山西省长治二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
山西省长治二中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合M=｛0,1,2｝,N=｛x|x=2a,a∈M｝，则集合M∩N等于()
A. ｛0｝
B. ｛0,1｝
C. ｛1,2｝
D. ｛0,2｝
2.某大学自主招生面试环节中，七位评委为考生A打出的分数如茎叶图所示，
统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为85，复核员在复
核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 9
3.设α∈{?2,?1,1
2
?,1?,?2?,?3}，则使y=x a为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α值为()．
A. ?2
B. ?1
C. 1
2
D. 3
4.在区间[?1,5]上随机地取一个实数a，则方程x2?2ax+4a?3=0有两个正根的概率为()
A. 3
8B. 1
2
C. 2
3
D. 1
3
5.抛掷一颗骰子，观察向上的点数．下列每对事件相互对立的是()
A. “点数为2”与“点数为3”
B. “点数小于4”与“点数大于4”
C. “点数为奇数”与“点数为偶数”
D. “点数小于4”与“点数大于2”
6.某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，
为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1,200]的人做试卷A，编号落入区间[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为()
A. 10
B. 12
C. 18
D. 28
7.为了解某校高三学生身体状况，采用分层抽样的方法从本年级学生中随机抽取部分男生和女生
进行体重测量，并将男生体重数据整理后，得到如图所示的频率分布直方图，已知从左到右前三个小组频率之比为，第二小组频数为10，已知年级中男、女生比例为，则从该年级中抽取的学生总数为
A. 40
B. 70
C. 210
D. 30
8. 某运动员每次射击命中不低于8环的概率为3
5，命中8环以下的概率为2
5，现用随机模拟的方法
估计该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率：先用计算器产生0至9之间取整数值的随机数．指定0、1、2、3、4、5表示命中不低于8环，6、7、8、9表示命中8环以下，再以三个随机数作为一组．代表三次射击的结果，产生如下20组随机数： 524 207 443 815 510 013 429 966 027 954 576 086 324 409 472 796 544 917 460 962
据此估计，该运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下的概率为( )
A. 3
10
B. 7
20
C. 2
5
D. 9
20
9. 一组数据x 1,x 2,?,x n 的平均数是3，方差是5，则数据3x 1+2,3x 2+2,?3x n +2的平均数和方
差分别是( )
A. 11，45
B. 5，45
C. 3，5
D. 5，15
10. 已知函数f(x)={
3x +1,x >0,
x +2,x ?0,
若f (a )=1，则f (?a )=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 10
11. 若函数f(x)=log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )
A. (0,3
4) B. [0,3
4)
C. [0,3
4]
D. (?∞,0]∪(3
4，+∞)
12. 已知函数f(x)=|lnx|?ax 有三个零点，则实数a 的取值范围是 ( )
A. (0,1
e )
B. (0,e)
C. (1
e ,+∞)
D. (e,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000
颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为____________平方米．
14.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为________．
15.一只昆虫在边长分别为6、8、10的三角区域内随机爬行，则它到三角形的顶点的距离大于2的
地方的概率为______．
16.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x?1)，且当x∈[?1,1]时，f(x)=x2，则函数y=
f(x)的图象与函数y=log5x的图象的交点个数为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.某校高三年级共有学生1200名，为了解学生某次月考的情况，抽取了部分学生的成绩(得分均
为整数，满分为100分)进行统计，绘制出如下尚未完成的频率分布表：
分组频数频率
[40,50)40.04
[50,60)0.12
[60,70)38
[70,80)0.31
[80,90)
[90,100]0.01
(1)补充完整题中的频率分布表；
(2)若成绩在[80,100]为优秀，估计该校高三年级学生在这次月考中，成绩优秀的学生约为多少
人．
18.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则算甲赢，否则算乙
赢。
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，以B表示“甲至少赢一次”的事件，C表示“乙至少赢2次”的事件，试问B
与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏公平吗？请说明理由。
19.某公司对研发的一种新产品在正式进入市场前作试销售，经统计得到如下一组数据：
(1)已知销量y与单价x具有线性回归关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)若该产品每件的成本为6.3元，要使得进入市场销售利润最大，请利用所求的线性回归关系预
