实验3__最小二乘法的实现
实验3 最小二乘法的实现
实验报告
哈尔滨工业大学
航天学院控制科学与工程系
专业：
1.实验题目： 实验3最小二乘法的实现
2.实验目的
理解并掌握系统辨识中的最小二乘法原理。
3?实验主要原理
给定系统
y
(k)二-a i y (k -1)- a 2y (k - 2) -111 - a n y
(k - n)
b)u(k) bu(k-1) IH b n u(k -n)
(k)
( 1)
其中a i ，a2^l,a n
，0,0,鸟,|||,0为待辨识的未知参数， (k)是不相关随机
序列。y 为系统的输出，u 为系统的输入。分别测出n ? N 个输出、n ? N 输入 值 y(1),y(2), y(3)J||y(n N),u(1),u(2)川|u(n N)，则可写出 N 个方程，具体写 成矩阵形式，有
■aj
(2)
力」
则式(2)可写为
「y(n+1) 1 + + +
飞(n+1) 1
『5+2) 亠 , — a n —+2)
+
+
t o
+ + +
4 R ?(n + N)_
y 二 --y(n)
-y( n+1)
+ +
III III -y(1) -y(2) ■ u( n + 1) u(n +2) +
III
HI
+
u(1)1
u(2)
+ y(n + N — 1)
III
I-
-y(N)
■1
u( n + N) +
HI
r
u(N)_
①=
一 -y( n)
-
y(1)
u( n+1)川 u(1) 1
-y( n+1)
出
-y(2) r u( n+2)川 ■ + u(2) —y(n + N —1)
I-
-y(N)
u(n +N)川
卜
u(N)_
(n 1)
+ 勺 n+2)
: 工(n + N)
一
』(n +N)
一
a n
b o ■y( n+1) 1 y(n +2)
(3)
式中：y 为N 维输出向量；■为N 维噪声向量；二为2n ? 1维参数向量；” 为N (2n 1)测量矩阵。为了尽量减小噪声?对二估值的影响，应取N .2n 1, 即方程数目大于未知数数目。
v 的最小二乘估计为
A
丁 _(「T ：G )」：.Jy
( 4)
4.实验对象或参数
对象的数学模型如下：
z(k) -1.5z(k -1) 0.7z(k-2) =u(k-1) 0.5u(k-2) v(k)
其中，v(k)是服从正态分布的白噪声N (0,1)。输入信号采用4阶M 序列， 幅度为
1。选择如下形式的辨识模型：
z(k) a 1
z(k -1) a 2
z(k -2) = b|U(k -1) pu(k - 2) v(k)
设输入信号的取值是从k =1到k =16的M 序列，则待辨识参数?LS 为
?LS =( H
T H L
)，H T Z L
。其中，被辨识参数？
LS
、观测矩阵Z L 、H L 的表达式为
统的参数进行辨识，并将辨识结果与实际参数进行对比
a 1 32 bi
_
z(3) z(4)
z(16) _
-z(2) -z(1) u(2) u(1)
_ -z(3) -z(2) u(3) u(2)
H
L -
…
…
z(19 —2(14 u(19 u(14
要求编制仿真程序, 获取系统输入输出数据,
并运用最小二乘法对这一系
开始
产生M用列
将忖序列赋给输入u
结朿
7 ?实验结果及分析
(1)实验结果：
theta =
-1.5327
0.7990
1.0824
0.4269 ori =
-1.5000
0.7000
1.0000
0.5000 absError =
-0.0327
0.0990
0.0824
-0.0731
RelativeError =
2.1789
14.1491
8.2443
-14.6297
8.结论
（1）从得到的结果来看，由于每一次得到的噪声不一致，因此得到的辨识参数也不一
致，同时得到的辨识结果与实际参数偏差较大，基本原因是系统的白噪声误差太大，如果能把方差变小的话，辨识结果将会有很大的提升。
（2）同时从数学表达式可以知道，不同的初值状态对于系统参数辨识也有影响，因为
白噪声的初始值不定。由于噪声的不规则性，因为输出结果无法在相同条件下比较。只能做一个大致对比。从实验结果可以看到，a1在-1.5上下波动，a2在0.7上下波动，b1在1上
下波动,b2在0.5上下波动，基本符合要求。
（3）通过数据结果可以看到，最小二乘法在系统参数辨识中是可以使用的，但是白噪
声对于结果的影响很大，本实验中属于白噪声过大，对于结果干扰很大，从趋势上看，结果具有有效性。
9.感想
本次实验验证了系统辨识中的最小二乘法原理，使用matlab验证原理正确性，有效性。
对最小二乘法有了更深的认识，同时对于系统参数估计方法有了更清晰的认识。收获颇多。
最小二乘法曲线拟合 原理及matlab实现
曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到 了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。 如下给定数据的拟合曲线： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560 图1 最小二乘法曲线拟合示例 对比检验拟合的有效性： 例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。 在MATLAB中输入如下代码： clear x=0:0.1:pi; y=sin(x); [p,mu]=polyfit(x,y,9)
最小二乘法及其应用..
