14等差与等比数列综合
江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合
填空题
1 ．数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,
则{}n a 的通项公式是______.
【答案】2
2n a n n =-+
2 ．已知数列{}n a 满足143a =,()*
11226n n a n N a +-=∈+,则11n
i i
a =∑=______. 【答案】232
4
n n ?--
3 ．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,
若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3
4 ．设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____.
【答案】14
5 ．已知数列
}{n
a 满足1
22n n a
qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，
则1a = ．
【答案】2-或
126
6 ．观察下列等式:
31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-1
4×2
3,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *
, 31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×1
2
n =______. 【答案】()n
n 211
1?+-
7 ．已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如
下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在
n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____.
【答案】1951 8 ．若数列
{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =??
?时,数列{}n b 也是等比数列;类比上
述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.
【答案】
n
c c c n
+++ 21
9 ．已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比
数列,则所加的这个数为___________. 【答案】7-
10．过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的
切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______.
【答案】()
e n n ，
11．已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<
1
125
的最小整数n 是______. 【答案】7
解答题
12．数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S .
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;
(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,???,n d ,???,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.
【答案】
13．设等差数列}{n a 的公差0≠d
,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a =
(1)求数列}{n b 的公比q ;
(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;
(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数
r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.
【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意
?????+=+=d a aq d a aq 6242 即?????=-=-d
a aq d
a aq 624
2 1=q 不合题意,故3
11142=--q q ,解得22=q 2±=∴q
(2)由m n b a =得
1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2
a d =
∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2
112
)1(1+-±=+m m n
*
1N n ∈+ 0)
(1
>±∴-m 122
1-=∴+m n m 为奇数，且
(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:12
2
1-=+m n m 为奇数，且
令)(12*
N k k m ∈-=,则11122)2(---?=?=k k m a a b
a c n n 12-=∴
若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则
???+?++?=+?+=---)
2()2()2(221
11r a p a q a r
p q r p q 1
1
2
2
2--+=∴r p q ,又)""(2
2
22
2
2
2
1
1
===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p
又r p ≠ ,2
1
1
2
2
2
r p r p +-->+∴
又x
y 2=在R 上增,2r p q +>
∴.与题设2
r
p q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意
数学附加题
14．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S , 且1517a a +=.
(1)若
{}n a 为等差数列, 且856S =.
①求该等差数列的公差d ;
②设数列{}n b 满足3n n n b a =?,则当n 为何值时,n b 最大?请说明理由;
(2)若
{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列;②2416a a =;③对任意的正整数k ,存在自然数m ,使得
2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.
【答案】解: (1)①由题意,得
11241782856
a d a d +=??
+=? 解得1d =-4分
②由①知
1212a =
,所以232n a n =-,则23
33()
2n n n n b a n =?=?-
因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=?--?-2123
3[3()()]23[10]22n n n n n =?---=??-
所以
1110
b b =,且当10n ≤时,
{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,
故当10n =或11n =时,
n
b 最大
(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =??=?或1516
1a a =??=?
从而1
2
n n a -=或
1
(2)
n n a -=-或1116()2n n a -=?或
1
1
16()2n n a -=?-. 又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,
所以2111(1)(1)(1)
2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m k
q q -=+ (*)
当1
2n n a -=时, (*)式不成立; 当
1
(2)n n a -=-时,解得1m k =+;
当1
1
16()2n n a -=?时, (*)式不成立;
当
1
1
16()2n n a -=?-时, (*)式不成立. 综上所述,满足条件的
1
(2)n n a -=-
15．已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.
(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.
【答案】解:(1)由题得
225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以
21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=
(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13
b q
=
,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +?+=+=. 设1133a b m
a b n
+=??
+=?,*,m n N ∈,64mn =,
则3553d m
q d q n ?
-+=???++=?
,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.
解得d =(舍去负根).
35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2
(10)
m n +-取最大
值.*,m n N ∈,64mn =,
∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2
(10)m n +-取最大值.