测销售单价应该定为多少元？
线性回归方程y^=a^+b^x中斜率和截距最小二乘估计计算公式如下：b?=n
i=1i
?x)(y i?y)
∑(x?x)2
n
，a?=
y??b?x．
20.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段
[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
(3)用分层抽样的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个
总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70,80)的概率．
21.在区间[1,5]上任取一个数记为m，在区间[1,4]上任取一个数记为n．
(1)若m，n∈N?，求方程x2
m +y2
n
=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；
(2)若m，n∈R，求方程x2
m +y2
n
=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．
22.已知函数f(x)=x2?(x?a)|x?a|?x(a∈R)．
(Ⅰ)若f(x)在R上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)设g(x)=ax+1，x∈(?∞,a]，求不等式f(x)≥g(x)的解集．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集．
解：由题意可得：集合N=｛0,2,4｝，
所以M∩N={0,2}，
故选D．
2.答案：B
解析：解：若x≤2，则去掉的两个数为93和80+x，此时剩余83，84，82，85，87，则平均数为(?2?1?3+2)<85不成立．
85+1
5
如x>2，则去掉的两个数为93和82，则x=85×5?83?84?85?87?80=6．
故选B．
利用茎叶图，结合平均数的大小计算出x的值即可．
本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的计算，比较基础．
3.答案：B
解析：
本题主要考查幂函数的性质，当指数大于零时，在第一象限为增函数，当指数小于零时，在第一象限为减函数，其他象限结合奇偶性解决．
解：根据幂函数的性质，当α=?1时，y=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减．
故选B．
4.答案：A
解析：
本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．
解：若方程x 2?2ax +4a ?3=0有两个正根， 则满足{Δ=4a 2?4(4a ?3)≥0
4a ?3>0
2a >0
, 即{a ≥3或a ≤1
a >
34
a >0
，得34 则对应的概率P =1? 3 4 5?(?1)+5?35?(?1)=124+13=3 8 ． 故选A ． 5.答案：C 解析： 本题考查对立事件与互斥事件，考查学生对概念的理解，属于简单题． 根据题意，抛掷一颗骰子，向上的点数是1、2、3、4、5、6，即可得出结论． 解：A.“点数为2”与“点数为3”是互斥不对立事件，故A 错误； B .“点数小于4”与“点数大于4”是互斥不对立事件，故B 错误； C .“点数为奇数”与“点数为偶数”是对立事件，故C 正确； D .“点数小于4”与“点数大于2”既不是互斥事件也不是对立事件，故D 错误． 故选C ． 6.答案：B 解析： 由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=20n?2，由561≤20n?2≤800，求得正整数n的个数，即为所求． 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础． 解：∵800÷40=20， ∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列， 且此等差数列的通项公式为a n=18+20(n?1)=20n?2． 落入区间[561,800]的人做问卷C， 由561≤20n?2≤800， 即563≤20n≤802 解得283 20≤n≤401 10 ． 再由n为正整数可得29≤n≤40， ∴做问卷C的人数为40?29+1=12， 故选：B． 7.答案：B 解析： 本题考查全校抽取学生数的求法，考查频率分布直方图、等可能事件概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 解：设第一小组的频率为x， 则由频率分布直方图，得： x+2x+3x+0.0375×5+0.0125×5=1， 解得x=0.125， ∴第二小组的频率为2x=0.25， ∵第二小组频数为10， ∴抽取的男生人数为：10 0.25 =40， ∵全校男、女生比例为4：3， 则女生数为30． ∴全校抽取学生数为30+40=70． 故选B． 8.答案：C 解析：解：运动员三次射击中有两次命中不低于8环，一次命中8环以下有：207 815 429 027 954 409 472 460共8组， 则P=8 20=2 5 ， 故选：C． 根据古典概型的概率公式进行计算即可． 本题主要考查古典概型的概率的计算，求出满足条件的事件个数是解决本题的关键． 9.答案：A 解析： 本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用． 若x1，x2，…，x n的平均数是x，方差是s2，则数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数为ax+b，方差为a2s2． 解：∵一组数据x1，x2，…，x n的平均数是3，方差是5， ∴数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数为3×3+2=11， 方差为：32×5=45． 故选：A． 10.答案：B 解析： 本题考查分段函数求值，属于基础题． 根据f(a)=1，求出a=?1，再代入计算f(1)，即可得到答案． 