2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年广西壮族自治区田阳高中高二上学期12月月

考数学（理）试题

一、单选题

1．设复数z 满足()1+2i z =，则复平面内z 表示的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

【解析】由复数的四则运算求出z ，就能判别相应选项. 【详解】

因为(1i)2z +=，所以22(1i)

1i 1i (1i)(1i)

z -===-++-，则复平面内表示z 的点位于第四象限.选D ． 【点睛】

复数四则运算，属于简单题.

2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（ ） A ．3，11，19，27，35 B ．5，15，25，35，46 C ．2，12，22，32，42 D ．4，11，18，25，32

【答案】C

【解析】先求得系统抽样的组距，由此判断出正确选项. 【详解】 系统抽样的组距为50

105

=，也即是间隔10抽取一个，C 选项符合题意，故选D. 【点睛】

本小题主要考查系统抽样的组距，属于基础题.

3．命题p ：若0ab =，则0a =；命题q ：33≥．则（ ） A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真

C ．p 真q 假

D ．p 假q 真

【答案】D

【解析】命题p ：b 可能为0，a 不为0，可知是假命题；命题q ：33=，可知是真命题，再结合复合命题的真假性判定方法即可判断. 【详解】

命题p ：b 可能为0，a 不为0，因此是假命题， 命题q ：33=，因此是真命题，

所以 “p 或q ””为真命题， “p 且q ”为假命题. 故选：D. 【点睛】

本题考查复合命题真假性的判断，属于基础题.

4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件为取到的两个数之和为偶数，则（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】C

【解析】取到的两个数之和为偶数，分为都是偶数和都是奇数两种情况，相加得到答案. 【详解】

事件为取到的两个数之和为偶数 所取两个数都为偶数时： 所取两个数都为奇数时：

故答案选C 【点睛】

本题考查了概率的计算，分为都是偶数和都是奇数两种情况是解题的关键. 5．命题“*x N ?∈，2*x N ∈且2

x x ≥”的否定形式是（ ）

A ．0x ?∈*N ，2*0x N ?或2

00x x < B ．*x N ?∈，2*x N ?或2x x < C ．0x ?∈*N ，2*0x N ?且2

00x x <

D ．*x N ?∈，2*x N ?且2x x <

【答案】A

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写即可. 【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，可得命题“*x N ?∈，2*x N ∈且2

x x ≥”的否定形

式是“0x ?∈*N ，2*0x N ?或2

00x x <”.

故选：A. 【点睛】

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题. 6．设R x ∈，则“1

2

x >

”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】【详解】

由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或1

2

x >， 所以“1

2

x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件， 故选A ．

【考点】充分不必要条件的判定．

7．设函数，若，则等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】对函数求导，再由可求出实数的值.

【详解】

，

，

，解得，故选：D,

【点睛】

本题考查导数的计算，考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，熟练利用导数公式解题是解本题的关键，属于基础题.

8．函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -=（ ） A ．2 B ．4 C ．20 D ．18

【答案】C

【解析】对函数进行求导，利用导数研究函数的单调区间，进而求得答案。 【详解】

对函数进行求导得到：2

()33f x x '=-， 令()0f x '=，解得：11x =-，21x =，

当01x ≤<时，()0f x '<；当13x ≤≤时，()0f x '≥，

所以函数()f x 在[)0,1上单调递减，函数()f x 在[]1,3上单调递增， 由于(0)f a =-，(1)2f a =--，(3)18f a =-，

所以最大值=18M a -，最小值2N a =--，故20M N -=， 故答案选C 【点睛】

本题考查利用导数求闭区间上函数最值的问题，属于基础题。

9．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．7

D ．10

【答案】C

【解析】由已知中的程序框图以及已知中输入4可得：进入循环的条件为4i ≤，即

1,2,3,4i =，模拟程序的运行结果，即可得到输出的s 值。

【详解】

当1i =时，1111s =+-= 当2i =时，1212s =+-= 当3i =时，2314s =+-= 当4i =时，4417s =+-= 当5i =时，退出循环，输出7s = 故选：C

【点睛】

本题考查了读程序框图，此题是循环结构，属于基础题。

10．函数3

()e 1

=+x x f x 的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】

当x<0时，f （x ）<0．排除AC ， f ′（x ）()

