初中数学反比例函数经典测试题及答案

初中数学反比例函数经典测试题及答案

一、选择题

1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数

b

y x

=

在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0，

∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0，

∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b

x

图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】

此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB

垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1

=1

k x

（x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象

上，∠ABO=30°，则

2

1

k k =（ ）

A ．-3

B ．3

C ．

1

3 D ．-

13

【答案】A 【解析】 【分析】

根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】

如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a.

∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90°

在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴

213333k a

k a

==-. 故选A. 【点睛】

考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k ，是解决问题的方法．

3．已知点A （﹣2，y 1），B （a ，y 2），C （3，y 3）都在反比例函数4

y x

=的图象上，且﹣2＜a ＜0，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 2＜y 1＜y 3

【答案】D 【解析】 【分析】

根据k ＞0，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=

4

x

中的k=4＞0， ∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，双曲线在第一三象限， ∵-2＜a ＜0， ∴0＞y 1＞y 2，

∵C （3，y 3）在第一象限， ∴y 3＞0， ∴213y y y <<， 故选D ． 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数()0k

y x x

=

>在第一象限内图象上一动点，过点A 分别作AB x ⊥轴于点B AC y ⊥、轴于点C ，AB AC 、分别交函数()1

0y x x

=

>的图象于点E F 、，连接OE OF 、．当点A 的纵坐标逐渐增大时，四边形OFAE 的面积（ ）

A ．不变

B ．逐渐变大

C ．逐渐变小

D ．先变大后变小

【答案】A 【解析】 【分析】

根据反比例函数系数k 的几何意义得出矩形ACOB 的面积为k ，BOE S V COF S =V 1

2

=，则四边形OFAE 的面积为定值1k -． 【详解】 ∵点A 是函数(0k

y x x

=>)在第一象限内图象上，过点A 分别作AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，

∴矩形ACOB 的面积为k ， ∵点E 、F 在函数1

y x

=的图象上， ∴BOE S V COF S =V 12

=

， ∴四边形OFAE 的面积11

122

k k =-

-=-， 故四边形OFAE 的面积为定值1k -，保持不变， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了反比例函数中系数k 的几何意义，根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形和三角形的面积是解题的关键．

5．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k

x

交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM =2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值． 【详解】

根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝1

2

|k|＝1，

则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y＝k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂

线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

6．函数

k

y

x

=与y kx k

=-（0

k≠）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分k>0和k<0两种情况确定正确的选项即可.

【详解】

当k:>0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交 y轴于负半轴，y 随着x的增大而增大，A选项错误，C选项符合；

当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y 随着x的增大而增减小，B. D均错误，

故选：C.

【点睛】

此题考查反比例函数的图象，一次函数的图象，熟记函数的性质是解题的关键.

7．使关于x的分式方程=2的解为非负数，且使反比例函数y=图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k的和为（）.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

试题分析：分别根据题意确定k的值，然后相加即可．∵关于x的分式方程=2的解为

非负数，∴x=≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数y=图象过第一、三象限，∴3﹣k＞0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0或1，∴和为-1+2=1，故选，B．

考点：反比例函数的性质．

8．如图，,A B 是双曲线k

y x

=上两点，且,A B 两点的横坐标分别是1-和5,ABO -?的面积为12，则k 的值为（ ）

A ．3-

B ．4-

C ．5-

D ．6-

【答案】C 【解析】 【分析】

分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，根据S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE =12，故可得出k 的值． 【详解】

分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，

∵双曲线k

y x

=的图象的一支在第二象限 ∴k<0，

∵A ，B 两点在双曲线k

y x =的图象上，且A ，B 两点横坐标分别为：-1，-5， ∴A （-1，-k ），B （-5， 5

k

-）

∴S △AOB =S 梯形ABED +S △AOD - S △BOE

=

1||11||(||)(51)1||525225k k k k ?+?-+??-??=12||5k =12， 解得，k=-5 故选：C ． 【点睛】

本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．

9．如图，ABDC Y 的顶点,A B 的坐标分别是()(), 0,3 1, 0A B -，顶点,C D 在双曲线

k

y x =

上，边BD 交y 轴于点E ,且四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，则k 的值为:（ ）

