二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式
【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数．
1． 二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b
a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b
a b a --=-+-=+1
; ⑥b a b a b
a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式
最简二次根式的条件：
①根号内不含有开的尽方的因数或因式
②根号内不含有分母
③分母不含有根号
B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式
C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab
D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b
a ;反之：)0,0______(>≥=
b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m
【典型例题】
例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）1+x ； （2)23-x ； (３）
123+x ; (4)x
231-.
例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿．
例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.
例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2
-+-x x ．
例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++.
例1、乘法运算
(1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2
28n m (4）a a 122532?-
例2:除法运算
（1）354- (2）531513÷ (3）921.150
04.0??
（
4)2294a b
例３：加减混合运算
（1）4832
31531
1312--+
（2）
x x x x 1246932-+
二次根式加减时,可以先将二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式，一般步骤为： 化简→分类→合并
例1、计算：
（1）ab ab ab b a ÷+-)3(33，其中0,0>>b a
（2）312)22(28++-
（3）32)2145051183(÷-+
(4）20)21()23(3
632918-+-++--
【变式练习】
计算:
6、
27348612421-+-; (2))312218(21812-+--
(3)a ab a b ab a 4322763232+-
,其中0>ab
(4)3
3)23214
18(÷---
【课堂练习】
1.如果03332=???
? ??-++y x ,那么()=2005xy ． 2.已知y x ,的实数,2
14422-+-+-=x x x y ,则y x 43+的值为 . 3．化简下列各式:
（１)()()()44322>---a a a (2）()()233522-+---
4.已知23-=a ，求12
1
232---++a a a a a 的值.
【贴近中考】
1. (20１1 江苏省南京市)
计算
)(12=__＿__＿____＿．
2. (20１1江苏省扬州市)
=_______________.
3. (2011内蒙古包头市）化简二次根式
_______＿
４. (2011 青海省) 计算
_＿__＿＿_＿__.
５. （2０11山东省菏泽市）实数a
在数轴上的位置如图所示，则
( )
A. 7
B. －７
C. 2ａ-1５
D.无法确定
6. (2０11山东省济宁市)下列各式计算正确的是（）
Ａ
=
Ｂ．2=
C
．=
=
7. （2011 山东省聊城市)
=_＿_＿_________．
8．(20１1山东省临沂市）
计算的结果是( )
Ａ．
Ｂ．5-
C.5
人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42
二次根式拓展提高讲义及答案
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
八年级二次根式教师讲义带答案
第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如…（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数， 即Z 10 （“ _「）。 注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（厂）：的性质 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无 意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算
最新二次根式的讲义汇总
专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正
二次根式加减运算(讲义及答案).
6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察 ，划 ； ②有序操作，依 ； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式 ； ②完全平方公式 ． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的 对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式： ． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序： 先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号， 先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ． 的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（ ） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ； （2） 3 - 5 ； 解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3
24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ； （4） - ； 解：原式= 解：原式= （5） - ； （6） -10 + ； 解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ； （8） - 3 + ； 解：原式= 解：原式= （9） - + ； （10） 2 - 6 + 3 ． 解：原式= 解：原式= 6. 计算： （1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2
二次根式讲义(初次、基础版)
二次根式 【知识要点】 必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围： 被开方数必须是非负数． 1． 二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式 最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】 例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）1+x ； （2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿． 例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.
例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ． 例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算 （1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算 （1）4832 31531 1312--+
八年级初二数学二次根式(讲义及答案)及答案
一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ． 3．已知2a =，2b =的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4． ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 5．在函数y=3 x -中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）. A ． B C D 7．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．26=（ C 4= D = 8．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 9．下列运算中正确的是（ ） A ．= B === C 3 === D 1== 10．已知，5x y +=-，3xy =则的结果是（ ） A ． B ．- C ． D ．-二、填空题 11．3 =，且01x <<=______． 12．实数a ，b +|a +b |的结果是
_____． 13．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 14．已知72 x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 15．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 16．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 17．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____． 18．4x -x 的取值范围是_____ 19．已知23x =243x x --的值为_______． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______． 三、解答题 21．计算： 22322343341009999100 +++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】 2232234334 1009999100++++++ =2232234334100999910026129900 -++++ =223349910012233499100- +-+-++- =1001100- =1110- =910 【点睛】
数学二次根式(讲义及答案)含答案
数学二次根式(讲义及答案)含答案 一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列各式计算正确的是（ ） A = B = C ．23= D 2=- 5．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 6．下列各式中正确的是（ ） A 6 B 2=- C 4 D ．2(＝7 7．若a ，b ＝，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 8．下列各式计算正确的是（ ） A += B ．2 6=（ C 4= D = 9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 10．设0a >，0b >=的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A B C D 12．2 30x -=成立的x 的值为（ ）
A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对 二、填空题 13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 -_______12 14．已知实数,x y 满足()( ) 2 22008 20082008x x y y ----=，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 15．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（） 的结果为_____． 16．把31 a a - 根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________. 18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________． 三、解答题 21．计算： 2232234334 1009999100 + ++++【答案】 910 【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
八年级初二数学二次根式(讲义及答案)附解析
一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ．3．下列各式计算正确的是（ ） A = B 6= C ．3+= D 2=- 4．已知m 、n m ，n ）为（ ） A ．（2，5） B ．（8，20） C ．（2，5），（8，20） D ．以上都不是 5．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-； ③3；④5=-5 8 >．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列运算中错误的是（ ） A = B = C 2÷= D ．2 (3= 7．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A B C D 8．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标 轴上 9．下列运算正确的是（ ） A = B 2= C = D 9= 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积为S =ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（ ）
A ．66 B ．3 C ．18 D ． 192 二、填空题 11．使函数21 122y x x x =-+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 -22 --（） 的结果为_____． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=---，则 2b c +=________． 14．3x x =，且01x <<2691x x x =+-______． 15．若实数x ，y ，m 满足等式 ()2 3532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________． 161262_____． 17．若实数23 a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．函数y 4x -中，自变量x 的取值范围是____________． 19．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 20．4 x -x 的取值范围是_____． 三、解答题 21．阅读下面问题： 阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32) ==++-
二次根式的化简与计算(讲义及答案)
二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．
做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2） ； （3）. 要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥）， 如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .
（3 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4 2 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 0,0) a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释： （1 ）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）. ≠. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：
二次根式辅导讲义
二次根式 一、知识梳理 1、二次根式的概念和性质 二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式. 注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 二次根式的性质： （1）二次根式的非负性：0a ≥； （2）2()(0)a a a =≥； （3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >??===??-
互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式． a b +与a b -互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0． 4、二次根式综合运算 二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式． 注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值 二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况． 注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论． 6、根式的大小比较 比较大小的方法 1．作差法:比较a、b的大小， 0, 0, 0, a b a b a b a b >> ? ? -== ? ?<< ? 2．作商法：比较a、b的大小，当0,0 a b >>时，可以采用作商法， 1, 1, 1, a b a a b b a b >>? ? ==? ?<>?> （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 7、二次根式的乘除 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：a b ab ?=（0 a≥，0 b≥）． 二次根式的除法法则：a a b b =（0 a≥，0 b>）． 说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b =?，a、b都非负，否则不成立．
初二数学经典讲义 二次根式的乘除--知识讲解(基础)
二次根式的乘除法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算. 2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简. 【要点梳理】 知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开 方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式 也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号 外面. 知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 要点诠释： (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0， b>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: （a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方 根. 要点诠释： 运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三、最简二次根式
八年级二次根式复习讲义(非常全面)知识讲解
八年级二次根式复习讲义(非常全面)
二次根式 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 22211 ,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、 2 1a + 2、在a 、2a b 、1x +、2 1x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式4 3--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2、使代数式2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是5的小数部分，求1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值. 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-
数的开方与二次根式讲义
数的开方与二次根式讲义 〖知识点〗 平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。 内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
二次根式的运算知识点与经典试题讲义
二次根式的运算知识点及经典试题 知识点一： 二次根式的乘法法则：ab b a = ?（0≥a ，0≥b ），即两个二次根式相乘，根指数不变，只 把被开方数相乘. 要点诠释： （1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数； （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： （3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如416=. 知识点二、 积的算术平方根的性质：b a ab ?= （0≥a ，0≥b ），即积的算术平方根等于积中各因式的 算术平方根的积. 要点诠释： （1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足0≥a ， 0≥b 才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； （2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有2 a 形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()()?2 ②利用积的算术平方根的性质b a ab ?= （0≥a ，0≥b ）； ③利用? ??<-≥==)0()0(2 a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些 因式移到根号外； （5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、 二次根式的除法法则： b a b a = （0≥a ，0>b ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 要点诠释： （1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中0≥a ， 0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 知识点四、 商的算术平方根的性质 b a b a =（0≥a ，0> b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根
二次根式讲义
二次根式复习讲义 知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义． 【典型例题】 【例1】下列各式1） 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三： 1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A D √ 2 ______个. 【例2】有意义，则x的取值范围是． 举一反三： 1、使代数式有意义的x的取值范围是（） A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2、如果代数式 mn m 1 + -有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例3】若y=++2009，则x+y= - 4 3 - - x x 5 - x x - 5
解题思路：式 子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 1 ，则 x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y= 4x 233x 2+-+-，求 xy 的值 【例4】已知a 整数部分，b 是1 2 a b + +的值。 举一反三： 1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性： a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( )()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3. a a a a a a 200==≥-
中考数学二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ． 1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 2．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-= B ．633-= C ．222()33 - =- D ．2332-= 3．下列计算正确的是（ ） A ．42=± B ． () 2 33-=- C ．() 2 5 5-= D ．() 2 33 -=- 4．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43﹣33=1 C ．27÷3=3 D ．23×33=6 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ． 1 5 B ．8 C ． 13 D ．26 6．下列各式计算正确的是（ ） A ． 1 222 = B ．362÷= C ．2(3)3= D ．222()-=- 7．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 8．若a 、b 、c 为有理数，且等式 成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值 是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定 9．下列运算中错误的是（ ） A 235=B 236= C 822÷= D ．2 (3)3-= 10．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A 6 B 18 C 27 D 12 二、填空题
11．比较实数的大小:(1)______ ；（2）1 4 _______12 12．设4 a,小数部分为 b.则1 a b - = __________________________. 13．已知实数,x y 满足(2008x y =，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 14．=___________． 15．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 16．)30m -≤，若整数a 满足m a +=a =__________． 17．． 18．若a 、b 为实数，且b +4，则a+b ＝_____． 19．若实数 a = ，则代数式244a a -+的值为___. 20．观察分析下列数据：0，，-3，的规律得到第10个数据应是__________． 三、解答题 21．计算：（1） + （2(33+- 【答案】（1）2） -10 【分析】 （1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案； （1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可． 【详解】 解：（1） + = = =