基本初等函数、函数的应用(小题)
基本初等函数、函数的应用(小题)
热点一 基本初等函数的图象与性质
1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同.
2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1
2，－1五种情况.
例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313
log 0.6，b ＝1
2
1
log 4，c ＝0.413
log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 答案 C 解析 由题得b ＝1 2 1 log 4 ＝2， 因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， ∴0.313 log 0.6<0.413 log 0.5， 0.413 log 0.5＝130.4log 0.5<131 0.4log 3＝0.4， 所以a (2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.? ???－∞，1 e B.(－∞，e) C.????－1 e ，e D.? ???－e ，1 e 答案 B 解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e － x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点. 函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点， 当a <0时，向右平移，两函数总有交点， 当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点， 把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a 跟踪演练1 (1)(2019·天津市和平区质检)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1b B.ln(a －b )>0 C.2a － b <1 D.????13a 答案 D 解析 由log 2a >log 2b 可得a >b >0，故a －b >0，逐一考查所给的选项： A 项，1a <1b ； B 项，a －b >0，ln(a －b )的符号不能确定； C 项，2a － b >1； D 项，????13a . (2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( ) 答案 A 解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数. 若0 a∈(2，＋∞)， 且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数； 若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2 a∈(0,2)， 且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数. 热点二函数的零点 1.判断函数零点的方法： (1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)有几个零点； (2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数； (3)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数，通过判断两个函数图象的交点个数得出函 数的零点个数； (4)利用零点存在性定理判断. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解. 例2 (1)(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝? ???? e x ，x <0， 4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 答案 A 解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0 作出函数f (x )的图象， g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )， 可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13 ， 当t ＝13，即f (x )＝1 3时，g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根， 综上，g (x )共有四个零点. (2)已知函数f (x )＝????? x e x ，x ≥0，－x ，x <0， 又函数g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R)有4个不同的零点，则 实数t 的取值范围是( ) A.? ???－∞，－e 2＋1e B.????e 2＋1e ，＋∞ C.????－e 2＋1e ，－2 D.? ???2，e 2＋1e 答案 A 解析 因为f (x )＝????? x e x ，x ≥0， －x ，x <0， 当x <0时，f (x )＝－x ， 所以f (x )在(－∞，0)上为单调递减函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝ e x 1－x e x 2 ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，当0≤x <1时，f ′(x )>0， 所以f (x )在[0,1)上为单调递增函数， 当x ≥1时，f ′(x )<0， 所以f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，且f (x )>0， 所以当x ≥0时，f (x )在x ＝1处取得极大值1 e ， g (x )＝[f (x )]2＋tf (x )＋1(t ∈R)有四个零点， 令f (x )＝m ，则关于m 的一元二次方程m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根， 且一个在区间????0，1e 上，一个在区间????1 e ，＋∞上， 令h (m )＝m 2＋tm ＋1， 因为h (0)＝1>0， 所以只需h ????1e <0即可满足m 2＋tm ＋1＝0有两个不等实数根，一个在??? ?0，1e ，一个在??? ?1e ，＋∞， 即????1e 2＋1e t ＋1<0，解不等式得t <－1＋e 2 e ， 所以t 的取值范围为? ???－∞，－e 2＋1e . 