从而最大的d =
所以,
最大的3a =
16．已知数列*
122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足
(1)若{}n a 是等差数列,且345,{}n b a a =求的值及的通项公式; (2)若{}n a 的等比数列,求{}n b 的前n 项和.n S
【答案】解 (1)因为{}n a 是等差数列,1d a =-,1(1)n a n a =+-,
[12(1)][14(1)]45a a +-+-=,解得3a =或7
4
a -=(舍去), 21n a n =-
(2)因为{}n a 是等比数列,q a =,1n n a a -=,2n n b a = 当1a =时,1n b =,n S n =;
当1a ≠时, 222
(1)
1n n a a S a
-=- 17．若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列;数列{}n b 的前n 项和为
3n
n S t =-. (1)求数列
{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2)若数列
{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得
1n
n c b a +=, 并求数列
{}n c 的前n 项和n T ;
(3)设数列
{}n d 满足n n n d a b =?, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同
时成立(其中2≥k , *
∈N k ), 试求实数的取值范围.
【答案】解: (1)因为
{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-
而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=?,
又113b S t ==-,所以1
3,
123,2n n t n b n --=?=??≥?
(2)证明:因为
{}n b 是等比数列,所以113232t --=?=,即1t =,所以612n a n =-
对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于111
23636(32)12n n n n b --+=?=?=?+-, 令1
*
3
2n n
c N -=+∈,则
11
6(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立
数列{}n c 的前n 项和
1311
2321322n n n T n n -=+=?+-- (3)易得6(3)(12),1
4(2)3,2n n t t n d n t n --=?=?
-≥?,
由于当2n ≥时, 1
14(12)3
4(2)3n n
n n
d d n t n t ++-=+---3
8[(2)]32n
n t =--?,所以
①若
3222t -
<,即
7
4t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得 12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,5975977
444t ---+≤≤<
,
②若
32232t ≤-
<,即79
4
4t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即2
3
4(22)34(23)3t t -=-,解得
7
4t =
③若
321(,3)2m t m m N m ≤-
<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,
则当2n m ≤≤时,
{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,
则由题意,得1m m d d +=,即1
4(2)3
4(21)3
m
m t m t m +-=--,解得
23
4m t +=
综上所述,59759744t ---+≤≤23
4m t +=(,2)m N m ∈≥ 18．设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++???+∈N ,其中012,,,,k c c c c ???为非零常数,
数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,对于任意的正整数n ,a n +S n =()k f n . (1)若k =0,求证:数列{a n }是等比数列;
(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列.
【答案】【证】(1)若0k =,则()k f n 即0()f n 为常数,不妨设0()f n c =(c 为常数).
因为()n n k a S f n +=恒成立,所以11a S c +=,即122c a ==. 而且当2n ≥时,2n n a S +=, ① 112n n a S --+=, ②
①-②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥.
若a n =0,则1=0n a -,,a 1=0,与已知矛盾,所以*0()n a n ≠∈N . 故数列{a n }是首项为1,公比为12
的等比数列.
【解】(2)(i) 若k =0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k =1,设1()f n bn c =+(b ,c 为常数), 当2n ≥时,n n a S bn c +=+, ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+, ④
③-④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥.要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有n a b d =-(常数),
而a 1=1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n =1()
*n ∈N ,
故当k =1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n =1()
*n ∈N ,此时1()1f n n =+. (iii) 若k =2,设22()f n an bn c =++(0a ≠,a ,b ,c 是常数), 当2n ≥时,2n n a S an bn c +=++, ⑤
211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+, ⑥ ⑤-⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥, 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有 2n a an b a d =+--,且d =2a ,
考虑到a 1=1,所以1(1)2221n a n a an a =+-?=-+()
*n ∈N .
故当k =2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为221n a an a =-+()
*n ∈N ,
此时22()(1)12f n an a n a =+++-(a 为非零常数). (iv) 当3k ≥时,若数列{a n }能成等差数列,则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2,故数列{a n }不能成等差数列.
综上得,当且仅当k =1或2时,数列{a n }能成等差数列.
19．已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .
⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132n
S n
=,求n 的值; ⑵若数列{
+}n
n
S a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a
.
【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,
所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （
, 所以1352121,,,
,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且
2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,
又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n
-=+++++
2(1)
2[4]8462(23)2
n n n n n n n n -=?==+
+++, 所以
22320132n
S n n
==+,所以1005n = ⑵因为
1(1)n n
n
S a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②
②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为1
1q a
=+
,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,
所以
11
n n a a q
+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,
整理得()()001
11()n a q a a q q q
+-=+-,
此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;
1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q
+=???+=+??））时成立,所以1
1q a =+.
由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1
=1+q a
20．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ,数列
{}2n
a 的前n 项的和为n
T ,且
()
2
*234,n n S T n N -+=∈.
⑴证明数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;
⑵若20n n S T λ-<对*
n N ∈恒成立,求λ的最小值;
⑶若12,2,2x y
n n n a a a ++成等差数列,求正整数,x y 的值.
【答案】(1)因为2(2)34n n S T -+=,其中n S 是数列}{n a 的前n 项和,n T 是数列}{2
n a 的前n 项和,且
0>n a ,
当1=n 时,由2211(2)34a a -+=,解得11a =, 当2n =时,由2222(12)3(1)4a a +-++=,解得21
2
a =
; 4分 由43)2(2=+-n n T S ,知43)2(12
1=+-++n n T S ,两式相减得
03)4)((2
111=+-+-+++n n n n n a S S S S ,即03)4(11=+-+++n n n a S S ,
亦即221=-+n n S S ,从而122,(2)n n S S n --=≥,再次相减得
11
,(2)2n n a a n +=≥,又122
1a a =,所以11,(1)2n n a n a +=≥
所以数列}{n a 是首项为1,公比为1
2
的等比数列, 其通项公式为1
21-=
n n a *n ∈N
(2)由(1)可得??????????? ??-=-
??? ??-=n n
n S 21122
11211,11414113414n
n
n T ??- ???????==-?? ???????-,
若02<-n n T S λ对*
N n ∈恒成立,
只需126321121132
+-=??
?
??+?
?? ??-=>n n n
n
n
T S
λ对*
N n ∈恒成立,
因为31
26
3<+-
n
对*N n ∈恒成立,所以3λ≥,即λ的最小值为3; (3)若212,2,++n y
n x
n a a a 成等差数列,其中y x ,为正整数,则112
2,22,21
+-n y
n x n 成等差数列,
整理得2
2
12-+=y x
,
当2>y 时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的y x ,值为2,1==y x
21．已知数列{}n a 中,1
2a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .
(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;
(2)设n n n a b -?=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.
(3)设λλ(2)1(41n a
n n n c ?-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有
n n c c >+1成立.
【答案】解:(1)由已知,
()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ),
即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+
(2) ∵1n a n =+,∴n n n b 2
1)1(?
+= 212311111
23(1) (1)
222211111
23(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=?+?++?++?=?+?+???+?++
23111111(1)(2)1(1)22222
n n n T n +-=++++-+?得：
∴ n T n n 23
3+-=
代入不等式得:012
3
2233<-+>+-n n n n ，即
设02
2
)()1(,123)(1
<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵04
1
)3(,041)2(,01)1(<-=>=
>=f f f , ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，, 所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且
(3)
1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,
即1211
144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立,
11343(1)20n n n λ-+∴?-->恒成立,∴11(1)2n n λ---<恒成立,
(i)当n 为奇数时,即1
2
n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,1λ∴<.
(ii)当n 为偶数时,即1
2n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-, 2λ∴>-.即
21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-
综上所述:存在1λ=-,使得对任意的n *
∈N ,都有1n n c c +>
22．已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有
24
1
21
n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;
(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
23．设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记c
n nS b n n
+=
2
,*
N n ∈,其中c 为实数.
(1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*
,N n k ∈);
(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .
【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证
能力.
