2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届天津市红桥区高三下学期高考第一次模拟考试数学试

题

一、单选题

1．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =I （ ）

A ．{}1|0x x <<

B ．{}|01x x <≤

C ．{}|1x x ≥

D ．{}|0x x >

【答案】A

【解析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ?. 【详解】

集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}

1U C B x x =<

所以{}{}{}

0101U A C B x x x x x x ?=?<=<< 故选:A 【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．1

2y x = B ．2x y =

C ．

12

log y = x

D ．1

y x

=-

【答案】C

【解析】由每个函数的单调区间，即可得到本题答案. 【详解】

因为函数1

2,2x y x y ==和1

y x =-在(0,)+∞递增，而

12

log y x =在(0,)+∞递减.

故选：C 【点睛】

本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题. 3．已知a ln π=，12

log 5b =，

12

c e -

=，则（ ）

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．c b a >>

D ．a c b >>

【答案】D

【解析】根据与中间值0，1的大小关系，即可得到本题答案.

【详解】

因为102

112

2

ln ln 1,log 5log 10,01e e

e π->=<=<<=，

所以a c b >>. 故选：D 【点睛】

本题主要考查利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比较大小，属基础题. 4．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件

【答案】B

【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【详解】

由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<， 因为集合{|01}{|13}x x x x <

本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）

A ．800

B ．1000

C ．1200

D ．1600

【答案】B

【解析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数. 【详解】

由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++?=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+?=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=?=. 故选：B 【点睛】

本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.

6．已知函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12

x π

=-

B ．12

x π

=

C ．3

x π

=-

D ．3

x π

=

【答案】D

【解析】由题，得()3cos 2sin 6f x x x x πωωω?

?=-=- ??

?，由()y f x =的图象

与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3

x π

=时，22

6x π

π-

=，由此即可得到本题答案. 【详解】

由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω?

?=-=- ??

?，

因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22T

π

ω=

=， 所以()2sin 26f x x π?

?=- ??

?，

当3

x π

=

时，22

6x ππ-

=， 所以3

x π

=

是函数()2sin 26f x x π??

=-

??

?

的一条对称轴， 故选：D 【点睛】

本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.

7．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直

径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为

A B

C ．2

D 【答案】A

【解析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】

设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又||PQ OF c ==Q ，||,2

c

PA PA ∴

=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2

c OA =

． ,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

222

44

c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．

e ∴=A ．

【点睛】

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 8．已知数列满足

，且

，则数列的通项公式为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】试题分析：因为，所以

，即

，所以

数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，

即

，所以数列

的通项公式是

，故选D ．

【考点】数列的通项公式．

9．已知,a b ∈R ，函数32

,0

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ）

A ．1,0a b <-<

B ．1,0a b <->

C ．1,0a b >-<

D ．1,0a b >->

【答案】C

【解析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当

0x …时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，

利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．

【详解】

当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a

=

-；()

y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，

当10a +?，即1a -?时，0y '…

，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，

1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：

∴01b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，31

0(116

,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．

【点睛】

遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.

二、填空题

10．已知复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值是__． 【答案】2

【解析】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案. 【详解】

由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数， 所以20a -=，解得2a =. 故答案为：2 【点睛】

本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题. 11

．在8的展开式中，x 的系数等于__．

【答案】7

【解析】由题，得811422

1881122r

r

r

r r r r T C x x C x ---+??????== ? ? ?????

??

，令3r =，即可得到本

题答案. 【详解】

由题，得81

1422

1881122r

r

r

r r r r T C x x C x ---+??????== ? ? ?????

??

，

令3r =，得x 的系数3

38

172C ??== ???

. 故答案为：7 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.

12．一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 【答案】

310

【解析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3

里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到本题答案. 【详解】

满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一共有1226C C 种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一共有21

26

C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有3

10C 种情况，所以取出的3个小球中数字最大的

为4的概率1221

26263

103

10

C C C C P C +==. 故答案为：310

【点睛】

本题主要考查古典概型与组合的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 13．已知0x >，0y >，35x y xy +=，则2x y +的最小值是__．

1． 【解析】因为1132(2)5x y x y y x ??