跟踪演练2 (1)(2019·凉山州质检)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0)时，f (x )＝??? ?22x －1，则在区间(－2,6)内关于x 的方程f (x )－log 8 (x ＋2)＝0解的 个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4. 又∵当x ∈[－2,0)时，f (x )＝ ??? ?22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点. (2)(2019·吉林调研)已知函数f (x )＝? ???? x ＋3，x >a ， x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同 的零点，则实数a 的取值范围为________. 答案 [－3，－1)∪[3，＋∞) 解析 由题意得g (x )＝???? ? x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ， 即g (x )＝? ???? 3－x ，x >a ， x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示， 因为g(x)恰有两个不同的零点， 即g(x)的图象与x轴有两个交点. 若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点， 则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1， 则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3. 若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点， 则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点， 即－3≤a<－1，综上a∈[－3，－1)∪[3，＋∞). 热点三函数建模与信息题 1.构建函数模型解决实际问题的失分点： (1)不能选择相应变量得到函数模型； (2)构建的函数模型有误； (3)忽视函数模型中变量的实际意义. 2.解决新概念信息题的关键： (1)依据新概念进行分析； (2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题. 例3(1)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有a 4升，则m的 值为() A.5 B.6 C.8 D.10 答案 A 解析根据题意知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数f(x)＝a e nt满足f(5)＝a e5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，设当k min 后甲桶中的水只有a 4升，所以f (k )＝a 4，即15ln 12·k ＝ln 1 4，所以15ln 12·k ＝2ln 12 ， 解得k ＝10，k －5＝5，即m ＝5，故选A. (2)(2019·闽粤赣三省十校联考)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数 f (x )＝? ???? 2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0，恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.－2 答案 C 解析 设A (x ,2)，其中x <0， 则点A 关于原点对称的点B 为B (－x ，－2)， 因为函数f (x )有两个友情点对， 所以－(－x )3＋6(－x )2－9(－x )＋a ＝－2在(－∞，0)上有两个不同解， 即x 3＋6x 2＋9x ＋2＝－a 在(－∞，0)上有两个不同解， 即g (x )＝x 3＋6x 2＋9x ＋2与y ＝－a 在(－∞，0)上有两个不同交点， g ′(x )＝3x 2＋12x ＋9， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－3，x 2＝－1， 可知g (x )在(－∞，－3)，(－1,0)上单调递增；在(－3，－1)上单调递减， 所以g (x )极小值为g (－1)＝－2；极大值为g (－3)＝2， 且x →0时，g (x )→2， ∴－a ＝g (－1)＝－2，∴a ＝2. 跟踪演练3 (1)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.6或7 答案 B 解析 盈利总额为21n －9－??? ?2n ＋1 2×n n －1 ×3 ＝－32n 2＋41 2 n －9，n ∈N *， 由于对称轴为n ＝41 6 ，所以当n ＝7时，取最大值，故选B. (2)(2019·安徽省定远重点中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存 在x 1，x 2(a f b －f a b －a ，f ′(x 2)＝f b －f a b －a ，则称f (x )为区间[a ， b ]上的“双中值函数”.已知函数g (x )＝1 3x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范 围是( ) A.???? 43，83 B.(－∞，＋∞) C.????4 3，＋∞ D.????43，83 答案 D 解析 ∵函数g (x )＝1 3x 3－m 2x 2， ∴g ′(x )＝x 2－mx ， ∵函数g (x )＝1 3x 3－m 2x 2是区间[0,2]上的双中值函数， ∴区间[0,2]上存在x 1，x 2(0 g 2－g 2－0 ＝4 3 －m ， ∴x 21－mx 1＝x 22－mx 2＝43 －m ， ∴关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －4 3＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解， 令f (x )＝x 2－mx ＋m －4 3 ， ∴????? f 0＝m －4 3 >0， f 2＝83 －m >0， Δ＝m 2 －4m －4 3 >0， 0 2<2， 解得43 . ∴实数m 的取值范围是????43，83. 真题体验1.(2019·全国Ⅰ，理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则() A.a B.a C.c D.b 答案 B 解析 ∵a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0,1)，∴a 2.(2018·全国Ⅰ，理，9)已知函数f (x )＝????? e x ，x ≤0， ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点， 则a 的取值范围是( ) A.