华南师范大学考研数学分析试题汇总
华南师范大学考研数学分
析试题汇总
LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
2000年华南师范大学数学分析
一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4
sin
)1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π
；
2.设处连续；
在则为无理数为有理数
____)(, , ,)(=∈?
??-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1
0=+?∞→dx x
x n n 4._________;)cos (sin lim 10
=+→x
x x x
5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根；
6._______;
__________),1()(1122=>+=++?
n n n
n I I n n a x dx
I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0
==?
+du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则
8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞
→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取
得最大值或最小值.
三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222y
z
yf z y x =++所确定，其中f 是可微函
数，试证：
xz y
z xy x z z y x 22)
(222=??+??--.
四、（12分）求极限：)22211(
lim 222n
n n
n n n n n ++++++++∞
→ .
五、（12分）已知a,b 为实数，且1 a b b a ln ln )1(1+>+）（. 六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S ++=??其中S 是球面 1222=++z y x 的外侧. 七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞ =1)(n n x u 在[a,b]上收敛于连续函 数f(x),证明：∑∞ =1 )(n n x u 在[a,b]上一致收敛于f(x). 2003年华南师范大学数学分析 一、(12分)求极限).) 12)(12(1531311( lim +-++?+?∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D ??-≤≤-≤≤-=求积分 三、(12分)证明∑ ∞ =+1 3 31n x n nx 在[a,b]上一致收敛(其中，0 =+1 3 31n x n nx 在(0,+∞)上连续. 四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333 1 32+-?，其中，12:22=+y x L ，取逆 时针方向。 五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f a x +→和)(lim x f x +∞ →都存在 (有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。 六、 七、(15分)设dx y x f a ? +∞),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的 ],[d c y ∈，f(x,y)关于x 在[a,+∞)上单调减少。求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y) 和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0. 2004年华南师范大学数学分析 1.(12分)设,,2,1,)1 1( =+=n n a n n 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。 2.(12分)求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。 3.(12分)求幂级数n n n n x n )21 (])1(2[1 --+∑∞ =的收敛半径和收敛域。 4.(12分)求函数???<≤<≤-=ππx x x f 0 ,00 ,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数： ++-+++-121 )1(51311n n 的和。 5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0 ),(b a ∈ηξ，，使得a b a b f f ln ln ) )(()(--'= 'ηξξ。 6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ?是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明： dS z y x f dxdydz z y x f dr d M B M B r r ??????=)()(00),,(),,( 2005年华南师范大学数学分析 一、计算题（4*8=32分） 1.求x x x x 30sin cos )cos(sin lim -→. 2.求dx x ?3sec . 3.求222 2)0,0(),(lim y x y x y x +→. 4.求?+-L y x ydx xdy 2 24.其中 10,)1(2 22≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。 二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(2 1,,2 b a b a e e e R b a +≤ ∈?+； 2.设0lim =∞ →n n a ，证明：0lim 21=+++∞→n a a a n n ； 3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1 x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到最大 值. 三、讨论题（2*8=16分） 1.讨论级数 +- -+ +- + - + -3 12 13 12 13 12 13 1) 2(1) 12(16 15 14 13 12 11n n 的敛散性。 2.设0,0>>βα，讨论dx x x ? ∞+0 sin α β 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 2006年华南师范大学数学分析 1.(15分)假设)(lim 30 x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30 x f x f x x →→=. 2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。 3.(15分)假设),2,1)(( =n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞ =1)(n n x u 在(a,b)上一致收敛， 试证明： （i ）∑∞ =1 )(n n a u ,∑∞ =1 )(n n b u 收敛； (ii)∑∞ =1 )(n n x u 在[a,b]上一致收敛。 4.(15分)假设?????