+=++ ???

，展开后利用基本不等式，即可得到本题答

案. 【详解】

由35x y xy +=，得

13

5y x

+=，

所以1131612(2)5(51555x y x y x y y x y x ????+=

++=++≥+= ? ?????，当

且仅当x =，取等号.

1+ 【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.

14．已知向量a r ，b r 满足||2a =r ，||3b =r ，且已知向量a r ，b r

的夹角为60?，

()()0a c b c --=r r r r

g ，则||c r 的最小值是__．

【解析】求||c r

的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小距离，由此即可

得到本题答案.

【详解】

如图所示，设,,OA a OB b OC c ===u u u r

u u u

r u u u

r r r r

， 由题，得

,||2,||3,,,23cos6033

AOB OA OB CA a c CB b c a b π?∠=

===-=-?=??=u u u r u u u r u u u r u u u r r r

r r r r ，

又()()0a c b c -?-=r r r r

，所以CA CB ⊥u u u r u u u r ，则点C 在以AB 为直径的圆上，

取AB 的中点为M ，则1()2

OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r

，

设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，则||c r

的最小值是||OE uuu r ，

因为

22211119

||()24239422OM OA OB OA OA OB OB =+=+?+=+?+=

u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 又221

2cos 604922372

AB OA OB OA OB ?=+-??=

+-???

=， 所以||c r 的最小值是1

197

||2

OE OM ME OM AB -=-=-=

u u u r . 197

- 【点睛】

本题主要考查向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考查学生的分析问题和解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想.

三、解答题

15．曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__． 【答案】10x y -+=

【解析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程. 【详解】

因为2(1)x y x e =+，所以(

)

2

21x

y x x e =++'，从而切线的斜率1k =， 所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+= 【点睛】

本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.

16．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，

2

cos 3

B =

． （Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）求cos(2)6B π

-的值．

【答案】（Ⅰ）b =（Ⅱ【解析】（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； （Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案. 【详解】

（Ⅰ）因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =， 又3a =，所以1c =，

所以根据余弦定理得，229136

b +-=，

解得，b =

（Ⅱ）因为2cos 3B =

，所以sin B =，

21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==

则111cos(2)sin 2()6292B B B π-=+=-+=

． 【点睛】

本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.

17．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111

n n

T S S S S =+++??+，证明：12n T <…．

【答案】（Ⅰ）2n

n a =，*n N ∈；（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得本题答案； （Ⅱ）化简求得n b ，然后求得1

n

S ，再用裂项相消法求n T ，即可得到本题答案. 【详解】

（Ⅰ）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(

)*

n N

∈，1

2a

=，可设公比为q ，

0q >，

又1322,,3a a a 成等差数列，

所以312223a a a =+，即222432q q ?=+?， 解得2q =或12

q =-

（舍去），则112n n n a a q -==，*n N ∈； （Ⅱ）证明：22log log 2n

n n b a n ===，

1

(1)2n S n n =

+，12112(1)1n S n n n n ??==- ?++??

， 则1231111111111

2(1)2(1)22311

n n T S S S S n n n =

+++??+=-+-+?+-=-++， 因为11012n <

≤+，所以112121n ?

?≤-< ?+??

即12n T ≤<. 【点睛】

本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力.

18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，且过点(1,)2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的

平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2

|MN |

|OQ |的值．

【答案】（Ⅰ）22

142

x y +=（Ⅱ）1

【解析】（Ⅰ

）由题，得2

c e a =

=

，221123a b +=，解方程组，即可得到本题答案； （Ⅱ）设直线:OQ x my =

，则直线:MN x my =，联立2214

2x my

x y =??

?+=?

?，得

2

2

2222224444

||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++

，联立2214

2x my x y ?=+??+

=??

