -的体积满足11A D DP P D DA V V --=，因为P 到平面1D DA 的距离不变，

1D DA △的面积不变，三棱锥1A D DP 一的体积为定值，故B 正确；

在正方体中，显然有111A D D C ⊥，11A D BC ⊥，所以1A D ⊥平面11D C P ，

因为1D P ?平面11D C P ，所以11A D D P ⊥，故C 正确；

若DP ⊥平面11D C P ，则1DP BC ^，结合1DC BC ⊥可得1BC ⊥平面DCP ，所以1BC CP ⊥，但1BC CP ⊥不是一直成立，故D 不正确.

故选：D. 【点睛】

本题考查了线面、面面关系的判定和性质，考查了三棱锥体积公式的应用，属于中档题. 11．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则

||CD 的最大值为（ ）

A ．2 B

C ．

2

D ．

12

【答案】A

【解析】由圆的面积可得AB =设||||AF a BF b ==，

，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，利用抛物线定义得AF AQ BF BP ==，，根据梯形中位线可知2CD AQ BP a b =+=+，利用均值不等式即可求出最大值. 【详解】

根据题意，2

22AB ππ??= ?

??

，

∴

AB =设||||AF a BF b ==，

，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，

∵2

22

2282244a b a b ab CD ab ++++??==== ???

2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）. 【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，梯形的中位线，均值不等式，属于难题.

12．已知函数()2

ln f x mx x x =++，若存在0(0,)x ∈+∞使得()00f x >，则m 的取值

范围是（ ） A ．1,2??-∞- ???

B ．()0,∞+

C ．()1,-+∞

D ．1,2??

-

+∞ ???

【答案】C

【解析】由题意可得2

ln x x m x -->

在(0,)+∞有解，令()()2ln 0x x

g x x x --=>，求导判断

()g x 的单调性后，求出()g x 的最小值即可得解.

【详解】

Q 存在0(0,)x ∈+∞使得()00f x >，

∴2ln mx x x >--即2

ln x x

m x -->

在(0,)+∞有解， 令()()2ln 0x x g x x x --=>，则()

()243

112ln 2ln 1x x x x x x x g x x x ?

?--++ ?+-??

'==，()10g '=，

当()0,1x ∈时，2ln 10x x +-<，则()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，2ln 10x x +->，则()0g x '>，函数()g x 单调递增；

∴当0(0,)x ∈+∞时，()()11g x g ≥=-，

∴1m >-.

故选：C. 【点睛】

本题考查了利用导数解决能成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题.

二、填空题

13．已知向量a r 与b r 的夹角为60?，1a =v

，a b -=v v ，则a =v

__________.

【答案】2

【解析】由题意2

2

223a b a a b b -=-?+=v v v v v v ，计算出a b ?r r 的值后即可得解.

【详解】

Q 22

223a b a a b b -=-?+=v v v v v v ，

1a =v ，向量a r 与b r 的夹角为60o ，

∴

1

cos60

2 a b a b

b

?==

o

v v v

v v

，21

a=

v，

∴220

b b

--=

v v

，解得2

b=

v

或1

b=-

v

（舍去）.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了利用向量数量积解决向量模的问题，属于基础题.

14．已知实数,x y满足不等式组

20

10

30

y

x y

x y

-≤

?

?

--≤

?

?+-≥

?

，则

y

x

的取值范围为__________．【答案】

1

,2

2

??

??

??

【解析】作出可行域，

y

x

表示(),x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.

【详解】

如图，不等式组

20

10

30

y

x y

x y

-

?

?

--

?

?+-

?

?

?

…

表示的平面区域ABC

V（包括边界），所以y

x

表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()

1,22,1

A B

，，所以1

2

2

OA OB

k k

==

，，故

1

,2

2

y

x

??

∈??

??

. 【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.

15．在ABC

V中，角A B C

，，所对的边分别为a b c

，，，且cos cos

b c

B C

a

+

=+，

8

sin

bc

A

=，则ABC

V的周长的最小值为__________.

【答案】442

+

【解析】由余弦定理化简可得()(

)2

2

2

0b c b c a

++-=，即可得2

22b

c a +=，进而可

得8bc =，再利用基本不等式即可得解. 【详解】

因为cos cos b a B C a +=+，根据余弦定理可得222222

22b c a c b a b c a ac ab

++-+-=+， 整理得(

)2

2

2

2

33

b c bc a b a c b c

+=+-+，因式分解得()()

2

220b c b

c a ++-=，

由0b c +≠可得222b c a +=，即90A =o ，sin 1A =，则8bc =，

所以()

4a b c b c ++++，当且仅当b c =时，取等号，

综上ABC V 的周长的最小值为4+. 故答案为：

4+. 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题. 16．已知双曲线()()()22

22:10,0,02,0x y C a b A a B a a b -=>>，，，点P 为双曲线C 右支上

一点（异于点A ），满足22

2PA PB a +=u u u r u u u r ，则该双曲线离心率e 的取值范围为__________.

