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《离散数学》教案

第一章集合与关系

集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普

遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的

一个分支。

G. Cantor( 康脱 ) 是作为数学分支的集合论的奠基人。1870 年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。 1874 年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立

一一对应的有名的证明。 1878 年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然

而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利 - 福尔蒂的最大序数悖论。 1901 年罗素发现了有名的罗素悖论。 1932 年康脱也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908 年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称

为策梅罗 - 弗兰克尔集合论（ ZF），其中包括 1904 年策梅罗引入的选择公理。另外一种系

统是冯·诺伊曼 - 伯奈斯 - 哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。哥德尔证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗 - 弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗 - 弗兰克尔集合论与选择公理一起称为 ZFC系统。

一、学习目的与要求

本章目的是介绍集合的基本概念，讲授集合运算的基本理论，关系的定义与运算。

通过本章的学习，使学生了解集合是数学的基本语言，掌握主要的集合运算方法和关系运

算方法，为学习后续章节打下良好基础。

二、知识点

1．集合的基本概念与表示方法；

2．集合的运算；

3．序偶与笛卡尔积；

4．关系及其表示、关系矩阵、关系图；

5．关系的性质，符合关系、逆关系；

6．关系的闭包运算；

7．集合的划分与覆盖、等价关系与等价类；相容关系；

8．序关系、偏序集、哈斯图。

三、要求

1．识记

集合的层次关系、集合与其元素间的关系，自反关系、对称关系、传递关系的识别，复合关系、逆关系的识别。

2．领会

领会下列概念：两个集合相等的概念几证明方法，关系的闭包运算，关系等价性证明。

1.1集合论的基本概念与运算

1.1.1集合的概念

集合不能精确定义。集合可以描述为：一个集合把世间万物分成两类, 一些对象属于该集合，是组成这个集合的成员，另一些对象不属于该集合。可以说，由于一个集合的存在，世上的对象可分成两类，任一对象或属于该集合或不属于该集合，二者必居其一也只居其一。

直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。

2

集合；

集合通常用大写的英文字母A,B,C, , 来标记，元素通常用小写字母a,b,c,, 来表示。例如自然数集合N( 在离散数学中认为0 也是自然数 ) ，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合 C 等。

集合的表示方法：表示一个集合的方法通常有三种：列举法、描述法和归纳定义法。

(1)列举法列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。在能清楚地表示集合成员的情况下可使用省略号。

例如 A={a ， b， c，， z} ， Z={0 ，± 1，± 2， } 都是合法的表示。

(2)描述法用谓词来概括集合中元素的属性来表示这个集合。

例如

2

表示方程

2

的实数解集。

B ＝{x|x ∈ R∧x－ 1＝ 0} x － 1＝ 0

许多集合可以用两种方法来表示，如 B 也可以写成 {-1 ， 1} 。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。

(3)归纳定义法： 1.3 节再讨论。

属于、不属于：元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。例如 A＝ {a ， {b ， c} ， d，{{d}}}，这里a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A，但 b A， {d}A。 b 和 {d} 是 A 的元素的元素。