[－1,0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞) 答案 C 解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x ). 在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示. 若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞). 3.(2017·江苏，14)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝? ?? ?? x 2，x ∈D ， x ，x ?D ，其中集合D ＝?????? ????x ?? x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________. 答案 8 解析 由于f (x )∈[0,1)，则只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q ，且x ?Z 时，设x ＝q p ，p ，q ∈N *，p ≥2且p ，q 互质.若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m ，m ，n ∈N *， m ≥2且m ，n 互质.因此10n m ＝q p ， 则10n ＝????q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x ?Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ?D 部分的交点，画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x ?D 部分，且x ＝1处(lg x )′＝ 1x ln 10＝1 ln 10 <1，则在x ＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8. 押题预测 1.设a ＝－log 23 2，b ＝log 26，c ＝log 412，则( ) A.c >b >a B.b >c >a C.a >c >b D.a >b >c 答案 B 解析 －log 232＝log 22 3 1 2.设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m >0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“倍约束函数”.现给出下列函数： ①f (x )＝0； ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝x x 2＋x ＋1 ； ④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|. 其中是“倍约束函数”的序号是( ) A.①②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 答案 D 解析 对于①，m 是任意正数时都有0≤m |x |，f (x )＝0是倍约束函数，故①正确； 对于②，f (x )＝x 2，|f (x )|＝|x 2|≤m |x |， 即|x |≤m ，不存在这样的m 对一切实数x 均成立，故②错误； 对于③，要使|f (x )|≤m |x |成立， 即??? ?x x 2＋x ＋1≤m |x |， 当x ＝0时，m 可取任意正数； 当x ≠0时，只需m ≥??? ?1 x 2＋x ＋1max ， 因为x 2＋x ＋1≥34，所以m ≥4 3，故③正确； 对于④，f (x )是定义在实数集R 上的奇函数， 故|f (x )|是偶函数， 因而由|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|得到， |f (x )|≤2|x |成立，存在m ≥2>0， 使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，符合题意， 故④正确. 3.已知函数f (x )＝????? e x － 1x ，x >0， ax ＋2a ＋1，x ≤0，a ∈R ，若方程f (x )－2＝0恰有3个不同的根，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，0)∪????1 2，＋∞ 解析 当x >0时，f (x )＝e x － 1x ，f ′(x )＝ e x －1 x －1 x 2 ， 当0 当x ≤0时，f (x )＝ax ＋2a ＋1的图象恒过点(－2,1)， 当a <0时，f (x )≥f (0)＝2a ＋1， 当a ≥0时，f (x )≤f (0)＝2a ＋1， 作出大致图象如图所示， 方程f(x)－2＝0有3个不同的根，即方程f(x)＝2有3个解. 结合图象可知，当a≥0时，若方程f(x)＝2有三个根， 则2a＋1≥2，即a≥ 1 2， 而当a<0时，结合图象可知，方程f(x)＝2一定有3个解， 综上所述，方程f(x)－2＝0在a<0或a≥ 1 2时恰有3个不同的根. A组专题通关 1.已知点(2,8)在幂函数f(x)＝x n图象上，设a＝f ???? ? ? ? ?4 50.3，b＝f ? ? ? ? ? ? ? ?5 40.2，c＝1 2 5 log 4 f ?? ? ?? ，则a，b，c的大小关系为() A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a 答案 A 解析因为点(2,8)在幂函数f(x)＝x n图象上， 所以8＝2n，所以n＝3， 即f(x)＝x3， 0 4 50.3<1，? ? ? ?5 40.2>1，1 2 5 log 4 <0， 即 1 2 5 log 4 4 50.3 ? ? ?5 40.2， 因为f (x )为R 上的单调递增函数， 所以c 2.函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 答案 B 解析 函数f (x )＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f (2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f (3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0， 故函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上. 3.