千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第75炼-几何问题的转换

第75炼 几何问题的转换

一、基础知识：

在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。

1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系

2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：

① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k

② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定

（2）点与圆的位置关系

① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大

② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角

（再转为向量：0CA CB ?<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ?=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ?>） （3）三点共线问题

① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线

（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：

()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ?=；a b ⊥12120x x y y ?+=

（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系

（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）

3、常见几何图形问题的转化

（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++??

???

（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零

（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥

I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB AP AQ AC

AB

???=?

=

（4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点

DP DA DB ?=+

（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上

（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：AC AB AC AB ?=?，AC BC AC BC ?=-?

C

A

二、典型例题：

例1：如图：,A B 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是

,AF FB ,AF FB 的等比中项

（1）求椭圆C 的方程

（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。证明：

,,Q P B 三点共线

解：（1）依题意可得：()()(),0,,0,,0A a B a F c -

,AF c a BF a c ∴=+=-

2是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=

3是,AF FB 的等比中项 ()()2

222AF FB a c a c a c b ∴

=?=+-=-=

23b ∴=

椭圆方程为：22

143

x y += （2）由（1）可得：()()()2,0,2,0,1,0A B F -

设():2AP y k x =+，设()11,P x y ，联立直线与椭圆方程可得：

()

()22

22223412

4316161202x y k x k x k y k x ?+=??+++-=?

=+?? 2211221612684343

A k k x x x k k --∴=?=++

()11212243k

y k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ??-∴ ?++??

另一方面，因为FQ AP ⊥ 1

FQ k k

∴=-

()1:1FQ y x k ∴=--，联立方程：()1132,2y x Q k k x ?=--?

???-? ????=-?

()2,0B

()303224BQ

k k k -

∴==--- 2222

1201234368164243BP

k

k k k k k k k -

-+===---+ BQ BP k k ∴=

,,B Q P ∴三点共线

例2：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若

△OMF 的面积为

2

1

，且椭圆的离心率为22．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）111

222

OMF

S

OM OF bc =

??==

::2

c e a b c a =

=?= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+= ∴椭圆方程为：2

212

x y +=

（2）设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F

1MF k ∴=-

F 为△PQM 的垂心

MF PQ ∴⊥ 11PQ MF

k k ∴=-

=

设:PQ y x m =+

由F 为△PQM 的垂心可得：MP FQ ⊥

()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=- ()()1212110MP FQ x x y y ∴?=-+-= ①

因为,P Q 在直线y x m =+上

1

122y x m

y x m

=+?∴?=+?，代入①可得： ()()()1212110x x x m x m -++-+=

即0)1)((22

2121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程：

22

22

y x m x y =+??+=? 得022432

2=-++m mx x ． ()22216122203m m m ?=-->?<

1243m

x x ∴+=-

,322221-=m x x ．代入②可得： ()22

22421033m m m m m -???+-?-+-= ???

解得：4

3

m =-

或1m = 当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去 当34

-

=m 时，所求直线l 存在，直线l 的方程为3

4-=x y 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）

例3：如图，椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的一个焦点是

()1,0F ，O 为坐标原点.

（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，

求

椭圆的方程；

（2）设过点F 且不垂直x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点，若直线l 绕点F 任意转动，恒有

222

OA OB AB +<, 求a 的取值范围.

解：（1）由图可得：10,3M b ??

???

由正三角形性质可得：,6

3

MF MFO k π

∠=

=-

1

3013

MF

b k -∴==-

-

b ∴= 2224a b

c ∴=+=

∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）设():1l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y

222

OA OB AB +<

2

2

2

cos 02OA OB AB

AOB OA OB

+-∴∠=

<

AOB ∴∠为钝角

12120OA OB x x y y ∴?=+<

联立直线与椭圆方程：()()2222222

222222

11y k x b x a k x a b b x a y a b

=-???+-=?

+=??，整理可得： ()22

2222222220a k

b x a k x a k a b +-+-=

222222

1212222222

2,a k a k a b x x x x a k b a k b

-∴+==++ ()()()22221212121211y y k x x k x x k x x k ∴=--=-++

222222222222

22

2222222

2a k a b a k k b a b k k k k a k b a k b a --=?-?+=++=

222222222

1212222

0a k a b k b a b k x x y y a k b

-+-∴+=<+ 2222222220a k a b k b a b k -+-<恒成立

即()

2222222k a b a b a b +-<恒成立

22220a b a b ∴+-< 221b a =-

()2222110a a a ∴---<

解得：12

a +>

a ∴

的取值范围是?

