相似三角形的性质与判定讲义)

相似三角形的性质与判

定讲义)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相似三角形的性质与判定讲义

【知识点拨】

一、相似三角形性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等

二、 相似三角形的等价关系

(1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?．

(2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

(3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽

C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三、三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。

【例题精讲】：

E D C B A

1、如图DE CD

DE

G

E

D

C

B

A

ABCD 54,27FC cm CE cm ==32BE cm =CD

A

B

C D

E

F

1.5

2.530

米A 20米B 18米C 16米D 15米

∠=?AMC 3023MN =1BG =,,M N C AB A 3B 3C 2米D 1.5米

M

N

C

B A

8米0.84米

h

1.6m 1.2m 9m m

AB 21AE m

=2.5CE m =B 1.6CD m =AB

2.如图2,AD ∥EF ∥

BC,则图的相似三角形共有_____对.

E D

C

B

A

D

C B

A

P H G

F

E D

C

B

A

O D

C

B

A F

E

D

C

B A G K

F

E

D

C

B

A

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=35 ,则BM=______.

4.ΔABC的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长_____.

6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_____.

7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.

9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,则CD=______.

10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=,-BC=6,EF=3,则PF=_____.

11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则SΔADE∶SΔABE=___________.

12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.

13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,

则S

四边形DFGE ∶S

四边形FBCG

=_________.

14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,SΔADE=1,则S四边形BCDE=________.

15.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.

16．已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.

E

A F D C B

17.已知，如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，?EC 与AD 相交于点F ．（1）求证：△ABC ∽△FCD ；（2）若S △FCD =5，BC=10，求DE 的长。

【课外练习】

1.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，过D 作BC 的平行线交AC 于M ，若BC=m ，AC=n ，则DM=（ ） A 、

n m m + B 、n

m n

+

C 、

n m mn + D 、mn

n

m + 2.如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( )

A 、BF=2

1

DF B 、S △FAD =2S △FBE

C 、四边形AEC

D 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC

3．已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．

A

C

F

（1）求

AE

AC

的值； （2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．

74、如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。

（1）经过多少时间，线段PQ 的长度为2

（2）写出线段PQ 长度的平方y 与时间t 之间的函数关系式和t 的取值范围； （3）在P 、Q 运动过程中，是否可能出现PQ ⊥MN 若有可能，求出此时间t ；若不

可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t ，使P 、Q 、M 构成的三角形与△MON 相似若存在，求出此时

间t ；若不可能，请说明理由； Y