有界磁场带答案
有界磁场专题
1．如图所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从S 点沿SP 方向同时射入磁场。其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，则粒子从S 点分别到a 、b 所需时间之比为
A ．1∶3
B ．4∶3
C ．3∶2
D ．1∶1
2．如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O 点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a 、b 、c 、d 四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间t a 、t b 、t c 、t d ，其大小关系是
A ．t a B ．t a ＝t b ＝t c ＝t d C ．t a ＝t b >t d >t c D ．t a ＝t b >t c >t d 3．如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点一个带正电的粒子（重力忽略不计）若从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向（如图中虚线所示），以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 A ．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B ．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0 C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是 2 30 t D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间 一定是350t 4．如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O 和y 轴上的点a （0，L ）。一质量为m 、电荷量为e 的电子从a 点以初速度v 0平行于x 轴正方向射入磁场，并从x 轴上的b 点射出磁场，此时速度的方向与x 轴正方向的夹角为60°。下列说法正确的是（ ） A ．电子在磁场中运动的半径为 B ．电子在磁场中运动的时间为 23L v π C ．磁场的磁感应强度0 2mv B eL = D ．电子在磁场中做圆周运动的速度不变 5．如图所示，在直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负离子分别以相同的速度从原点O 进入磁场，进入磁场的速度方向与x 轴正方向夹角为30°。已知正离子运动的轨迹半径大于负离子，则可以判断出 ( ) A ．正离子的比荷大于负离子 B ．正离子在磁场中运动的时间等于负离子 C ．正离子在磁场中受到的向心力大于负离子 D ．正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子 6．如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B ， ∠A.=60o ， AO=L ，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子。已知粒子的比荷为 q m ，发射速度大小都为0qBL v m =。设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是 O x B 30v y A.当θ=45o 时，粒子将从AC 边射出 B.所有从OA 边射出的粒子在磁场中运动时间相等 C.随着θ角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小 D.在AC 边界上只有一半区域有粒子射出 7．如图所示，半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子以速度v 1从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t 1时间射出磁场。另一相同的带电粒子以速度v 2从距离直径AOB 的距离为R/2的C 点平行于直径AOB 方向射入磁场，经过t 2时间射出磁场。两种情况下,粒子射出磁场时的速度方向与初速度方向间的夹角均为600.不计粒子受到的重力，则（ ） A ．v 1: v 2= 1:3 B ．v 1: v 2=1:2 C ．t 1 = t 2 D. t 1 > t 2 8．如图所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向里，大小为B ．现有一质量为m 、电量为q 的带正电粒子，从在x 轴上的某点P 沿着与x 轴成30°角的方向射入磁场。不计重力影响，则下列说法中正确的是( ) A ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m 35π B ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 2Bq m π C ．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 Bq m π D ．粒子一定不能通过坐标原点 9．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过t ?时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。现将带电粒子的速度变为v /3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( ) A. 21t ? B.2 t ? C. 3 1 t ? D.3 t ? 10．如图所示，在OA 和OC 两射线间存在着匀强磁场，∠AOC 为30°，正负电子(质量、电荷量大小相同，电性相反）以相同的速度均从M 点以垂直于OA 的方向垂直射入匀强磁场，下列说法可能正确的是 A ．若正电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为3∶1 B ．若正电子不从O C 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为6∶1 C ．若负电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶1 D ．若负电子不从OC 边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶6 11．如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a 、b 、c ，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向射入磁场，其运动轨迹如图．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法错误．． 的是 A ．三个粒子都带正电荷 B ．c 粒子速率最小 C ．c 粒子在磁场中运动时间最短 D ．它们做圆周运动的周期T a =T b =T c 12．如图所示，L 1和L 2为两条平行的虚线，L 1上方和L 2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A 、B 两点都在L 2上．带电粒子从A 点以初速度v 0与L 2成30°角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B 点，经过B 点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是 A ．若将带电粒子在A 点时的初速度变大(方向不变)，它仍能经过 B 点 B ．带电粒子经过B 点时的速度一定跟在A 点时的速度大小相同 C ．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 D ．若将带电粒子在A 点时的初速度方向改为与L 2成60°角斜向右上方，它将不能经过B 点 13．如图所示,矩形区域Ⅰ和Ⅱ内分别存在方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场(AA′、BB′、CC′、DD′为磁场边界,四者相互平行),磁感应强度大小均为B,矩形区域的长度足够长,磁场宽度及BB′与CC′之间的距离相同.