解：因为当x >0时，f (x )=3x +1>2， 所以a <0， 所以f(a)=a +2=1，解得a =?1． 则f(?a)=f(1)=4． 故选B ． 11.答案：B 解析： 本题主要考查了恒成立的问题．解题的关键是将问题转化为kx 2+4kx +3>0对任意的x 恒成立， 然后利用数形结合的思想将问题转化为函数g(x)=kx 2+4kx +3的图象恒在x 轴上方，要注意k =0不能漏掉讨论． 由于函数f(x)=log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则kx 2+4kx +3>0对任意的x 恒成立，然后分k =0和k ≠0进行讨论即可． 解：∵函数f(x)=log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ， ∴kx 2+4kx +3>0对任意的x 恒成立． ∴当k =0时，3>0对任意的x 恒成立，符合题意； 当k ≠0时，若kx 2+4kx +3>0对任意的x 恒成立， 只需{k >0Δ<0 即可，此时0 综上所述k ∈[0,3 4)． 故选：B ． 12.答案：A 解析： 本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力． 利用已知条件，推出y =|lnx|与直线y =ax 有三个不同的交点，通过a 的范围，分析求解即可． 解：函数f(x)=|lnx|?ax ，有三个零点，可转化为y =|lnx|与直线y =ax 有三个不同的交点， 显然a ≤0时不满足条件． 当a >0时，若x >1，y =|lnx|=lnx ，y ′=1 x ， 设切点坐标为(x0,lnx0)，切线方程为：y?lnx0=1x (x?x0)， 切线过原点，则?lnx0=1x 0·(?x0)=?1，解得x0=e，此时切线的斜率为1 e ， 故当0 e 时，当x>1时，直线y=ax与y=|lnx|有两个交点，当0 故选A． 13.答案：8 3 解析：解：∵向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，记“黄豆落在正方形区域内”为事件A ∴P(A)=375 1000 = 3 8 = S 正 S 不 ∴S 不规则图形=8 3 平方米 故答案为8 3 ． 14.答案： 2 解析： 【分析】 本题考查平均数、方差，属于基础题．直接利用平均数和方差公式计算即可求解． 解：由平均数是2017得2015+2017+x+2018+2016 5 =2017， 则x=2019， 该组样本数据的方差为4+0+4+1+1 5 =2． 故答案为2． 15.答案：1?π 12 解析：解：昆虫活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6，8，10，是直角三角形， ∴面积为1 2 ×6×8=24，而“恰在离三个顶点距离都小于2”正好是一个半径为2的半圆， 面积为1 2π×22=4π×1 2 =2π， ∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离大于2的地方的概率为1?2π 24=1?π 12 ． 故答案为：1?π 12 ． 先求出三角形的面积，再求出据三角形的三顶点距离小于等于2的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积，利用几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于2的地方的概率，即可得出结论． 本题主要考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、圆的面积公式，属于中档题． 16.答案：4 解析： 【分析】 本题考查函数的性质及利用数形结合求函数交点． 函数y=f(x)的周期为2，做出函数y=f(x)与y=log5x的图象数形结合可得交点个数． 解：函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x?1)， 则函数y=f(x)的周期为2， 由x∈[?1,1]时，f(x)=x2，做出函数y=f(x)与y=log5x的图象如图所示， 可得交点的个数为4． 故答案为4． 17.答案：解：(1)由题意可得，抽取的学生人数为4÷0.04=100， 成绩在[50,60)的学生人数为100×0.12=12， 成绩在[60,70)的频率为38÷100=0.38， 成绩在[70,80)的学生人数为100×0.31=31， 成绩在[80,90)的频率为1?0.04?0.12?0.38?0.31?0.01=0.14， 学生人数为100×0.14=14， 成绩在[90,100]的学生人数为100×0.01=1． 故频率分布表为： (2)由(1)可得，成绩在[80,100]的频率为0.14+0.01=0.15， 故成绩优秀的学生人数约为1200×0.15=180． 解析：本题主要考查了统计的频率分布表，属于较易题． (1)由图表所给的数据可求得抽取的总人数，再由所给的频数与频率即可求解； (2)由(1)所求得的数据可知成绩在[80,100]的频率，再由此频率即可估算全校在该成绩段的人数．18.答案：解：(1)基本事件空间与点集S={(x,y)|x∈N?，y∈N?，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应 因为S中点的总数为5×5=25(个)， ∴基本事件总数为n=25． 事件A 包含的基本事件数共5个： (1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)， ∴P(A)= 5 25=1 5 ． (2)现连玩三次，以B 表示“甲至少赢一次”的事件等价于“乙至多赢二次” 故B 与C 不是互斥事件。 (3)这种游戏规则不公平 由(1)知和为偶数的基本事件为13个， ∴甲赢的概率为13 25，乙赢的概率为12 25， ∴这种游戏规则不公平． 解析：本题考查等可能事件的概率，用概率知识解决实际问题，求文科的概率要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题经常同其他的知识点结合在一起． (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数为5×5，基本事件总数为25，事件A 包含的基本事件数可以列举出来共5个，根据概率公式得到结果． (2)先求出甲赢的概率，由(1)知和为偶数的基本事件为13个，甲赢的概率为13 25，乙赢的概率为12 25，甲赢得概率比乙赢得概率要大，所以不公平． 