基本初等函数(整理)
1.1 初等函数图象及性质
1.1.1 幂函数
1函数（μ是常数）叫做幂函数。
2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。
但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。
3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]
4
2
-551015
-2
-4
-6
4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1
注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.
②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0
上无限接近y轴，向右无限接近x轴.
③当x>1时，指数大的图像在上方.
1.1.2 指数函数与对数函数
1．指数函数
1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。
2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，
且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数是单调增加的。若0 是单调减少的。 a ＞1 0＜a ＜1 图 象 性 质 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0，1) (4)在R 上增函数 (4)在R 上减函数 有理指数幂的意义、幂的运算法则： ①m n m n a a a +?=；②()m n mn a a =；③()n n n ab a b =（这时m,n 是有理数） 分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1==== - -。 2．对数函数 由此可知，今后常用关系式，如： 指数函数的反函数，记作（a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 对数函数的图象和性质 a>1 0 图象 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 1 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -112345678 1 1 性质定义域：（0，+∞） 值域：R 过点（1，0），即当x＝1时，y＝0 x∈（0，1）时y＜0 x∈（1，＋∞）时y＞0 x∈（0，1）时y＞0 x∈（1，＋∞）时y＜0 在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数 重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1 ⑶对数恒等式N a N a =log (4) log a a b ＝b 运算法则 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N ＝log a M －log a N ； (3)1 log log ;log log n n a a a a M n M M M n == 对数换底公式： log a N ＝log m N log m a (a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0) 1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数 ，奇函数、有界函数、周期函数 ； ，偶函数、有界函数、周期函数 ； ， 的一切实数，奇函数、 周期函数 ， 的一切实数，奇函数、 周期函数 ； ， ；； 正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞ )，值域都是必区间[-1,1]。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。[如图] ；。 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦：，奇函数，单调增函数； 双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增； 双曲正切：，奇函数，单调增函数。 函数的图形见书P27~P28。 下面公式成立 ， ， ， 。 反双曲正弦 反双曲余弦， 反双曲正切 函数图形的变换 平移 ①由的图形，作的图形。图形右移，，图形左移。如：由图形作的图形。由的图形作的图形。 ②由的图形作的图形。，图形上移，，图形下移。如：由的图形作的图形。 翻转 ①由图形作的图形。（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。 ②由图形作的图形。（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。 迭加与放缩（略） 基本初等函数、函数的应用(小题) 热点一 基本初等函数的图象与性质 1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中异同. 2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，1 2，－1五种情况. 例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313 log 0.6，b ＝1 2 1 log 4，c ＝0.413 log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 0.60.4>0.50.4， ∴0.313 log 0.6<0.413 log 0.5， 0.413 log 0.5＝130.4log 0.5<131 0.4log 3＝0.4， 所以a 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 高中数学复习：基本初等函数、函数的应用 1.已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则( ) A.a 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 高中基本初等函数及函数的应用 指数函数 指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是 ： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 指数函数及其性质 对数函数 对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = 第2讲 基本初等函数、函数的应用 高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题 . 真 题 感 悟 1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a 2b B.a <2b C.a >b 2 D.a 令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )， ∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a ) 课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用 [基础巩固] 一、选择题 1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) [解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的． [答案] B 2．(2018·河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A ．100只 B ．200只 C ．300只 D ．400只 [解析] 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. [答案] B 3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 [解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N * )个“半衰期”后的含 量为? ????12n ，由? ????12n < 11000 得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C. [答案] C 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a - = （6） ,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 基本初等函数及其应用复习 知识体系 "次方根及其性质 基本初等函数 定义 对数2运算性质 对数与对数函数 对数换底公式 实战训练 一、选择题 1. 