某种带正电的粒子从AA′上的O 1处以大小不同的速度沿与O 1A 成α=30°角进入磁场(如图所示,不计粒子所受重力),当粒子的速度小于某一值时,粒子在区域Ⅰ内的运动时间均为t 0;当速度为v 0时,粒 子在区域Ⅰ内的运动时间为05 t .求: (1)粒子的比荷 q m ；(2)磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度d; (3)速度为v 0的粒子从O 1到DD′所用的时间. 14．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为60°.一质量为m 、带电量为＋q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 1处沿与A 1A 3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A 2A 4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁场．已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求： (1)画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹； (2)粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径R 1和R 2比值； (3)Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)． 带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类 命题人：罗 通 审题人：李吉彬 一、单直线边界磁场 1．进入型：带电粒子以一定速度υ垂直于磁感应强度B 进入磁场. 规律要点： （1）对称性：若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.如图1所示. （2）完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的圆弧轨道恰构成一个完整的圆； 正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=??π，且2-=?θ（或 2+=?θ）. 2．射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子. 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） （1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于 1 2 圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）； （2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于 1 2 圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点. 图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则 m υr= Bq ()2 222aO=r -d-r =dr-d () 2 22Ob=r -d 22224x=ab=aO+Ob=dr-d +r -d 例1．如图所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比 m q 。 υ υ θ θ υ υ O － O ＋ θ φ＋ φ－ 图1 图2 d S b O 2 O 1 a O 有界磁场专题复习 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间． 例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36 ?=的粒子．已知α粒子质量 kg m 271064.6-?=，电量C q 19102.3-?=，试画出α粒子通过磁场 空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角． 二、带电粒子在半无界磁场中的运动 例3、如图3中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线, 在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q 、质量为m 、速率为v 的粒子，粒子射入磁场时 的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用． (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 例4、如图4所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内， M N O , 图1 M N . . . . . . . . . . . . 图4 o cm x /cm y /p ??? ??? ? ????? ?? ? ? ? 有界磁场专题 1．如图所示，有界匀强磁场边界线SP ∥MN ，速率不同的同种带电粒子(重力不计且忽略粒子间的相互作用)从S 点沿SP 方向同时射入磁场。其中穿过a 点的粒子速度v 1与MN 垂直；穿过b 点的粒子速度v 2与MN 成60°角，则粒子从S 点分别到a 、b 所需时间之比为 A ．1∶3 B ．4∶3 C ．3∶2 D ．1∶1 2．如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O 点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a 、b 、c 、d 四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间t a 、t b 、t c 、t d ，其大小关系是 A ．t a 1．(多选)(2019·湖南长沙、望城、浏阳、宁乡四个县市区3月调研)如图1所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则() 图1 A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子速度大 C．从P点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长 2．(2019·闽粤赣三省十校下学期联考)如图2所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场；当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，不计粒子重力，则v1与v2的大小之比为() 图2 A ．1∶3 B ．1∶2 C ．2∶1 D.3∶2 3．(多选)(2019·山东德州市上学期期末)如图3所示，直角三角形 AOC 内有磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里，∠A ＝60°，AO ＝L .在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为q m ，发射速度大小都为qBL m ，粒子重力忽略不计．对 于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( ) 图3 A ．粒子在磁场中运动最长的时间为πm 3Bq B ．粒子在磁场中运动最长的时间为πm Bq C ．粒子在 AC 边界上可以射出的区域长度为L D ．粒子可以从 A 点射出 4.(多选)(2020·山东济宁市模拟)如图4所示，等腰直角三角形abc 区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，在bc 的中点O 处有一粒子源，可沿与ba 平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子均带负电、质量均为m 、电荷量均为q ，已知这些粒子均可以从ab 边离开abc 区域，ab ＝2l ，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用．