()

()

32

2

22333(1)1

1

x x

x x

x

x

x e xe x e x e e

e

+-+-=

=

++，令33x x e xe +-=g (x )

g ′（x ）()()312x

x

x

e x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，

当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，

且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选：D ． 【点睛】

本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．

11．函数ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐

近线平行，则双曲线的离心率是（ ）

A B C

D 【答案】D

【解析】计算函数ln y x =在()()

33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率. 【详解】

11ln '3

y x y k x =?=

?= 切线与一条渐近线平行1

33

b b y x a b a a ?=

?=?=

3

c e a a ===

故答案选D 【点睛】

本题考查了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.

12．设函数()f x '是奇函数()(0)f x x ≠的导函数，(2)0f -=，当0x >时，

()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的的取值范围是（ ）

A ．(2,0)(0,2)-

B ．(20)-,

C ．(0,2)

D ．(2,0)(2,)-?+∞

【答案】D

【解析】先令()

()f x g x x

=

，对()g x 求导，根据题中条件，判断函数()g x 单调性与奇偶性，作出()g x 的图像，结合图像，即可求出结果. 【详解】 令()()f x g x x

=

，则2()()

()xf x f x g x x '-'=，

因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以2

()()

()0xf x f x g x x

'-'=>， 即()

()f x g x x

=

在(0,)+∞上单调递增； 又()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，因此()()

()()f x f x g x g x x x

--=

==-，

故()()f x g x x =

为偶函数，所以()

()f x g x x

=在(,0)-∞上单调递减； 因为(2)0f -=，所以(2)0g -=，故(2)0=g ； 作出()

()f x g x x

=

简图如下：

由图像可得， ()0f x >的解集为(2,0)(2,)-?+∞.

故选D 【点睛】

本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.

二、填空题 13．在区间3,2上随机取一个数x ，则1x ≤的概率是______.

【答案】

25

【解析】先求出满足不等式的x 的范围，然后按照几何概型公式求解即可. 【详解】

由1x ≤得11x -≤≤，所以在区间

3,2上随机取一个数x ，则则1x ≤的概率是

112

325

+=+. 故答案为：25

. 【点睛】

本题考查几何概型概率的计算，关键是明确两个“几何度量”，从而进一步求值. 14．

20

4x dx -=?

_________.

【答案】π 【解析】【详解】

设y ＝24x -，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，

由定积分的几何意义知0

24x ?-d x 的值等于半径为2的圆的面积的

14

. ∴0

24x ?-d x ＝

1

4

×4π＝π，故答案为π. 15．一动点P 在抛物线22y x =上运动，则它与定点Q （3,0）的连线中点M 的轨迹方程是____

【答案】2

4129y x x =-+

【解析】先设(,),(,)M x y P m n ，再利用中点坐标公式可得23

2m x n y =-??=?

，再代入到

22n m =，消,m n 即可得解.

【详解】

解：设(,),(,)M x y P m n ，

因为P 在抛物线2

2y x =上运动，则22n m =，① 又点P 与定点Q （3,0）的连线中点为M ， 则2320x m y n =+??

=+? ，即23

2m x n y =-??=?

，②

将②代入①中消,m n 得：222(23)y x =-，整理得24129y x x =-+， 即M 的轨迹方程是2

4129y x x =-+， 故答案为：2

4129y x x =-+. 【点睛】

本题考查了曲线与方程，主要考查了利用相关点法求轨迹方程，重点考查了中点坐标公式，属基础题.

16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0

190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异

面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．

【答案】

6

【解析】由于11//AC A C ，所以11BA C ∠ （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BA C ?中

, 1A B =

,111,1AC

BC =

116

cos BAC ∠==

. 点睛：用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

三、解答题

17．已知函数()3

2

f x x ax bx c =+++，当1x =-时取得极大值7，当3x =时取得极

小值.

（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的极小值.

【答案】（1）3

9a b =-??

=-?

；（2）25-.

【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a ，b 的方程组，解出即可；

（2）求出c 的值，结合函数的单调性求出()f x 的极小值(3)f ，代入计算即可. 【详解】 （1）

()32f x x ax bx c =+++，∴()2'32f x x ax b =++，

当1x =-时函数取得极大值7，当3x =时取得极小值，

∴1x =-和3x =是方程()'0f x =的两根，由韦达定理知：

()2133

133a b ?