=+≠++=)0( 0)0( ),(2222222y x y x y x y x y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导 数存在，但此点不可微。 5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s 222++=??，其中s 为锥面 )0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。 2007年华南师范大学数学分析 1.(15分)证明数列??? ???n n 2收敛，并求其极限. 2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ； (2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f . 3.(15分)求积分： ,2,1,0,sin 20 =?n dx x n π . 4.(15分)判别函数列),(,1)(2 2+∞-∞∈+=x x n x x f n 的一致收敛性. 5.(15分)设12 2 2 =++z y x ，求x z ??和22x z ??. 6.(15分)利用2 02 π = ?∞ +-dx e x 和分部积分法求dx e x ax )1(12 2-+∞ -? ，其中a>0. 7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。u(x,y)在Ω上二阶连续可微， 用格林公式证明：ds n u dxdy y u x u L ?????=??+??Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量， n u ??是u 沿n 方向的方向导数. 8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分 )1(,) 0()(1 >-? p dx x f x f p .当1 9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞ →n x f n 证 明： .0)(lim =+∞ →x f x 2008年华南师范大学数学分析 一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01 =<≤=>∞ →+∞→n n n n n n u a a u u u 证明 二.(15分)设R S ?为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =?∞ →使 三.(15分)设???+=为无理数 为有理数x x x x x x f , ,)(2 (1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '. 四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ?=的递推公式，并计算 xdx x cos 3?. 五.(20分) (1)设]23 ,0[,2sin 2 )(1∈=∑+∞ =x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→ (2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞ =-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛. 六.(15分)求函数)arctan(x y z =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆 周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。 七.(15分)设有n 个实数01 2)1(3,,,12 121=--++- -n a a a a a a n n n 满足，证明方程)2 ,0(0)12cos(3cos cos 21π 在区间=-+++x n a x a x a n 中至少有一个根。 八.(20分)设dx x f ?+∞∞ -)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=? +∞ ∞ -在dx x x f g αα上一 致连续。 九.(20分)设{} 222),(r y x y x D ≤+=，L 是D 的边界曲线，L 取逆时针方向为正向。n 是L 的外法线方向上的单位向量，F （P(x,y),Q(x,y)）是定义在D 上的连续可微向量函数，计算极限：ds n F r L r ??→2 01lim π. 2009年华南师范大学数学分析 一、(20分) . )]()([lim .,,)(lim ,)(lim -∞=+-∈=-∞=→→→x g x f R A a A x g x f a x a x a x 语言证明用这里设δε 二、(15分)设数列{}n x 无上界。试证明存在{}n x 的子列{} k n x 满足+∞=∞ →k n k x lim 。 三、(20分)设R k x x x kx x F x x f ∈??? ??<-≥=+=，这里 0 ,10,)(,1)(2 ,求函数G(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G 的单调性。 四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分： 1、z x u xy u z ???=2,)(求； 2、设函数f 有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。 五、(15分)求圆锥面内的那一部分面积。在圆柱体x y x y x z ≤++=22222 六、(20分)计算曲线积分)0,(,2222a A L dy y x y x dx y x y x I L -++++-=? 是从点其中经过上半椭圆0,0)0,()0(122 22>>≥=+b a a y b y a x 的弧段，这里到点。 七、(20分)设正项级数..,1 1 ∑∑=∞==≤n k k n n n n a S M a a 令发散 求证：1).发散收敛；∑∑?∑∞=∞=+∞+∞ =+-+∞==11111).3 ).2 ;1 n n n n n n n a n n n S a S a a x dx S a 。 八、(20分)设Λ是区间I 上定义的函数族。若 εδδε<-Λ∈<-∈>?>?)()(,,,0,0212121x f x f f x x I x x 都有时，对所有且当，则称函数族Λ在区间I 上等度连续。 设函数列{})(x f n 各项在[a,b]上连续，且{})(x f n 在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列{})(x f n 在[a,b]上等度连续。 2010年华南师范大学数学分析 1.已知x x y n -=1，求对y 进行n 阶求导得到的公式。 2.已知)0()1(>+∑+p n n n p n ，求p 取不同值的敛散性。 3.已知dt t f dt t f x x x f ??+-=1 2 2)(2)()(，求f(x)的值。 4.在{}n a 数列中，存在M>0时，M a a a n ≤+++ 21，证明{}n a 收敛。 5.已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，)]()([lim x g x f x -+∞ →存 在，证明f(x)在[a,+∞)上一致连续。 6.f(x)在(-∞,0)上有),1()(lim )(lim ),()(0 3-===-→-∞ →f x f x f x f x f x x 且 )0,(),1()(-∞∈-≡x f x f 求证. 7.f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当,)()(x g x f a x '<'≥时，有 . )()()()(a g x g a f x f -<-求 8.f(x,y)在D 内关于偏导数y 连续，),(y x f x 在D 上存在且有界，求证f(x,y)在D 上连续。 