外延公理：两个集合 A 和 B 相等，当且仅当它们有相同的成员。

集合的元素是彼此不同的：如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元

素。

如 {1 ， 1，2，2，3}＝{1 ，2，3} 。

集合的元素是无序的：如{1，2，3}＝{3，1，2}。

1.1.2 集合间的关系

定义 1.1.1 设 A ，B 为集合，如果 B 中的每个元素都是 A 中的元素，则称 B 是 A 的

子集合，简称 子集 。这时也称 B 被 A 包含 ，或 A 包含 B ，记作 B A 。称 B 是 A 的扩集 。

包含的符号化表示为： B A

x(x ∈B →x ∈A)。如果

B 不被 A 包含，则记作

B

A 。

例如 N

Z Q R C ，但 Z N 。显然对任何集合 A 都有 A A 。

注意：属于关系和包含关系都是两个集合之间的关系， 对于某些集合可以同时成立

这两种关系。例如 A ＝ {a ， {a}} 和{a} ，既有 {a} ∈A ，又有 {a}

A 。前者把它们看成是

不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两个集合，都是正确的。

定义 1.1.2 设 A ，B 为集合，如果 B A 且 B ≠A ，则称 B 是 A 的真子集， 记作 B A 。

如果 B 不是 A 的真子集，则记作 B A 。真子集的符号化表示为： B

A B

A ∧

B ≠A 。

例如 N Z Q R C ，但N N 。

为方便起见， 所讨论的全部集合和元素是限于某一 论述域 中，即使这个论述域有时

没有明确地指出， 但表示集合元素的变元只能在该域中取值。 此论述域常用 U 表示，并

称为全集。

定义 1.1.3

不含任何元素的集合叫 空集 ，记作

。空集可以符号化表示为

＝

{x|x ≠x} 。

例如 {x|x

2

2

的实数解集， 因为该方程无实数解， 所以是空

∈R ∧x +1=0} 是方程 x +1=0 集。

定理 1.1-1 空集是一切集合的子集。

证：对任何集合 A ，由子集定义有

A

x( x

x

A) ，右边的蕴涵式

因前件为假而为真命题，所以

A 也为真。

推论 空集是唯一的。

证：假设存在空集

1

和

2 ，由定理 6.1 有

1

2

，

2

1 。根据集合相等

的定义，有

1

2 。

含有 n 个元素的集合简称 n 元集，它的含有 m(m ≤n) 个元素的子集叫做它的

m 元子

集。任给一个 n 元集，怎样求出它的全部子集呢？举例说明如下。

例 1.1.1 A ＝ {1,2,3} ，将 A 的子集分类：

0 元子集，也就是空集，只有一个：； 1 元子集，即单元集：{1} ， {2} ，{3} ；

2 元子集：{1,2} ， {1,3} ， {2,3} ；

3 元子集：{1,2,3} 。

一般地说，对于n 元集A，它的0 元子集有C n0个，1 元子集有C1n个，，m元子集有C nm 个，，n 元子集有 C nn个。子集总数为C n0 C1n L C nn 2n 个。

全集与空集在本章中起重要作用，注意掌握它们的基本概念。

注意：∈与的联系与区别。

(1)∈表示集合的元素（可以为集合）与集合本身的从属关系，

(2)表示两个集合之间的包含关系。

例如：对于集合A={a,b,c},{a}是A的子集：{a}A， a 是

A 的元素： a∈A。

注意：不要写成 {a} ∈A和 a A。

a { a} ，但a { a} ； { } 是一元集，而不是空集。|{ }| 1， | | 0 。

1.1.3集合的运算

集合的交、并和差运算

1.集合交、并、差运算的定义（注意集合运算与逻辑运算的对应关系）

定义设 A和 B是集合，

(1) A和 B 的交记为 AI B ，定义为： A I B { x | x A x B} ；

(2) A 和 B 的并记为 AU B，定义为：AU B { x | x A x B} ；

(3) A和 B 的差记为 A B ，定义为： A B { x | x A x B} 。

例：设 A { a,b,c, d} ， B{ b, c, e} ，则

A I

B {b, c} ，A U B { a, b,c,d ,e} ， A B { a, d} ，B A { e}

定义：如果 A, B 是两个集合， A I B ，那么称 A 和B 是不相交的。如果 C 是

C 是（两两）不相交集一个集合的族，且 C 中的任意两个不同元素都不相交，那么称

合的族。

2.集合的并和交运算的推广（广义交、广义并）

n

n 个集合I A i A1I A2I L I A n { x | x A1 x A2 L x A n } ，

i 1

n

U A i A1U A2 UL U A n { x | x A1 x A2 L x A n} ，

i 1

无穷可数个集合：I A

i A1 I

A2 I L ，U A i A1U A2 UL i 1 i 1

一般情形：

I S { x | S(S C x S)} （ C ），

S C

U S { x | S( S C x S)}

S C

3.集合交、并、差运算的性质：

(1) 交换律 A I B BI A， A U B BUA，

(2) 结合律(A I B)I C A I (BI C)，(AUB)UC AU(BUC) .