【答案】1,2??

? ???

【解析】由题意可知PA PB ⊥，设()P m n ,，可得()()2

20m a a m n ---=，再与方程

222

21m n a b

-=联立，令32

223a ac m a c -=>即可得解. 【详解】

由22

2PA PB a +=u u u r u u u r ，得222PA PB AB +=，故PA PB ⊥.

设()P m n ,，可得(),AP m a n =-u u u r ，()2,PB a m n =--u u u r

， 所以()()220AP PB m a a m n ?=---=u u u r u u u r

①.

又因为点P 在双曲线上，所以22221m n a b -=，整理得2

2221m n b a ??=- ???

②，

将②式代入①式得()()22

2102m b a m a a m ??

-- ?-=??

-，

化简整理得22

222330c m am c a a

-++-=，

此方程的根为1m a =，32

22

3a ac m c -=，

因为点P 是双曲线右支上异于右顶点A 的一点，

所以3223a ac a c ->，得22

32a c

>，即232

e <， 又1e >

，∴1e <<

，

故答案为：? ??

.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列{}n a 满足

1

12n

n n a a a +-=，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ，求证：1

2

n T <. 【答案】（1）1

21

n a n =

-；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意可得111

2n n a a +-=，利用等差数列的通项公式求出1n

a 后即可得解； （2）设()()

11

2121n n n b a a n n +==-+，利用裂项相消法求出n T 后即可得证.

【详解】

（1）因为112n

n n a a a +-=，所以1112n n

a a +-=， 所以数列1n a ??

?

???

是首项为111a =，公差为2的等差数列， 则有()1

12121n

n n a =+-=-， 所以1

21

n a n =

-. （2）证明：设()()11

111212122121n n n b a a n n n n +??==

=- ?-+-+??

，

12n n T b b b =++???+()()11113352121n n =

++???+??-+

11111111111123352121221242

n n n n ????=-+-+???+-=-=- ? ?-+++????， 因为

1

042n >+，所以12

n T <. 综上，1

2

n T <. 【点睛】

本题考查了构造新数列求原数列的通项，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.

18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是边长为2的菱形，AC ⊥平面

11AA B B ，且2AC =，点E 为11A C 的中点.

（1）证明：平面1ACB ⊥平面1B CE ;

（2）若160ABB ∠=?，求直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）

1

4

. 【解析】（1）连接1BA ，交1AB 于点O ，取1B C 中点为F ，连接OF ，EF ，由中位线和平行四边形的性质可得1//BA EF ，再由线面垂直的性质和菱形的性质可得1BA ⊥平面1ACB ，进而可得EF ⊥平面1ACB ，由面面垂直的判定即可得证；

（2）由题意建立空间直角坐标系后，求出各点坐标后，求出平面1B CE 的一个法向量

为n r 和直线BC 方向向量BC uuu r

，利用sin cos ,BC n θ=u u u v v 即可得解.

【详解】

（1）证明：连接1BA ，交1AB 于点O ，取1B C 中点为F ，连接OF ，EF . 因为O ，F 分别为1B A ，1B C 的中点， 所以//OF AC ，且1

2

OF AC =

， 因为11//A C AC ，1AC AC =，且11112

A E AC =， 所以1//OF A E 且1OF A E =，

所以四边形1OFEA 为平行四边形， 所以1//OA EF ，即1//BA EF .

因为AC ⊥平面11AA B B ，1BA ?平面11AA B B ，所以1AC BA ⊥. 因为四边形11AA B B 是菱形，所以11BA AB ⊥. 因为1AB AC A =I ，所以1BA ⊥平面1ACB . 因为1//BA EF ，所以EF ⊥平面1ACB .

因为FE ?平面1B CE ，所以平面1ACB ⊥平面1B CE

.

（2）因为160ABB ∠=?，四边形11AA B B 是边长为2的菱形，

故1ABB △为等边三角形.取1BB 的中点为M ，连接AM ，则1AM BB ⊥.

以A 为原点，AM ，1AA ，AC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系

A xyz -

.

则()0,0,2C ，13,()1,0B ，()0,2,1E ，3,1,0)B -， )

13,1,2CB =

-u u u r ，()

13,1,1B E =-u u u u r ，(3,1,2)BC =u u u r

，

设平面1B CE 的一个法向量为(),,n x y z =r

，

则110,0,n CB n B E ??=???=??u u u v v u u u v v 即320,30.

x y z x y z +-=++=??，令1y =，则)

3,1,2n =r .

