最新人教版高中数学必修五等差数列通项公式优质教案

2.2.2

从容说课

本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认

知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果

教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

教具准备多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.明确等差中项的概念

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质

3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题

二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想

2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性

三、情感态度与价值观

1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点

2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣

教学过程

导入新课

师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的

数列叫等差数列？

生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示

师对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d

生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数

师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a

n -1；②

11--=

n a a d n ；③m

n a a d m

n --=.你能理解与记忆它们吗？生3 公式②11--=n a a d n 与③m

n a a d m

n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差

［合作探究］

探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？

师本题在这里要求的是什么生当然是要用a ，b 来表示数A

师对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答

生由定义可得A -a =b -A ，即2

b a A +=

反之，若2b

a A +=

，则A -a =b -A

由此可以得?+=2

a A a ,A ,

b 成等差数列

推进新课

我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的

前一项与后一项的等差中项

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项

［方法引导］

等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列

A =a +b ，以促成将等差数列转化为目标

量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列

［合作探究］

师在等差数列{a n }中，d 为公差，若m,n ,p,q ∈N *且m+n =p+q ，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？

生我得到了一种关系a m +a n =a p +a q

师能把你的发现过程说一下吗？

生受等差中项的启发，我发现a 2+a 4=a 1+a 5,a 4+a 6=a 3+a 7 从而可得在一等差数列中，若m+n =p+q ，则a m +a n =a p +a q

师你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这

归纳的结论加以证明呢？

生我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则

a m+a n=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d

a p+a q=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d

因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q

师好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n}的各项中，与首末两项等距离的两项的

和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以a m+a n=a p+a q

同样地，我们还有：若m+n=2p,则a m+a n=2a p.这也是等差中项的内容

师注意：由a m+a n=a p+a q推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗

生我举常数列就可以说明了

师举得好!这说明在等差数列中，a m+a n=a p+a q是m+n=p+q成立的必要不充分条件.

［例题剖析］

【例1】在等差数列{a n}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9

师在等差数列中通常如何求一个数列的某项？

生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项

生 2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了

生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手

师好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？

生4 因为{a n}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3a3=9-a4=9-

所以可得d=a4-a3=7-

又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9

【例2】(课本P44的例2)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4

千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费

师本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？

生这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决

师为什么？

生根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费

师这个等差数列的首项和公差分别是多少

生分别是11.2，

师好，大家计算一下本题的结果是多少

生需要支付车费23.2元

(教师按课本例题的解答示范格式

评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题

课堂练习

1.在等差数列{a n}中，

(1)若a5=a,a10=b,求a15

解：由等差数列{a n}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a

(2)若a3+a8=m,求a5+a6

解：等差数列{a n}中，a5+a6=a3+a8

(3)若a5=6,a8=15,求a14

解：由等差数列{a n}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d

从而a14=a5+(14-5)d

(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值

解：等差数列{a n}中，因为

所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12

从而(a11+a12a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10

因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5

=2×80-

2.让学生完成课本P45练习

教师对学生的完成情况作出小结与评价

［方法引导］

此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围

课堂小结

师通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？

生通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.

(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力

布置作业

课本第45页习题2.2 A组第4、5题

预习内容：课本P48～P52

预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用

板书设计

等差数列通项公式

等差中项例题

在等差数列{a n}中

若m、n、p、q∈N*且m+n

(完整版)等差数列的通项公式及应用习题

等差数列的通项公式及应用习题 1. 已知等差数列｛a n ｝中，a2=2, a5=8,贝擞列的第10项为（） A. 12 B . 14 C. 16 D. 18 2. 已知等差数列前3项为-3, -1, 1，则数列的第50项为（） A . 91 B. 93 C. 95 D. 97 3. 已知等差数列首项为2,末项为62,公差为4,则这个数列共有 A . 13 项 B . 14 项C. 15 项D. 16 项 4. 已知等差数列的通项公式为a n=-3n+a, a为常数，则公差d=久一3 B, 3 C. 一三 D.- 2 2 5. 已知等差数列｛a n ｝中，a1=1, d=3,那么当a n=298时，项数n等于 A. 98 B . 99 C . 100 D . 101 6. 在等差数列｛a n ｝中，若a3=-4 , a5=11,则an等于 A. 56 B . 18 C . 15 D . 45 7. 在等差数列｛a n｝中，若a1+a2=-18 , a5+a6=-2，则30是这个数列的