(3) 分配律AU(BI C) (AUB)I (AU C) ，AI (BUC) (AI B) U(AI C)

(4) 幂等律 A I A A , A U A A ,

(5) 同一律 A U A , A I U A ，

(6) 零律 A UU U A I ,

(7) 吸收律AU (AI B) A ，AI (AUB) A ，

(8) 德摩根律 A (BUC) (A B)I (A C )

A (BI C) (A B)U(A C)

(9) (a) A A , (b) A B A , (c) A A U B , (d) AIB A,

(e) 若 A B ， C D ,则(AU C) (BUD)， (AI C) ( B I D ) ,

(f) 若 A B，则 AI B A , (g) 若 A B，则 AUB B ，

(h) A I B A A U B B A B 。

证：利用运算的定义（与逻辑运算的关系）或已证明的性质。

集合的补运算

1.集合的补运算的定义

定义：设 U 是论述域而 A 是 U 的子集，则 A 的（绝对）补为：

A U A { x | x U x A} { x | x A}

B A当且仅当 AUB U 和 AI B。

2.集合补运算的性质：

(1) 矛盾律AIA；(2) 排中律 A U A U ；

U ， U ________ ________

(3) 德摩根律， AUB AI B ，AI B AUB；

(4) 双重否定律（ A 的补的补是 A ）：A A；(5) 若 A B，则B A 。

例：证明 A－(B ∪ C) ＝(A － B) ∩( A － C)。

证对任意的 x，

x∈ A－ (B ∪C) x ∈ A∧ x B∪ C x ∈ A∧┐ (x ∈ B∨ x∈ C)

x ∈ A∧ ( ┐ x∈ B∧┐ x∈ C) x ∈ A∧ x B∧ x C

(x ∈ A∧ x B) ∧ (x ∈ A∧ x C) x ∈ A－ B)∧ x∈ A－C

x ∈ (A－ B) ∩ (A－ C)

所以 A －(B∪C)＝(A－B)∩( A －C)。

例：证明 A∩E＝ A。

证对任意的x，x∈ A∩E x∈A∧ x∈ E x∈ A( 因为 x∈ E 是恒真命题 ) ，所以 A ∩E＝A。

注意：以上证明的基本思想是：设P，Q为集合公式，欲证P＝Q，即证P Q∧Q

为真。

也就是要证对于任意的x 有 x ∈ P x∈ Q 和 x∈Q x∈P 成立。对于某些恒等式

可以将这两个方向的推理合到一起，就是x ∈P x∈ Q。

不难看出，集合运算的规律和命题演算的某些规律是一致的，所以命题演算的方法

是证明集合恒等式的基本方法。

证明集合恒等式的另一种方法是利用已知的恒等式来代入。

例：证明 A∪(A ∩ B) ＝A。

P 证A∪(A∩B)＝(A∩E)∪(A∩B)＝A∩(E∪B)＝A∩(B∪E)＝A∩E＝A。

例：证明等式 A－ B＝ A∩～ B。

证对于任意的 x， x∈ A－ B x∈ A∧ x B x∈A∧ x∈～ Bx∈ A∩～ B，

所以 A－ B＝ A∩～ B。

注意：上式把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。

例：证明 (A－ B) ∪ B＝A∪ B

证 (A － B)∪B＝ (A∩～ B)∪B＝(A∪B)∩ (～B∪B)＝(A∪ B)∩E＝ A∪B。

例：证明命题A∪ B＝ B A∩B＝ A A－B＝。

证

(1) 证 A∪B＝ B A B，对于任意的x，

x∈ A x∈ A∨ x∈ B x∈ A∪ B x∈ B( 因为 A∪ B＝ B)，所以 A B。

(2) 证 A B A∩ B＝ A。显然有 A∩ B A，下面证 A A∩ B，对于任意的x，

x∈ A x∈ A∧ x∈ A x∈ A∧ x∈ B(因为 A B)x∈A∩ B，由集合相等的定义有A∩ B＝A。

(3)证 A∩B＝A A－ B＝。

A－ B＝ A∩～ B＝ (A ∩B) ∩～ B(因为 A∩ B＝ A) ＝ A∩(B ∩～ B)＝ A∩＝。

(4) 证 A－B＝A∪ B＝ B。 A∪ B＝ B∪ (A－ B) ＝ B∪＝B。

注意：上式给出了A B 的另外三种等价的定义，这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用于集合公式的化简。