(2019·恩施州质检)设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则( ) A.4ab >2(a ＋b )>3ab B.4ab <2(a ＋b )<3ab C.2ab <3(a ＋b )<4ab D.2ab >3(a ＋b )>4ab 答案 B 解析 因为a ＝log 0.12<0，b ＝log 302>0， 所以ab <0，1a ＋1 b ＝log 20.1＋log 230＝log 23∈????32，2， 所以32<1a ＋1 b <2， 所以4ab <2(a ＋b )<3ab . 4.国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %；超过280万元的部分按(p ＋2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 答案 D 解析 设该公司的年收入为a 万元， 则280p %＋(a －280)(p ＋2)%＝a (p ＋0.25)%， 解得a ＝280×2 2－0.25 ＝320. 5.(2019·济南模拟)若log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1，则( ) A.2x <3y <5z B.5z <3y <2x C.3y <2x <5z D.5z <2x <3y 答案 B 解析 ∵log 2x ＝log 3y ＝log 5z <－1， ∴设k ＝log 2x ＝log 3y ＝log 5z ，则k <－1， 设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ， 则2x ＝2k ＋ 1,3y ＝3k ＋ 1,5z ＝5k ＋ 1， 设函数f(t)＝t k＋1，k＋1<0， ∴f(t)在t∈(0，＋∞)时单调递减， f(5) 即5k＋1<3k＋1<2k＋1， 因此5z<3y<2x. 6.函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B 解析令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0， 即2sin x－2sin x cos x＝0， ∴2sin x(1－cos x)＝0， ∴sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0,2π]， ∴由sin x＝0得x＝0，π或2π， 由cos x＝1得x＝0或2π. 故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个. 7.(2019·咸阳模拟)已知a，b，c分别是方程2x＝－x，log2x＝－x，log2x＝x的实数解，则() A.b B.a C.a D.c 答案 B 解析根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝－x，y＝x四个函数图象，如图所示， 方程的根就是两个图象的交点的横坐标，根据图象可得到a 8.(2019·朝阳市重点高中模拟)已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －e － x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2 B.－2 C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2 答案 B 解析 因为g (x )＝e x －e － x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋e － x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －e －x －2在R 上单调递增. 又g (0)＝e 0－e 0－2＝－2<0，g (1)＝e 1－e － 1－2>0， 所以g (x )在(0,1)上必然存在零点，即x 0∈(0,1)， 因此f (x 0)＝[x 0]＝0， 所以g [f (x 0)]＝g (0)＝－2. 9.(2019·南充模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝ ? ???? －x 2＋1，－1≤x ≤1，－|x －2|＋1，1 16，14 C.????1 6，8－25 D.? ???16－67，16 答案 C 解析 由f (x ＋4)＝f (x )， 得函数f (x )是以4为周期的周期函数， 作出函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象， 由图象可得，f (x )＝ax 在(3,5)内有两个实数根， 当x ∈(3,5)时， y ＝－(x －4)2＋1， 即 x 2＋(a －8)x ＋15＝0在(3,5)上有2个实数根， 由????? Δ＝a －8 2 －60>0，32＋3a －8＋15>0，52 ＋5a －8 ＋15>0， 3<8－a 2<5， 解得 0 再由方程f (x )＝ax 在(5,6)内无解，可得6a >1，a >16. 综上可得1 6 10.(2019·衡水质检)已知函数f (x )＝????? |log 3 x |，0 ???21，1354 B.????7，29 4 C.????27，1354 D.[27,30) 答案 C 解析 先作函数图象， 若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)， 则x 1x 2＝1，x 3＋x 4＝12，x 3∈(3,4.5)， 因此x 1·x 2·x 3·x 4＝x 3(12－x 3)， 因为y ＝x 3(12－x 3)在(3,4.5)上单调递增， 所以y ∈? ???27，1354. 11.(2019·宜宾诊断)已知奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，若函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(0,1] D.(0,1) 答案 D 解析 函数g (x )＝f (x 2)＋f (a －2|x |)恰有4个零点， 令f (x 2)＋f (a －2|x |)＝0， 由函数f (x )为奇函数可得 f (x 2)＝－f (a －2|x |)＝f (2|x |－a )， 由函数f (x )是定义在R 上的单调函数得x 2＝2|x |－a ， 则x 2－2|x |＋a ＝0有4个根， 只需x 2－2x ＋a ＝0有2个不等正根， 即? ??? ? a >0，22－4a >0，解得0 12.(2019·天津市十二重点中学联考)已知函数f (x )＝????? |log 32－x |，x <2，－x －32＋2，x ≥2， g (x )＝x ＋1x － 1，则方程f (g (x ))＝a 的实根个数最多为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 由题意得，函数g (x )＝x ＋1 x －1的值域为[1，＋∞)∪(－∞，－3]， 设g (x )＝t (t ∈[1，＋∞)∪(－∞，－3])， 作出函数f (x )的图象如图， 基本初等函数、函数的应用(小题) 热点一 基本初等函数的图象与性质 1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同. 2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2，－1五种情况. 