A ．6-

B ．4-

C ．3-

D ．12-

【答案】A 【解析】 【分析】

过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ，利用平行四边形的性质证明

,DCF ABO ???利用平移写好,C D 的坐标，由四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3

倍，得到2,DB BE =利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写D 的坐标，列方程求解k ． 【详解】

解：过D 作DF//y 轴，过C 作//CF x 轴，交点为F ， 则,CF DF ⊥

ABDC QY ，

,CDF BAO ∴∠∠的两边互相平行，,AB DC = CDF BAO ∴∠=∠， 90,DFC BOA ∠=∠=?Q ,DCF ABO ∴???

,,CF BO DF AO ∴==

设(,

),k C m m

由()(), 0,3 1, 0A B -结合平移可得：(1,

3)k

D m m

++， Q 四边形ACDE 的面积是ABE ?面积的3倍，

11

()322BD BE DE CA h h BE ∴+=??， ,,BD BE h h AC BD ==Q

3DE AC BE ∴+=， 4,DE BD BE BE ∴++= 2,DB BE ∴=

(1,

3),(1,0),0,E k

D m B x m

++=Q ∴ 由中点坐标公式知：

11

0,2

m ++= 2m ∴=- ，

(1,)1k

D m m ++Q ，

3212k k ∴=+-+-， 6.k ∴=- 故选A ．

【点睛】

本题考查的是反比例函数的图像与性质，平行四边形的性质，平移性质，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题关键．

10．在函数2y x

=

，3y x =+，2

y x =的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．

【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函

数

2

y

x

=符合条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

11．函数y=1-k

x

与y=2x的图象没有交点,则k的取值范围是()

A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1

【答案】D

【解析】

【分析】

由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k的取值范围．

【详解】

令1-k

x

=2x，化简得：x2=

1-

2

k

；由于两函数无交点，因此

1-

2

k

＜0，即k＞1．

故选D．

【点睛】

函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．

12．反比例函数

k

y

x

=在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）

A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B

【解析】

【分析】

根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k 的取值范围，即可得答案. 【详解】

∵点（1，3）在反比例函数图象下方， ∴k>3，

∵点（3，2）在反比例函数图象上方，

∴

3

k

<2，即k<6， ∴3

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy 是解题关键.

13．如图所示，Rt AOB ?中，90AOB ∠=? ，顶点,A B 分别在反比例函数()1

0y x x

=>与()5

0y x x

=-

<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）

A 5

B 5

C 25

D 10

【答案】B 【解析】 【分析】

过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的

性质得到S △BDO =

52

，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=

5OB

OA =，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】

解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，

则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A，B分别在反比例函数

()

1

y x

x

=>与()

5

y

x

x

=-<的图象上，

∴S△BDO=

5

2

，S△AOC=

1

2

，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴

251

5

22

BOD

OAC

S OB

S OA

??

==÷=

?

??

△

△

，

∴5

OB

OA

=，

∴tan∠BAO=5

OB

OA

=.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

14．如图所示，已知()

12

1

,,2,

2

A y

B y

??

?

??

为反比例函数

1

y

x

=图象上的两点，动点(),0

P x

在x轴正半轴上运动，当AP BP

-的值最大时，连结OA，AOP

?的面积是（）

A．

1

2

B．1 C．

3

2

D．

5

2

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P 在P'位置时，PA PB AB

-=,即此时AP BP

-的值最大，利用待定系数法求出直线AB的解

析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可．

【详解】

当

1

2

x=时，2

y=，当2

x=时，

1

2

y=，

∴

11

(,2),(2,)

22

A B．

连接AB并延长AB交x轴于点P'，当P在P'位置时，PA PB AB

-=,即此时AP BP

-的值最大．

设直线AB的解析式为y kx b

=+，

将

11

(,2),(2,)

22

A B代入解析式中得

1

2

2

1

2

2

k b

k b

?

+=

??

?

?+=

??

