【成才之路】高中数学 1-3-2 全集与补集同步练习 北师大版必修1

1-3-2 全集与补集基础巩固

一、选择题

1．(2011·江西文)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )

A．M∪N B．M∩N

C．(?U M)∪(?U N) D．(?U M)∩(?U N)

[答案] D

[解析] 本题主要考查集合的运算．(?U M)∩(?U N)

＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．

2．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(?R M)∩N等于( )

A．{x|x<－2} B．{x|－2

C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}

[答案] A

[解析] ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?R M＝{x|x>2或x<－2}，∴(?R M)∩N＝{x|x<－2}．故选A.

3．(2012·宜昌测试)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

[答案] A

[解析] 全集U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，

A∩B＝{4,7,9}，

∴?U(A∩B)＝{3,5,8}，

∴?U(A∩B)中的元素共有3个，故选A.

4．设集合A、B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(?U A)∩(?U B)＝{2}，(?U A)∩B＝{1}，则A＝( )

A．{1,2} B．{2,3} C．{3,4} D．{1,4}

[答案] C

[解析] 排除法：∵(?U A)∩(?U B)＝{2}，

∴2∈(?U A)，∴2?A，排除选项A、B.

又∵(?U A)∩B＝{1}，∴1∈(?U A)，∴1?A.

排除D，故选C.

5．如图阴影部分可表示为( )

A．(A∪B)∩?U(A∩B) B．?U(A∪B)

C．?U(A∩?U B) D．[?U(A∪B)]∪(A∩B)

[答案] D

[解析] 结合Venn图及集合的运算可得正确选项．

6．(2010·陕西)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?R B)＝( )

A．{x|x>1} B．{x|x≥1}

C．{x|1

[答案] D

[解析] ∵B＝{x|x<1}，

∴?R B＝{x|x≥1}，

∴A∩(?R B)＝{x|1≤x≤2}，故选D.

二、填空题

7．已知集合A＝{0,2,4,6}，?U A＝{－1,1，－3,3}，?U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________. [答案] {1,4,6，－3,3}

[解析] ∵?U A＝{－1,1，－3,3}，

∴U＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}，

又?U B＝{－1,0,2}，

∴B＝{1,4,6，－3,3}．

8．已知全集U＝R，M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，则?U M与?U N的包含关系是________．[答案] ?U M ?U N

[解析] ∵M＝{x|x<2}，N＝{x|x≤0}，

∴?U M＝{x|x≥2}，?U N＝{x|x>0}．借助数轴，

∴对任意x∈?U M，必有x∈?U N.又1∈?U N但1??U M，

∴?U M ?U N . 三、解答题

9．设A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，当a 为何值时，(1)A ∩B ≠?；(2)A ∩B ＝A ；(3)A ∪(?R B )＝?R B .

[解析] (1)A ∩B ≠?，因为集合A 的区间长度为3，所以由图可得a <－1或a ＋3>5

解得a <－1或a >2，

∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠?. (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ?B .由图得

a ＋3<－1或a >5.

即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .

(3)由补集的定义知：?R B ＝{x |－1≤x ≤5}，

∵A ∪(?R B )＝?R B ， ∴A ??R B .

由右图得?

??

??

a ≥－1a ＋3≤5，

解得：－1≤a ≤2.

能 力 提 升

一、选择题

1．(2011·安徽文)集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2,3,4}，则S ∩(?U T )等于( )

A ．{1,4,5,6}

B ．{1,5}

C ．{4}

D ．{1,2,3,4,5}

[答案] B

[解析] 该题考查集合交集与补集运算，属基础保分题． ?U T ＝{1,5,6}，∴S ∩(?U T )＝{1,5}．

2．如图所示，用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是( )

A．(A∪B)∩(A∩B)

B．?U(A∩B)

C．[A∩(?U B)]∪[(?U A)∩B]

D．?U(A∪B)∩?U(A∩B)

[答案] C

[解析] 阴影有两部分，左边部分在A内且在B外，转换成集合语言就是A∩(?U B)；右边部分在B内且在A外，转换成集合语言就是(?U A)∩B.故选C.

二、填空题

3．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B ?R A，实数a的取值范围为________．[答案] a≥－1

[解析] ∵A＝{x|x>1}，如图所示，

∴?R A＝{x|x≤1}．

∵B＝{x|x<－a}，要使B ?R A，则－a≤1，即a≥－1.

4．设全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或2≤x<3}，B＝{x|－2≤x<4}，则(?U A)∪B＝__________.

[答案] {x|x≥－2}

[解析]

由数轴得，?U A＝{x|－1≤x<2或x≥3}，

再由数轴得，(?U A)∪B＝{x|x≥－2}．

三、解答题

5．已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，集合A＝{1，|2x－1|}，如果?U A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

[解析] ∵?U A＝{0}，∴0∈U，但0?A，

∴x3＋3x2＋2x＝0，

∴x(x＋1)(x＋2)＝0，

∴x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.

当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，故舍去；

当x＝－1时，|2x－1|＝3，而3∈U，故成立；

当x＝－2时，|2x－1|＝5，而5?U，故舍去，

综上所述，实数x存在，且它只能是－1.

6．(2012·驻马店高一月考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且(?U A)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值．

[解析] ∵U＝{1,2,3,4,5}，(?U A)∪B＝{1,3,4,5}，

∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}，

∴2是关于x的方程x2－5x＋m＝0的一个根，

得m＝6且A＝{2,3}，

∴?U A＝{1,4,5}，

而(?U A)∪B＝{1,3,4,5}，

∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，

∴3一定是关于x的方程x2＋nx＋12＝0的一个根，

∴n＝－7且B＝{3,4}，∴m＋n＝－1.

7．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}，

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；

(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；

(3)若U＝R，A∩(?U B)＝A，求实数a的取值范围．

[解析] (1)∵A＝{1,2}，A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0?a ＝－1或a＝－3.

当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；

当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件．

综上，a的值为－1或－3；

(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝4(2a＋6)，

∵A∪B＝A，∴B?A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝?，满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}．

由韦达定理得?

????

1＋2＝－2a ＋11×2＝a 2

－5??????

a ＝－

52a 2＝7

，矛盾；

综上，a 的取值范围是a ≤－3；

(3)∵A ∩?U B ＝A ，∴A ??U B ，∴A ∩B ＝?； ①若B ＝?，则Δ<0?a <－3适合； ②若B ≠?，则a ≥－3，此时1?B 且2?B ； 将x ＝2代入B 的方程得a ＝－1或a ＝－3；

将x ＝1代入B 的方程得a 2

＋2a －2＝0?a ＝－1±3； ∴a ≠－1且a ≠－3且a ≠－1± 3.

综上，a 的取值范围是a <－3或－3

a >－1＋ 3.