设直线BC 与平面1B CE 所成角为θ，

则1

sin cos ,42222

BC n BC n BC n

θ?====??u u u v v

u u u v v u u u v v

， 即直线BC 与平面1B CE 所成角的正弦值为1

4

. 【点睛】

本题考查了面面垂直的证明和利用空间向量求线面角，考查了运算能力，属于中档题. 19．为了调查某公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系，随机抽取30名员工，调查他们的饮食习惯和月收人的关系，并制作了30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表（说明：表中饮食指数不高于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.其中月收入4000元以上员工中饮食指数高于70的有11人.

（1）填表，并判断是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.若有，请说明理由，若没有明理由，并分析原因； 月收入4000元及以下 月收入4000元以上 合计 主食蔬菜 主食肉类 合计

（2）以上面的统计数据为参考，从该公司主食蔬菜的员工中随机抽取3人，设这3人中月收入4000元以上的人数为X ，求X 的分布列与期望.

（3）经调查该公司员工的月收入x （百元）和月饮食支出y （百元）具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：$0.245 3.210y x =+，若一个员工的月收入恰好为这30人的月平均收人，求该人的月饮食支出费用.（结果保留到小数点后三位） 附：参考公式及临界值表：()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b c -=

++++，其中n a b c d =+++.

()20P K k ≥

0.15 0.10

0.05

0.025 0.010

【答案】（1）表格详见解析，有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，期望值为

5

3

；（3）14.603百元. 【解析】（1）由频率分布直方图可得月收入4000元以上的人数为21，即可完成列联表；代入数值计算出2K 后与3.841比较即可得解；

（2）由题意5~3,9X B ??

???

，由二项分布概率公式计算即可得分布列；由二项分布的期望

公式可直接求得期望，即可得解；

（3）由频率分布直方图求出这30人的月平均收入，代入线性回归方程即可得解. 【详解】

（1）根据频率分布直方图，

月收入4000元以上的人数为()300.030.0250.0151021?++?=， 所以2×2列联表如下：

所以2

2

30(811110) 4.471 3.8419211218

K ??-?=≈>???，

故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系.

（2）从主食蔬菜的员工中任选1人，该人月收入4000元以上的概率105189

p =

=. X 可取0，1，2，3，

所以()0

3

03

5464099729P X C ??=== ????? ???，()1

2

1354240199729P X C ??===

?? ???

???，

()22

3

54297293009P X C ??=== ????? ???，()30

3354125399729P X C ??===?? ???

???， 所以X 的分布列为

X

1

2

3

P

64

729

240

729

300

729

125

729

∵5~3,9X B ??

???

，

∴()5

3

E X np ==（人）.

（3）由频率分布直方图得这30人的月平均收入为

0.1250.2350.3450.25550.156546.5?+?+?+?+?=（百元）， 所以$0.24546.5 3.21014.602514.603y =?+=≈（百元）， 故该人的月饮食支出费用为14.603百元. 【点睛】

本题考查了独立性检验的应用和二项分布分布列与期望的求解，考查了线性回归方程的应用，属于中档题.

20．如图，一张坐标纸上已作出圆22(316):E x y ++=及点(3,0)Q ，折叠此纸片，使Q 与圆周上某点Q '重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EQ '的交点为N ，点N 的轨迹为曲线C .

（1）求曲线C 的方程；

（2）若曲线C 与y 轴的负半轴交于点D ，过D 作两条互相垂直的直线分别与曲线C 相交于点P M 、，求证：直线PM 经过一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）2

214

x y +=；

（2）证明详见解析，过定点30,5T ?? ???. 【解析】（1）由题意转化条件得4NE NQ EQ +=>，由椭圆定义即可得解；

（2）设直线:1PD y kx =-，联立方程组得22

2841,1441k k P k k ??

- ?++??，22284,44k k M k k ??-- ?++?

?， 进而可求得直线PM 的直线方程，即可得解. 【详解】

（1）折痕为QQ '的垂直平分线，则NQ NQ ='，由题意知圆E 的半径为4， 所以4NE NQ NE NQ EQ +=+=>'，

所以N 的轨迹是以E Q 、为焦点的椭圆，且2a =

，c =

，

所以2

2

2

1b a c =-=，所以N 的轨迹C 的方程为2

214

x y +=.

（2）由题意知直线PD 、MD 的斜率存在且不为0，点()0,1D -， 设直线PD 的斜率为k ，则:1PD y kx =-.

由22

114

y kx x y =-???+=??，消去y 得()224180k x kx +-=，0>V ， 可得22

2841,1441k k P k k ??

- ?++??