例：化简 ((A ∪ B∪ C)∩ (A ∪ B)) － ((A ∪ (B－ C)) ∩ A)。

解因为 A∪B A∪ B∪ C， A A∪ (B－ C)，故有

((A ∪ B∪ C)∩ (A∪ B)) － ((A ∪ (B－ C)) ∩ A)＝ (A ∪ B)－ A＝ B－ A。

定义：两集合 A, B 的环和（对称差）定义为：

环和： A B ( A B) U ( B A) { x | x A x B x A x B}

2.环和与环积的性质：

(1) A B (AU B)I (AUB) (AUB) (AI B)，

(2) A B A B ，B A A B ，

(3)(A B) C A (B C)， CI (A B) (CI A) (CI B)；

(4) A A ， A A ，

(5) A B A C B C

例：已知 A B＝ A C，证明 B＝ C。

证已知A B＝ A C，所以有

A (A B)＝A (A C) (A A) B＝(A A) C

B＝ C B ＝C B＝ C。

3.集合运算的文氏图表示

注意：如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的。

幂集合

定义：设A 是一个集合，A 的幂集是 A 的所有子集的集合，即( A) {B|B A} 。

若 A 是n元集，则( A) 有 2n个元素。

例：若A ，则(A) { } ；若 A {1,2} ，则( A) { ,{1},{2},{ 1,2}} 。

对任意集合 A ：( A) ，A (A)。

集合运算的顺序：为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做如下

规定：称广义交，广义并，幂集，绝对补运算为一类运算，交，并，补，环和，环积运算为二类运算。一类运算优先于二类运算；一类运算之间由右向左顺序进行；二类运算之间由括号决定先后顺序。

1.2关系及其表示

1.2.1集合的笛卡儿积与二元关系

定义 1 由两个元素 x 和 y（允许 x=y ）组成的序列记作 ，称为二重组或有序对或序偶，其中 x 是它的第一元素（分量）， y 是它的第二元素（分量）。

有序对 具有以下性质：

1．当 x≠ y 时， ≠ ； 2 ． = 的充分必要条件是x=u 且 y=v。注意：这些性质是二元集 {x,y} 所不具备的。例如当 x≠ y 时有 {x,y}={y,x} 。原因

在于有序对中的元素是有序的，而集合中的元素是无序的。

例 1 已知 =<5,2x+y> ，求 x 和 y。

解由有序对相等的充要条件有x+2=5， 2x+y=4 ，解得 x=3， y=-2 。

定义 2 设 a1 , a2 ,K , a n是 n(n 2) 个元素，定义

a1 , a2 ,K , a n 1 , a n a1, a2 ,K , a n 1 , a n

为 n 重组。

注意： n 重组是一个二重组，其中第一个分量是n 1 重组。如2,3,5 代表2,3 ,5 而不代表2, 3,5 ，按定义后者不是三重组，并且2,3 ,5 2, 3,5 。

n 重组 a1 , a2 ,L , a n 1 , a n 与 b1, b2 ,L , b n 1 ,b n 相等当且仅当 a i b i，

1 i n 。

定义 3 设 A， B 为集合，用 A 中元素为第一元素， B 中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做 A 和 B 的笛卡儿积（叉积），记作 A×B。

笛卡儿积的符号化表示为A× B={|x ∈ A∧y∈ B} 。

集合 A1, A2 ,K , A n（n 2 ）的叉积记为

n

A ，定义为A1A2L A n或

i 1 i

n

A i (A1 A2 L A n 1 ) A n

i 1

例 2设A={a,b}, B={0,1,2}，则

A× B={,,,,,}；

B× A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。

由排列组合的知识不难证明，如果|A|=m ， |B|=n ，则 |A × B|=mn。

笛卡儿积的运算性质

(1).对任意集合A，根据定义有 A ×= ,×A=；

(2).一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律，即A×B≠B×A(当A≠∧B≠∧ A ≠B时)；

