最新届高三数学第二轮复习数列综合

届高三数学第二轮复习数列综合

数列综合

★★★高考要考什么

本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n 项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．

高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查1()a d q 、、

n n n a S 、、间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．

高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在

一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：

（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．

（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．

（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．

理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．

★ ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11

113114413144

n n n n n n a a b b a b ----?=++???

?=++??（2n ≥）

（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．

解：（Ｉ）由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即12n n c c -=+（2n ≥） 易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为21n c n =+．

（II ）解：由题设得111

()(2)2

n n n n a b a b n ---=-≥，令n n n d a b =-，则

11

(2)2

n n d d n -=≥．

易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为12的等比数列，通项公式为11

2

n n d -=． 由

1211

2

n n n n n a b n a b -+=+??

?-=??，

解得 11

22

n n a n =++， 求和得21122n n n S n =-+++．

【变式】（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为

'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()

y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）、设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于

f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]

)1(2)132---n n （

＝6n －5.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=

n n n a a b ＝[]

5)1(6)56(3

---n n ＝)1

61

561(21+--n n ， 故T n ＝∑=n

i i b 1＝

2

1?????

?+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足2

1

≤

20

m

，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10. 【范例2】已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()

'()

n n n n f a a a f a +=-（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln

n n n a b a a

β

-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。 解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>

，∴

αβ=

； （2）'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12

442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++

=5114

(21)4

212n n a a ++

-

+，∵11a =

，∴有基本不等式可知20a ≥>

（当且仅当

1a

时取等号），∴20a >>

同，样3a

，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121

n n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--

=++++，而1αβ+=-，即

1αβ+=-，

2

1()21n n n a a a ββ+--=

+，同理2

1()21

n n n a a a αα+--=

+，12n n b b +=，又

113535

ln

ln 2ln 135

b βα-++===--

35

2(21)ln

n n S +=- 【变式】对任意函数f （x ），x ∈D ，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f （x 0）；

②若x 1?D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f （x 1），并依此规律继续下去． 现定义f （x ）=

1

2

4+-x x ． （Ⅰ）若输入x 0＝65

49

，则由数列发生器产生数列｛x n ｝．请写出数列｛x n ｝的所有项；

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；

（Ⅲ）（理）若输入x 0时，产生的无穷数列｛x n ｝满足：对任意正整数n ,均有x n ＜x n ＋1，求x 0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f （x ）的定义域D ＝（－∞

－1）∪（－1，＋∞）

∴数列｛x n ｝只有三项x 1＝1911，x 2＝5

1

，x 3＝－1

（Ⅱ）∵f （x ）＝

1

2

4+-x x ＝x 即x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2 即x 0＝1或2时，x n ＋1＝

1

2

4+-n n x x ＝x n ，故当x 0＝1时，x 0＝1；当x 0＝2时，x n ＝2（n ∈N ）

（Ⅲ）解不等式x ＜1

2

4+-x x ，得x ＜－1或1＜x ＜2，要使x 1＜x 2，则x 2＜－1或1＜x 1＜2

对于函数f （x ）＝1

6

4124+-=+-x x x 。若x 1＜－1，则x 2＝f （x 1）＞4，x 3

＝f （x 2）＜x 2

当1＜x 1＜2时，x 2＝f （x ）＞x 1且1＜x 2＜2依次类推可得数列｛x n ｝的所有项均满足x n ＋1＞x n （n ∈N ）

综上所述，x 1∈（1，2），由x 1＝f （x 0），得x 0∈（1，2）

【范例3】已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x

y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的

前n 项和，且满足222

13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，

…． （I ）证明：数列2n n b b +??

????

（2n ≤）是常数数列；

（II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增 解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．

因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ① 于是213(1)n n S S n ++=+． ……② 由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤

所以226

2n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +??????

≥是常数数列．

（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，

4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分

别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列，

所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ?<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．

12a a ?<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ?<<<9151223218244

a a a a a ?<-<+<-?

<<． 即所求a 的取值集合是9154

4M a

a ??

=<

（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n

a a n n n n n n n

b b e e k a a a a ++++--==

-- 任取0x ，设函数0

0()x x e e f x x x -=-，则002

0()()()()x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-，

当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，

上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，

所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和

0()x +∞，上都是增函数．

由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，

取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n

a a n n e e a a ++-<

-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2

2n n a a n n e e a a ++->

-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．