高三数学等差数列知识精讲

高三数学等差数列

【本讲主要内容】

等差数列概念及性质、等差数列的通项公式、前n项和公式

【知识掌握】

知识点精析】

1.等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

1 1

例如数列一4，—1, 2, 5,…；数列一，0, ，—1,…都是等差数列。它们的公差分别

2 2

是3,

2.等差数列的性质：由等差数列的定义，可以得出等差数列的常用的一些基本性质，如

厶、*

在等差数列｛a n｝中，①若p+ q = m+ n （p、q、m、n N ），贝V a p a q a m a n ;②若

i 1 ' i2、i 3 ???

（「

'k N*, k N*）成等差数列，则a i1, a i2, a i3…仍成等差数列；③

n2n3n

a i, a i, a i,…仍成等差数列。另外，右a、b、c三数成等差数列，则称b为a、

i 1i n 1i 2n

1

c的等差中项，且b a c

。2

3?等差数列的通项公式为a n a1 （n 1）d（n N*），其中a1为等差数列的首项，d为

公差，a n为通项。此通项公式可以看成是n的一个一次函数的形式，写作a n dn a1 d

（当d = 0时，是常数函数）。可以证明，当一个数列的通项公式是一次函数形式，即

a n an

b （其中a、b是常数）时，那么这个数列是等差数列。

4.等差数列的前n项和公式为S n色卫，或S n na °d （n N ）,

2 2

其中a1, a n分别为等差数列的首项和第n项，d为公差，n为项数，S n为前n项和。从

S n na1 ° d ,可以看出S n是n的一个少常数项的二次函数形式，即

2

d 2 d 2

S n n 佝）n （d = 0时，除外）。反之，可以证明，当前n项和S n an bn （ a,

b是常数）时，数列｛a n｝是等差数列。

【解题方法指导】

例1. （1）若数列｛a n｝是首项为23,公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项起

开始为负，则此数列的公差 d 是多少?

依题意，b 3 丄

2 1

1

n 5 19 n

，… a

n

a n 1

24

n 5

(3)v

a 4

a 10

a 7 a 7 2a 7

?- 3a 7

17, a 7

17

3

又

???

a 4

a 〔4 a 5 a

13 a 6

*12 a 7 an a $ a? 2a 9

? a 4

a s …

a 14

11a 9 77 , ? a 9 7

(2) 已知数列｛a n ｝中，a 3 2 , a 7 1，又数列

1

——｝为等差数列，求a n ; 1 n

(3) 右 a 4 a 7 a 10

17

a 14 77，若

13，求k 的值。

解：（1）

设a n

23 (n 1)d 依题意，

a 6 23 5d 0 a 7 23 6d 0

? 23

d

23

5

在等差数列｛a n ｝中, a k (d Z)

???公差 d =- 4

?/ d Z ,

(2)设 b n

1 a n 1

{b n } 是等差数列, 设其公差为

b 3 b i 2d b 7

b i

6d

1 3

1 2

，解得b 1 1 24

(n 1)

1 24

5

24

1

设数列的公差为d ,则 a 7 a

1

6d

a ? a 1 8d 17

~3 7

解得a 1 5

, d 3 ?- a k a 1 (k 1)d , 即13 (k ? k = 18 评述：本例题主要讲述通项公式的应用和等差数列一些性质的应用。 1 3， 的概念、性质，有时还可灵活运用。 如例中第( 2)小题由b 3

要理解好等差数列 」 1 亠 b 7

，直接可以得 2 4d - 2 —(n 24 3) ,.?. d —。而且 24 口 或 b n b 7 24 ｛b n ｝的通项公式也可以写成 b n (n 7)d ，可以不必求出b i ， 由a 7 17 7，

a 9 7 ,直接可得 a 9 a 7 d 9 --，然后由a k 9 7 3

例2.已知｛a n ｝为等差数列, S n 为其前n 项和。

(1) 若 a 3 a 5 a 12 a 19 a 21 15，求 S 23 ；

(n 3) ? d - 3 例中第(3)小题也一样, a 9 (k 9) ? d 得 k = 18o (2) (3) 若前12项和为354,前 若前4项和为21，末尾 12项中奇数项与偶数项的和之比为 4项和为67,前 27: 32,求公差d o n 项和为286，试求项数n o 解：(1 )??? a 3 a 21

a 5 a 19 2 a 12

5a

12

15

, a 12

a 23

2 a

12

2

(2)v 前12项中偶数项的和 S 偶与奇数项的和 S 奇之差为6d

即S 偶 S 奇 6d ① 又S 偶 S 奇 354

②

S 奇 27 S 偶 32

???由

①、②、

③解得 d = 5

(3)v a 1

a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a 4

a n 3

??? a 1

a n

(21 67) 22 4

?/ S n (a

i ―- 286，即 11n = 286

2

?- n = 26

例3. (2000年全国高考文科卷)设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7 7 ,

【考点突破】

【考点指要】

等差数列的问题在高考题中出现的很多， 不说与等比数列及其它知识综合， 就只是等差

数列的问题在05年各省市的高考题中，如全国卷二、福建卷、湖南卷、江苏卷等卷中都有， 06年的高考题中在选择、填空题中占的份量就更多，至少有九份试卷中出现等差数列的问 题，所以掌握好等差数列基础知识很重要。 【典型例题分析】 例4.

