北师大版高中数学必修1-知识点总结

高中数学必修 1 知识点

第一章集合与函数概念

【1.1.1 】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合 .

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集，Q 表示有理数集，

R 表示实数集 .

（3）集合与元素间的关系

对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一 .

（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描

述集合 .

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . ③描述法：

{ x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素 .

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集( ).

【1.1.2 】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

A B

(1)A A

子集

（或

A中的任一元 (2) A

A(B)

BA 素都属于 B

B A) 若 A B 且 B

C ，则或

(3)

A C

1

(4)若A B且B A，则

A B

（1）A（A 为非空子A B

A B，且

B 集）

真子

（或 B 中至少有一

(2)若A B且B C，则集

A）元素不属于 A

A C

A中的任一元

集合素都属于 B，(1)A B

A B

B中的任一元

相等(2)B A

素都属于 A B A A(B)

（7）已知集合 A 有 n(n 1) 个元素，则它有 2n个子集，它有 2n 1个真子集，它有 2n 1个非空子集，它有 2n 2 非空真子集 .

【 1.1.3 】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名记

意义性质示意图

称号

（1）AAA

（2） A

交 A B { x | x A, 且

集x

（3）A B A

B}

A B

A B B

⑷Α?B? A∩B= A

（1） A A A

并 A B { x | x A, 或

集

（2） A A

x B}

（3） A B A

A B

2

A B B

⑷A? B? A∪B= B

⑴（ ?uA）∩A = ?,

补uA { x | x U , 且

x

⑵uA ∪A = U,

A}

集

⑶?u ?uA = A,

⑷?u A ∩B = ?uA ∪ ?uB ,

⑸?u(A ∪B) = (?uA) ∩( ?uB)

⑼集合的运算律：

交换律： A B B A; A B B A.

结合律: (A B) C A (B C);(A B) C A ( B C )

分配律: A (B C ) ( A B) ( A C); A (B C ) ( A B) (A C)

0-1 律： A , A A,U AA,UA U

等幂律： A A A,A A A.

求补律： A∩?uA = ? A ∪CuA=U ?uU = ??u? = U

反演律： ?u(A∩ B)=( ?uA)∪( ?uB)?u(A∪ B)=( ?uA)∩( ?uB)

第二章函数

§1 函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f ，对于集合 A 中的元素，在集合

B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 .

2．象与原象：如果 f :A → B 是一个 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素 a 对应的叫做象，叫做原象。

二、函数

1．定义：设 A、B 是， f :A → B 是从 A 到 B 的一个映射，则映射 f :A →B 叫做 A 到 B 的，记作 .

2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有、、。

3

§2 函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

①已知函数的解析式，就是.

②复合函数 f [g( x)] 的有关定义域，就要保证内函数g( x) 的域是外函数 f ( x) 的域 .

③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数 y＝f ( x) 中，与自变量x 的值的集合 .

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：①观察法；

②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧

有界性法；⑨换元法（又分为法和法）

例如：①形如 y＝

1

，可采用法；② y＝

2

x 1

( x

2

) ，可采用法或法；③ y＝2 x

23x 2 3

a[ f ( x)] 2＋bf ( x) ＋ c，可采用法；④y＝x－1 x ，可采用法；⑤ y＝ x－

1

x2

，

可采用法；⑥ y＝sin x

2 cos

x

可采用法等 .

§3 函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y＝ f ( x) 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、、x2，当 x1 、

若函数 f ( x) 在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间，则 f ( x) 称为 . 2．判断单调性的方法：

(1)定义法，其步骤为：①；②；③.

4

(2)导数法，若函数 y＝ f ( x) 在定义域内的某个区间上可导，①若，则f ( x)

在这个区间上是增函数；②若，则 f ( x) 在这个区间上是减函数 .

二、单调性的有关结论

1．若 f ( x), g( x) 均为增 ( 减) 函数，则 f ( x) ＋g( x) 函数；

2．若 f ( x) 为增 ( 减 ) 函数，则－ f ( x) 为；

3．互为反函数的两个函数有的单调性；

4．复合函数 y＝f [g( x)] 是定义在 M上的函数，若 f ( x) 与 g( x) 的单调相同，则 f [g( x)] 为，若 f ( x), g( x) 的单调性相反，则 f [g( x)] 为.

5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.

§4 函数的奇偶性

1．奇偶性：

①定义：如果对于函数 f ( x) 定义域内的任意x 都有，则称 f ( x) 为奇函数；若，

则称 f ( x) 为偶函数 . 如果函数 f ( x) 不具有上述性质，则 f ( x) 不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则 f ( x).

②简单性质：

1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个

函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.