(3) ．笛卡儿积运算不满足结合律，即(A × B) ×C≠ A× (B× C)( 当 A≠∧ B≠∧C≠时)；

(4).笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即

A× (B ∪ C)=(A × B) ∪(A × C)； (B ∪ C) ×A=(B× A)∪ (C × A)；

A× (B ∩ C)=(A × B) ∩(A × C)； (B ∩ C) ×A=(B× A)∩ (C × A)。

我们证明其中第一个等式。

证任取 ，

∈ A×(B ∪ C)x ∈ A∧ y∈ B∪C x∈ A∧ (y ∈ B∨y∈ C)

(x ∈ A∧y∈ B) ∨ (x ∈ A∧ y∈ C) ∈ A× B∨ ∈ A× C ∈ (A×

B∪ A×C)

所以有 A ×(B∪ C) = (A ×B)∪(A×C)。

(5) ．A C∧B D A×B C×D

性质 5 的证明和性质 4 类似，也采用命题演算的方法。

注意：性质 5 的逆命题不成立，可分以下情况讨论。

(a)当 A=B= 时，显然有 A C 和 B D 成立。

B≠(b) 当 A≠且B≠时，也有 A C 和 B D 成立。证明如下：任取

, 必存在 y∈ B，因此有 x∈ A∧ y∈ B ∈ A× B ∈ C× D

x∈ A，由于

x∈ C∧y∈

D x∈ C，

从而证明了 A C。同理可证 B D。

(c) 当A=而反例：令A= B≠时，有 A C成立，但不一定有，

B={1} ， C={3} ， D={4} 。

B D 成立。

(d) 当 A≠而B= 时，有 B D 成立，但不一定有 A C 成立。反例类似于(c) 。例 3 设A={1,2}, 求 P(A) × A。

解P(A) × A={ ,{1},{2},{1,2}} × {1,2}

={<,1>,<,2>,<{1},1>,<{1},2>,<{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>}

例 4设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。

(1) A × B=A× C B=C；(2) A-(B × C)=(A-B) × (A-C) ；

(3) A=B ∧ C=D A× C=B× D；(4) 存在集合A，使得 A A× A。

解(1)不一定为真。

当

A= ， B={1},C={2} 时，有A×B= =A× C，但B≠ C。

(2)不一定为真。当 A=B={1},C={2} 时有 A-(B × C)={1} – {<1,2>}={1} ，

(A-B) × (A-C)=× {1}=

(3)为真。由等量代入的原理可证。

(4)为真。当 A= 时有 A A× A 成立。

定理 1 ：若A i (i 1,2,K , n) 都是有限集合，则|A1 A2 L A n | | A1 |g| A2 |gL g| A n |。

定义 4 如果一个集合满足以下条件之一：（ 1）集合非空，且它的元素都是有序对；（ 2）集合是空集；则称该集合为一个二元关系，记作 R。二元关系也可简称为关系。

对于二元关系 R ，若x, y R ，则称x, y有关系R，可记作 xRy ；若

x, y R ，则记作 xRy 。一般地x, y y, x ，因此xRy yRx。

例 1 R1 { 1,2 , a, b } ， R2 { 1,2 , a,b} ，则 R1是二元关系， R2 不是二元关系，只是一个集合，除非将 a 和 b 定义为有序对。根据以上记法可以写成1R12 ，aR1b 等。

定义 5 设 A, B 为集合，A B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到 B的二元关系，特别地，当 A B 时，则叫做 A 上的二元关系。A1 A2 L A n的子集称为

A1 A2 L A n上的一个 n 元关系，当 A1 A2 L A n时称为A上的一个 n 元关系。

例 2 A {0,1} , B {1,2,3} ，那么 R1 { 0, 2 }，R2 A B，R3 ，

R4 { 0,1 } 等都是从 A 到 B 的二元关系，而其中R3和

R4 同时也是 A 上的二元关

系。

注：可把 A 到 B 的二元关系看成是 A U B 上的二元关系或( A U B)2上的二元关系。

二元关系的数目：集合 A 上的二元关系的数目依赖于 A 中的元素数。如果| A | n，那么 |A A| n2 ， A A 的子集就有2n2 个。每一个子集代表一个 A 上的二元关系，所以 A 上有2n2 个不同的二元关系。例如 | A | 3 ，则 A 上有232 512 个不同的二元关系。如果 | A i | m i，则 | A1 A2 L A n | m1 m2 L m n，因此 A1 A2 L A n上有