关于这些粒子，下列说法正确的是( ) 图4 A ．速度的最大值为 ( )2＋1qBl m B ．速度的最小值为qBl m C ．在磁场中运动的最短时间为πm 4qB D ．在磁场中运动的最长时间为πm qB 5．(2019·福建三明市期末质量检测)如图5所示，在一边长为a 的正方形区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场．两个相同的带电荷量为－q (q >0)的粒子，质量均为m ，先后从P 点和Q 点以相同的速度v 0沿垂直于边界方向射入磁场，两粒子在图中M 点相遇．不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，已知PO ＝ 32a ，QO ＝36a ，OM ＝1 2 a ，则( ) 习题课一 带电粒子在匀强磁场中的运动 一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1.基本问题 【例题1】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感应强度为B 、宽度为d 的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300 .求: (1)电子的质量m (2)电子在磁场中的运动时间t 【小结】处理带电粒子在匀强磁场中的运动的方法： 1、 找圆心、画轨迹（利用F ⊥v 或利用弦的中垂线）； 2、 定半径（几何法求半径或向心力公式求半径） 3、 求时间（t= 0360θ ×Ｔ或t= v s ） 注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。 ① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； ② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 2.应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。 【例题2】如图—所示，在y ＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O 点射入磁场，入射方向在xy 平面内，与x 轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为l ，求该粒子的电量和质量之比 m q 。 【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。 【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H ，由与几何关系得： R L s i n θ=1 2 ① 带电粒子在磁场中作圆周运动，由 qv B mv R 00 2 = 解得R mv qB = ② ①②联立解得 q m v LB =20sin θ 【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。 2qBd m v = 303603d t T v π= = 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。 一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法 1．圆心的确定 因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。 2．半径的确定和计算 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点： ①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。 ②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。 3．粒子在磁场中运动时间的确定 若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出 圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T 即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t 与运动轨迹的长短无关。 4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 ①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。 a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标） b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标） c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。 ②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。 专题3.6 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题（1） 该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。 1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 2. 常用方法 ①对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。 ②旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法”。 ③放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法”。 【典例1】(2016·全国卷Ⅲ) 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A. mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB 【答案】 D 【解析】 如图所示， 粒子在磁场中运动的轨迹半径为R ＝mv qB 。设入射点为A ，出射点为B ，圆弧与ON 的交点为P 。由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB ＝R 。 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱 带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按 已知参数可将问题分为如下10类（2 5C ），并可归并为6大类型。 所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定） 这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。 【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A ．使粒子的速度v 带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析 一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时,一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心,从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。 1、首先确定圆心： 一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 三个常用方法： 方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心 由于向心力的方向与线速度方向互相垂直,洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力,其延长线的交点即为圆心。 例1：如图1所示，一个质量为ｍ电荷量为ｑ的带电粒子从x 轴上的P （a ,０）点以速度v,沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。 