立体几何专题复习

立体几何专题复习

编者注：本专题中的练习题都是从最近全国各地的模拟考试题中选出来的，具有很高的训练价值，请同学们认真完成。

1．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

(1)在棱AD 上有一点P ，当

PD

PA

为多少时，使二面角D 1-PC-D 的大小等于60°？

(2)在(1)的条件下，求直线A 1

B 1

与平面CD 1P 所成的角. 解：(1)设PD=x ，AB=1，作DE ⊥PC 于E ，可得2

2

x =

，比值为2-1.

6分

(2)30°. 12分

2．如图，将长AA′=33，宽AA 1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：

(1)求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； (2)求三棱锥A 1—APQ 的体积.

解：(1)依题意知三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且侧棱AA 1=3.底面边长为3，BP=1，CQ=2， 延长QP 交BC 的延长线于点E ，连结AE.

在△ACE 中，AC=3，CE=2BC=23，∠ACE=60°于是AE=3， 则AE ⊥AC 于A ，QA ⊥AE.

所以∠QAC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角. 4分

又AC=3， 于是tanQAC=

33

2

32AC QC ==. 即面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为3

3

2. 6分 (2)连A 1P ，△A 1AP 的面积为33

2

， 8分

点Q 到平面A 1AP 的距离为2

3， 34

33232

33

1

V V AP A Q APQ A 11=?

?==--. 12分

3. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD=90°，PA=PB ，PC=PD.

(1)证明：CD 与平面PAD 不重直； (2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；

(3)如果CD=AD ＋BC ，二面角P －BC －A 等于60°，求二面角P －CD －A 的大小.

(1)证明：若CD ⊥平面PAD ， 1分

则CD ⊥PD ，

2分 由已知PC=PD ，得∠PCD=∠PDC ＜90°，

这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直.

3分 (2)证明：取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ， 由PA=PB ，PC=PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD. 5分

∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ，又PF∩EF=F. ∴CD ⊥平面PEF.

6分 由PE ?平面PEF ，得CD ⊥PE ，

又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ?平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD.

8分 (3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角， 9分 作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ， 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分

即∠PGE=60°，由已知，得EF=21(AD+BC)=2

1

CD. 又EG=CF=

2

1

CD ， ∴EF=EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG. 11分

∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点，连结ED 、EC 、EB 和DB. (1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值； (3)求异面直线EB 和DC 的距离.

(1)证明：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BB 1=BC=1，E 为D 1C 1的中点.

∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED=45°. 同理∠C 1EC=45°. ∴∠DEC=90°，即DE ⊥EC.

2分 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面D 1DCC 1，又DE ?平面D 1DCC 1， ∴BC ⊥DE. 3分

又EC∩BC=C ， ∴DE ⊥平面EBC. ∵平面DEB 过DE ， ∴平面DEB ⊥平面EBC.

4分

(2)解：如图，过E 在平面D 1DCC 1中作EO ⊥DC 于O.

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵面ABCD ⊥面D 1DCC 1， ∴EO ⊥面ABCD.

过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ， ∴EF ⊥BD.

∠EFO 为二面角E —DB —C 的平面角. 6分 利用平面几何知识可得

OF=5

1

，OE=1，tanEFO=5.

8分

(3)解：E 在D 1C 1上，B 在AB 上，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥D 1C 1，

∴EB 在平面ABC 1D 1内.又∵DC ∥AB ， ∴DC ∥平面ABC 1D 1.

直线DC 到平面ABC 1D 1的距离就等于异面直线DC 和EB 的距离. 10分

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.平面ABC 1D 1⊥平面BCC 1B 1，连结BC 1，在平面BCC 1中，过C 作CH ⊥BC 1.

∴CH ⊥平面ABC 1D 1，CH 为所求的距离. ∴CH=

2

2

BC CC BC 11=?. 12分

6．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在

BC 上，设AB=1，PA=h ，AD=y.

(1)试求y 关于h 的函数解析式；

(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角； (3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.

解：(1)显然h ＞1，连接AQ ，∵平面ABCD ⊥平面ADQP ，PA ⊥AD ， ∴PA ⊥平面ABCD.由已知PQ ⊥DQ ，∴AQ ⊥DQ ，AQ=y 2-h 2.

∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ，CQ=1h 2

-，

∴

1

1

h h y h

,AB CQ AQ DQ 22

2-=-=即.

∴y=

1h h 2

2-(h ＞). 4分

(2)y=

2　1

h 11h 1

h 1)1h (1

h h 2

22

222≥-+

-=-+--

6分

当且仅当2h ,1

h 11h 2

2

=-=

-即时，等号成立.此时CQ=1，即Q 为BC 的中点.于是由

DQ ⊥平面PAQ ，知平面PDQ ⊥平面PAQ ，PQ 是其交线，则过A 作AE ⊥平面PDQ ， ∴∠ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角.由已知得AQ=2，PQ=AD=2， ∴AE=1,sinADE=

2

1

AD AE =,∠ADE=30°. 8分

(3)设三棱锥P-ADQ 的内切球半径为r ，则

3

1

(S △PAD +S △PAQ +S △PDQ ＋S △ADQ )·r=V P-ADQ . ∵V P-ADQ =

3

1

S △ADQ ·PA=32，S △PAQ =1,S △PAD =2，S △QAD =1,S △PDQ =2.