2m1m2L m n个不同的n元关系。

一些重要关系：

(1)空关系：若 R，则R称为空关系；

(2) 全域关系： E A { x, y | x A y B} A B

(3) 恒等关系： A 上的二元关系I A { x, x | x A }

称为恒等关系。

(4) 小于或等于关系： L A { x, y | x, y A x y} ，这里A R ；

(5) B 上的整除关系：D B { x, y | x, y B x整除 y} ，这里 A Z （非零整数集）；

(6) A 上的包含关系：R { x, y | x, y A x y} ，这里A是集合族。

例 3 设 A {1,2,3} ， B { a,b} ， C (B) { ,{ a},{ b},{ a, b}} ，则

L A {1,1, 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,3 } ，

D A { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 }

C上的包含关系：

R{,, ,{ a} , ,{ b} ,,{ a,b} , { a},{ a} ,

{ a},{ a,b} ,{ b},{ b} , { b},{ a,b} ,{ a, b},{ a,

b}

} 。

类似的还可以定义大于等于关系，小于关系，大于关系，真包含关系等等。

关系是有序对的集合，因此对它可进行集合运算，运算结果定义一个新的关系。例如：设 R 和 S是给定集合上的关系，则RU S，RI S，R S ， R 分别称为关系R与

S 的并关系，交关系，差关系和R的补关系。这样一来，可以从已知关系派生出各

种新关系。

二元关系

A 到

B 的二元关系可以用一个图来形象地表示。

定义 6设R是A到B的一个二元关系，则A叫着关系R的前域，B叫着关系R

的陪域； D ( R) { x | y( x, y R)} 称为关系R的定义域；

R( R) { y | x( x, y R)} 称为关系R的值域。

关于关系的定义域、值域的一些性质：

D(RU S) D(R) UD(S) ； D(RI S) D(R) I D(S) ；

R(RU S) R(R) U R(S) ； D(RI S) R(R) I R(S) 。

证明（证明第一个式子，其余类似）

x D ( R U S)y(x(R U S) y)y( xRy xSy)y(xRy)y( xSy)

x D ( R) x D (S)x D ( R) U D ( S)

1.2.2关系矩阵与关系图

(1)集合表示法：非空关系都是元素为有序对的集合。

(2) 关系图：设A { x1, x2,K , x n} ，R是A上的关系，令图 G V , E ，其中顶点集合 V A ，边集为 E ，对于x i , x j V ，满足 x i , x j E x i Rx j ，则称图G 为 R的关系图，记作G R。

(3) 关系矩阵：设A { x1, x2,K , x n}，R是A上的关系，令r ij 1 x

i

Rx

j ，

0 x i Rx j

(i , j 1,2,K , n)

r 11 r

12 L

r

1n

r 21 r

22 L

r

2 n

称为关系 R 的关系矩阵，记作M R。

则 (r ij )

M O

M M

r n1 r

n2 L

r

nn

例空关系的关系矩阵为全0矩阵：M A 0 ；全域关系的关系矩阵为全1矩阵，

记为 J ；相等关系的关系矩阵为单位矩阵：M I A I 。

基于关系 R 与关系矩阵M R互相唯一决定的特性，可用关系矩阵有效地刻画关系的许

多性质。如对于有限集 A 上的任意关系R与S：R S M R M S；RS M R M S。

1.3 关系的运算1.3.1关系的逆

定义 1 设 R 是从 A 到 B 的二元关系，关系R 的逆（ R 的逆关系）记为

%

R ，定义

如下：

%

R { x, y | x, y R}

%

当A上的关系R 具有对称性时，R R。

相等关系的逆是相等关系；空关系的逆是空关系；全域关系的逆是全域关系。

列举法：把 R 中每个有序对的第一和第二成分都加以交换，就可得到逆关系R%的所有元素。

对 x A 和y B来说，这意味着xRy

% yRx 。

关系矩阵：将 M R的行和列交换即可得到M %，即M% M T （M R T表示 M R的转

R R R

置）。

关系图：颠倒 R 的关系图中的每条弧（有向边）的箭头，就得到

%

R 的关系图。

逆关系的性质：

(1) 设 R, R1, R2 都是从 A 到 B 的二元关系，则

(a)

