上海市高考数学压轴题总复习
2021年上海市高考数学压轴题总复习
1．已知焦点在x 轴上的椭圆x 29+y 2
b =1（b ＞0）的离心率e =23
，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，B 1，B 2分别是椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上任意一点（不与B 1，B 2，重合），O 为坐标原点．
（1）若线段PF 1的中点在y 轴上，求|PF 2|
|PF 1|的值；
（2）若直线PB 1，PB 2分别与x 轴交于点M ，N ，求证：|OM |?|ON |为定值．
解：（1）由题意可得a ＝3，e =c a =23，可得c ＝2，而b 2＝a 2﹣c 2＝5，
所以椭圆的方程：x 29+y 25=1；
设线段PF 1的中点为G
因为O 是线段F 1F 2的中点，所以OG ∥PF 2，PF 2⊥x 轴，
所以|PF 2|=53|，PF 1|＝2a ﹣|PF 2|=133，故|PF 2||PF 1|=513
， （2）令P （x 0，y 0），则x 0≠0，
x 029+y 025=1，
即5x 02＝9（5﹣y 02），
易知B 1（0，√5），B 2（0，?√5），
所以l B 1P ：y ?√5=y 0?√5x 0（x ﹣0）， l B 2P ：y +√5=y 0+√5x 0
（x ﹣0）， 令y ＝0，得x N =√5x 0
y 0+5，
所以可证：|OM |?|ON |＝|√5x 0y 0?√5||√5x 0y 0+√5||5x 02
y 0?5
|＝9． 2．已知函数f （x ）=a 4x 4+b 6x 3﹣cx 2﹣mx +lnx ．
（Ⅰ）当a ＝c ＝1，b ＝0时，f （x ）在定义域上单调递增，求m 的取值范围； （Ⅱ）当a ＝c ＝0，b ＝1时，f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2． （Ⅰ）解：易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），
由题意知函数f （x ）=14x 4﹣x 2﹣mx +lnx ，
所以f ′（x ）＝x 3﹣2x ﹣m +1x ≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m ≤x 3﹣2x +1
x 在（0，+∞）上恒成立，
令函数g（x）＝x3﹣2x+1
x（x＞0），
则g′（x）＝3x2﹣2?1
x2
=3x
4?2x2?1
x2
=(3x
2+1)(x2?1)
x2
，
所以当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上单调递减，
则当x＝1时，g（x）取得最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，
故m≤0．
（Ⅱ）证明：由题意的f（x）=1
6x
3﹣mx+lnx（x＞0），
令f′（x）=1
2x
2﹣m+1
x
=0，得m=12x2+1x，
设函数h（x）=1
2x
2+1
x（x＞0），
则h（x1）＝h（x2），且函数h（x）在（，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，不妨设x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2，
令函数H（x）＝h（x）﹣h（2﹣x），x∈（0，1），
则H′（x）＝x?1
x2
+2﹣x?1
(2?x)2
=2?2x
2?4x+4
x2(2?x)2
=2(x?1)
2[(x?1)2?3]
(2x?x2)2
，
所以函数H（x）在（0，1）上单调递减，
又H（1）＝0，故H（x）＞H（1）＝0恒成立，
则h（x）＞h（2﹣x）对x∈（0，1）恒成立，
因为0＜x1＜1，所以h（x1）＞h（2﹣x1），即h（x2）＞h（2﹣x1），
又x2＞1，2﹣x1＞1且函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．
3．已知函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞﹣x2﹣4．
解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x﹣2x的导数为f′（x）＝（x3+2x2）e x﹣2，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣2，切点为（0，﹣2），则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣2x﹣2；
（2）证明：要证f（x）＞﹣x2﹣4，即证（x﹣1）（x2+2）e x＞2x﹣x2﹣4，
设g（x）＝（x﹣1）（x2+2）e x，g′（x）＝x2（x+2）e x，
当x＞﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜﹣2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
可得g（x）在x＝﹣2处取得极小值，且为最小值﹣18e﹣2；
设h（x）＝2x﹣x2﹣4，可得h（1）为最大值﹣3．
由﹣18e﹣2＞﹣3，可得（x﹣1）（x2+2）e x＞2x﹣x2﹣4恒成立，则f（x）＞﹣x2﹣4．
4．已知函数f（x）=lnx
x+a（a＞0）．
（1）当a＝1时，证明：f（x）≤x?1 2；
（2）判断f（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
证明：当a＝1时，f（x）=lnx
x+1，
欲证f（x）≤x?1 2，
即证lnx
x+1≤
x?1
2
，
即证2lnx﹣x2+1≤0．
令h（x）＝2lnx﹣x2+1，
则h′（x）=2
x
?2x=?2(x?1)(x+1)
x，
当x变化时，h'（x），h（x）变化情况如下表：
x（0，1）1（1，+∞）h'（x）+0﹣
h（x）↗极大值↘
所以函数h（x）的最大值为h（1）＝0，故h（x）≤0．
所以f（x）≤x?1 2；
（2）函数f（x）在定义域内不是单调函数．理由如下：
令g（x）＝﹣lnx+a
x
+1，
因为g′（x）=?1
x
?a
x2
=?x+a
x2
＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减．注意到g（1）＝a+1＞0．
且g（e a+1）＝﹣lne a+1+
a
e a+1
+1＝a（
1
e
?1）＜0，
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为 棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断： ①1 AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平 面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位 置无关. 其中正确判断的个数有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（B ） 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F//面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1 所成角的正切值构成的集合是 C A. {}2 B. 255?? ? ??? C. {|222}t t ≤≤ D. 2 {|52}5 t t ≤≤ 3. 如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四 面体OABC 外一点.给出下列命题. ①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等 ④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是D （A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④ 4. 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形 1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r 的实数λ的值 有 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做 A B C D E 1A 1 D 1 B 1 C O A B D C A 1 D 1 A 1 C 1 B D C B O P N M Q
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i