2019年高考数学一轮复习 综合测试卷

综合测试卷

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.已知全集U=R,集合A={x|12},则A∩(?U B)=()

A.{x|1≤x≤2}

B.{x|1≤x<2}

C.{x|1

D.{x|1≤x≤3}

2.已知i是虚数单位,复数(1+3i)(a-i)在复平面内对应的点在第四象限,则a的取值范围是()

A.(-3,+∞)

B.

C.

D.(-3,1)

3.若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的离心率是()

A.2

B.

C.

D.3

4.设直线y=x+b是曲线y=ln x的一条切线,则b的值为()

A.ln 2-1

B.ln 2-2

C.2ln 2-1

D.2ln 2-2

5.设a∈R,则“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.执行如图所示的程序框图,当输入x为6时,输出的y=()

A.1

B.2

C.5

D.10

7.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()

A.5

B.7

C.6

D.4

8.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()

A.10 cm3

B.20 cm3

C.30 cm3

D.40 cm3

9.已知等差数列的前n项和为S n,且S1 006>S1 008>S1 007,则满足S n S n-1<0的正整数n为()

A.2 015

B.2 013

C.2 014

D.2 016

10.已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上,且cos A=,BC=1,AC=3,三棱锥O-ABC的体积为,则球O的表面积为()

A.36π

B.16π

C.12π

D.

11.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若P是△ABC所在平面内一点,且AP=2,则的最大值为()

A.10

B.12

C.10+2

D.8

12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R都有f'(x)>f(x)成立,则()

A.3f(ln 2)>2f(ln 3)

B.3f(ln 2)=2f(ln 3)

C.3f(ln 2)<2f(ln 3)

D.3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本,将300名学生从1~300编号,按编号

顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为231,则第1组中用抽签法确定的号码

是.

14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第

三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店

(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;

(2)这三天售出的商品最少有种.

15.若实数x,y满足条件则2x+y的最大值为.

16.已知点A(0,3),若圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO|,则圆心C的横坐标a的

取值范围为.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(12分)已知a=(sin 2x,2cos2x-1),b=(sin θ,cos θ)(0<θ<π),函数f(x)=a·b的图象经过

点.

(1)求θ及f(x)的最小正周期;

(2)当x∈时,求f(x)的最大值和最小值.

18.(12分)(2017全国Ⅲ,文18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每

天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温

位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.

19.(12分)

(2017全国Ⅲ,文19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

(1)证明:AC⊥BD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

20.(12分)设椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线=1的距离d=,O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明:点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.

21.(12分)设函数f(x)=-2x2+ax-ln x(a∈R),g(x)=+3.

(1)若函数f(x)在定义域内单调递减,求实数a的取值范围;

(2)若对任意x∈(0,e),都有唯一的x0∈[e-4,e],使得g(x)=f(x0)+2成立,求实数a的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4—4:坐标系与参数方程]

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-

2)2=1相交于不同的两点M,N.

(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;

(2)求的取值范围.

[选修4—5:不等式选讲]

23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).

(1)当a=1时,求不等式f(x)>8的解集;

(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.

参考答案

综合测试卷

1.C解析∵B={x|x>2},

∴?U B={x|x≤2},

∴A∩(?U B)={x|1

2.C解析∵(1+3i)(a-i)=(a+3)+(3a-1)i,

又复数在复平面内对应的点在第四象限,

∴解得-3

3.C解析∵,a2=b2+c2,∴,即.

在双曲线=1中,由,即,可得,

故所求的离心率e=.故选C.

4.A解析设切点为(m,n),则n=ln m.

函数y=ln x的导数为y'=,可得切线的斜率为,则,解得m=2,则n=ln2,故b=n-

m=ln2-1.故选A.

5.C解析若a=1,则f(x)=ln=ln.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.

又f(-x)+f(x)=ln+ln

=ln=ln1=0,

∴函数f(x)是奇函数,即充分性成立.

若f(x)=ln为奇函数,

则f(-x)+f(x)=ln+ln=0,

化为(a-1)[(a+1)(x2-1)+4]=0,此式对于定义域内的任意x都成立,故a=1,

即必要性成立.故“a=1”是“f(x)=ln为奇函数”的充要条件.故选C.

6.D解析由程序框图可得流程如下:x=6→x=3→x=0→x=-3,退出循环,此时y=(-3)2+1=10.

7.A解析∵a1a2a3=5,∴=5.

∵a7a8a9=10,∴=10.

又=a2a8,∴=50.

∴a4a5a6==5,故选A.

8.B解析由三视图可知该几何体为三棱柱ABC-DEF削去一个三棱锥A-BCD,如图.

因为棱柱的高为5,底面为直角三角形,且直角三角形的两直角边长分别为3,4,

所以几何体的体积V=×3×4×5-×3×4×5=20(cm3).故选B.

9.A解析由题意可得S1008-S1007>0,

即a1008>0.

由S1006>S1008,得S1008-S1006<0,即a1007+a1008<0.

故S2015==2015a1008>0,

S2014=<0,

因此满足S n<0的正整数n=2015,故选A.

10.B解析由余弦定理得cos A=,解得AB=2.

故AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.

因此AC是平面ABC与球的截面圆的直径.

作OD⊥平面ABC,则D为AC的中点.