例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313 log 0.6，b ＝1 2 1 log 4，c ＝0.413 log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 0.60.4>0.50.4， ∴0.313 log 0.6<0.413 log 0.5， 0.413 log 0.5＝130.4log 0.5<131 0.4log 3＝0.4， 所以a 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 高中数学复习：基本初等函数、函数的应用 1.已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( ) A.a 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 高中基本初等函数及函数的应用 指数函数 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是 ： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 指数函数及其性质 对数函数 对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = 第2讲 基本初等函数、函数的应用 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题 . 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a 2b B.a <2b C.a >b 2 D.a 令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )， ∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a ) 课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用 [基础巩固] 一、选择题 1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) [解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的． [答案] B 2．(2018·河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A ．100只 B ．200只 C ．300只 D ．400只 [解析] 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. [答案] B 3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 [解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N * )个“半衰期”后的含 量为? ????12n ，由? ????12n < 11000 得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C. [答案] C 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6） ,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 基本初等函数及其应用复习 知识体系 "次方根及其性质 基本初等函数 定义 对数2运算性质 对数与对数函数 对数换底公式 实战训练 一、选择题 1. 下列函数与y 二兀有相同图象的一个函数是( ) A. y = B. y = — C. y =肆宀(a 〉0且a H 1) D. y = log (/ a x x ? 2. 函数y = 3V 与y = -3一“的图彖关于下列那种图形对称( ) A. x 轴 B. y 轴 C.庖线y 二x D.原点中心对称 3 _3 3. 已知x + 则迈+兀=值为( ) A. 3^3 B. 2^5 C. 4^5 D. -4^5 4. 函.数y 二Jlog/3兀一2)的定义域是( ) 2 2 2 A. [l,4-oo) B. (—, +00) C. [―,1] D. (~,1] 5. 若 A = {x \ y= \/x-\}, . B = {^ I y = x 2 +1},则 4cB=( ) A. [l,+oo) B. .(l,+oo) C. (0,+co) . . D. (0,4-oo) 6. 已知函数：①ytsin'x ；②y =兀'+兀；③y = _cosx ；④y = x 5，其中偶函数的个数 为( ) A..1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若/(Inx) = 3x + 4,则/(x)的表达式为() 指数 指数与指数函数 根式及其性质 分数指数幕 有理数指数幕的运算性质 指数函数 定义 图象和性质 幕函数 定义 对数函数 定义 图象和性质 图象和性质 A. 31nx B. 3 In x + 4 C. 3e x D. 3e x + 4 8. —次函数gS)满足g[g(x)] = 9x + 8,则￡(兀)是( )? A. ^(x) = 9x + 8 B. g(x) = 3x + 2 C. g(x) = -3x-4 D. g(x) = 3x + 2或g(x) = -3x-4 9. 函数y = 2一宀"J 的单调递增区间是( ) A. (—,+oo) B. (-00,—) . C. (-oo,l) D. (l,+oo) 2 2 10. —水池冇2个进水口，1个岀水口，进出水速度如图叩.乙所示.某天0点到6点，该 水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 11. 若 y = x 2,y = (―)A ,y = 4x 2,y = x 5 +l,y = (x-l)2,y =兀,y = a x (a > 1)上述函数是幕 2 函数的个数是() A.. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 12. 已知/(兀)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的() A.函数/⑴在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数于⑴在(3,5)内无零点 C.函数/(x)在(2,5)内有零点 D.函数/(x)在(2,4)内不一定有零点 13. 