(2020年北京文科卷)

设等差数列｛a n ｝的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n (I) 若an = 0, S 14= 98，求数列｛a n ｝的通项公式；

(II) 若a 1 6 , a 11 0, S 14 77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式。

14 X 13

解：(I )： S 14

14a 1 d 98 ,

2

2a 1 13d 14

S 15

75，T n 为数列｛二｝的前n 项和，求T n 。

n

由已知，当 解题思路分析:

n = 7 时，S 7= 7,当 n = 15 时,

S 15 = 75

所以可以列式

所以S n 2n

S 7

S 15

7a 1

15a 1 7X 6 d 7 2

15X 14

，从而求出a 1

d 75

2 n(n 1) 2

n 2 5n

n 5

，判断这个数列是什么数列，由

2

n 可以知道｛S

｝是等差数列，由 § 2，公差d' n 1 n(n 1) 1

代入求和公式即可得到 T n 2n X - 2 2 S n

S 1

S n 1

S n

n

1

2 1 2

n 4

1

又：a

11

a 1

10d 0

a i 20, d 2

2n(n N ); 13d 11 10d 0 6

11 o

7

丄

o

13

乙故d 1④

!，又 a 1 Z ，故 a 1= 11 或 a 1= 12

所以，所有可能的数列｛a n ｝的通项公式是 a n = 12 — n 和 a n = 13— n ，n = 1，2， 3，… 评述：本题考查等差数列的通项公式及前 n 项和公式的基础知识， 又综合了不等式的有

关知识，难度不大。

例5. ( 2020年江苏高考题)设数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 1= 1，生=6，a 3= 11， 且(5n 8)S n 1 (5n 2)S n An B ，n = 1, 2，3，…，其中 A 、B 为常数。

(I) 求A 与B 的值；

(II) 证明数列｛a n ｝为等差数列；

??? {an}的通项公式是a n 22

S 4

77 2a 1 (ll )由 a 11

0，得 a 1

a i 6

a 1 2a 1 13d 11 ①

即 2a 1

20d 0 ② 2a 1

12

③

由①+②得 7d 11,即d

由①+③得13d

1,即d 11

1

于是

d

，又d 7

13

10 a

(III) 证明不等式5a mn . a m a n 1对任何正整数 m 、n 都成立。

由已知，得S 1 a 1 S 2 a 1 a 2 7 ， S 3 a 1 a 2 a 3 18

由(5n 8) S n 1

(5n

3S 2 7S 1 A B 2S 3 12S 2 2A B 解得A : =—20, B =— 8

An

A 2A

28 48

，

(II )由(I )得,(5n

8)S n 1 (5n 2)S n 20n 8 ①

解：⑴ ，即 )S n

②—①，得(5n 3)S n 2 (10n 1)S n 1 (5n 2)S n 20 ③

所以(5n 2)S n 3 (10n 9)S. 2 (5n 7)S n 120 ④

④—③，得(5n 2)S n 3 (15n 6)S n 2 (15n 6)S n 1 (5n 2)S n 0

因为

S n 1S n

a n 1，S n 2 S n 1a n 2 ，S n 3S n 2 a n 3

所以(5n2)a n3(10 n4)a n 2(5n 2)a n 10

又因为5n2H 0

所以a n 32a n2a n 10

即a n 3a n 2a n 2 a n 1 , n 1

又a3a2a2a15

所以数列｛a n｝为等差数列

（III）证

明：

由(II )知a n 5n 4

要证、J5a mn a m a n 1

只需证5a mn 1 a m a n 2.. a m a n

a mn 5mn 4, a m a* (5m 4)(5n 4)

25mn 20m 20n 16

故只要证5(5mn 4) 1 25mn 20m20n16 2, a m a n

即只要证20m 20n37 2 a m a n

2...

a m a n a

m

a

n

5m 5n 8

5m 5n 8 (15m15n29)