最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程）
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y
为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x.+1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0.);>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学
java99乘法表实验报告
实验名称：程序调试 一、实验目的 本实验的目的是让学生掌握开发java程序的三个步骤：编写源文件、编译源文件和运行应用程序。 二、实验环境(软件、硬件环境) 一个java应用程序是由若干个类组成的，其中最多能有一个public类。有且只能有一个类含有main方法。Java源程序的扩展名为java。Java源程序的名字必须和public类的类名相同，如果没有public类，只要和其中任一类的类名相同就行。编译java源程序会产生字节码（.class ）文件，源程序有几个类就会产生几个class文件。运行时，只运行含有main 方法的class文件。 例如，有一个java源程序有三个类A,B,C，其中A是public类，B含有main方法。那么这个源程序的名字必须是A.java，编译此程序会产生三个字节码文件A.class,B.class,C.class.运行B.class。 三、实验原理 利用java调试程序 四、实验内容及步骤 1. 在控制台中输出九九乘法表 本练习可以使用户了解for语句实现循环功能。 具体步骤和要求如下： 1）打开一个文本编辑器，（如UtraEdit文本编辑器。）建立一个新文件MultiplyList1.java，将该程序保存到D:\myjava中。 2）将程序清单1-1中的程序代码输入到该文件中并保存。 程序清单1-1： //MultiplyList1.java public class MultiplyList1 { public static void main(String[] args) {
String output=""; for(程序段1){ //设置九九乘法表的行row for(程序段2) //设置九九乘法表的列col output+=col+"*"+row+"="+(row*col)+" "; //记录九九乘法表的内容 output+="\n"; } System.out.println(output); //输出九九乘法表 System.exit(0); } } 3）运行结果如下图1-1所示。请将程序清单1-1中的程序段1和程序段2补充完整。 图1-1 运行结果，输出九九乘法表 4）打开命令行窗口。具体方法：开始—所有程序--附件—命令提示符 5）编译源程序。D:\myjava> javac MultiplyList1.java 6）运行程序。D:\myjava> java MultiplyList1 2.用Applet小程序实现九九乘法表。 要求：编写一个Applet小程序MultiplyList.java，将生成的类MultiplyList.class，嵌套在一个HTML如MultiplyList.html中，运行结果如图1-1所示。
基于最小二乘法的系统参数辨识
基于最小二乘法的系统参数辨识 吴令红，熊晓燕，张涛 太原理工大学机械电子研究所，太原 (030024) E-mail lhwu0818@https://www.360docs.net/doc/1a850418.html, 摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其辨识理论不断发展和完善本。文重点介绍了系统参数辨识中最小二乘法的基本原理，并通过悬臂梁模型的辨识实例，具体说明了基于最小二乘法参数辨识在Matlab 中的实现方法。结果表明基于最小二乘法具有算法简单、精度较高等优点。 关键词：系统辨识；参数辨识；滑动平均模型(ARX)；最小二乘法；Matlab 中图分类号：TH-9 1. 引言 所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已[1]。 最小二乘法是系统参数辨识中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法简单、理论成熟和通用性强而广泛应用于系统参数辨识中。本文基于悬臂梁的实测数据，介绍了最小二乘法的参数辨识在Matlab中的实现。 2. 系统辨识 一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。如图1所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。更进一步的定义是L.A.Zadeh曾经与1962年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统”。另外，系统辨识还应该具有3个基本要素，即模型类、数据和准则[5]。被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。所谓参数模型是指微分方程、差分方程、状态方程等形式的数学模型；而非参数模型是指频率响应、脉冲响应、传递函数等隐含参数的数学模型。在辨识工程中，模型的确定主要根据经验对实际对象的特性进行一定程度上的假设，如对象的模型是线性的还是非线性的、是参数模型还是非参数模型等。在模型确定之后，就可以根据对象的输入输出数据，按照一定的辨识算法确定模型的参数[4]。 y 图1 被研究的动态系统
最小二乘法的编程实现
1、最小二乘法： 1）（用1 T A A 方法计算逆矩阵） #include
double mean,temp=0,variance=0; int i; for(i=0;i 最小二乘法原理 1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 2. 原理 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 是偏差绝对值最小 11min (x )y m m i i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小 min max (x )y i i i i φδ?=- 3. 是偏差平方和最小 2211min ((x )y )m m i i i i i φδ?===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 01...k k y a a x a x =+++ 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 2 2 011(...)m k i i k i i R y a a x a x =??=-+++??∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了： 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x =??--+++=??∑ 011 2(...)0m k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ …….. 0112( 0 k k i k i i y a a x a x x =??--+++=??∑ 4. 将等式简化一下，得到下面的式子 01111...n n n k i k i i i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 2 1011111...n n n n k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ …… 12011111...n n n n k k k k i i k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵： 11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====??????????????????????=?????????????????????? ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到： 0111122 21...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ??????????????????=???????????????????? ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 基于最小二乘法的系统辨识的设计与开发（整理版）课程（论文）题目： 基于最小二乘法的系统辨识摘要： 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。 在系统辨识领域中, 最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法, 可用于动态系统, 静态系统, 线性系统, 非线性系统。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 关键词： 最小二乘法；系统辨识；参数估计 1 引言最小二乘理论是有高斯（ K.F.Gauss）在 1795 年提出： 未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。 这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。 递推最小二乘法是在最小二乘法得到的观测数据的基础上，用新引入的数据对上一次估计的结果进行修正递推出下一个参数估计值，直到估计值达到满意的精确度为止。 1 / 10 对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即是最小二乘法。 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 2 最小二乘法的系统辨识设单输入单输出线性定常系统的差分方程为： 1),()()() 1()(01knkubkubnkxakxakxnn （ 1）上式中： )(ku为输入信号；)(kx为理论上的输出值。 )(kx只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。 )(kx的观测值)(ky可表示为 （ 2）将式（ 2）代入式（ 1）得 1()()() 1()(101kubkubnkyakyakyn (3) 我们可能不知道)(kn的统计特性，在这种情况下，往往把)(kn看做均值为 0 的白噪声。 设 （ 4）则式（ 3）可以写成 (5) 在测量)(ku时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当 实验3 最小二乘法的实现 实验报告 哈尔滨工业大学 航天学院控制科学与工程系 专业： 1.实验题目： 实验3最小二乘法的实现 2.实验目的 理解并掌握系统辨识中的最小二乘法原理。 3?实验主要原理 给定系统 y (k)二-a i y (k -1)- a 2y (k - 2) -111 - a n y (k - n) b)u(k) bu(k-1) IH b n u(k -n) (k) ( 1) 其中a i ，a2^l,a n ，0,0,鸟,|||,0为待辨识的未知参数， (k)是不相关随机 序列。y 为系统的输出，u 为系统的输入。分别测出n ? N 个输出、n ? N 输入 值 y(1),y(2), y(3)J||y(n N),u(1),u(2)川|u(n N)，则可写出 N 个方程，具体写 成矩阵形式，有 ■aj (2) 力」 则式(2)可写为 「y(n+1) 1 + + + 飞(n+1) 1 『5+2) 亠 , — a n —+2) + + t o + + + 4 R ?(n + N)_ y 二 --y(n) -y( n+1) + + III III -y(1) -y(2) ■ u( n + 1) u(n +2) + III HI + u(1)1 u(2) + y(n + N — 1) III I- -y(N) ■1 u( n + N) + HI r u(N)_ ①= 一 -y( n) - y(1) u( n+1)川 u(1) 1 -y( n+1) 出 -y(2) r u( n+2)川 ■ + u(2) —y(n + N —1) I- -y(N) u(n +N)川 卜 u(N)_ (n 1) + 勺 n+2) : 工(n + N) 一 』(n +N) 一 a n b o ■y( n+1) 1 y(n +2) 实验名称： 最小二乘拟合 1 引言 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据(,)(1,2,,)i i x y i m =出发， 寻求函数y=f （x ）的一个近似表达式y=φ(x)，称为经验公式，从几何上来看，这就是一个曲线拟 合的问题。 多项式的插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数近似表达式的问题，但用它来解决这里的问题，是有明显的缺陷的。首先，由实验提供的数据往往有测试误差。如果要求近似曲线y=φ(x)严格地通过所给的每个数据点(,)i i x y ，就会使曲线保留原来的测试误差，因此当个别数据的误差较大的时候，插值的效果是不理想的。其次，当实验数据较多时，用插值法得到的近似表达式，明显缺乏实用价值。在实验中，我们常常用最小二乘法来解决这类问题。 定义()i i i x y δ?=-为拟合函数在i x 处的残差。