求函数/(X ) = 2X 6 7-3X +1零点的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 如果二次函数y = x 2 + mx + (m + 3)冇两个不同的零点，则加的取值范围是(.) A. (—2,6) B. [—2,6] C. {—2,6} D. (―oo, —2)U (6,+8) 15. 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩 二、填空题 1. ______________________________________________________ 已知 x 2 + y 2-4x-2y + 5 = 0，则 log r (y x )的?值是 _____________________________________________ I 2. _____________________________ 函数y = 的定义域是 ；值域是. 5. 函数尸(/-加-1卜宀心是幕函数且在(0,+oo)上单调递减，贝IJ 实数加的值为_? 6. _________________________________________________________________ 若函数/(兀)既是幕函数又是反上匕例 1+F 函数y = —-— , XG [3,4J 的最人值为 x-2 x-1 -2, | 设函数/(%) = ? 1 3. 4. 则 / [/(D] = 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 核心内容： 知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根* ∈>N n n ,1有如下恒等式： ()a a n n =； ? ? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= = -() 1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值： （1）()( )* ∈>-N n n n n 且,13π； （2）() 2 y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56131212132b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则： （1）()N M N M a a a log log log +=?， （2）N M N M a a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ， （6）a b b a log 1 log = 其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.， 例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）128 1 27= -； （2）273=a ； （3）1.0101=-； （4）532log 2 1-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =. 例4、计算下列各式的值：（1）001.0lg ； （2）8log 4 ； （3）e ln . 例5、已知 ()[]0log log log 234=x ，那么2 1-x 等于 例6、求下列各式的值：（1）8log 2 2； （2）3log 9. 例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）()3log 1+-x x ； （2）()23log 21+-x x . 例8、若1052==b a ，则=+b a 1 1 ；方程()13lg lg =++x x 的解=x ________ 例9、（1）化简：7 log 1 7log 17log 1235++； （2）设4log 2006log 5log 4log 3log 20062005432=????????m ，求实数m 的值. 例10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示45log 18的值； 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x － 4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4 23 1-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝??? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0， 若f (x －1) 基本函数图像及性质 一、基本函数图像及其性质： 1、一次函数：(0) y kx b k =+≠ 2、正比例函数：(0) y kx k =≠ 3、反比例函数：(0) k y x x =≠ 4、二次函数：2(0) y ax bx c a =++≠ （1）、作图五要素： 2 12 4 (,0),(,0),(0,),(),(,)() 224 b b a c b x x c x a a a - =-- 对称轴顶点（2）、函数与方程：2 =4=0 b ac > ? ? ?-? ?< ? 两个交点 一个交点 没有交点 （3）、根与系数关系： 12 b x x a +=-， 12 c x x a ?= 5、指数函数：(0,1)x y a a a =>≠且 （1）、图像与性质： （i ）1 ()(0,1)x x y a y a a a ==>≠与且关于y 轴对称。 （ii ）1a >时，a 越大，图像越陡。 (2)、应用： （i ）比较大小： （ii ）解不等式： 1、回顾： （1）()m m m ab a b =? （2）()m m m a a b b = 2、基本公式： （1）m n m n a a a +?= （2）m m n n a a a -= （3）()m n m n a a ?= 3、特殊: （1）01(0)a a =≠ （2）11(0)a a a -=≠ （3 ）1;0)n a n a R n a = ∈≥为奇数，为偶数， （4 ;0;0||a n a a a a a n ≥??==? ?- 函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套 练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第35课时 函数模型及其应用（3） 分层训练 1． 将进货单价为80元的商品400个， 按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了得到最大利润，售价应定为每个（ ）元 ()A 110 ()B 105 ()C 100 ()D 95 2．