2）函数 f ( x) 具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现 f (x a) f ( x) 、或 f

( x

a) f ( x) m （ a 、 m

均为

非零常数， a 0 ），都可以得出 f (x) 的周期为；

② y f (x) 的图象关于点 (a,0),

(b,0) 中心对称或 y f ( x) 的图象关于直线x a, x b 轴对称，均可以得到 f (x) 周期

第三章指数函数和对数函数

§1 正整数指数函数

§2 指数扩充及其运算性质

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1．正整数指数函数

函数 y ＝ a x

(a>0，a ≠1， x ∈ N ＋ ) 叫作 ________指数函数；形如

y ＝ka x

( k ∈R ，

a>0，且 a ≠1) 的函数称为 ________函数．

2．分数指数幂

(1) 分数指数幂的定义：给定正实数 a ，对于任意给定的整数

m ，n( m ，n 互素 ) ，

n m m m

存在唯一的正实数 b ，使得 b

；

＝ a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b ＝ a n

n

m n a m a (2) 正分数指数幂写成根式形式： a n ＝ >0) ； ( 规定正数的负分数指数幂的意义是： m a ，m 、

(3) a n

＝ __________________( >0

n ∈ ＋ ，且 n ；

N >1) (4)0 的正分数指数幂等于 ____， 0 的负分数指数幂 __________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1) a m a n ＝ a >0) ； ________(

(2)( a m n

＝

________( a ；

) >0)

(3)(

ab n

＝

a ，b

>0) ．

)

________( >0

§3 指数函数 ( 一)

1．指数函数的概念

一般地， ________________叫做指数函数，其中

x 是自变量，函数的定义域

是____．

x

2．指数函数 y ＝a ( a>0，且 a ≠1) 的图像和性质

a>1 0

图像

定义域 R

值域

(0 ，＋∞)

性过定点过点，即 x＝时， y＝

__________

____

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质 函数值 当 x

>0

时，

； 当 x

>0 时， ________； ______

的变化 当 x<0 时， ________ 当 x<0 时， ________

单调性

是 R 上的 ________

是 R 上的 ________

§4 对数(二)

1．对数的运算性质

如果 a>0，且 a ≠1， M>0，N>0，则：

(1)log a( MN) ＝________________； (2)lo

g (3)lo

g

M

a N ＝________； n

aM ＝ __________(n ∈ R) ． 2．对数换底公式

log a N

log bN ＝log a b ( a ， b>0，a ，b ≠1， N>0) ；

特别地： log ab ·log b a ＝ ____( a>0，且 a ≠1， b>0，且 b ≠1) ．

§5 对数函数 (一)

1．对数函数的定义 ：一般地，我们把

． 叫

做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是

为常用

为自然对数函数 ________

________

对数函数； y ＝

. ________

2．对数函数的图像与性质

定义 y ＝

log a

x ( a ，且 a ≠ 1)

>0 底数 a a

>1

0< <1

图像

定义域 ______ 值域

______

单调性 在(0 ，＋∞ ) 上是增函数 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数

共点性 图像过点 ______，即 log 1＝0

a

函数值x∈(0,1) 时，x∈(0,1) 时，

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特点y∈______；y∈______；

x∈ [1 ，＋∞ ) 时，x∈ [1 ，＋∞ ) 时，

y∈ ______. y∈ ______.

函数 y＝log x 与 y＝ log 1 x 的图像关于 ______对称

a

对称性

a

3. 反函数

对数函数 y＝log ax( a>0 且 a≠1) 和指数函数 ____________________互为反函

数．

第四章函数应用

§1 函数与方程

1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2．函数 y＝f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ＝0 的实数根，也就是函数y＝ f ( x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标．

3．方程 f ( x) ＝0 有实数根

函数 y＝f ( x) 的图像与 x 轴有 ________

函数 y＝f ( x) 有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数 y＝f ( x) 在闭区间 [ a， b] 上的图像是连续曲线，并且在区间端点的

函数值符号相反，即 f ( a) · f ( b)____0 ，则在区间 ( a，b) 内，函数y＝f ( x) 至少有一个零点，即相应的方程 f ( x) ＝0 在区间 ( a，b) 内至少有一个实数解．

1.2 利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来

．

2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)

(1)确定区间 [ a， b] ，使 ____________．

(2)求区间 ( a，b) 的中点， x1＝__________.

(3)计算 f ( x1) ．

8

①若 f ( x1 ) ＝ 0，则 ________________；

②若 f ( a ·

f ( x1 )<0，则令 b ＝x1 ( 此时零点 x0∈ a ，x1 ；

) ( )) ③若 f ( x

1 )· f ( b )<0，则令 a ＝x1 ( 此时零点 x0∈ x1，b ． ( ))

(4) 继续实施上述步骤，直到区间 [ an ， bn ] ，函数的零点总位于区间 [ an ，

bn]

上，当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似值相同时，

这个相同的近似值就

是函数 y ＝f ( x) 的近似零点，计算终止．这时函数

y ＝f ( x) 的近似零点满足

给定的精确度．

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