19.答案：解：(1)由题意，可得x =1 6(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5， y =1 6(90+84+83+80+75+68)=80， 则b ?=n i=1i ?x)(y i ?y)∑(x ?x)2 n =?20， a ?=y ?b ?x =80?(?20)×8.5=250， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ?=?20x +250； (2)设单价为x 元， 则利润z =(x ?6.3)(?20x + 250)()， 所以z = 20(x ?6.3)(?x + 12.5)≤20[(x?6.3)+(?x+12.5)2 ]2 ， 当且仅当x ?6.3 =?x + 12.5， 即x = 9.4时，上式取等号， 所以要使得利润最大，单价应该定为9.4元． 解析：本题主要考查线性回归直线方程，利用基本不等式求最值，考查数据处理、运算求解能力，属于中档题． (1)由已知求出x,y，利用最小二乘估计计算公式求出a?,b?，即可求出y关于x的线性回归方程； (2)先设单价为x元，得到利润z的解析式，再利用基本不等式求最值，即可求出利润最大的单价．20.答案：解：(1)分数在[70,80)内的频率为： 1?(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1? 0.7=0.3， 故0.3 10 =0.03， 如图所示： (2)平均分为： x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71， (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60=9人； [70,80)分数段的人数为：0.3×60=18人； ∵在[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n； [70,80)分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d； 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)为事件A， 则基本事件空间包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)、(a,b)、(a,c)、(a,d)、(b,c)、(b,d)、(c,d)共15种， 则事件A包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9种， ∴P(A)=9 15=3 5 ． 解析：本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．属于基础题． (1)频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70,80) 内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可； (2)同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分； (3)先计算[60,70)、[70,80)分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)为事件A，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后求出题目比值即可． 21.答案：解：(1)∵在区间[1,5]上任取一个数记为m，在区 间[1,4]上任取一个数记为n，m，n∈N?， ∴m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4， ∴基本事件总数N=5×4=20， 又方程x2 m +y2 n =1表示焦点在x轴上的椭圆， ∴m>n，满足条件的基本事件(m,n)有10个，分别是(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)， ∴方程x2 m +y2 n =1表示焦点在x轴上的椭圆的概率P1=10 20 =1 2 ． (2)∵在区间[1,5]上任取一个数记为m，在区间[1,4]上任取一个数记为n，m，n∈R， ∴D：{1≤m≤5, 1≤n≤4. 又方程x2 m +y2 n =1表示焦点在x轴上的椭圆， ∴(m,n)满足d： ∴方程x2 m +y2 n =1表示焦点在x轴上的椭圆的概率 P2=d的面积 D的面积=4×3? 1 2 ×32 4×3 =5 8 ． 解析： (1)m=1，2，3，4，5，n=1，2，3，4，基本事件总数N=5×4=20，方程x2 m +y2 n =1表示焦点 在x轴上的椭圆，从而m>n，由此利用列举法能求出方程x2 m +y2 n =1表示焦点在x轴上的椭圆的概 率; (2)D ：{1≤m ≤5,1≤n ≤4. ，方程x 2m +y 2 n =1表示焦点在x 轴上的椭圆，(m,n)满足d ：{1≤m ≤5 1≤n ≤4m >n ，由此利 用几何概型能求出方程 x 2m + y 2n =1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用． 22.答案：解：(Ⅰ)由题意知f(x)={x 2?(x ?a)2?x, x >a x 2 ?(x ?a)(a ?x)?x,?x ≤a ， 化简得：f(x)={(2a ?1)x ?a 2, x >a 2x 2?(2a +1)x +a 2,?x ≤a ， 由于(2a ?1)a ?a 2=2a 2?(2a +1)a +a 2， 要使f(x)在R 上是单调递减函数， 则有{2a ?1<02a+14 ≥a ，解得a <1 2； (Ⅱ)由(I)知，当x ∈(?∞,a]时，f(x)=2x 2?(2a +1)x +a 2， 由g(x)=ax +1，则f(x)≥g(x)即f(x)?g(x)≥0， 即有2x 2?(3a +1)x +a 2?1≥0， 因式分解化简得：[x ?(a +1)][2x ?(a ?1)]≥0(?) (?)式所对应方程的两根为x 1=a +1，x 2=a?12 ， (i)当a +1>a?12 ?a >?3时，