% % % %

； (c)

% % %

； (d) (R) R；(b) R1U R2 R1 U R2 R1I R2 R1 I R2 %%；

R1 %R2 R1 R2

(e)

% %

ABR）；(f)

% %

；R R，（R R1 R2 R1 R2

(2) 设 R1是从 A 到 B 的关系，

R2 是从

% %

B 到C的关系，则 (R1 %R2 ) R2 R1。

1.3.2关系的合成

定义 2 设 R1是从A到B的关系， R2是从B到C的关系，则 R1与 R2的合成（右复合）为从 A 到 C 的关系，记为R1R2或R1gR2（其中g表示合成运算），定义为R1 R2 { a, c | a A c C b(b B a,b R1 b, cR2 )} 。

例 1 设 A {1,2,3,4} ， B {2,3,4} ， C {1,2,3} ， R1 是从 A到 B的关系，R2 是从 B到C的关系：

R1 { x, y | x y 6} { 2, 4 , 3,3 , 4,2 }，

R2 { y, z | y z 1} { 2,1 , 3,2 , 4,3 } 。

分别用列举法、图示法、关系矩阵表示关系的合成R1 gR2 ， R2 gR1。

例 2 设 A {1,2,3,4,5} ， R1和 R2都是A上的二元关系，如果

R1 { 1,2 ,3,4, 2,2 } ，

R2 { 4, 2 , 2,5 , 3,1 , 1,3 } ，

分别用列举法、图示法、关系矩阵表示关系的合成R1 R2 ， R2 R1， (R1 R2) R1，R1 (R2 R1)， R1 R1， R2 R2等。

合成关系的性质：

(1)设 R是从 A 到 B 的关系，I A, I B分别是A, B上的相等关系，则

I A R R I B R ；

(2)如果关系R1的值域与R2的定义域的交集为空集，则合成关系R1 R2是空关系；

(3)关系的合成关于交和并的分配律：

设 R1是从A到B的关系， R2, R3是从B到C的关系， R4是从 C 到D的关系，则

(a)R1 ( R2 U R3 ) ( R1 R2 ) U (R1R3 ) ，(b)R1 ( R2 I R3 )(R1R2 ) I ( R1 R3 ) ；

(c)(R2 U R3 ) R4( R2 R4 ) U ( R3 R4 ) ，(d)( R2 I R3 )R4( R2 R4 ) I

(R3R4 ) ；

(4)关系的合成满足结合律：

设

R1, R2 , R3分别是从A到 B ，B 到 C ，C到 D 的关系，则(R1R2)R3R1( R2R3) 。

1.3.3关系的幂

定义 3 设R是集合A上的二元关系，n N 为任一自然数，则 R 的n次幂记为 R n，定义为： (1) R0为A上的相等关系，R0 { x, x | x A} (2) R n 1 R n R 。

关系的幂运算的性质：

(1) 对 A 上的任意关系 R1 , R2有： R10 R20 I A，R11 R10 R1 I A R1 R1；

(2) 设 R 是集合 A 上的二元关系，m, n N ，则R m R n R m n，( R m)n R mn；

(3) 设 | A | n ，R是集合 A 上的一个二元关系，则存在i 和 j ， 0 i j 2n 2 使R i R j ；

R i R j，

(4) 循环性质：设R 是集合 A 上的二元关系，若存在i 和 j ， i j ，使

则

(a) 对所有 k 0 ， R i k R j k ； (b) 对所有 k, m 0 ，R i mdk R i k （其中

d j i ）；(c)令 S { R0 , R1, R2 ,L , R j 1} ，则R的每一次幂是S 的元素，即对

n N ，R n S 。

关系的幂的计算：

给定 A 上的关系R和自然数 n ，怎样计算R n呢？若 n 是0或1，结果是很简单的。

下面考虑 n 2 的情况。

如果 R 是用集合表达式给出的，可以通过n 1次合成计算得到R n。