为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，我们要求||i δ尽可能小。在最小二乘法中，我们选取()x ?，使得偏差平方和最小，即 2 2 1 1 [()]min m m i i i i i x y δ?=== -=∑∑，这就是最小二乘法的原理。 2 实验目的和要求 运用matlab 编写.m 文件，要求用最小二乘法确定参数。 以下一组数据中x 与y 之间存在着bx y ae =的关系，利用最小二乘法确定式中的参数a 和b ，并计算相应的军方误差与最大偏差。数据如下： 3 算法原理与流程图 （1） 原理 最小二乘是要求对于给定数据列(,)(1,2, ,)i i x y i m =，要求存在某个函数类 01{(),(),()}()n x x x n m ???Φ=<中寻求一个函数： ** **0011()()()()n n x a x a x a x ????=++ +，使得*()x ?满足 普通最小二乘法（OLS ） 普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。 在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下 （见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到， 为^0β和^ 1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见 图中的直线） i i x y ^ 1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最 好地拟合样本数据。其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。 ),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ????1021 10212?,?1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。 由于 2 1 ^1^012 ^ ))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^ 1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。即 0011001100?,?1 ?,?0 =??=??====ββββββββββQ Q 容易推得特征方程： ()0)??(0?)??(1011 10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n i i i i i i n i i e x x y x e y y x y ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^ 1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ （） 所以有：???? ?????-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121 21121111??)())(()()()(?βββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。 为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记 ∑=-i x n x 1 ∑=-i y n y 1 y y y x x x i i i i -=-= （）的参数估计量可以写成 基于matlab 的最小二乘法实现 程序流程图 ： matlab 的程序源代码： A=[2,4,6,8;2,11,28,40]; pa=input('请输入你要的拟合多项式的次数：'); W=size(A); H=W(2); X=zeros(pa+1,1); Y=zeros(pa+1,pa+1); for i=1:pa+1 输入Xi,yi 及要拟合的最高次数n 生成法方程矩阵的左端系数矩阵 生成法方程矩阵的右端矩阵 解法方程矩阵 输出各个项的系数，即求得拟合函数 求取所求结果的均方误差 求取所求结果的最大偏差 结束程序 for j=1:pa+1 x=0; for k=1:H s=1; for b=1:i+j-2 s=s*A(1,k); end x=x+s; end Y(i,j)=x; end end a=zeros(pa+1,1); for i=1:pa+1 x=0; for k=1:H s=A(2,k); for b=1:i-1 s=s*A(1,k); end x=x+s; end a(i,1)=x; end X=inv(Y)*a; disp('从0次到你要的阶数的系数依次为：') X Z1=zeros(H,1); for i=1:H w=0; for k=1:pa+1 s=X(k,1); for j=1:k-1 s=s*A(1,i); end w=w+s; end Z1(i,1)=w; end Z1; Z2=A(2,:)'; d=Z1-Z2; s=0; for i=1:H s=s+d(i,1)*d(i,1); end disp('均方误差为：') a=sqrtm(s) b=d(1,1); for i=1:H if d(i,1)>b b=d(i,1); else ; end end disp('最大偏差为：') b 最小二乘法的原理及其应用 一、研究背景 在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。 其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。 二、最小二乘法的原理 人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型 , q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。 通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。一般情况下，观测值远多于所选择的参数。 其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。 确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。