解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点Ｏ即为粒子做圆运动的圆心,由图可以看出，轨道半径为 3 260sin a a r = = ,洛仑兹力是向心力r mv qBv 2 = ，由①②解得aq mv B a r 23,32==. 射出点的纵坐标为（ｒ+r ｓin30°）=1.５r ，因此射出点坐标为（０,a 3)。 方法二:利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心 带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时,如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向,可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。 例2:电子自静止开始经M 、N 板间(两板间的电压为U)的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为ｄ的匀强磁场中,电子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为Ｌ,如图2所示,求： (1)正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； (２）匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为ｍ，电量为e) 解析:（1)联结ＡP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦,做弦AP 的中垂线,由于电子通过Ａ点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过Ａ点的半径与磁场的左边界重合。ＡP 弦的中垂线ＯC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心,以O 为圆心以OA 为半径画圆弧,如图3所示， （2)在M 、Ｎ间加速后获得的速度为v ，由动能定理得: 22 1mv eU = 电子进入磁场后做匀速圆周运动,设其半径为r ，则：r v m eBv 2 = 在△ＡQP 中：2 2 sin d L L += θ 在△A ＣO 中 :r d L r AC 2/sin 2 2+==θ 由①②③④解得:Ｂ = e mU d L L 222 2+ 方法三:利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心 当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置,而不知道射出点的位置,应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。 例3、一质量为ｍ、带电量为+q 的粒子以速度v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后,从Ｂ 处穿过ｘ轴,速度方向与x 轴正方向的夹角为３0°,同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中,通过了B 点正下方的C 点。如图示4所示,不计重力，试求： （1)圆形匀强磁场区域的最小面积; （2）C 点到B 点的距离h 。 解析:（1)反向延长ｖb 交ｙ轴于O 2点，作∠B Ｏ2O 的角平分线交x 轴于Ｏ1,O 1即为圆运动轨道的圆心,OO 1即为圆运动轨道的半径,其半径为 qB mv OO R ==1 画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O 2于A 点,最小的圆形磁 场区域是以ＯA 为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则 R r OA 32== 2m in r S π= 利用①②③解得2 222min 43B q v m S π= （２） Ｂ到C 受电场力作用，做类平抛运动,沿初速方向:vt h = 30sin 沿电场方向：22130cos t m qE h ?= 利用④⑤消去ｔ解得qE mv h 2 34=. 2.半径的确定和计算 带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析 甘肃省 兰州市第五十八中学 李秀明 邮编730060 【摘要】带电粒子在有界匀强磁场中的运动类问题，因其能有效考察学生数理结合能力、图形图像能力、空间思维能力而成为历年高考的热点之一。本文从带电粒子在匀强磁场中运动的基本物理模型出发，结合数学知识探究解决此类问题的一般规律。 【关键词】带电粒子 匀强磁场 一、 带电粒子在匀强磁场中的受力特点和运动规律 电量为q 的带粒子以速度v 垂直进入匀强磁场B 时，受到的洛仑兹力f=qvB 始终与运动方向垂直，因此在匀强磁场中做匀速圆周运动，且有： F 向=f=r v 2m 解得：圆周运动半径r=qB m v 圆周运动周期T=qB m 2v r 2ππ= 二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动规律 当带电粒子穿越有界匀强磁场区域时，带电粒子在磁场中垂直磁场方向的平面内的运动轨迹为一段圆弧，两端点的半径和圆弧围成一个扇面，其几何尺寸与圆周运动的半径相联系，在磁场中运动的时间与扇面的圆心角相对应。解决这类问题的核心是正确画出在磁场中运动的扇面，然后利用半径公式求解相关距离，利用周期公式求解在磁场中运动所需时间。 例一、如图1所示，带电量为q 的正电荷以速度 v 从a 点射入垂直纸面向里的匀强磁场B 中，入射方向与磁场边界的夹角为θ，求出射点到入射点间的距 离及带电粒子在磁场中运动的时间。 解析：（1）、带电粒子在磁场中运动轨迹如图， 根据带电粒子在磁场中圆周运动规律和几何关系知：圆周半径：r=qB m v ① 出射点b 到入射点a 之间的距离：L=2rsin ② 解得：L=θsin qB mv 2 结论：两点间距离与带电粒子的比荷、入射速度、入射方向、磁感应强度都有关。 v v 正电荷 负电荷 专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题 目练习】 1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁 场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大量 的带正电，电荷量为q ，质量为m，速度为v 的粒子，不考虑粒子间的相 互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上 B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D ．只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上m 2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m ，宽ab=0.3m ，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场） -7 磁感应强度B= 0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg 、电荷量 -3 2 q=+2 ×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（） A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a 的上方和直线x=2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+ q（q>0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O1 点正上方的 A 点射出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x 轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 “临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。 