9.已知一条封闭曲线L,n 为它的外法向量,l 是任意方向的向量，求证 .0),cos(=?ds n l L 华南师范大学 2004年招收硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析与高等代数 使用专业：数学基础、应用数学、计算数学 运筹控制学与教学论，课程与教学论（数学） 1、（12分）设1(1) n n a n =+ ，1,2,n = 证明数列n a 严格单调增加且收敛。 证明：令1()(1)x f x x =+，0x >，111()(1) (ln(1)), (1) x f x x x x '=++ - + 令2 11111()(ln(1)),()( )0 (1) (1) (1) g x g x x x x x x '=+- =- + <+++，()()0g x g >+∞=，则 ()0f x '>，()f x 严格单调增加，故1(1) n n a n =+ 严格单调增加， 2 1(1)1 (1)11 (1) 112! ! n n n n n n n a n n n n --=+ =++ ++ 111111112! ! 12 (1) n n n ≤++ ++ ≤++ ++ ?- 3<， 由单调有界原理n a 收敛。 2、（12分）求函数 21, 000 sin (),x x x x x f ≠=??=??? 的导函数，并讨论导函数的连续性。 2 10 sin (0)lim 0x x x f x →'==， 112,0 00cos sin (),x x x x x x f +≠=?-?=??? '， 112) cos sin lim (x x x x +→-不存在，故导函数在0x =处不连续。 3、（12分）求幂级数2(1)1()2 1 n n n n x n n ?? +-???? - =∑ 的收敛半径和收敛域。 ____ lim 3 n →，收敛半径为13 ρ= ，当112 3 x - = ，级数为2(1)1()3 1 n n n n n n ?? +-???? ==∑ 分散， 212(1)3111[()32121 1 ]n n n n n n n n n n -??+-? ???? ? +-=== ∑ ∑ 发散， 《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有 S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+． 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 华南师范大学考研数学分 析试题汇总 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 2000年华南师范大学数学分析 一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4 sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π ； 2.设处连续； 在则为无理数为有理数 ____)(, , ,)(=∈? ??-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1 0=+?∞→dx x x n n 4._________;)cos (sin lim 10 =+→x x x x 5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______; __________),1()(1122=>+=++? n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0 ==? +du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则 8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞ →存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取 得最大值或最小值. 三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222y z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函 数，试证： 第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数； 数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0< 数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为 r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 大连理工大学2001年硕士生入学考试 数学分析试题 一. 从以下的1到8题中选答6题 1. 证明:2 ()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致 连续 2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积. 3. 证明:若1α>,那么广义积分1 sin x dx α+∞ ? 收敛 4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ?有: ()()f x dx g x dx β β α α =??,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b 5. 证明:若1 n n a ∞ =∑收敛,那么 1 nx n n a e ∞ -=∑在[0,)+∞一致收敛 6. 已知：2 ,0 ()0,0 x e x f x x -?≠?=?=??，求"(0)f 7. 已知：()() 1(,)()2 2x at x at x at x at u x t d a φφψαα+-++-= + ?. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算 22 222 (,)(,)u x t u x t a t x ??-?? 8. 计算,半径为R 的球的表面积 二. 从9到14题中选取6题 9.已知: lim '()0x f x →∞ =,求证: () lim 0x f x x →∞ = 10.证明: ()a f x dx +∞ ? 收敛,且lim ()x f x λ→+∞ =,那么0λ= 11.计算曲面积分: 333 S I x dydz y dzdx z dxdy = ++??, 其中S 为旋转椭球面222 2221x y z a b c ++=的外侧 12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛 13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1 0lim ()0n n f x dx →∞ =? 14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1 ()n n u b ∞ =∑发散,那么1 ()n n u x ∞ =∑不在[,)a b 一致收 敛 2000年华南师范大学数学分析 一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4 sin )1(===+-=∞→∞→n n n n n n a a n n a 则 π； 2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈? ??-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1 0=+?∞→dx x x n n 4._________;)cos (sin lim 10=+→x x x x 5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______; __________),1()(1122=>+=++?n n n n I I n n a x dx I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==?+du t f dt t f y x u y x 是可微函数，则 8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2 =x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值. 三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222y z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证： 习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 数学分析 参考答案 一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立 )()()(a F b F dx x f b a -=? 2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21 3、设2R D ?为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 316sin 2lim sin lim 54060202==→→?x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为： 3 1)(102=-?dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-?dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1) 1()(n n n n x x f ，1) 1(1)2)(1(1 lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分） ),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞ =-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==?x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y u ??=z x x z y ln （3分）=???y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分） 11 )1 11(lim !)1()! 1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解： ???+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对?--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时 ?--101dx e x x p 收敛（4分）；?+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ?+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=， 得 2 21ln(1)4 x x x x ≤-+≤，（x 充分小）， 北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71 安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答 北京大学1996年数学分析考研试题参考解答 北京大学1997年数学分析考研试题参考解答 北京大学1998年数学分析考研试题参考解答 北京大学2015年数学分析考研试题参考解答 北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答 北京大学2016年数学分析考研试题参考解答 北京大学2020年高等代数考研试题参考解答 北京大学2020年数学分析考研试题参考解答 北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答 大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答 赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答 各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版 各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版 各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答 广州大学2013年数学分析考研试题参考解答 国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答 国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答 哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分) 《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案，共四册）》由鸿知华师考研网依托多年丰富的教学与辅导经验，与该专业课优秀研究生合作汇编而成。全书内容紧凑权威细致，编排结构科学合理，为参加华南师范大学考研的考生量身定做的必备专业课资料。 《华南师范大学考研613数学分析复习全析（含真题答案）》全书编排根据： 华东师范大学数学系《数学分析》 名校经典教材《数学分析》 ===往年华南师范大学考研参考书目=== 刘名生等编《数学分析（一）》、《数学分析（二）》；耿堤等编《数学分析（三）》，科学出版社 结合提供的往年华师考研真题内容与答案解析，帮助报考华南师范大学硕士研究生的同学通过华师教材章节框架分解、配套的习题讲解及相关985、211名校考研真题与解答，帮助考生梳理指定教材的各章节内容，深入理解核心重难点知识，把握考试要求与考题命题特征。 通过研读演练本书，达到把握教材重点知识点、适应多样化的专业课考研命题方式、提高备考针对性、提升复习效率与答题技巧的目的。同时，透过测试演练，以便查缺补漏，为初试高分奠定坚实基础。 适用范围 适用院系： 数学科学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、数学教育 适用科目： 613数学分析 内容详情 本书包括以下几个部分内容： 一、考试解读： part 1 学院专业考试概况 ①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:613数学分析的考试情况； ②科目对应专业历年录取统计表：含华南师范大学数学学院各专业的历年录取人数与分数线情况； ③历年考研真题特点：含华南师范大学考研专业课613数学分析各部分的命题规律及出题风格。 part 2 历年题型分析及对应解题技巧 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.华南师范大学数学分析考研题目
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