所以V O-ABC=S△ABC·OD

=×2×1×OD=,

所以OD=.

所以OA==2.

所以S球O=4π·OA2=16π.故选B.

11.C解析以点A为原点,边AC所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,

则A(0,0),B,C(4,0).

设P(2cosθ,2sinθ),θ∈R,

可得,

=(4-2cosθ,-2sinθ),

故(4-2cosθ)-2sinθ

=-11cosθ-3sinθ+10

=-2sin(θ+α)+10.

其中α为锐角,且tanα=,θ∈R.

故当sin(θ+α)=-1时,取最大值10+2.故选C.

12.C解析令g(x)=,

则g'(x)=.

因为对任意x∈R都有f'(x)>f(x),

所以g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增.

又ln2

即.所以,

即3f(ln2)<2f(ln3),故选C.

13.6解析不妨设第1组抽到的号码为x.

由于300名学生平均分成20组,故每组15人,

则在第16组中应抽出的号码为15×15+x.

即225+x=231,故x=6.

14.(1)16(2)29解析(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16种.

(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14种.当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C 表示第一、二、三天售出的商品种数.

15.4解析满足约束条件的平面区域如图阴影部分.

由图可知,当x=1,y=2时,2x+y取到最大值4.

16.解析由圆C:(x-a)2+(x-2a+4)2=1,可知圆心C(a,2a-4).

设M(x,y),∵|MA|=2|MO|,

∴=2,

得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4.

∴点M在以D(0,-1)为圆心,以2为半径的圆D上.

∵圆C与圆D有公共点,

∴2-1≤CD≤2+1,即1≤≤3,

即

解得0≤a≤.

17.解(1)∵f(x)=a·b=sin2x sinθ+cos2x cosθ=cos(2x-θ),

∴f(x)的最小正周期为T=π.

∵y=f(x)的图象经过点,

∴cos=1.

又0<θ<π,∴θ=.

(2)由(1)得f(x)=cos.

∵-≤x≤,∴-≤2x-.

当2x-=0,即x=时,f(x)取得最大值1.

当2x-=-,即x=-时,f(x)取得最小值-.

18.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温

低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,

则Y=6×450-4×450=900;

若最高气温位于区间[20,25),

则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;

若最高气温低于20,

则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.

所以,Y的所有可能值为900,300,-100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为

=0.8,

因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

19.(1)证明取AC的中点O,连接DO,BO.

因为AD=CD,所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.

(2)解连接EO.

由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.

在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.

故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.

20.解(1)由e=,即a=2c,故b= c.

由右焦点到直线=1的距离为d=,

得,解得a=2,b=.

所以椭圆C的方程为=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,

联立直线AB:y=kx+m与椭圆=1,

消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,

化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

则x1+x2=-,x1x2=.

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.

∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,

即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,

∴(k2+1)+m2=0,

整理得7m2=12(k2+1).

∴点O到直线AB的距离d=为定值.

∵OA⊥OB,∴OA2+OB2=AB2≥2OA·OB.

当且仅当OA=OB时取“=”号.

由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤,

∴AB≥2d=,

即弦AB的长度的最小值是.

21.解(1)∵f'(x)=,且f(x)在定义域内单调递减,

∴f'(x)≤0在(0,+∞)内恒成立,

即4x2-ax+1≥0在(0,+∞)内恒成立.

∴Δ=a2-4×4×1≤0,即-4≤a≤4;

或即a<-4.

综上可知,a≤4.

(2)∵g'(x)=e1-x(1-x),∴g(x)在(0,1)内单调递增,在[1,e)内单调递减.

又g(0)=3,g(1)=4,g(e)=e2-e+3>3,

∴g(x)的值域为(3,4].

记h(x)=f(x)+2x2=ax-ln x,m=g(x),

原问题等价于?m∈(3,4],存在唯一的x0∈[e-4,e],使得h(x0)=m成立.

∵h'(x)=a-,x∈[e-4,e].

①当a≤时,h'(x)≤0恒成立,h(x)单调递减,

由h(x)max=h(e-4)=a e-4+4≥4,h(x)min=h(e)=a e-1≤3,解得0≤a≤;

②当a≥e4时,h'(x)≥0恒成立,h(x)单调递增,

h(x)min=h(e-4)=a e-4+4>4,不符合题意,舍去;

③当

且h(e-4)=a e-4+4>4,h(e)=a e-1,

要满足条件,则a e-1≤3,故

综上所述,a的取值范围是.

22.解(1)由题意可知,直线l的参数方程为(t为参数).

由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0.

将y=ρsinθ,x=ρcosθ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,

得t2+(2cosα-sinα)t+=0.

由Δ>0,得|2cosα-sinα|>1.

故

=4|2cosα-sinα|∈(4,4].

23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,

①当x≤-1时,f(x)=2-x-2(x+1)=-3x.

由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;

②当-1

由f(x)>8,得x>4,此时不等式无解;

③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x.

由f(x)>8,得3x>8,解得x>.

综上,不等式f(x)>8的解集为.

(2)∵a>0,∴-a<0<2.

∴f(x)=|x-2|+2|x+a|=

∴f(x)min=f(-a)=a+2.

∴a+2≥3,解得a≥1.

∴实数a的取值范围是[1,+∞).