∴r=

2

222

222-=

+. 12分

7．已知ABC —A 1B 1C 1为正三棱柱，D 是AC 的中点. (1)证明：AB 1∥平面DBC 1. (2)若AB 1⊥BC 1，BC=2.

①求二面角D —BC 1—C 的大小；

②若E 为AB 1的中点，求三棱锥E —BDC 1的体积. (1)证明：连结CB 1交BC 1于O ，连结OD.

∴OD ∥AB 1，OD 在面DBC 1内.∴AB 1∥平面DBC 1.

4分

(2)解：①OD ⊥BC 1，又O 为BC 1中点，∴DO=DC 1.∴CC 1=2.

过O 作OM ⊥BC 1交BC 于H ，则OH=

2

3

，∠HOD 为所求. BH=23,2

3DH =

,∴cos θ=

2

2

.∴θ45°. 8分

②6

6233121V 21V 21V V 1111111DC A B BDC A D EC A BDC E =???==-=-=--. 12分 8．

9．正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD=900,∠CBD=300

. (１) 求证：AB ⊥CD;

（２）求二面角D-AB-C 的正切值。 （3）求异面直线AC 和BD 所成的角。

解答( 1)∵平面ABC ⊥平面BCD, ∠BCD=900

,∴CD ⊥平面ABC.

∵AB ?平面ABC, ∴CD ⊥AB.

(2)过点C 作CM ⊥平面ABC 于M,连DM,由(1)知CD ⊥平面ABC, ∴DM ⊥AB.∴∠CMD 是二面角 D-AB-C 的平面角.

设,CD=1,由∠BCD=900,∠CBD=300,BC=.2,3=BD A

∵⊿ABC 是正三角形, ∴CM=

.2

3

23=BC M N

∴tan ∠CMD=

.

32

=CM CD B O C 故二面角D-AB-C 的正切值为 3

2

. D

(3)取三边AB,AD,BC 的中点M .N . O,连AO,NO,MN,OD.则OM 平行且等于2

1

AC,MN 平行且等于

2

1BD. ∴直线OM 和MN 所成的锐角或直角就是直线AC 和BD 所成的角. ∵⊿ABC 是正三角形,且平面ABC ⊥平面BCD, ∴AO ⊥平面BCD,∴⊿AOD 是直角三角形, ON=

,2

1

AD 又∵CD ⊥平面ABC, ∴AD=

1322+=+CD AC

在⊿OMN 中,OM=.4

3

21cos ,1,1,23==∠==MN MO

NMO ON MN

∴直线AC 和BD 所成角为arccos

4

3

. 10．如图，四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形且与底面ABCD 垂直，

ο60=∠ADC 且ABCD 为菱形.

（1）求证：PA ⊥CD ； （2）求异面直线PB 和AD 所成角的余弦值； （3）求二面角P —AD —C 的正切值.

解（1）证明，取CD 中点O ，连OA 、OP ∵面PCD ⊥面ABCD

PO ⊥CD

∴PO ⊥面ABCD

即AO 为PA 在面ABCD 上的射影…………2分

又在菱形ABCD 中

∠ADC=60°，O 为CD 中点 ∴AO ⊥CD

∴PA ⊥CD……………………………………4分

（2）以OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立坐标系 则)0,2,3(),3,0,0(),0,1,0(),0,0,3(B P D A -

)0,1,3()3,2,3(--=-=……………………………………6分 4

101

334323|

|||,cos -

=+++--=

?>=

4

10

…………………………………………8分 （3）由O 引OG ⊥AD 于G ，连PG ，则PG ⊥AD ，

∠PGO 为二面角P —AD —C 为平面角………………………………………10分 11． 如图， 已知四棱锥P —ABCD 中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点。

（1）求证：PA ∥平面EDB 。

（2）求证：平面EDB ⊥平面PBC 。 （3）求二面角D —PB —C 的正切值。

（1）证明：连AC 交BD 于O ，连EO 。

由四边形ABCD 为正方形： 得O 为AC 中点。

在△PAC 中，由中位线定理得EO ∥PA 又EO ?平面上EDB ，PA ￠平面EDB ，

∴PA ∥平面EDB

（2）证明：由平面PDC ⊥平面ABCD ，BC ⊥DC 得 BC ⊥平面PDC

又DEC 平面PDC ，则BC ⊥DE

E 为PC 的中点，△PDC 为正三角形

B

C

D

A

P E

O

F

B

C D

A

P

E

∴DE ⊥PC ，BC∩PC=C ∴DE ⊥平面PBC 又DE ?平面EDB ∴平面EDB ⊥平面PBC

（3）作EF ⊥PB 于F ，连DF ，

由DE ⊥平面PBC 及三垂线定理得DF ⊥PB 故∠DFE 是所求二面角的平面角

设BC=4，则PC=4，在等边△PDC 中，易得DE=23 在Rt △PEF 中，∠EPF=45° PE=2，可求出FE=2 ∴tan ∠DFE=

62

3

2==FE DE 即所求二面角的正切值为6

22

33tan ,===

∠?GO

PO

PGO PGO Rt 中

即二面角P —AD —C 的正切值为2…………………………………………12分 12．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD ，

侧面PBC ⊥底面ABCD.