， 用1

k -去替换k ，得22284,44k k M k k ??-- ?++?

?， 所以()()()22

22222222

4148111414885401144PM

k k k k k k k k k k k k k k k

---+--++===++++， 所以直线:PM 2222418454k k k y x k k k --??-=+ ?++??即213

55

k y x k -=+， 所以直线PM 经过定点30,5T ??

???

.

【点睛】

本题考查了与椭圆有关的轨迹问题，考查了直线与椭圆的综合，属于中档题. 21．已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同的零点. （1）求实数a 的取值范围；

（2）若函数()f x 的两个不同的零点为12x x ，，且12x x <，当22x ≥时，证明：

22

12x x ?<. 【答案】（1）(),1∞--；（2）详见解析.

【解析】（1）求导得()f x 在(0,)+∞的最小值为()11f a =+，即可得10+

()0a a f e e =>，并通过构造新函数求导证明()0a f e ->即可得解；

（2）由题意得()122222222

3ln ln 2f x f x x x x ??-=--+ ???

，设2t x =，令

()()22

3ln ln 22h t t t t t =--

+≥，求导后可得()0h t >即()1

222f x f x ??> ???

，由函数()f x 在()0,1上的单调性即可得证.

【详解】

（1）由题意得ln 0x x a -+=在(0,)+∞上有两个不同的实根， 而()1

1f x x

'=-

， 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 在(1,)+∞上单调递增； 所以()f x 在(0,)+∞的最小值为()11f a =+. 所以10+

a

f e

e

=>，

1a e ->，()2a a

f e e a --=+，

令t a =-，()()21t g t e t t =->，则()20t

g t e '=->，

所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()()120g t g e >=->， 所以()

20a a f e e a --=+>

所以当1a <-时，ln 0x x a -+=在()0,1和(1,)+∞上各有一个实根， 故实数a 的取值范围为(),1∞--.

（2）证明：由（1）可得101x <<，21>x ，()()120f x f x ==， 而()()111222222222

ln ln f x f x x a a x x x ????-=-+--+ ? ?????

()2222222222222

ln ln 3ln ln 2x x a a x x x x x ??=-+--+=--+ ???

，

设2t x =，令()()223ln ln 22h t t t t t =--+≥，于是()()()2

3321341t t h t t t t -+'=-+=， 由于2t ≥，故()0h t '≥，即()h t 在[)2,+∞上单调递增， ∴()()3

22ln 202

h t h ≥=

->. ∴当22x ≥时，()12

2

2

0f x f x ??-> ???，即()1222f x f x ??> ???

， 又()f x 在()0,1上递减，而101x <<，22

2

01x <<， 所以122

2x x <

，即2

122x x ?<. 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查了利用导数证明不等式，考查了推理能力和转化化归思想，属于难题.

22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线2

2:14

x C y +=，

将C 的横坐标变为原来的12，纵坐标不变得到曲线1C ，再将曲线1C 向右平移一个单位得到曲线2C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos sin 3ρθθ-=. （1）求曲线2C 的极坐标方程；

（2）若射线22π

πθαα??=-<< ???与直线l 和曲线2C 分别交于A B ，两点，求OB OA

的最

大值.

【答案】（1）2cos ρθ=；（2）1.

【解析】（1）由题意可得曲线2C 的直角坐标方程为()2

211x y -+=，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得解； （2

）由题意联立方程组可得OA =

、2cos OB α=，代入并化

简得

21cos 2332OB OA

πα?

?=

++ ??

?，利用三角函数的性质即可得解. 【详解】

（1）由平移变换和伸缩变换得曲线2C 的直角坐标方程为()2

211x y -+=，

由cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2

）由cos sin 3ρθθθα?=?

?

=??

得OA =，

由2cos ρθ

θα=??=?

得2cos OB α=，

所以2221cos cos cos 23332OB

OA

παααα?

?=

=

=++ ??

?， 由2

2

π

π

α-

<<

可得242,333π

αππ??+

∈- ???， 所以当且仅当6

π

α=-时，

OB OA

取得最大值1.

【点睛】

本题考查了函数图象的变换与直角坐标和极坐标的转化，考查了极坐标的应用，属于中档题.

23．已知函数()4f x x x =-+. （1）解关于x 的不等式()12f x <；

（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+

1(49R )f x t m t t ?? +???

≥--∈恒成立，求实数m 的

取值范围.

【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.

【解析】（1）由题意()24,4

4,0442,0x x f x x x x -≥??

=≤

，分类讨论即可得解；

（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ??

?? ??????

?--，

利用恒成立问题的解决办法即可得解. 【详解】

（1）由题意()24,4

44,0442,0x x f x x x x x x -≥??

=-+=≤

，

则不等式()12f x <可转化为