+∞???

例4：设,A B 分别为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，

且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 （1）求椭圆的方程；

（2）设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点， 若

直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点,M N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内 解：（1）依题意可得2a c =，且到 右焦点距离的最小值为1a c -= 可解得：2,1a c ==

b ∴=

∴椭圆方程为22

143

x y +=

（2）思路：若要证B 在以MN 为直径的圆内，只需证明MBN ∠为钝角，即MBP ∠为锐角，从而只需证明0BM BP ?>，因为,A B 坐标可求，所以只要设出AM 直线（斜率为k ） ，联立方程利用韦达定理即可用k 表示出M 的坐标，从而BM BP ?可用1k 表示。即可判断

BM BP ?的符号，进而完成证明

解：由（1）可得()()2,0,2,0A B -，设直线,AM BN 的斜率分别为k ，()11,M x y ，则

():2AM y k x =+ 联立AM 与椭圆方程可得：

()2

2

23412

y k x x y =+???+=??，消去y 可得：()2222

431616120k x k x k +++-= 22112

21612684343

A k k x x x k k --∴=?=++

11212243k

y kx k k ∴=+=+，即2226812,4343k k M k k ??- ?++??

设()04,P y ，因为P 在直线AM 上，所以()0426y k k =+=，即()4,6P k

()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ??

-∴== ?++??

22

22232124060434343

k k k BP BM k k k k -∴?=+?=>+++

MBP ∴∠为锐角， M B N ∴∠为钝角 M ∴在以MN 为直径的圆内

例5：如图所示，已知过抛物线2

4x y =的焦点F 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与椭圆

22

33142

y x +=的交点为,C D ，是否存在直线l 使得AF CF BF DF ?=?？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由

解：依题意可知抛物线焦点()0,1F ，设:1l y kx =+

AF CF BF DF ?=? AF DF BF

CF

∴=，不妨设

AF DF BF

CF

λ=

=

则,AF FB DF FC λλ==

设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y

()()1122,1,,1AF x y FB x y ∴=--=- ()()3344,1,,1CF x y FD x y =--=-

12

34x x x x λλ-=?∴?-=? 考虑联立直线与抛物线方程：22

14404y kx x kx x y

=+??--=?=? ()1222

122144

x x x k x x x λλ+=-=-??∴?=-=-?? ，消去2x 可得：()2214k λ

λ-=-- ①

联立直线与椭圆方程：()2

222

1

6314634

y kx x kx x y =+??-+=?

+=?，整理可得：

()2

236610k

x kx ++-=

()34422344

26136136k x x x k x x x k λλ?

+=-=-??+∴??=-=-

?+?

()

2

2

2

13636

k k λλ

-∴

=--+ ② 由①②可得：

22

236436

k k k -=-+，解得：2

11k k =?=±

所以存在满足条件的直线，其方程为：1y x =±+

例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220x py p =>的准线方程为1

2

y =-，过点()4,0M 作抛物线的切线MA ，切点为A （异于点O ），直线l 过点M 与抛物线交于两点,P Q ，与直线OA 交于点N （1）求抛物线的方程 （2）试问

MN MN MP

MQ

+

的值是否为定值？若是，求出定值；若不

是，请说明理由

解：（1）由准线方程可得：1

122

p p -

=-?= ∴抛物线方程：22x y =

（2）设切点()00,A x y ，抛物线为2

12

y x =

'y x ∴= ∴ 切线斜率为0k x =

∴ 切线方程为：()000y y x x x -=-，代入()4,0M 及20012

y x =

可得：()2

000142

x x x -

=-，解得：00x =（舍）或08x =

()8,32A ∴ :4OA y x =

设:4PQ x my =+

,,,M P N Q 共线且M 在x 轴上

11P Q N N N N

P Q P Q P Q y y MN MN y y y y MP

MQ

y y y y y y ??

+∴

+

=

+=+=? ? ???