解得

1

5

2

k

b

=-

?

?

?

=

??

，

∴直线AB解析式为

5

2

y x

=-+．

当0

y=时，

5

2

x=，即

5

(,0)

2

P'，

1155

2

2222

AOP A

S OP y

'

∴=?=??=

V

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法以及找到AP BP

-何时取最大值是解题的关键．

15．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3

x

交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( ) A ．－3a B ．－3 C ．3a

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3

y x

=

得出11x y g 、22x y g 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可． 【详解】

解：1(A x Q ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3

y x

=

的图象上， 11223x y x y ∴==g g ，

Q 直线(0)y ax a =>与双曲线3y x

=的图象均关于原点对称，

12x x ∴=-，12y y =-，

∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．

故选：B ． 【点睛】

本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出

11223x y x y ==g g ，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．

16．如图，点A ，B 是双曲线18

y x

=

图象上的两点，连接AB ，线段AB 经过点O ，点C 为双曲线k

y x

=

在第二象限的分支上一点，当ABC V 满足AC BC =且:13:24AC AB =时，k 的值为（ ）．

A ．2516

-

B ．258

-

C ．254

-

D ．25-

【答案】B 【解析】 【分析】

如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出

2

()COF AOE

S OC S OA ??=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ??=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函

数的几何意义即可解决问题． 【详解】

解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．

∵A 、B 关于原点对称， ∴OA ＝OB ， ∵AC ＝BC ，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，

∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，

∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°， ∴∠COF ＝∠OAE ， ∴△CFO ∽△OEA ，

∴

2

()COF AOE S OC S OA

??=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ， ∴CA ：OA ＝13：12， ∴CO ：OA ＝5：12， ∴

2()COF AOE S OC S OA ??=＝25144

， ∵S △AOE ＝9， ∴S △COF ＝25

16

， ∴

||25

216

k =， ∵k ＜0，

∴258

k =-

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

17．已知反比例函数b

y x

=

与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限，该交点横坐标为1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，则一次函数b c

y x a a

=+的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意得b ＜0，a+c ＜0，240b ac =>，可得a ＜0，c ＜0，进而即可判断一次函数

b c

y x a a =

+的图象所经过的象限． 【详解】 ∵反比例函数b

y x

=

与一次函数y ax c =+有一个交点在第四象限， ∴反比例函数的图象在二、四象限，即b ＜0， ∵该交点横坐标为1， ∴y=a+c ＜0，

∵抛物线2

y ax bx c =++与x 轴只有一个交点，

∴240b ac -=，即：240b ac =>， ∴a ＜0，c ＜0， ∴

0b a

>，0c

a >，

∴b c

y x a a =

+的图象过一、二、三象限． 故选B ． 【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的图象和性质，掌握函数图象上点的坐标特征以及函数解析式的系数的几何意义，是解题的关键．

18．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数

k y

x

=在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若4

AB=，2

CE

BE

=，

3

4

AD

OA

=，则线段BC的长度为（）

A．1 B．

3

2

C．2 D．23

【答案】B

【解析】

【分析】

设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E 的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长.

【详解】

设OA=4a

根据2

CE

BE

=，

3

4

AD

OA

=得：AD=3a，CE=2a，BE=a

∴D(4a，3a)，E(4a+4，a)

将这两点代入解析得；

3

4

44

k

a

a

k

a

a

?

=

??

?

?=

?+

?

解得：a=

1

2

∴BC=AD=

3

2

故选：B

【点睛】

本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解.

19．已知反比例函数y＝﹣

2

x

的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若

x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）

A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．

【详解】

解：∵反比例函数y＝﹣2

x

，

∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，

∵函数的图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2）、（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，

∴y2＜y1＜0，y3＞0

∴. y2＜y1＜y3

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键．

20．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转

90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=k

x

的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（）

A．6 B．﹣3 C．3 D．6【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．【详解】

如图所示：

∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，反比例函数

y=k

x

的图象经过点A的对应点A′，

∴A′（3，1），

则把A′代入y=k

x

，

解得：k=3．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出A′点坐标是解题关键．