用函数表示为： 基于正交最小二乘算法的RBF神经网络 一、实验环境 硬件平台Win10 64位操作系统，1.5GHZ，4G内存，软件版本MA TLAB2015b 二、实验数据 训练数据集： T F W M Y Q 1000.00130010000 20.00740.03350.00150.00320.010610000 30.00430.022300.00470.005310000 40.5520.30170.25810.30940.231601000 50.54520.27930.26110.29880.203601000 60.55020.24580.27170.31150.234701000 70.24620.15080.09470.09640.099900100 80.25350.10610.09680.09710.08100100 90.26650.08940.09370.09940.090800100 100.66150.52510.51950.471100010 110.67380.44130.52250.47320.966700010 120.66650.47490.52550.47690.975800010 13110.981210.820600001 140.97970.977710.9960.775900001 150.98460.97270.98470.98570.7600001 测试数据集： T F W M Y Q 10.00310.02350.00050.0030.004510000 20.54930.26260.26590.30880.222101000 30.25720.10060.09580.09810.08900100 40.67040.49720.52350.47410.979100010 50.9920.98990.99790.99370.797900001 三、算法介绍 RBF函数网络从结构上看是一个3层前馈网络，包括一个输入层、一个输出层和一个隐含层。输入层节点的作用是将输入数据传递到隐含层节点。隐含层节点称为RBF节点，其激活函数为辐射状函数的神经元构成，通常采用高斯型函数：Array 图1 RBF结构 RBF网络中所用的非线性函数的形式对网络性能的影响并不是至关重要的，关键因素是基函数中心的选取，中心选取不当构造出来的RBF网络的性能一般不能令人满意。例如，如果某些中心靠的太近，会产生近似线形相关，从而带来数值上的病变条件。基本的RBF 神经网络采用随机抽取固定中心的方法，在输入样本数据的分布具有某种特性的情况下，采用这种方法解决给定问题就显得简单可行了。而针对其缺陷，已经有许多改进的方法，其中 之一就是利用最小二乘法选取中心，训练网络权重。 《计算方法》实验报告 学院：计算机学院 专业：计算机科学与技术 指导教师：JW-++1 爨莹 班级学号：201207010229 姓名：图尔荪托合提 实验三曲线拟合的最小二乘法 1、实验目的： 在科学研究与工程技术中，常常需要从一组测量数据出发，寻找变量的函数关 系的近似表达式，使得逼近函数从总体上与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的点。这是工程中引入最小二曲线拟合法的出发点。充分掌握：1．最小二乘法的基本原理；2．用多项式作最小二乘曲线拟合原理的基础上， 通过编程实现一组实验数据的最小二乘拟合曲线。 2、实验要求: 1) 认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方 案和算法； 2) 编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3) 上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果(包括必要的中间结 果)； 4) 分析和解释计算结果； 5) 按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 给定数据如下： x ：0.15，0.4，0.6 ，1.01 ，1.5 ，2.2 ，2.4，2.7，2.9，3.5 ，3.8 ， 4.4，4.6 ， 5.1 ， 6.6， 7.6； y ：4.4964，5.1284，5.6931 ，6.2884 ，7.0989 ，7.5507 ，7.5106， 8.0756， 7.8708，8.2403 ，8.5303 ，8.7394，8.9981 ，9.1450 ，9.5070，9.9115；试作出幂函数拟合数据。 2) 已知一组数据： x ：0，0.1，0.2 ，0.3 ，0.4 ，0.5 ，0.6，0.7，0.8，0.9 ，1 y ：-0.447，1.978，3.28 ，6.16 ，7.08 ，7.34 ，7.66，9.56，9.48，9.30 ，11.2； 试用最小二乘法求多项式函数，使与此组数据相拟合。 基于最小二乘法的系统参数辨识 研究生二队李英杰 082068 摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其辨识理论不断发展和完善本。文重点介绍了系统参数辨识中最小二乘法的基本原理，并通过热敏电阻阻值温度关系模型的辨识实例，具体说明了基于最小二乘法参数辨识在Matlab中的实现方法。结果表明基于最小二乘法具有算法简单、精度较高等优点。 1. 引言 所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已[1]。最小二乘法是系统参数辨识中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法简单、理论成熟和通用性强而广泛应用于系统参数辨识中。本文基于热敏电阻阻值与温度关系数据，介绍了最小二乘法的参数辨识在Matlab中的实现。 2. 系统辨识 一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。如图1 所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。更进一步的定义是L.A.Zadeh 曾经与1962 年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统”。另外，系统辨识还应该具有3 个基本要素，即模型类、数据和准则[5]。被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。所谓参数模型是指微分方程、差分方程、状态方程等形式的数学模型；而非参数模型是指频率响应、脉冲响应、传递函数等隐含参数的数学模型。在辨识工程中，模型的确定主要根据经验对实际对象的特性进行一定程度上的假设，如对象的模型是线性的还是非线性的、是参数模型还是非参数模型等。在模型确定之后，就可以根据对象的输入输出数据，按照一定的辨识算法确定模型的参数[4]。 图1 被研究的动态系统 3. 最小二乘法（LS）参数估计方法 对于参数模型辨识结构，系统辨识的任务是参数估计，即利用输入输出数据估计这些参数，建立系统的数学模型。在参数估计中最常用的是最小二乘法(LS)、 #include for(j=0;j最小二乘法原理
基于最小二乘法的系统辨识的设计与开发(整理版)
实验3__最小二乘法的实现
最小二乘拟合实验报告
普通最小二乘法(OLS)
基于matlab的最小二乘法实现
最小二乘法的原理及其应用
基于最小二乘算法的RBF
实验3__曲线拟合的最小二乘法
基于最小二乘法的系统参数辨识
最小二乘法 (C语言)