联立PQ 和抛物线方程：()22

2424

x y my y x my ?=?+=?=+?，整理可得：

()2282160m y m y +-+= 22

2816

,P Q P Q

m y y y y m m -∴+=

?= 再联立,OA PQ 直线方程：416

4

14N y x y x my m =??=

?

=+-? 22

281621614P Q N P Q m y y MN MN m y MP MQ y y m

m -+∴+=?=?=- 例7：在ABC 中，,A B

的坐标分别是(

))

,，点G 是ABC 的重心，y 轴上

一点M 满足GM ∥AB ，且MC MB = （1）求ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程

（2）直线:l y kx m =+与轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使得四边形

OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围

解：（1）设(),C x y 由G 是ABC 的重心可得：

,33x y G ?? ??? 由y 轴上一点M 满足平行关系，可得0,3y M ?? ???

由MC MB =

=

化简可得：()22

1026

x y y +=≠

C ∴的轨迹E 的方程为：()22

1026

x y y +

=≠ （2）

四边形OPRQ 为平行四边形

OR OP OQ ∴=+

设()()1122,,,P x y Q x y ()1212,R x x y y ∴++

R 在椭圆上

()()2

2

121236x x y y ∴+++=

()()2

222

1

122121233626x

y x y x x y y +++++= ①

因为,P Q 在椭圆上，所以22

1122

2236

36

x y x y ?+=??+=??，代入①可得： 121212126212633x x y y x x y y ++=?+=- ②

联立方程可得：

()222

22

326036

y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 212122

226

,33

km m x x x x k k -∴+=-=++ ()()()22

2

2

121212122363

m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+

代入②可得：

2222222

636332333

m m k m k k k --?+=-?=+++ ()2

223260k

x kmx m +++-=有两不等实根可得：

()()222244360k m k m ?=-+->，即2236180m k -++>，代入2223k m =- ()22236231800m m m ∴-+-+>?>

另一方面：22

230m k -=≥

2

322m m ∴≥

?≥

或2

m ≤-

6,,m ???

∴∈-∞+∞ ??????

例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，直线l 过点()()4,0,0,2A B ，

且与椭圆C 相切于点P （1）求椭圆C 的方程

（2）是否存在过点()4,0A 的直线m 与椭圆交于不同的两点,M N ，使得

2

3635AP AM

AN =?？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由

解（1）1

2

c e a =

= ::2a b c ∴= ∴椭圆方程化为：22

222221341243x y x y c c c

+=?+=

l 过()()4,0,0,2A B

∴设直线1

:

12422

x y l y x +=?=-+ 联立直线与椭圆方程：22234121

2

2

x y c y x ?+=??=-+??消去y 可得：2

221342122x x c ??

+-+= ??? 整理可得：2

2

2430x x c -+-=

l 与椭圆相切于P

()2444301c c ∴?=--=?=

∴椭圆方程为：22143x y +=，且可解得31,2P ??

???

（2）思路：设直线m 为()4y k x =-，()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得：31,2P ??

???

，再由()4,0A 可知2

45

4

AP =

，若要求得k （或证明不存在满足条件的k ），则可通过等式2

3635AP AM AN =?列出关于k 的方程。对于AM AN ?，尽管可以用两点间距离公

式表示出,AM AN ，但运算较为复杂。观察图形特点可知,,A M N 共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为,AM AN 同向，所以AM AN AM AN ?=?。写出

,AM AN 的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m 与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即

可得到关于k 的方程，求解即可

解：由题意可知直线m 斜率存在，所以设直线()()()1122:4,,,,m y k x M x y N x y =- 由（1）可得：31,2P ?? ???

()2

2

2

345

14024AP ??∴=-+-=

???

,,A M N 共线且,AM AN 同向 AM AN AM AN ∴?=?

()()11224,,4,AM x y AN x y =-=-

()()()121212121244416AM AN x x y y x x y y x x ∴?=--+=+-++

联立直线m 与椭圆方程：

()

22

3412

4x y y k x ?+=??

=-??消去y 并整理可得：()2222433264120k x k x k +-+-= 22121222326412,4343k k x x x x k k -∴+==++

()()2

2

12122364443

k y y k x x k ∴?=--=+

()2222

22223616412363241643434343

k k k k AM AN k k k k +-∴?=+-?+=

++++ 2

3635AP AM AN =?，代入2

45

4AP =，()2236143

k AM AN k +?=+可得： ()2236145

3635443

k k +?=?