-+=-???

?-?=

??

，∴39a b =-??=-?； （2）由（1）知：32

()39f x x x x c =--+，

当1x =-时，函数取极大值7，∴()()()32

131917c --?--?-+=，∴2c =，

∴32()392f x x x x =--+，

而函数的极小值点为3x =，故函数()f x 的极小值为：

()32333393225f =-?-??=-.

【点睛】

本题考查函数的导数及利用导数求函数的极值，解题的关键是正确理解极值点和极值的含义，属于基础题.

18．某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：

若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”. （1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？

（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.

（i ）共有多少种不同的抽取方法？

（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率. 【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）

1

2

． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为7

30

，因此该校900人中的“读书迷”的人数为

7

90021030

?=人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为35a ，38a ，41a ，抽取的女“读书迷”为34b ，36b ，38b ，

40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根

据题意可知，符合条件的基本事件为()3534,a b ，()3536,a b ，()3836,a b ，

()()38383840,,a b a b ，()4140,a b ，于是可以求出概率.

试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730900

x

=，解得210x =. 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.

（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为35a ，38a ，41a ，抽取的女“读书迷”为

34b ，36b ，38b ，40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，

则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：

()3534,a b ，()3536,a b ，()3538,a b ，()3540,a b ， ()3834,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ， ()4134,a b ，()4136,a b ，()4138,a b ，()4140,a b ，

所以共有12种不同的抽取方法．

（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”， 则事件A 包含()3534,a b ，()3536,a b ，()3836,a b ，()3838,a b ，()3840,a b ，()4140,a b 6个基本事件， 所以所求概率()61

122

P A =

=． 19．“精准扶贫”的重要思想最早在2013年11月提出，习近平到湘西考察时首次作出“实事求是，因地制宜，分类指导，精准扶贫”的重要指导。2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A 、B 两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A 的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表： 编号 1 2 3 4 5 年份 2015 2016 2017 2018 2019 单价(元/公斤) 18

20

23

25

29

药材B 的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若药材A 的单价y （单位：元/公斤）与年份编号x 具有线性相关关系，请求出y 关于x 的回归直线方程，并估计2020年药材A 的单价；

（2）用上述频率分布直方图估计药材B 的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A 还是药材B ？并说明理由.

附：1

1

2

2

2

1

1

()()

()n

n

i

i i i

i i n

n

i

i

i i x

x y y x y

nx y b x

x x

nx

====---=

=

--∑∑∑∑，a y bx =-.

【答案】（1） 2.7149?.y x =+，当6x =时，?31.1y =；（2）应该种植A 种药材

【解析】

(1)首先计算x 和y ,将数据代入公式得到回归方程,再取6x =得到2020年单价. (2)计算B 药材的平均产量,得到B 药材的总产值,与(1)中A 药材作比较,选出高的一个. 【详解】 解:(1)1234535x ++++=

=,1820232529

235

y ++++==

1

222222

221

118220323?4255295323

2.71234553

n

i i

i n

i i x y nxy

b

x nx ==-?+?+?+?+?-??==

=++++-?-∑∑ 14.9a y bx =-=

2.7149?.y

x =+,当6x =时，?31.1y = (2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005 B 药材的亩产量的平均值为:

3600.005203800.010204000.017520+4200.012520+4400.00520=401

??+??+??????故

A 药材产值为30031.1=9330?

B 药材产值为20401=8020? 应该种植A 种药材 【点睛】

本题考查了回归方程及平均值的计算，意在考察学生的计算能力.

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ?为等边三角形，

22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC

(Ⅰ)证明：//BC 平面PAD ；

(Ⅱ)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）

115

25

. 【解析】(Ⅰ)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得3CD =

60CAD ∠=?．又由题意得到60BCA ∠=?，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质

可得所证结论． (Ⅱ) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】

(Ⅰ)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 所以PA CD ⊥ 又AC CD ⊥,CA

PA A =,

所以CD ⊥平面PAC ，

所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD 中，145PC =+=， 所以3CD =

所以在Rt PCD 中，2AD =,60CAD ∠=?. 又60BCA ∠=?，

所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ?平面PAD ，BC ?平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．

(Ⅱ)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(Ⅰ)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，

分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .

则(0,0,2)P ，31,022C ?? ? ???，(0,2,0)D ，31,144M ??

- ? ???

所以33,022CD ??

=- ? ???，(0,2,2)PD =-，39,,144DM ??=- ? ???

设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，

由1100n CD n PD ??=???=??，即1111330220x y y z ?+=??-=??，得11

11

3x z y ?=??=??，

令11y =，则1

(3,1,1)n =．

设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =，

由2200n CD n MD ??=???=??，即22

2223303940x y x y z ?+=?-+=，得22

22332x y z ?=??=??

，

令21y =，则233,1,2n ?

?= ??

．

所以121212331115

2cos ,25

9||||

5314

n n n n n n ++?<>=

=

=

??++

， 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --115

． 【点睛】

空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结

论．

21．已知函数1

()ln ax f x x x

-=

-. （1）当1a =时，求f (x )的单调区间；

（2）若对1,x e e ??

?∈????

，使()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围 (其中e 是自然对数的

底数)．

【答案】（1）递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞；（2）(],1e -∞- 【解析】（1）将1a =代入原函数,求函数的定义域,再对函数求导,最后根据()'

0f x >单

调递增,()'

0f

x <单调递减可求出()f x 的单调区间

（2）从()0f x ≤分离出出常数1

ln a x x

≤

+,设新函数()11ln ,,g x x x e x e ??

=

+∈????

,min ()a g x ≤,求出新函数的最小值即可得到a 的取值范围 【详解】 (1)

11()ln 1ln x f x x x x x

-=-=--,

()f x 的定义域为(0,)+∞．

()'22111f x x x

x x -==

-, ()'001f x x >?<<,

()'01f x x .

所以()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞． (2) ()0f x ≤?1ln a x x ≤

+,1,x e e ??

∈????

, 令()11ln ,,g x x x e x e ??

=

+∈????

()22111x g x x x x

-=-

+=', 由()01g x x ='?= 当1,1x e ??∈ ???时,0g x

,()g x 在[1

e

,1]上单调递减

当()1,x e ∈时,0g x ,()g x 在[1,e]上单调递增,

11g e e ??=- ???

,()11g e e =+,1g e ??

???()g e >,所以g(x)在[1e ,e]上的最大值为

11g e e ??

=- ???

所以1a e -≤,所以实数a 的取值范围为(],1e -∞- 【点睛】

本题考查利用导数求函数性质的应用,根据已知条件构造辅助函数,考查运算求解能力,推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,属于难题.

22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F 1F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且2MNF ?的周长为16

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线y kx m =+与椭圆C 分别交于,A B 两点，且OA OB ⊥，试问点O 到直线

AB 的距离是否为定值，证明你的结论．

【答案】（1）221164

x y +=；

（2，证明见解析

【解析】（1）由2MNF ?周长可求得4a =，利用离心率求得c =，从而2224b c a =-=，从而得到椭圆方程；

（2）直线AB 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程12120x x y y +=，代入韦达定理整理可得

()225161m k =+；利用点到直线距离公式表示出所求距离d ，化简可得结果.

【详解】

（1）由椭圆定义知：2MNF ?的周长为：416a = 4a ?=

由椭圆离心率：2

c e a =

=

c ?=2224b c a =-= ∴椭圆C 的方程：221164

x y += （2）由题意，直线AB 斜率存在，直线AB 的方程为：y kx m =+

设()11,A x y ，()22,B x y

联立方程221164

y kx m x y =+???+

=??，消去y 得：()222

1484160k x kmx m +++-=

由已知>0?，且122841km x x k +=-+，2122416

41

m x x k -=+ 由OA OB ⊥，即0OA OB ?=得：12120x x y y +=

即：()()()2

2

12121212120x x kx m kx m x x k x x km x x m +++=++++=

(

)

22

2

22

4168104141

m km k km m k k --∴++?+=++，整理得：()225161m k =+，满足>0? ∴点O 到直线AB 的距离：2

45

1m d k =

=

+为定值 【点睛】

本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中定值问题的求解.解决定值问题的关键是通过已知条件构造等量关系，通过韦达定理的形式得到变量之间的关系，从而对所求值进行化简、消元，从而得到定值.