下列函数与y 二兀有相同图象的一个函数是( ) A. y = B. y = — C. y =肆宀(a 〉0且a H 1) D. y = log (/ a x x ? 2. 函数y = 3V 与y = -3一“的图彖关于下列那种图形对称( ) A. x 轴 B. y 轴 C.庖线y 二x D.原点中心对称 3 _3 3. 已知x + 则迈+兀=值为( ) A. 3^3 B. 2^5 C. 4^5 D. -4^5 4. 函.数y 二Jlog/3兀一2)的定义域是( ) 2 2 2 A. [l,4-oo) B. (—, +00) C. [―,1] D. (~,1] 5. 若 A = {x \ y= \/x-\}, . B = {^ I y = x 2 +1},则 4cB=( ) A. [l,+oo) B. .(l,+oo) C. (0,+co) . . D. (0,4-oo) 6. 已知函数：①ytsin'x ；②y =兀'+兀；③y = _cosx ；④y = x 5，其中偶函数的个数 为( ) A..1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若/(Inx) = 3x + 4,则/(x)的表达式为() 指数 指数与指数函数 根式及其性质 分数指数幕 有理数指数幕的运算性质 指数函数 定义 图象和性质 幕函数 定义 对数函数 定义 图象和性质 图象和性质 A. 31nx B. 3 In x + 4 C. 3e x D. 3e x + 4 8. —次函数gS)满足g[g(x)] = 9x + 8,则￡(兀)是( )? A. ^(x) = 9x + 8 B. g(x) = 3x + 2 C. g(x) = -3x-4 D. g(x) = 3x + 2或g(x) = -3x-4 9. 函数y = 2一宀"J 的单调递增区间是( ) A. (—,+oo) B. (-00,—) . C. (-oo,l) D. (l,+oo) 2 2 10. —水池冇2个进水口，1个岀水口，进出水速度如图叩.乙所示.某天0点到6点，该 水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 11. 若 y = x 2,y = (―)A ,y = 4x 2,y = x 5 +l,y = (x-l)2,y =兀,y = a x (a > 1)上述函数是幕 2 函数的个数是() A.. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 12. 已知/(兀)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内,那么下面命题错误的() A.函数/⑴在(1,2)或[2,3)内有零点 B.函数于⑴在(3,5)内无零点 C.函数/(x)在(2,5)内有零点 D.函数/(x)在(2,4)内不一定有零点 13. 求函数/(X ) = 2X 6 7-3X +1零点的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 如果二次函数y = x 2 + mx + (m + 3)冇两个不同的零点，则加的取值范围是(.) A. (—2,6) B. [—2,6] C. {—2,6} D. (―oo, —2)U (6,+8) 15. 某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩 二、填空题 1. ______________________________________________________ 已知 x 2 + y 2-4x-2y + 5 = 0，则 log r (y x )的?值是 _____________________________________________ I 2. _____________________________ 函数y = 的定义域是 ；值域是. 5. 函数尸(/-加-1卜宀心是幕函数且在(0,+oo)上单调递减，贝IJ 实数加的值为_? 6. _________________________________________________________________ 若函数/(兀)既是幕函数又是反上匕例 1+F 函数y = —-— , XG [3,4J 的最人值为 x-2 x-1 -2, | 设函数/(%) = ? 1 3. 4. 则 / [/(D] = 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根， 其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 核心内容： 知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根* ∈>N n n ,1有如下恒等式： ()a a n n =； ? ? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= = -() 1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值： （1）()( )* ∈>-N n n n n 且,13π； （2）() 2 y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56131212132b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则： （1）()N M N M a a a log log log +=?， （2）N M N M a a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ， （6）a b b a log 1 log = 其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.， 例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）128 1 27= -； （2）273=a ； （3）1.0101=-； （4）532log 2 1-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =. 例4、计算下列各式的值：（1）001.0lg ； （2）8log 4 ； （3）e ln . 例5、已知 ()[]0log log log 234=x ，那么2 1-x 等于 例6、求下列各式的值：（1）8log 2 2； （2）3log 9. 例7、求下列各式中x 的取值范围：（1）()3log 1+-x x ； （2）()23log 21+-x x . 例8、若1052==b a ，则=+b a 1 1 ；方程()13lg lg =++x x 的解=x ________ 例9、（1）化简：7 log 1 7log 17log 1235++； （2）设4log 2006log 5log 4log 3log 20062005432=????????m ，求实数m 的值. 例10、（1）已知518,9log 18==b a ，试用b a ,表示45log 18的值； 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x － 4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4 23 1-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝??? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0， 若f (x －1) 基本函数图像及性质 一、基本函数图像及其性质： 1、一次函数：(0) y kx b k =+≠ 2、正比例函数：(0) y kx k =≠ 3、反比例函数：(0) k y x x =≠ 4、二次函数：2(0) y ax bx c a =++≠ （1）、作图五要素： 2 12 4 (,0),(,0),(0,),(),(,)() 224 b b a c b x x c x a a a - =-- 对称轴顶点（2）、函数与方程：2 =4=0 b ac > ? ? ?-? ?< ? 两个交点 一个交点 没有交点 （3）、根与系数关系： 12 b x x a +=-， 12 c x x a ?= 5、指数函数：(0,1)x y a a a =>≠且 （1）、图像与性质： （i ）1 ()(0,1)x x y a y a a a ==>≠与且关于y 轴对称。 （ii ）1a >时，a 越大，图像越陡。 (2)、应用： （i ）比较大小： （ii ）解不等式： 1、回顾： （1）()m m m ab a b =? （2）()m m m a a b b = 2、基本公式： （1）m n m n a a a +?= （2）m m n n a a a -= （3）()m n m n a a ?= 3、特殊: （1）01(0)a a =≠ （2）11(0)a a a -=≠ （3 ）1;0)n a n a R n a = ∈≥为奇数，为偶数， （4 ;0;0||a n a a a a a n ≥??==? ?- 函数概念基本初等函数函数模型及其应用配套 练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第35课时 函数模型及其应用（3） 分层训练 1． 将进货单价为80元的商品400个， 按90元一个售出时能全部卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了得到最大利润，售价应定为每个（ ）元 ()A 110 ()B 105 ()C 100 ()D 95 2．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定程度可浴用.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水22t 升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供 （ ）洗澡. ()A 3人 ()B 4人 ()C 5 人 ()D 6人 3．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是 元． 4．某商场出售一种商品，定价为a 元，每天可卖1000件，每件可获利4元，根据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件单价应定为 元． 5．某种商品，生产x 吨需投入固定成本1000元，可变成本为21510x x ??+ ?? ?元，而卖出x 吨的价格为每吨p 元，其中x p a b =+（,a b 为常数），如果生产的x 吨产品全部卖掉，可获利y 元，则利润y 与产销量x 的函数关系式为 ． 6．某水厂的蓄水池中有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨水，同 时蓄水池又向居民小区不断供水，t 小时内供水总量为()024t ≤≤. （1）从供水开始到第几小时，蓄水池中水量最小最小水量是多少 （2）若蓄水池中水量小于80吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象 7．东方旅社有100张普通客床，每床每天收租费10元，客床可以全部都租出；若每床每天收费提高2元，出租的床的数量便减少10张；再提高2元，再减少10张，依此变化下去，为了投资少而获利到达每床每天应提高租金 （ ）元. ()A 4 ()B 6 ()C 4或6 ()D 5 8．如图，某工厂8年来某种产品的产量c 与时间t （年）的函数关系，下面四种说法中，正确的是 （ ） 第 1 页共 4 页 基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N *. ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a · s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 值域y >0 在R 上单调递增在R 上单调递减 非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a —底数,N —真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值真数 b a = N ?log a N = b 底数 班级 姓名 学号 分数 《基本初等函数与函数性质的应用》测试卷（A 卷） （测试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共12小题，每题5分，共60分） 1. 设,则的值是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 【答案】B 【解析】 试题分析：令2log t x =，则2t x =，所以2()2t f t =，2 2(2)216f ==，故选B 。 考点：1.指数，对数；2.函数解析式的求法 2. 设ln3a =，ln0.5b =，0.3 2 c -=，则有 （ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】A 【解析】因为函数ln y x =是增函数，所以ln 310ln 0.5;>>>因为函数2x y =是增函数，所以0.302 1.-<<故选A 考点：指数与对数 3. 函数 ,若，则的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】B 考点：考查了函数的奇偶性，以及正弦函数的性质. 4. 设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-=x x f x )2(f 1281682563 ()sin 1()f x x x x R =++∈()2f a =()f a - 【解析】由已知得 2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以 22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点:分段函数． 5. 函数的定义域为 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 试题分析：由2--3+40 -4<0<0x x x ?≥≤≤?≠? 得x 0或x 1，所以函数的定义域为。 考点：函数定义域的求法。 6. 函数13y ?= ??? 的值域是（ ） A. (),0-∞ B. (]0,1 C.[)1,+∞ D. (],1-∞ 【答案】B 【解析】 因为 考点：指数函数的性质 7. 已知函数满足：x ≥4,则＝；当x ＜4时＝，则＝ ( ) A ． B. C. D. 【答案】A 【解析】 23log 32221111 2log 34,(2log 3)(3log 3)()28324 f f ++<∴+=+==?= . 考点：对数，指数函数 8. 函数 y=log 2(x 2 ＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－ 3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞) D ．(－3，－1) 【答案】A ． y x = [4,1]-[4,0)-(0,1][4,0) (0,1]-[4,0)(0,1]-性质可得。 ，有指数函数令x u y y x u x )3 1 ()31(,01,1==≥-= ≥()f x ()f x 1 ()2 x ()f x (1)f x +2(2log 3)f +124112183 8 基本初等函数及图形 (1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数） (2) 幂函数 μ x y =，μ是常数； (3) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； (4) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； 1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间) ,(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m (5) 三角函数 正弦函数x y sin =，) , (+∞ -∞ ∈ x，]1,1 [- ∈ y， 余弦函数x y cos =，) , (+∞ -∞ ∈ x，]1,1 [- ∈ y， 正切函数x y tan =，2 π π+ ≠k x ，k Z ∈，) , (+∞ -∞ ∈ y， 余切函数x y cot =，πk x≠，k Z ∈，) , (+∞ -∞ ∈ y； 1.他的图形为于y轴的右方.并通过点(1,0) 2.当a>1时在区间(0,1),y的值为负.图形位于x的下 方,在区间(1, +∞),y值为正,图形位于x轴上方. 在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/基本初等函数、函数的应用(小题)
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