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定程度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水22t 升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供 （ ）洗澡. ()A 3人 ()B 4人 ()C 5 人 ()D 6人 3．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是 元． 4．某商场出售一种商品，定价为a 元，每天可卖1000件，每件可获利4元，根据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件单价应定为 元． 5．某种商品，生产x 吨需投入固定成本1000元，可变成本为21510x x ??+ ?? ?元，而卖出x 吨的价格为每吨p 元，其中x p a b =+（,a b 为常数），如果生产的x 吨产品全部卖掉，可获利y 元，则利润y 与产销量x 的函数关系式为 ． 6．某水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水，同 时蓄水池又向居民小区不断供水，t 小时内供水总量为()024t ≤≤. （1）从供水开始到第几小时，蓄水池中水量最小最小水量是多少 （2）若蓄水池中水量小于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象 7．东方旅社有100张普通客床，每床每天收租费10元，客床可以全部都租出；若每床每天收费提高2元，出租的床的数量便减少10张；再提高2元，再减少10张，依此变化下去，为了投资少而获利到达每床每天应提高租金 （ ）元. ()A 4 ()B 6 ()C 4或6 ()D 5 8．如图，某工厂8年来某种产品的产量c 与时间t （年）的函数关系，下面四种说法中，正确的是 （ ） 第 1 页共 4 页 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N *. ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a · s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 值域y >0 在R 上单调递增在R 上单调递减 非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a —底数,N —真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值真数 b a = N ?log a N = b 底数 班级 姓名 学号 分数 《基本初等函数与函数性质的应用》测试卷（A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 设,则的值是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 【答案】B 【解析】 试题分析：令2log t x =，则2t x =，所以2()2t f t =，2 2(2)216f ==，故选B 。 考点：1.指数，对数；2.函数解析式的求法 2. 设ln3a =，ln0.5b =，0.3 2 c -=，则有 （ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A 【解析】因为函数ln y x =是增函数，所以ln 310ln 0.5;>>>因为函数2x y =是增函数，所以0.302 1.-<<故选A 考点：指数与对数 3. 函数 ,若，则的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】B 考点：考查了函数的奇偶性，以及正弦函数的性质. 4. 设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-=x x f x )2(f 1281682563 ()sin 1()f x x x x R =++∈()2f a =()f a - 【解析】由已知得 2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以 22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点:分段函数． 5. 函数的定义域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 试题分析：由2--3+40 -4<0<0x x x ?≥≤≤?≠? 得x 0或x 1，所以函数的定义域为。 考点：函数定义域的求法。 6. 函数13y ?= ??? 的值域是（ ） A. (),0-∞ B. (]0,1 C.[)1,+∞ D. (],1-∞ 【答案】B 【解析】 因为 考点：指数函数的性质 7. 已知函数满足：x ≥4,则＝；当x ＜4时＝，则＝ ( ) A ． B. C. D. 【答案】A 【解析】 23log 32221111 2log 34,(2log 3)(3log 3)()28324 f f ++<∴+=+==?= . 考点：对数，指数函数 8. 函数 y=log 2(x 2 ＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－ 3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞) D ．(－3，－1) 【答案】A ． y x = [4,1]-[4,0)-(0,1][4,0) (0,1]-[4,0)(0,1]-性质可得。 ，有指数函数令x u y y x u x )3 1 ()31(,01,1==≥-= ≥()f x ()f x 1 ()2 x ()f x (1)f x +2(2log 3)f +124112183 8 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m (5) 三角函数 正弦函数x y sin =，) , (+∞ -∞ ∈ x，]1,1 [- ∈ y， 余弦函数x y cos =，) , (+∞ -∞ ∈ x，]1,1 [- ∈ y， 正切函数x y tan =，2 π π+ ≠k x ，k Z ∈，) , (+∞ -∞ ∈ y， 余切函数x y cot =，πk x≠，k Z ∈，) , (+∞ -∞ ∈ y； 1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0) 2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下 方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方. 在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/基本初等函数、函数的应用(小题)
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