A .第22项B.第21项C.第20项D.第19项 3,在数列中，若ai= 20, =-^ + 1),则时等于 -- A. 45 B. 48 C. 52 D. 55 11. 已知数列a, -15 , b, c, 45是等差数列，则a+b+c的值是 A. -5 B . 0 C . 5 D. 10 12. 已知等差数列｛a n｝中，a1+a2+a3=-15 , a3+a=-16，贝卩a二 A. -1 B . -3 C . -5 D . -7 13. 已知等差数列｛a n ｝中，a10=-20 , a2°n=20,则这个数列的首项a为 A. -56 B . -52 C . -48 D . -44 二、填空题 1. 等差数列7，11，15,…，195，共有____________ 项. 2. 已知等差数列5, 8, 11,…，它的第21项为____________ . 3. 已知等差数列-1 , -4 , -7, -10,…,则-301是这个数列的第_____ .

高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n

等差数列通项公式的教学设计示例电子教案

等差数列通项公式的教学设计示例

等差数列通项公式教案一教学类型新知课二教学目标 1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能解决一些简单的问题； 2.利用通项公式求等差数列的各项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想； 3. 培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识. 三教学重点，难点教学重点是1.等差数列的概念的理解与掌握. 2通项公式的理解与掌握；教学难点是掌握公式的推导过程以及对公式灵活运用．四教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑. 五教学方法：讲解法，启发引导法

六教学过程 1 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。由学生观察分析并总结下列数列的特点： (1)2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63… (2)数列2，4,6,8,10…； (3)数列2，2，2，2，2，… (4)数列3,6,9,12… 2 引导讲解概念思考：同学们观察一下上面的这三个数列： 48,53,58,63…① 2，4,6,8,10…② 2，2，2，2，2，③ 3,6,9,12…④ 看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系,可得到

数列一是每后一项都比前一项多五，单调递增；数列二每后一项都比前一项多二，是一列偶数；数列三是一列常数，每后一项比前一项多零；数列四是一列三的倍数，每后一项比前一项多三；综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列. 定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上三组等差数列，它们的公差依次是5,2,0,3. 判断：1： 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 2： 5，5，5，5，5，5，… 3： a，3a，5a，7a，9a,…是否是等差数列？注意：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵对于数列{ a},若1n a －n a=d (d是与n无关的数或 n 字母)，n≥2，n∈N，则此数列为等差数列，d为公差；

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形）注：在C ?AB 中，则有（1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0）（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边）（3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五《等差数列的概念、等差数列的通项公式》优秀教学设计

2.2等差数列 2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 三维目标一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识教学过程导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子 (1)0，5，10，15，20，25， (2)48，53，58，63， (3)18，15.5，13，10.5，8， (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，请你们来写出上述四个数列的第7项生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列这就是我们这节课要研究的内容推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示

高中数学必修五知识点总结【经典】

《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法； 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为【预习自测】 a n a n

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结第一章解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

等差数列及其通项公式公开课教案

《等差数列及其通项公式》公开课教案教学时间：2009年12月25日上午第四节授课班级：08商外授课地点：职三（3）授课教师：郭玲一、教学任务及职业背景分析：商务外语班学生多数数学基础较差，对数学学习也不够重视。但数学作为基础学科，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，特别是本专业学生多数准备出国，更应该加强能力的培养，以适应国外激烈竞争的环境。所以在学习数学过程中，我更强调学习的过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受。在设计本节课时，我所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是通过分组分享法，创造一些数学情境，让学生自己去讨论、去发现，去分享，去体验成功。学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，激发学习兴趣，培养团队精神，也提高他们提出问题、解决问题的能力和创造力。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。二、教学目标： 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式，能根据通项公式解决 a n 、a 1 、d、n中的已知三个求另一个的问题。 2．能力目标：培养学生观察、推理、归纳能力，应用数学公式解决实际问题的能力。3．德育目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。三、教学重点：等差数列的定义理解和对通项公式的熟悉与应用四、教学难点：对等差数列概念中“等差”特点的理解及通项公式的灵活运用五、教学方法：分组分享法六、教学手段：多媒体辅助教学七、教学过程：【雅思、托福考试常识】美国、英国、澳大利亚等国家都要求申请留学人员应具备雅思、托福成绩。如果达不到，就需要在国外就读价格昂贵的语言学校。雅思、托福考试词汇量一般在8000个单词左右。（1）雅思要求：考试科目为阅读、听力、口语、写作4科，每科满分为9分，成绩一般要求平均分5分以上,费用为1450元。（2）托福要求：考试科目也为是阅读、听力、口语、写作4科，每科满分30分，总分为120，成绩一般要求总分达80分以上，费用为1370元。（一）复习回顾:数列的定义引例：（1）莺生原来只会500个单词，她决定从今天起每天背记15个单词，那么从今天起她的单词量逐日依次递增为： 500，515，530，545，560，575，…… （2）靓靓目前会1000个单词，她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉每周忘掉20个单词，那么从今天起她的单词量逐周依次递减为：1000 ，980，960，940，920 ，900，…… 【说明】：通过两个具体的数列，复习数列的定义，为后面学习等差数列的定义和等差数列的通项公式建立基础。（二）导入新课：这节课我们将学习这一类有特点的数列： 1000，980，960，940，920 ，900 ……① 500， 515 ，530，545，560，575 ……② 问题1：观察这些数列有什么共同的特征？请同学们思考后作答。共同特点：从第2项起，后一项与它的前一项的差都等于同一个常数。也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。【说明】：通过例题（1）和（2）引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。每相邻两项的差相等——作差的顺序是后项减前项问题2：请同学们分别用文字语言和数学语言描述等差数列的定义：文字语言：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。数学语言：a 2 – a 1 = a 3 - a 2 = a 4 - a 3 = ··· = d 即：a n - a n-1 = d （n∈N+且n≥2）或a n= a n-1 +d （n∈N+且n≥2）问题3：分组比赛抢答，观察下列数列是否为等差数列，如果是求出公差d （1）25，20，15，10，5……√d=-5