证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2
)
1(-+
= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 2
1-+==
∵421b b b ，，成等比数列 ∴412
2b b b = ∴)2
3
()21(2d a a d a +=+
∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 2
1
= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222
)
1(2)1(=-+=-+=
∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 2
22=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入c
n nS b n
n +=
2得: 11)1(d n b -+c
n nS n +=
2
∴)()21()21(1112
1131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立
∴???
??
?
???
=-==+--=-0)(0
0210211
11111b d c cd d a d b d d
由①式得:d d 2
1
1=
∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c
法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,2
2)1(a
d n b n +-=.
当421b b b ，，成等比数列,412
2b b b =,
即:??? ?
?+=??? ??+2322
d a a d a ,得:ad d 22
=,又0≠d ,故a d 2=.
由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 2
22=. 故:k nk S n S 2=(*
,N n k ∈).
(2)c
n a
d n n c
n nS b n
n ++-=+=
2
2
2
22)1(,
c n a
d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2
2
22)1(22)1(22)1( c n a d n c
a d n ++--+-=2
22)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:022)1(2
=++-c
n a
d n c
,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .
经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.
24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设?
??
???n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】解:(Ⅰ)依题意得
????
?
+=+=?++?+)
12()3(50254522331121
11d a a d a d a d a 解得??
?==2
31d a ,
1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，
(Ⅱ)
13-=n n
n
a b ,113)12(3--?+=?=n n n n n a b 123)12(37353-?+++?+?+=n n n T
n n n n n T 3)12(3)12(3735333132?++?-++?+?+?=
-
n n n n T 3)12(3232323212+-?++?+?+=--
n
n
n n n 323)12(3
1)
31(3231?-=+---?+=- ∴n
n n T 3?=
25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .
(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足23132a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项
公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ?=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设等比数列
{}n a 的首项为1a ,公比为q ,
依题意,有???+=+=+).2(2,
32342231a a a a a a 即???+=+=+)
2(.42)()1(,3)2(2
131121q a q q a q a q a
由 )1(得 0232
=+-q q ,解得1=q 或2=q
.
当1=q 时,不合题意舍;
当2=q
时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=?=-
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则 方法1: 211(1)
[(1)][]2(1)2
n n a n d a n d n n ++-+
=+,得 222222111331
()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则2
2
12211
2,232,23
10,22d a d d a a d d ?=???-=??
?-+=??
解得12,2,d a =??
=?或1
2,2.d a =-??=-?此时2n a n =,或2n a n =-.
故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ?=+.其中2n a n =, 或2n a n =-
方法2:令1n =,214a =,得12a =±,
令2n =,得2
212240a a a +?-=,
①当12a =时,得24a =或26a =-,
若24a =,则2d =,2n a n =,(1)n S n n =+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ?=+; 若26a =-,则8d =-,314a =-,318S =-,不满足23323(31)a S ?=??+. ②当12a =-时,得24a =-或26a =,
若24a =-,则2d =-,2n a n =-,(1)n S n n =-+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ?=+; 若26a =,则8d =,314a =,318S =,不满足23323(31)a S ?=??+.
综上所述,存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ?=+.其中2n a n =,或2n a n =-
26．设数列
{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n a S An Bn +=++(0A ≠).
(1)若132a =,29
4
a =,求证数列{}n a n -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)已知数列{}n a 是等差数列,求1
B A
-的值.
【答案】
27．已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:2
2
1
n
n n n n b a b a a ++=
+,*N n ∈,
(1)设n n n a b b +=+11
,*N n ∈,求证:数列2
n n b a ????
??
?? ?
??
????
是等差数列; (2)设n
n
n a b b ?
=
+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值. 【答案】解:(1)∵n n n a b b +
=+11
,∴1n a +=
∴
11
n n b a ++=
∴ ()2
22
2111*n n n n n n b b b n N a a a ++??????-=-=∈ ? ? ???????
.
∴数列2
n n b a ??????
?? ???????
是以1 为公差的等差数列.
(2)∵00n n a >b >，,∴
()
()2
2
222
n n n n n n a b a b ∴11n ≤﹡) 设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q 若1,q > 则2 12= a a ≤ 1log q n >时