，得

22

44

||2

m MN m +==+，由此即可得到本题答案. 【详解】

（Ⅰ

）由题可得2

c e a =

=

，即2212c a =，2

212b a =，

将点? ??代入方程得221123a b +=，即2213

1a a +=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22

142

x y +=；

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知，F

设直线:OQ x my =

，则直线:MN x my =，

联立2214

2x my

x y =???+

=??，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222

2

2

2224444

||222

Q Q

m m OQ x y m m m +=+=+=+++，

联立2214

2x my x y ?=+??+=??，整理得(

)

22

220m y ++-=，

设()()1122,,,M x y N x y

，则121222

2

,22

y y y y m m +=-

=-++，

所以

2

2

44 ||

2

m MN

m

+

===

+

，

所以

2

2

2

2

2

44

||2

1

44

||

2

m

MN m

m

OQ

m

+

+

==

+

+

．

【点睛】

本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.

19．已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足21(*)

n n

S a n N

=-∈．

（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；

（Ⅱ）证明：

2

1

14

3

n

k k

a

=

<

∑．

【答案】（Ⅰ）1

2n

n

a-

=，*

n N

∈．（Ⅱ）见解析

【解析】（1）由1

1

,1

,2

n

n n

S n

a

S S n

-

=

?

=?

-≥

?

，分1

n=和2

n≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式；

（2）由题，得1

2121

1111

()

(2)44

n

n n

n

a

-

--

===，利用等比数列求和公式，即可得到本题答案. 【详解】

（Ⅰ）解：由题，得

当1

n=时，

111

21

a S a

==-，得

1

1

a=；

当2

n…时，

11

2121

n n n n n

a S S a a

--

=-=--+，整理，得

1

2

n n

a a

-

=．

∴数列{}n a是以1为首项，2为公比的等比数列，

11

122

n n

n

a--

∴==

g，n*

∈N；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，1

2121

1111

()

(2)44

n

n n

n

a

-

--

===，

故

2222

112

1111

n

k k n

a a a a

=

=++?+

∑

121

111

1()()()

444

n-

=+++?+

11()4114n

-=

- 4414()3343

n =

-

本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明能力. 20．已知函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域（其中e 为自然对数的底数）．

【答案】（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由11()1x

f x x x

-'=

-=，令()0f x '>，得增区间为()0,1，令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞，所以有极大值(1)0f =，无极小值； （Ⅱ）由11()ax f x a x x -'=

-=，分1

0a e

<<三种情况，考虑函数()

f x 在区间[1,]e 上的值域，即可得到本题答案. 【详解】

()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1x

f x x x

-'=

-=， 当01x <<时，()'0f x >，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数取得极大值(1)0f =，没有极小值； 函数的增区间为()0,1，减区间为(1,)+∞， 11()()ax

II f x a x x

-'=

-=， 当1

0a e

时，()0f x '…

，()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)()()f f x f e ≤≤即函数的值域为[0,1]a ae +-；

当1a ≥时，()0f x '?，()f x 在[1,]e 上单调递减， ()()(1)f e f x f ≤≤即函数的值域为[1,0]a ae +-；

当11a e <<时，易得1[1,)x a ∈时，()'0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增，1,x e a ??

∈ ?

??

时，()0f x '<，()f x 在[1,]e 上单调递减， 故当1x a

=

时，函数取得最大值1

()1f lna a a =--+，最小值为(1)0f =，

()1f e a ae =+-中最小的，

()i 当11

1

a e e <-?时，()(1)f e f ≥，最小值(1)0f =；

()ii 当

1

11

a e <<-，()(1)f e f <，最小值()1f e a ae =+-； 综上，当1

0a e

时，函数的值域为[0,1]a ae +-， 当111

a e e <-?时，函数的值域[0,ln 1]a a --+， 当

1

11

a e <<-时，函数的值域为[1,ln 1]a ae a a +---+， 当1a ≥时，函数的值域为[1,0]a ae +-. 【点睛】

本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.