等差数列前n项和公式教育教学案例分析

等差数列前n项和公式教学案例分析

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《等差数列前n项和公式》教学案例分析教学案例：一、教学设计思想本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。二、学生情况与教材分析 1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课； 2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。三、教学目标 1、知识目标（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2、能力目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

[高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结

[高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结【--高中生入党申请书】数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。下面就让给大家分享一些高中数学必修5知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高中数学必修5知识点总结篇一高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。

必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填

空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。高中数学必修5知识点总结篇二 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用

等差数列的通项公式

2.2.2 等差数列的通项公式 2.2.2 等差数列的通项公式（共 1 课时）一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题二、过程与方法 1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用一些相关问题导入新课师同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？生我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n-a n-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示

师对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数师好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；②11--=n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？生3 公式②11--= n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差［合作探究］探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？师本题在这里要求的是什么生当然是要用a ，b 来表示数A 师对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答生由定义可得A -a =b -A ，即2 b a A += 反之，若2b a A += ，则A -a =b -A 由此可以得?+=2 b a A a ,A , b 成等差数列推进新课我们来给出等差中项的概念：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项［方法引导］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列A =a +b ，

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

(完整word版)等差数列通项公式

等差数列通项公式： 1、等差数列{}n a ，375,7a a ==，求546,,a a a 2、等差数列{}n a ，385,9a a ==，求457,,,n a a a a 3、在等差数列{}n a 中，47104561417,77a a a a a a a ++=+++ +=，若13k a =，则 ?k = 4、在等差数列{}n a 中，357911100a a a a a ++++=，则9133?a a -= 5、已知等差数列{}n a 中，11 25 a = ，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的范围？ 6、在等差数列{}n a 中，34567250a a a a a ++++=，则5a ？28a a +？ 7、已知等差数列{}n a ，18a a 与45a a 大小？18a a +与45a a +大小？ 8、已知数列{}n a ，32a =，71a =，又1n a ?? ? ??? 是等差数列，则11a 9、已知数列{}n a 满足，()112 323 n n n a n N a a a *+=?? ∈?=?+? ，求{}n a 的通项公式。 10、已知数列{}n a 满足，()111 2 222n n n n a n a a a a --=?≥? -=?，求{}n a 的通项公式。 11、已知数列{}n a 满足，()122 123n n a n N a a * +=?∈?=+?，求{}n a 的通项公式。 12、已知数列{}n a 满足，()112 2332n n a n a a -=?≥?=+?，求使得20n n a a +<的n 范围。 13、已知数列{}n a 满足，)113n a n N a * +=??∈?=??，求{}n a 的通项公式。 14、已知数列{}n a 满足，()111212n n n a n N a a a *+?=?? ∈??= +?? ，求{}n a 的通项公式。 15、已知2 2 2 ,,a b c 成等差，求证 111 ,,b c a c a b +++成等差？ 16、若x y ≠，且两个数列12,,,x a a y 和123,,,,x b b b y 等差，则 21 21 a a b b -=-？

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分当1,35811n T b ===--=-时当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

最新人教版高中数学必修五 等差数列通项公式优质教案