一、解题方法 画图→动态分析→找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。） 二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度） 分述如下： 第一类问题： 例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？ 分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。 第二类问题： 例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。 分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆 ──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。 【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力）， 带电粒子在有界磁场中运动的 临界问题（同名9311） 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大 小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。 在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（C2），并可归并为6大类型。 所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹 圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序 尽可能多地 作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少 5画个轨迹圆）， ③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆, 从而抓住解题的关键点。 类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大 小不确定（即轨道半径不确定） 【例1】如图所示，长为L 的水平极板间有垂直于 纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为 B ， 板间距离也为L ，板不带电.现有质量为 m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）， ① ② r = ④厂⑧ 出射 二 ―⑨ 一*■⑩ 型 四 类 型 五 ⑤ ⑨ 入射方向、速度大 小； 出射方向、速度 大小； 类 型 六 ④ ⑥ 入射点、出射方向； 出射点，入射方向 ⑤ ⑥ ⑦ L X 为 * * i X * 丸 X 从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v 水平射入磁 场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A ?使粒子的速度xBm 5BqL v > 4m BqL 5BqL 4m 高三物理有界磁场专题复习 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量 为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间． 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运 动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图 ２所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故 OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，在直角 三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =(L +r )tan θ，而) 2 (t a n 1) 2 t a n ( 2t a n 2 θ θ θ-= ， R r =)2tan(θ ,所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁 场的时间可用t =V R V AB θ= 来求得。 由R V m BeV 2 =得R=θtan )(.r L OP eB mV += mV eBr R r = =)2tan(θ ， 2 222222) 2 (tan 1) 2tan(2tan r B e V m eBrmV -=-=θθ θ 2 222 2,)(2tan )(r B e V m eBrmV r L r L P O -+=+=θ， )2arctan(2 2222r B e V m eBrmV -=θ )2arctan(2 2222r B e V m eBrmV eB m V R t -==θ 例2、如图2，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度 T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个 方向射出速度为s m v /102.36 ?=的粒子．已知α粒子质量 kg m 271064.6-?=，电量C q 19102.3-?=，试画出α粒子通过磁场空 间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角． M N O , 图1 M N O , 图2 圆形磁场中的几个典型问题 许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明． 一、最值问题的解题关键——抓弦长 1．求最长时间的问题 例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速 度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与 Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？ 小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大． 2 ．求最小面积的问题 例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴 的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为 了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可 在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强 磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计． 小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空 间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长． 二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入 射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向 上．在半径为R 的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场．在 坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射 具有相同质量m 、电荷量q ( q > 0 ）且初速为v0的带电粒子，不 1、进入磁场. 正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场时，两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2πrad ，即2+-+=??π，且2-=?θ（或2+=?θ）. 2、射出型：粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子. 