+

可解得：2

184

k k =

?=±，另一方面， 若方程(

)

2

222

433264120k x k x k +-+-=有两不等实根 则(

)()()2

2223244364120k

k k ?=-+->

解得:11

22

k -

<< 4k ∴=±符合题意

∴直线m 的方程为：)4y x =-，即：

4y x =

-4

y x =-+例9：设椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A

与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴与点Q ，且12220F F F Q += （1）求椭圆C 的离心率

（2）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程 （3）在（2）的条件下，过右焦点

2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点

(),0P m 使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱

形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由

解：（1）依题意设()()()()1200,,,0,,0,,0A b F c F c Q x -

()()12202,0,,0F F c F Q x c ∴==-

12220F F F Q +=

00403c x c x c ∴+-=?=-

()3,0Q c ∴- 2,3AQ AF b b

k k c c

∴=

=- 由2AQ AF ⊥可得： 2

2

222133AQ AF b k k b c c

?=-=-?=

2222234a c c a c ∴-=?=

12

e ∴=

（2）由（1）可得：::2:a b c =

2AQ AF ⊥

2,,A Q F ∴的外接圆的直径为2QF ，半径设为r

()()23,0,,0Q c F c ∴- 21

22

r QF c ∴=

= ，圆心(),0c - 由圆与直线相切可得：32342c d c c c --==?+=

解得：1c =

2,a b ∴==

∴ 椭圆方程为22

143

x y +

= （3）由（2）得()()121,0,1,0F F -：设直线():1l y k x =- 设()()1122,,,M x y N x y ，若,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形 则P 为MN 垂直平分线上的点

()()22

112222

121222

2234123403412

x y x x y y x y ?+=??-+-=?+=?? ()()()()12121212340x x x x y y y y ∴+-++-=

设,M N 中点()00,x y

00033404x x ky y k

∴+=?=-

MN ∴的中垂线方程为：()001

y y x x k

-=-

-，即000x ky ky x +--= 代入(),0P m 可得：12

0001048

x x m ky x m x +--=?==

联立方程：()

()22

22223412

43841201x y k x k x k y k x ?+=??+-+-=?

=-?? 2

122843

k x x k ∴+=+

222

110,34344k m k k ??

∴==∈ ?+??

+

所以存在满足题意的P ，且m 的取值范围是10,4?

? ??

?

例10：已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且5

4

QF PQ = （1）求抛物线C 的方程

（2）过F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 垂直平分线'

l 与C 相交于,M N 两点，且,,,A M B N 四点在同一个圆上，求l 的方程 解：（1）设()0,4Q x ，可的2

00842px x p =?=

8,4Q p ??∴ ???

()

0,4P 8

PQ p ∴= 0822p p QF x p =+

=+且5

4

QF PQ = 858

24p p p

∴

+=?解得2p = ∴抛物线2:4C y x =

（2）由（1）可得()1,0F 可设直线:1l x my =+

联立方程2244401

y x

y my x my ?=?--=?

=+?

设()()1122,,,A x y B x y ，则有12124,4y y m y y +==-

()21212242

x x m y y m ∴+=++=+

AB ∴的中点()221,2D m m +

且()21241AB y m =

-=+

由直线:1l x my =+可得'

l 的斜率为m -

设()(

)'2

:221l y m m x m ??-=--+?

?

整理可得：21

23x y m m

=-

++

与2

4y x =联立消去x 可得：()2

24

4230y y m m

+

-+= 设()()3344,,,M x y N x y

()234344

,423y y y y m m ∴+=-

=-+ ()223434214

4646x x y y m m m m ∴+=-+++=++

MN ∴的中点222

223,E m m

m ??++- ???

(

22

41m MN m

+=

，因为,,,A M B N 共圆，

所以2

2

2

2

DE AD r ME +==

2

22

1144DE AB MN ?+

=

()()()

2

2222

2

224

4121222241m m m m m m m ++????

?+++++=

? ?????

整理后可得：2

101m m -=?=±

l ∴的方程为：10x y --=或10x y +-=