20m 20n 37

所以命题得证。

评述：本例第（I）、（II）问主要考查等差数列的基础知识，特别是数列前n项和S n与

数列通项a n的关系，其中用②一①式，④一③式的这种方法要学会，它是使问题转化后得以解决的重要手段。本例第（III ）问是在得知数列｛a n｝是等差数列后，代入数列的通项公式后，用证明不等式的常用方法，如分析法、放缩法及重要不等式的性质进行证明的。

所以(5n 3)S n 2 (5n 7)& 1 20n 28 ②

|a 11心2丨… 心15丨=

综合测试】

. 选择题

1. （06年福建文科卷）在等差数列 ｛a n ｝中，已知a i 2, a 2 a 3 13，则a 4 a 5 a 6 等于（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45

2. （06年广东理科卷）已知某等差数列共 10项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30， 则其公差为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3. （04年全国卷）设数列｛a n ｝是等差数列，且a 2 6, a 8 6, S n 是数列前n 项和，

则（ ）

A. S 4V S 5

B. S 4

S 5 C. S S 5 D. S 6 S 5

2

4. （06年江西文科卷）在各项不为零的等差数列 ｛a n ｝中，若a n 1 a n a n 1 0（n

2）, 则 S 2n 1

4n

=（

） A. － 2

B. 0

C. 1

D. 2

5. （06年全国文科卷二）已知等差数列 ｛a n ｝中，a 2 7 , a 4 15，则前10项和Sg =

（）

A. 100

B. 210

C. 380

D. 400

6. （06年天津理科卷）已知数列｛a n ｝、｛b n ｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1, d ,

且a 1 b 1 5, a 1, b 1

N *，设C n ab n （n N *），则数列｛C n ｝的前10项和等于（

）

二 . 填空题 9. （06年浙江理科卷）设 S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 5= 10, S 10=— 5,则公差

为 _________ 。

10. 公差不为零的等差数列 ｛a n ｝中，已知a 2 a 3 … a 12 33，且a k 3，贝U k =

__________ 。 11.

（ 01 年上海理 科卷） 设数 列 ｛a n ｝ 的 通项 公式为 a n 2n 7（n N *） , 则

7. 8. (

A. 55

B. 70

等差数列 ｛a n ｝ 中， 3（a 3 A. 13 B. 52 已知两个等差数列 5， 8， ） C. 85 D. 100

a 5) 11， 2

(a 7 a 10 a 13） 24

，则数列前 13项的和为（

C. 26

…及 3， 7 ， 11 ， D. 156

…均有100项，它们数值相同项的和为

A. 3887

B. 3899

C. 3863

D. 3875

12. 若等差数列｛a n ｝的公差d 工0,且a 1, a 2为关于x 的方程x 2 a 3x a 4 0的两根，

则｛a n ｝的通项公式a n = _______ 。

11

a b

13. 若1既是a 2与b 2的等差中项，又是 丄与丄的等差中项，则

：打= ____________ 。

a b

a 2

b 2

14. 数列｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S n ,且S 9= 18, a n 4

30(n 9)，若S n = 240,

贝 H n = __________ 。 三?解答题

2

15. (04年全国文科卷)设数列｛a n ｝是公差不为零的等差数列，S n 是前n 项和，且S 3 9S 2 ,

S 4= 4S 2，求数列｛a n ｝的通项公式。

16.

在数列｛a n ｝中， S n 是数列的前n 项和， 已知 a n 0 , 2 S n

a n 1(n N )，求 S

和a n °

17.

在数列｛a n ｝中，

a 1

1 , S n 是它的前 n 项和，且n 》2时，

2S ； 2a n S n

a n 成立，

求a n °

18. (98年上海卷) 若 A n 和B n 分别表示数列｛a n ｝和｛b n ｝的前

n 项

和，

对任意正整数 n ,

a

n

—- — , 4

B

n

12A n

13n

°

2

(I )求数列｛b n ｝的通项公式；

(II )设有抛物线列 G ，C 2，…G ，…，抛物线C n (n N *)的对称轴平行于y 轴,

2

顶点为(a n , b n ),且通过点D n ( 0, n 1 )，过点D n 且与抛物线 6相切的直线斜率为 k n ,

(III )设集合 X {x|x 2a n , n N *} , Y {y|y 4b n , n N *}，若等差数列

项公式。

求极限lim

n

k 1 k 2 a n b n

｛C n ｝的任一项C n X Y , C 1是X Y 中的最大数，且

265 C 10 125，求｛C n ｝的通

.选择题 1. B

再计算 a 4 a 5 a 6 3a 5 3(a 1 4d)

2. B

提示：偶数项之和-奇数项之和= 5公差。

3. B

所以S n

综合测试答案

提示：

因为 a n 1 a n d ， a n 1 a n

d ， 所以 a n 丰 0

，二 a n

2， …S

2n 1

2(2n

1

)，?