规律要点：（以图2中带负电粒子的运动轨迹为例） （1）最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于 1 2 圆周时且与边界相切（如图2中a 点），则切点为带电粒子不能射出磁场的最值点（或恰能射出磁场的临界点）； （2）最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于 1 2 圆周时，直径与边界相交的点（图2中的b 点）为带电粒子射出边界的最远点. 图2中，在ab 之间有带电粒子射出，设ab 距离为x ，粒子源到磁场边界的距离为d ，带电粒子的质量为m ，速度为υ，则 m υr= Bq a O r -d 二、双直线边界磁场 规律要点： 最值相切：当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切.图3所示. 对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线. － 在图3中，ab 之间有带电粒子射出，可求得ab=最值相切规律可推广到矩形区域磁场中. 例1．一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad 宽为L ，现从ad 中点O 垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为0υ方向与ad 边夹角为30°，如图4所示。已知粒子的电荷量为q ，质量为m （重力不计）。 （1）若粒子带负电，且恰能从d 点射出磁场，求0υ的大小； （2）若粒子带正电，使粒子能从ab 边射出磁场，求0υ的取值范围以及此范围内粒子在磁场中运动时间t 的范围。 解析：此例包括单直线边界进入型、双直线边界中的最值相切两种类型。（1）为单直线边界进入型，由图5可知：O 1为轨道圆心，由于对称性，速度的偏转角θ1＝60°，故轨道半径12 L r = 据2 001m υq υB r =， 则102qBr qBL υm m == （2）当0υ最大时，轨道与cd 相切： 11cos602 L R R -?=，得R 1=L 则1max qBR qBL υm m == 当0υ最小时，轨道与ab 相切： 22sin 302 L R R +?=，得23L R = 则2min 3qBR qBL υm m == 03q B L q B L υm m ∴<≤ 带电粒子从ab 边射出磁场，当速度为max υ时，运动时间最短。 min 15053606m t T Bq π== 速度为min υ时，运动时间最长 m a x 24043603 m t T Bq π== ∴粒子运动时间t 的范围5463m m t Bq Bq ππ≤< 三、圆形边界 1．圆形磁场区域： （1）相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心；如图6. （2）直径最小：带电粒子从圆与某直径的一个交点射入磁场则从该直径与圆的另一交点射出时，磁场区域最小.如图7所示. 2．环状磁场区域： （1）带电粒子沿（逆）半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆（沿）半径方向射出磁 ’ 图8 图4 图5 O 3 O 2 O 1 60° 1.如图所示，宽d 的有界匀强磁场的上下边界为MN 、PQ ，左右足够长，磁感应强度为B 。一个质量为m ，电荷为q 的带电粒子（重力忽略不计），沿着与PQ 成45°的速度v 0射入该磁场。要使该粒子不能从上边界MN 射出磁场，关于粒子入射速度的最大值有以下说法： ①若粒子带正电，最大速度为(2-2)Bqd /m ； ②若粒子带负电，最大速度为(2+2)Bqd /m ； ③无论粒子带正电还是负电，最大速度为Bqd /m ； ④无论粒子带正电还是负电，最大速度为2Bqd /2m 。以上说法中正确的是 A.只有① B.只有③ C.只有④ D.只有①② 2.如图所示，甲是一个带正电的小物块，乙是一个不带电的绝缘物块。甲、乙叠放在一起置于粗糙水平面上，水平面上方有垂直于纸面向里的匀强磁场。现用一个水平恒力拉乙物块，使甲、乙无相对滑动地一起向左加速运动。在共同加速阶段，下列说法中正确的是 A.甲、乙两物块间的静摩擦力不断增大 B.甲、乙两物块间的静摩擦力不断减小 C.乙物块与地面间的摩擦力大小不变 D.乙物块与地面间的摩擦力不断减小 4.如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv /Bq 。哪个图是正确的？ A C D ． 5.如图所示，长方形abcd 长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以ad 为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B =0.25T 。一群不 计重力、质量m =3×10-7 kg 、电荷量q =+2×10－3C 的带电粒子以速度v =5×l02m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁场射人磁场区域 A.从Od 边射人的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B.从aO 边射人的粒子，出射点全部分布在ab 边 C.从Od 边射入的粒子，出射点分布在Oa 边和ab 边 D.从aO 边射人的粒子，出射点分布在ab 边和 bc 边 6．一个长螺线管中通有恒定电流，把一个带电粒子沿轴线方向射入螺线管，不计重力，粒子在管中将做： A ．圆周运动 B ．沿轴线来回运动 C ．匀加速直线运动 D ．匀速直线运动 4．当电子由A 不断运动到B 的过程中，如图所示，小磁针如何运动： A ．不动 B ．N 极向纸里，S 极向纸外旋转 A B M N e 教师用有界磁场问题分类点拨 一、带电粒子在圆形磁场中的运动 例1、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为Ｌ的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图１所示,求O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间. 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹ＡB 所对的圆心角为θ,电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动, 如图2所示，连结ＯB,∵△OAO ″≌△O ＢＯ″,又O Ａ⊥Ｏ″A ,故OB ⊥Ｏ″Ｂ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见Ｏ、Ｂ、P 在同一直线上，且∠O ＇OP ＝∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯO ＇P 中， O ＇P ＝（L +r ）tan θ，而) 2 (tan 1) 2tan(2tan 2θθ θ-= ，R r =)2tan(θ,所以求得R 后就可以求出Ｏ'P 了,电子经过磁场的时间可用t =V R V AB θ= 来求得。 由R V m BeV 2 =得Ｒ＝θtan )(.r L OP eB mV += mV eBr R r ==)2tan(θ,2 222222) 2 (tan 1) 2tan(2tan r B e V m eBrmV -=-=θθ θ 2 222 2,)(2tan )(r B e V m eBrmV r L r L P O -+=+=θ， )2arctan(2 2222r B e V m eBrmV -=θ )2arctan(2 2222r B e V m eBrmV eB m V R t -==θ 例２、如图２,半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O,磁感强度T B 332.0=,方向垂直纸面向里．在Ｏ处有一放射源Ｓ，可向纸面各个方向射出速度为 s m v /102.36?=的粒子.已知α粒子质量kg m 271064.6-?=,电量C q 19102.3-?=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子 通过磁场空间的最大偏角． M N O , 图1 M N O , 图2带电粒子在有界匀强磁场中的运动归类
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