（1）PA 与BD 是否相互垂直，请证明你的结论. （2）求二面角P —BD —C 的大小. （3）求证：平面PAD ⊥平面PAB.

（1）PA 与BD 相互垂直.证明如下：

取BC 的中点O ，连结AO ，交BD 于点E ；

连结P O.…………1分 ∵PB=PC ，∴PO ⊥BC. 又∵平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC∩平面ABCD=BC ，

∴PO ⊥平面ABCD.…………2分

在梯形ABCD 中，可得Rt △ABO ≌Rt △BCD ，

∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°， 即AO ⊥BD. ∴PA ⊥BD. …………4分

（2）连结PE ，由PO ⊥平面ABCD ，AO ⊥BD ，可得PE ⊥BD ，…………5分

∴∠PEO 为二面角P —BD —C 的平面角.………………6分 设AB=BC=PB=PC=2CD=2a ，则在Rt △PEO 中，PO=,5

5,3a OE a =

.15tan ==

∠EO

PO

PEO ∴二面角P —BD —C 为.15arctan …………8分 （3）取PB 的中点N ，连结CN ，由题意知：平面PBC ⊥平面PAB ，则同“（1）”可得CN ⊥平面PAB. ………………9分

取PA 的中点M ，连结DM 、MN ，则由MN//AB//CD ，MN=

2

1

AB=CD ，得四边形MNCD 为平行四边形. ∴CN//DM. …………10分 ∴DM ⊥平面PAB.…………11分 ∴平面PAD ⊥平面PAB.………………12分

13．如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，D 是棱AC 的中点.

（Ⅰ）证明：AB 1∥平面DBC 1；

（Ⅱ）若AB 1⊥BC 1，AC = 2，求二面角D —BC 1—C 的大小.

证明（Ⅰ）连结B 1C 与BC 1交于E 点，连结DE .

∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，

∴四边形BB 1C 1C 是矩形，B 1E = EC ， ∵AD = DC ，

∴DE ∥AB 1，DE ?平面DBC 1，

AB 12

1平面DBC 1，

∴AB 1∥平面DBC 1. （6分）

解（Ⅱ）过D 作DF ⊥BC 于F ，连结FE ， ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，

∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C . ∵DF ⊥BC ，DF β平面ABC ， ∴DF ⊥平面BB 1C 1C ，

∴EF 是DE 在平面BB 1C 1C 内的射影， ∵AB 1⊥BC 1，AB 1∥DE ， ∴DE ⊥BC 1，∴EF ⊥BC 1，

∴∠DEF 就是二面角D —BC 1—C 的平面角. （10分） ∵△ABC 是正三角形，∴∠ACB = 60°， ∵AC = 2，∴DC = 1

在Rt △DFC 中，DF = DC sin60°=π，

∵DE ⊥BC 1，E 为BC 1中点，

∴C 1D = BD =2， ∴C 1C

=2，C 1B =6，

在Rt △DEC 1中，DE =.2

62121=-E C D C ∴sin ∠DEF =

2

2

=DE DF ，∴∠DEF = 45° ∴二面角D —BC 1—C 的大小为45° （14分）

14．如图，已知三棱锥P —ABC ，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为AB 中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC.

（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角D —AP —C 的正弦值；

（Ⅲ）若M 为PB 的中点，求三棱锥M —BCD 的体积.

解（Ⅰ）由已知D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB=20，

则有.102

1

==

AB PD ∴所以AP ⊥PB.

又AP ⊥PC ，.P PC PB =? 则AP ⊥平面PBC.

,PBC BC 平面? ∴AP ⊥BC.

由AC ⊥BC ， AP∩AC=A ，

有BC ⊥平面PAC. .ABC BC 平面? ∴平面PAC ⊥平面ABC.…………5分 （Ⅱ）由已知PA ⊥PC ，又由（Ⅰ）知PA ⊥PB ，

所以∠BPC 是二面角D —AP —C 的平面角. 又由（Ⅰ）知BC ⊥平面PAC ， 则BC ⊥PC. ∴.5

2sin ==∠PB

BC BPC …………10分

（Ⅲ）∵D 为AB 中点，M 为PB 中点， ∴35,2

1//==DM PA DM 且.