S 2n

1 4n

5. B

6. C

提示： T a 1 ，b 1

* N ，? b 1 5 a 1 *

N ，

T b n b 1

(n 1)，? b n 5 a 1 (n

1)

即b n

n 4 a 1，? a n a 1 (n 1)，

ab n a 1 (n

4 a 1 1) 1 n 3

即C n n 3，

? {C n }的前 10项和为S 10

(C 1

C 10) x 10 2

85

7. C

提示： a 3 a 5

2a 4， a 7 a 13

2a 10，

所以已知式变为 6a 4 6a 〔0 24

即a 4

a 10

4, 又a 1 a

13 a 4 a 10

4

4. A 已知式变为2a n a ：

提示：先由 a i 2，a 2 a 3 2a i 3d

13，求出d 3

42

提示：先由 a 2

6， a 8 6，可求出 a 1 8，d 2

即S n

9n ,所以 S 4 S 5

所以 S 13

4 X

13

26

2

8. D

提示： 若3n 两数列的通项公式分别为 a n 3n 2 , b m 4m 1 (n , m

2 - 4m 1,则 n m 1

m

3 ,

又n

100，

所以 m = 3,

6, 9， (75)

(匕3 b 75 )X 25

可得b 3 b 6

b 75

2

3875

.填空题

9. — 1

提示：

S 5 5a 1 10d

10

,

S 10

10a 1 45d

5,

解得d = —

1

10. 7

提示： a 2

a 12

a 3 a

11 … 2a 7, ? ? 11a 7

33 , a 7

3,

?

11. 153

提示： a 1

5, a 2 3

,

a 3

1, a 4 ,

a 5

,… ,a 12均大于0

? ? |a 11

旧2

丨

|a 3| 9

(1 23) X 12

|a 4 1 |a 5

〔…

|a 151 a 4

a 5

…

a 15

2

144

12. 2n

提示： 由已知a 1 a 2

a 3

, a 1 ?

a 2

a 4

,可得出 a 1

d 2

1

13. 1 或 —

2

提示：

由a 2 b 2 2, —-2，可得 a + b = 2ab ,

a b

从而得 (a

b)2 2 (a

b)

解得a b 2或a b

1

a b

1

? ?

2

1

a b 2

2

14. 15

提示： T S 9

18,二 9a 5

18, a

5

2

,

又a 1 a n

a 5

a n 4

32

S ” 屮 24°,

n 15

三?解答题

8 4 ???数列的通项

a n

n -

9 9

16?解:?/ 2 S

a n 1, 2

? 4S n a n 2a n 1

n 2时，4Sm

2 a

n

1 2a n 1 1

? 4(S n

S n 1 )

(a ：

a

；

；1 )

2(a n

a n 1)

2

2

??? 4a n a n a . i 2a n 2a . 1,

(a n a n i )(a n a ni

2)

a n 0 ,?只有 a n a n

1

2(n

2)

{a n }是等差数列，公差为

2，又 ■ a n 2n 1，S n

2

n

解： 由已知，得2S n (S n a n )

2S n

? S n 1 S 1

S n

1

1

1

1

2 , ?

—

S n

S n 1

S n

S 1

1

S n

2n 1

17. a n

2 a 1

a 1

n 2 时，S n

Si 1

(n 1) x 2

2n 1 (S 1 a 1 1)

2n 1 2n 3 (2n 1)(2 n 3)

6

a1

4

S

4

*7

3

d

^1

a 3

a1 2 9

36

4a

4-9 8-9

o o

d

1 (n 1 时)

? a n 2

(2n 1)(2n 3) (

°

2

时

)

18.解：(I)：a n n n(n 4) ~2

从而B n

2

6n211n

4

b i

17

4

n 2时，B n B n 1 12n 5 4

??? b n 12n 5 4

(ii)设抛物线6的方程为y a(x 2n 3)2

2

)

12n 5

因为D n(0, n21)在C n上,

? C n的方程为y x2(2n 3)x ?/ y' 2x (2n 3)

? D n处切线的斜

率

k n 2n

k1k2? lim 1 2 n k n

a n

b n lim

n

n2 4n

3 5

n |)( 3n 5

2 4

(III)对任意n N , 2a n 2n 3, 4b n 12n 5 2(6n 1) 3 X ? Y X,故X Y = Y

?/ &是X Y中的最大数，?C i = —17

设等差数列｛C n｝的公差为d,则C10 17 9d

265 17 9d 125

，得

279 d 12

? d 12m(m N ), ? d = —24

? C n 7 24n(n N )