二次函数典型题解题技巧

二次函数典型题解题技巧

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二次函数典型题解题技巧

(一)有关角

１、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴

交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.

（1） 求此抛物线的解析式；

（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.

思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D )

对于第(２)问,比较角的大小

a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了

b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了

c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小

d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等

e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条

解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３），

∴设点D 的坐标为(x ，３) .

∵直线y ＝ ｘ+５经过D 点，

∴3= x+５.∴ｘ=－２.

即点D(-２，3) ．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ），

又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点，

∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4).

∴设抛物线的解析式为

2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1．

即抛物线的解析式为

223y x x =--+.…………3分 （２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N.

由(1）中抛物线

223y x x =--+可得 点A(-3,0)，B(1，０)，

∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°.

∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22.

∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2.

在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PB

PC =2．

在Rt △ＡN Ｍ中,∵M （-1,４），∴MN=4.∴ＡＮ=2.

ｔan ∠NAM ＝MN AN ＝2.

∴∠B ＣP=∠N ＡＭ.

即∠ACB ＝∠M ＡB.

后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角(圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路

2、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．

(Ｉ)求抛物线的解析式；

（II)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形?

若存在，求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；

（III)直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点.若α=∠DBC ,

βαβ-=∠求,CBE 的值.

思路点拨：(ＩI)问题的关键是直角，已知的是ＡC 边,那么A Ｃ边可能为直角边,可能为斜边,

当AC 为斜边的时,可知Ｐ点是已ＡＣ为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合，明显只有Ｏ点；当ＡC 为直角边时，又有两种情况，即Ａ、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是Ａ或者C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA(或Rt △ＰA Ｃ和Rt △OA Ｃ相似），利用这点就可以求出OP 的长度了

（ＩII ）从题目的已知条件看，除了∠ABC ＝4５°外没有知道其他角的度数,那么这两个角

要么全是特殊角（３０°，45°，60°，９０°），在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显，这两个角不是特殊角,那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下）,就是他们的差是特殊角，再联系到∠ＡBC ＝45°，可知，这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD ＝∠CBE,再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△B ＣＥ是一个直角三角形且与△B ＡD 相似

解:（I ）()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==.

())0,3(,0,1B A -∴.

代入32-+=bx ax y ,得 {{1

20

30339=-==--=-+∴a b b a b a

322--=∴x x y

(ＩI)①当190,P

AC ∠=?时可证AO P 1?∽ACO ? 31tan tan 11=∠=∠?∴ACO AO P AO P Rt 中，.)31,0(1P ∴

②同理： 如图当)0,9(9022P CA P 时，?=∠

③当)0,0(9033P A CP 时，?=∠

综上，坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P ．

（III)()1,0,131D x y 得由+-

=.()4,1322---=E x x y ，得顶点由. ∴52,2,23===BE CE BC ．

为直角三角形BCE BE ?∴=+,CE BC 222.

31tan ==∴CB CE β. 又

31tan ==∠?∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO . ?=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα.

（二)线段最值问题

引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决;有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值

3、抛物线

()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线x = －1，B(1,0），C(0,-3).

⑴ 求二次函数

()20y ax bx c a =++≠的解析式； ⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点Ｐ到A 、Ｃ两点距离之差最大？若存在，求出点Ｐ坐标;若不存在,请说明理由．

思路点拨：点Ｐ到Ａ、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值，因Ｐ点在对称轴上,有ＰＡ＝PB ，也就是求|P Ｂ－ＰC ｜，到了这儿，易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC 的长。

具体解题过程略

4、研究发现,二次函数2ax y =(0≠a )图象上任何一点到定点(0,a 41)和到定直线a

y 41-=

的距离相等.我们把定点（0,a 41)叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线a

y 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.

（１)写出函数24

1x y =

图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上，Ｏ为坐标原点, 求等边三角形的边长；

(３）M 为抛物线241x y =上的一个动点，F 为抛物线24

1x y =的焦点，P （1,3） 为定点，求ＭP+MF 的最小值.

思路点拨：（2）因△OA Ｂ是等边三角形，易知A Ｂ平行于Ｘ轴,且∠AOB ＝６0°，知ＯA 、OB 于y 轴的夹角等于30°，利用这点容易求出三角形的边长

(3)由题目可知M Ｆ的长度等于M 点到直线y=－１的距离，那么MP ＋MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y ＝-1的垂线段的长 解：(1）焦点坐标为（0，1), 准线方程是1-=y ;

(２)设等边ΔOAB 的边长为ｘ,则ＡD=x 2

1,OD ＝x 23. 故Ａ点的坐标为(x 2

1，x 23）. 把A 点坐标代入函数24

1x y =,得 2)2

1(4123x x ?=, 解得0=x (舍去),或38=x .

∴ 等边三角形的边长为38.

（3)如图，过M 作准线1-=y 的垂线，垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ ，垂足为Q ，当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时，M Ｐ+MF 最小，最小值为PQ=4. 5、

思路点拨:（2）要求ＡE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知ＯＡ和ＯE 的长以及Ｅ点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴，垂足为G ，那么容易求出O Ｇ的长，从而求出AE 的长；要求ＡＭ的长,先做OK ⊥A Ｅ,垂足为Ｋ,要求AM 的长，首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出A Ｋ和OK 的长，利用OK 的长和三角形OM Ｎ是等边三角形求出ＭK 和ＮＫ的长，ＡM 的长也就知道了 （３)这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时，PA+PB+PO 才能取最小值，P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P ，把ＰA 、PB 、ＰO 连起来，要取最小值，那么这三条线段应该首尾相接，我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是ＡE 所在直线，这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合，PA 的长就是AM 的长，m 的最小值就是AE 的长

