最新含参数的二次函数问题教学文案

杭九年级数学校本作业编制人：

含参数的二次函数问题姓名_________

1、将二次函数2

()1y x k k =--++的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后，顶点在直线21y x =+上，则k 的值为（）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

2、关于x 的二次函数

2()1y x m =--的图象与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C.下列说法正确的是（）

A ．点C 的坐标是（0，-1）

B ．点(1, -2m )在该二次函数的图象上

C ．线段AB 的长为2m

D ．若当1≤x 时，y 随x 的增大而减小，则1≥m

3、如图，抛物线2+(0)y ax bx c a =+≠过点（1，0）和点（0，-4），且顶

点在第三象限，设P =c b a +-，则P 的取值范围是（）

A ．-8＜P ＜0

B ．-8＜P ＜-4

C ．-4＜P ＜0

D ．-2＜P ＜0

4、下列四个说法：

①已知反比例函数6y x =，则当32

y ≤时自变量x 的取值范围是4x ≥； ②点11(,)x y 和点22(,)x y 在反比例函数3y x =-

的图象上，若12x x <，则12y y <； ③二次函数228+13-30)y x x x =+≤≤（的最大值为13，最小值为7；

④已知函数2213y x mx =++的图象当24x ≤时，y 随着x 的增大而减小，则m =23

-．其中正确的是（）

A ．④

B ．①②

C ．③④

D ．四个说法都不对

5、已知下列命题：

①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c x

c x 的根是c ；

②在反比例函数x y 2=

中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；

④函数y = kx 2+(3k +2)x +1，对于任意负实数k ，当x

A ．①③

B ．③

C ．②④

D ．③④

6、二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列

结论：（1）c

a ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）4=x 是方程ax 2+（

b +1）x +

c =0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜4时，ax 2+（b +1）x +c ＞0．其中正确的个数为( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7、设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点(3，0)，(7，– 8)，当3≤x ≤7时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是．

8、已知抛物线)2)(1(k x x k y -

+=与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为．

9、已知函数()??? ??

-+=k x x k y 31，下列说法：①方程()3-31=??? ?

?-+k x x k 必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当k >3时，抛物线顶点在第三象限；④若k <0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大. 其中正确的序号是 .

10、如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，

B )2,4(，一次函数1-=kx y 的图象平分它的面积. 若关于x 的函数

k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的

值为 .

11、已知函数()n mx x n y m

-+++=11（m ，n 为实数） (1)当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；

(2)若它是一个二次函数，假设，那么：

①当时，y 随x 的增大而减小. 请判断这个命题的真假并说明理由；

②它一定过哪个点？请说明理由.

12、已知抛物线p ：12

3)1(2-++-=k x k x y 和直线l :2k kx y +=：（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：

①无论k 取何实数值，抛物线p 总与x 轴有两个不同的交点；

②无论k 取何实数值，直线l 与y 轴的负半轴没有交点；

（2）设抛物线p 与y 轴交点为C ，与x 轴的交点为A 、B ，原点O 不在线段AB 上；直线l 与x 轴的交点为D ，与y 轴交点为C 1，当OC 1＝OC ＋2且OD 2＝4AB 2时，求出抛物线的解析式及最小值.

13、我们知道，x y =的图象向右平移1个单位得到1-=x y 的图象.类似的，x k y =

）

0（≠k 的图象向左平移2个单位得到）0（2≠+=k x k y 的图象.请运用这一知识解决问题.如图，x

y 2=的图象C 与y =ax （a ≠0）的图象L 相交于点A （1，m ）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数x y 2=

的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位，得到的图象分别记为C 1和L 1，

已知图象C 1经过点M （3，2）．

①分别写出平移后的两个图象C 1和L 1对应的函数

关系式；

②直接写出不等式

ax x ≤+-42

2的解集.

、已知二次函数22

(21)h x m x m m =--+-（m 是常数，且0m ≠）. （1）证明：不论m 取何值时，该二次函数图象总与x 轴有两个交点；

（2）若A 2(3,2)n n -+、B 2

(1,2)n n -++是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解

析式和n 的值；

（3）设二次函数22(21)h x m x m m =--+-与x 轴两个交点的横坐标分别为1x ，2x （其中1x >2x ），若y 是关于m 的函数，且2122x y x =-

，请结合函数的图象回答：当y

15、如图，抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴相交于点A ，P （a ，m a a ++-2

72）（a 为任意实数）在抛物线上，直线b kx y +=经过A 、B 两点，平行于y 轴的直线2=x 交直线AB 于点D ，交抛物线于点E .

(1)若2=m ，①求直线AB 的解析式；②直线t x =0(≤t ≤)4与直线AB 相交于点F ，与抛物线相交于点G . 若FG :DE =3:4，求t 的值；

(2)当EO 平分AED ∠时，求m 的值.

（第14题）

二次函数专题之参数范围问题

二次函数专题之参数范围问题 1.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=2 1 x 2-x+2与y 轴交于点A,顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称。（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4，将抛物线在点A,D 之间的部分（包含点A,D ）记为图像G,若图象G 向下平移t （t ＞0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围。 2.已知关于x 的一元二次方程ax 2-2(a-1)x+a-2=0(a ＞0). （1）求证：方程有两个不等的实数根. （2）设方程的两个实数根分别为x 1,x 2（其中x 1＞x 2）.若y 是关于a 的函数，且y=a x 2+x 1,求这个函数的表达式. （3）在（2）的条件下，若使y ≤-3a 2+1，则自变量a 的取值范围为?

3.已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0. （1）求证：方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根；（2）求证：抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xoy中，若（2）中的定点记作A，抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围. 4.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值. （2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度，再向下平移m2+1个单位长度，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.

含参数二次函数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.

含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x 2项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式： ax 2 a 2 x 1 0 分析：本题二次项系数含有参数， a 2 2 4a a 2 4 0 ，故只需对二次项系数进行分类讨论。 2 解：∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时，不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析因为 a 0， 0 ，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x|2 x 3 、按判别式的符号分类，即 0, 0, 0 ；例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑与根的情况。解： ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时，解集为 R ；解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a

当 a 4即Δ＝0时，解集为 x x R 且x a ；当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 ， x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ，即 0 时，解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类，即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2； 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析：此不等式可以分解为： x a (x ) 0 ，故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解：原不等式可化为： x a (x ) 0 ，令 a ，可得： a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时， a ，故原不等式的解集为 x |a x ； a 1 当 a 1 或 a 1 时， a , 可得其解集为； a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 ， a 0 分析此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ，又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ，故所以当 m 3 ，即 0 时，解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ，即 0 时，解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ；； a a 2 16 a a 16 ，显然 ∴不等式的解集为

含字母参数的二次函数问题

含字母参数的二次函数问题引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.

它们的图像特征如下：开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根．练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。（1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-