答案详见前段时间发过的《从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起》

额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题

6、2０09年中考第2５题

如图,在平面直角坐标系xO ｙ中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－６,０)，B （６，０)，

C (0，４3），延长A Ｃ到点

D ,使AC CD 2

1=,过D 点作DE ∥A Ｂ交B Ｃ的延长线于点E ．

(１)求Ｄ点的坐标;

(2)作C 点关于直线ＤＥ的对称点Ｆ,分别连结DF 、E Ｆ,若过B 点的直线y =kx +b 将四边形CD ＦE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;

(3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线ｙ=ｋx +b 与y 轴的交点出发,先沿ｙ轴到达G 点,再沿GA 到达Ａ点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定Ｇ点的位置，使Ｐ点按照上述要求到达A 点所用的时间最短. (要求:简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）

思路点拨：(３）首先要把速度转化成路程，也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M ，则OM=63,设Ｐ点在y 轴上的速度为2ｖ,那么在GA 上的速度为v ，Ｐ点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/２的最小值，那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和，因为∠BMO=30°，GM/２也就是G 点到ＢM 的距离，我们作GK ⊥BM,垂足为K ，问题转化成求GA+ＧM 的最小值,易知，A 、G 、Ｍ必须共线且垂直B Ｍ，所以G 点就是过A 点作B Ｍ的垂线与y 轴的交点

解:(1）∵A (-6,0)，Ｃ(0，43),∴O Ａ=6，ＯC =43.

设DE 与y 轴交于点M.由DE ∥AB 可得△DMC ∽△A ＯC ．

又AC CD 21=，2

1===∴CA CD CO CM OA MD . ∴ＣＭ=23,ＭＤ=３．

同理可得EM =3.∴OM ＝63．

∴D 点的坐标为(3，63)．

(２）由(1)可得点Ｍ的坐标为（０，６3).

由DE∥AB,EＭ＝ＭD,

可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．

∴点Ｃ关于直线DE的对称点F在ｙ轴上.

∴EＤ与CF互相垂直平分.

∴ＣD=DF＝FＥ=ＥC．

∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM.

设BＭ与CＤ、EF分别交于点Ｓ、点T．可证△FTM≌△CSM．

∴FＴ＝ＣS.

∵ＦE＝CD，∴ＴE=ＳD．

∵ＥC=DF，∴TE＋EC＋CS+SＴ＝SD+ＤF+FT+TS．

∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形.

由点B(6，0)，点M（０，６3)在直线ｙ=kx＋b上,

可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．

第25题答图

(３)确定Ｇ点位置的方法：过Ａ点作AH⊥BM于点H,则AＨ与ｙ轴的交点为所求的Ｇ点．

由OＢ=6，OＭ＝６3，可得∠OBM=6０°.∴∠BAH=30°．

在Rt△OＡＧ中，OＧ＝AO·taｎ∠BAＨ=23．

∴G点的坐标为(0，23).(或Ｇ点的位置为线段OＣ的中点)

（三）平移对称旋转问题

引子:平移问题以前讲过了，现在重点将对称旋转问题

我们知道(a，b）关于ｘ轴对称的点的坐标为（a，－b），

关于ｙ轴对称的点的坐标为(-a，b）,

关于原点对称的点的坐标为（-a，－b）,

关于直线x=m的对称点为(2ｍ-a，b)，

关于直线ｙ=ｎ的对称点为(ａ，２ｎ－b),

关于点（m，n）的对称点为(２m-a,2n－b）

任意两点（x１,y1)和（x2,y2)的中点为

对于抛物线关于x轴、y轴、ｘ=ａ、ｙ＝b的对称抛物线，应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点(m，n）的对称抛物线解析式(其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决),为了方便，选取抛物线的顶点式来证明

例：对于一个抛物线y=ａ(x－h)２+ｋ（a≠0）来说，坐标为（x,y)的所有点都在他的图像上，关于(ｍ，ｎ）的对称点为(2m－ｘ,2n－ｙ)，那么坐标为(2m－x,2n-y）都在抛物线关于(m,n）对称的抛物线上，我们把（2m-x,2n－y）代入y=a（x-h）2+k（a≠0)就可以得到它关于(m，n）对称的抛物线的解析式为2n－ｙ＝ａ（２m-x-h）２＋k,变形为

y=－a(x－2m+h）2+2ｎ-k

现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确

首先y=a（ｘ-h)2＋k（a≠0)和它关于点（m，n）的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的，由于关于点对称，开口方向是相反的，故二次项系数互为相反数;其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于（m，n)对称的,原抛物线的顶点为(ｈ，k)，它关于(m，n）的对称点的坐标为(2m－h，2ｎ-k),那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ａ（ｘ-2m+ｈ)2+2n-k，和利用上述方法所得结果一致

７、已知抛物线Ｃ1：ｙ=ａx2-2amｘ+am2＋2m+１(a＞0,m>1)的顶点为Ａ，抛物线C2的对称轴是ｙ轴，顶点为B,且抛物线C1和C2关于P(1，3)成中心对称

（1）用含ｍ的代数式表示抛物线Ｃ1的顶点坐标

（2）求m的值和抛物线C2的解析式

（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是Ｃ，当△ABC为等腰三角形时,求a的值

思路点拨:（1)很多人一看到求抛物线的顶点，习惯使用顶点的坐标公式来求，如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的，那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标，y=a（ｘ-m)2+2m＋1,故顶点坐标为（m,２m+1)

（2）C1和Ｃ2关于点对称，利用上述方法容易求出Ｃ2的解析式和顶点坐标，易知m=2

详解过程略